X/ENS Physique A PC 2015

Thème de l'épreuve Objectif Lune
Principaux outils utilisés optique, mécanique du point, mécanique du solide
Mots clefs télémétrie, diffraction, marées

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2015 FILIERE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE) (Duree : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve. On se contentera, pour les applications numeriques, d'un ou deux chiffres significatifs. Objectif Lune Ce probleme traite de la telemetrie laser appliquee a la mesure precise de la distance separant la Terre de la Lune. Il se compose d'un texte de 3 pages, de deux figures montrant des donnees experimentales et de 30 questions d'analyse et de comprehension auxquelles le candidat doit repondre. Ces questions sont regroupees en six courtes parties independantes. Commencez par lire attentivement le texte intitule "La telemetrie laser-Lune". Cela devrait vous prendre entre 20 et 30 minutes. Puis repondez aux questions de la partie intitulee "Analyse de l'article". Elles ne sont pas forcement ordonnees par difficulte croissante et certaines d'entre elles ont une formulation ouverte. Dans ce cas, toutes vos initiatives de resolution sont bienvenues a condition de justifier et de detailler systematiquement votre demarche. Si necessaire, vous citerez precisement la partie du texte qui appuie votre raisonnement (les lignes sont numerotees de 1 a 236 a cet effet). Les hypotheses des modelisations doivent etre clairement precisees et toutes les approximations doivent etre explicitees et justifiees. Les calculs devront etre menes sous forme litterale, avec pour objectif final d'obtenir une valeur numerique. 1 Donnees utiles pour l'analyse du texte Acceleration de la pesanteur Contante des gaz parfaits Masse molaire de l'air Distance Terre-Soleil g = 9, 8 m · s-2 R = 8, 3 J · K-1 M = 29 g · mol-1 D = 150 × 106 km Rayon de la Terre Masse de la Terre Rayon de la Lune Masse de la Lune R = 6 400 km M = 6, 0 × 1024 kg RL = R /4 ML = M /81 Un photon dont la longueur d'onde est de 1 µm a une energie de 2, 0 × 10-19 J. Une annee dure 3, 1 × 107 secondes. Un angle d'une seconde d'arc correspond a 4, 8 × 10-6 radian. Le moment d'inertie d'une boule homogene de masse M et de rayon R par rapport a un axe passant par son centre est donne par I = 25 M R2 . 35 36 37 38 39 cos 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 40 41 42 43 44 cos 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719 45 46 47 48 49 cos 0,707 0,695 0,682 0,669 0,656 50 51 52 53 54 cos 0,643 0,629 0,616 0,602 0,588 55 56 57 58 59 cos 0,574 0,559 0,545 0,530 0,515 60 61 62 63 64 Table 1: Extrait d'une table trigonometrique par degre, a 0,001 pres. 2 cos 0,500 0,485 0,469 0,454 0,438 La telemetrie laser-Lune Resume La telemetrie laser permet de determiner avec precision de grandes distances. La cible la plus eloignee jamais atteinte par cette methode est notre satellite naturel, la Lune. Principe simple et mise en oeuvre delicate caracterisent cette technique, utilisee avec succes depuis l'observatoire de la Cote d'Azur. Passee en 10 ans d'une trentaine de centimetres a moins de trois, la precision des mesures devrait atteindre quelques millimetres d'ici 1995. Cela ameliorera notre connaissance de la dynamique du systeme Terre-Lune, de la rotation de la Terre, de l'interieur de la Lune et permettra de tester la theorie de la gravitation. 1 5 10 15 20 25 30 Mesurer une distance par une duree Le principe de la telemetrie laser-Lune est simple. Un telescope envoie une impulsion lumineuse vers un reflecteur pose sur la surface lunaire. Une partie de la lumiere emise est renvoyee et va, apres environ deux secondes et demie, etre recue par le meme telescope. Il suffit de dater l'instant de depart de l'impulsion et celui du retour de l'echo pour connaitre la duree de trajet. En multipliant cette duree par la vitesse de la lumiere, on obtient la longueur du trajet parcouru, egale au double de la distance de notre telescope a la Lune, ou plus precisement au reflecteur vise. Mais le passage d'une duree a une distance n'est pas aussi simple, notamment a cause de l'atmosphere qui ralentit la lumiere et allonge ainsi la duree de son trajet (voir appendice A). Retenons pour l'instant que l'on mesure une duree que l'on peut assimiler a une distance. Quels sont les ordres de grandeur de la conversion duree­distance ? En une nanoseconde la lumiere parcourt une trentaine de centimetres. Mesurer la distance de la Lune a quelques centimetres pres necessite donc de maitriser la mesure de durees a quelques dixiemes de nanoseconde ! La telemetrie lunaire debute avec les vols habites vers la Lune. Les astronautes de la mission Apollo 11 emportaient avec eux le premier panneau de cataphotes auquel viendront se joindre ceux des missions Apollo 14 et Apollo 15 (figure 1). Quelques annees plus tard, les sovietiques deposerent deux vehicules automatiques, Lunakhod 1 et 2, dotes de cataphotes francais dont Texte 35 40 45 un seul fonctionne encore. Quatre reflecteurs sont donc aujourd'hui disponibles sur la Lune. A quoi ressemblent ces cataphotes ? Ce sont des coins de cube qui ont la propriete essentielle de renvoyer la lumiere dans la direction d'ou elle est arrivee grace aux reflexions successives sur trois plans reflechissants perpendiculaires deux a deux. On est ainsi assure de recevoir des echos de la lumiere envoyee, quelles que soient les positions respectives du telescope, qui suit le mouvement de la Terre en rotation sur elle-meme et autour du Soleil, et du reflecteur qui se deplace au gre du mouvement de la Lune sur son axe et autour de la Terre. Figure 1: Le reflecteur (12 × 25 cataphotes) depose sur la Lune par la mission Apollo 15. extrait et adapte d'un article publie dans la revue Images de la physique en 1992. 3 2 50 55 60 65 70 75 La telemetrie laser-Lune est une technique assez difficile a mettre en oeuvre. L'interet du laser est qu'il permet d'envoyer de l'ordre de 1018 photons en peu de temps. Dans les meilleures conditions, on ne detecte qu'un photon en echo tous les cent tirs ! Sachant que les lasers actuels permettent une cadence de dix tirs par seconde, il faut donc attendre une dizaine de minutes pour detecter une soixantaine de photons. Sans precautions, ces photons sont noyes dans ceux du ciel si l'on travaille de jour, ceux de la Lune si le reflecteur vise est dans le croissant eclaire, et aussi ceux du detecteur, imparfait. Il faut donc identifier les bons photons ­ ceux des echos ­ des mauvais ­ le bruit. Pour cela, commencons par isoler une zone de quelques secondes d'arc (une dizaine de kilometres sur la Lune) autour du reflecteur vise. Ensuite, on ne considere que les photons de la bonne couleur. Le laser etant stabilise en temperature, sa longueur d'onde est bien definie. Un filtre ayant une bande passante etroite ­ moins de 0,2 nm ­ permet de ne detecter que les photons qui ont la bonne longueur d'onde. Malgre ces precautions, on detecterait plus d'un million de photons par seconde si les conditions sont defavorables ! Il faut donc realiser un ultime filtrage, temporel celui- 3 105 110 115 120 125 La chasse aux photons 80 85 90 95 100 ci. Sachant quand l'impulsion laser a ete emise, le calculateur qui gere l'experience en temps reel estime le moment d'arrivee de l'echo grace a notre bonne connaissance du mouvement de la Lune. Et plutot que de regarder en permanence, le detecteur electronique (un photomultiplicateur ou une photodiode) ne va s'ouvrir qu'un peu avant le moment predit, pour se fermer un peu apres. Ce tres petit intervalle de detection, de l'ordre de cent milliardiemes de seconde, elimine la plus grande partie du bruit. Un traitement statistique des photons recus permettra enfin de valider la presence de l'echo. Il est impossible de savoir si le photon de retour que l'on detecte vient du debut ou de la fin de l'impulsion laser emise. C'est la l'incertitude fondamentale de la telemetrie laser quand on ne recoit en echo qu'au plus un photon par tir. Plus l'impulsion emise est courte, plus cette incertitude est faible, mais moins on emet de photons car il est difficile d'emettre beaucoup d'energie en un temps tres faible. La duree de l'impulsion correspond a une incertitude tir a tir d'une dizaine de centimetres sur la mesure de distance, incertitude ramenee a un ou deux centimetres en accumulant les echos sur une dizaine de minutes. Pour quelles applications ? Pour pouvoir calculer la duree du trajet separant le telescope du panneau de reflecteurs, il faut modeliser les differents mouvements du systeme Terre-Lune. Commencons par le reflecteur dont le deplacement le plus important est celui du au mouvement de la Lune autour de la Terre. La telemetrie laser-Lune a permis un bond de trois ordres de grandeur dans la precision de determination des parametres orbitaux de la Lune. Il en est de meme pour sa rotation, synchronisee avec sa revolution (c'est pour cela que la Lune nous montre toujours la meme face). En fait, la face visible de la Lune oscille autour d'une position moyenne a cause de l'influence du Soleil et de l'interaction entre la Terre et son satellite, qui ne sont ni spheriques, ni homogenes, ni rigides... La confrontation entre modeles et observations permet notamment d'etudier l'interieur de la Lune, car la rotation d'un corps sur lui-meme depend de sa structure interne (faites tourner un oeuf cru et un oeuf dur pour vous en convaincre !) et de sa repartition de 130 135 140 145 4 masse. L'etude de l'evolution passee ou future de l'orbite lunaire necessite aussi la telemetrie laser-Lune, seule methode capable de fournir une mesure de la deceleration seculaire de la Lune et un instantane precis des mouvements actuels. Passons maintenant au mouvement de la station. Elle se trouve sur la Terre qui tourne sur elle-meme en 23 heures et 56 minutes. Cette rotation n'est pas parfaitement reguliere car la direction de son axe et sa vitesse fluctuent. Il faut donc modeliser precisement cette rotation a laquelle les mesures sont tres sensibles. D'autres techniques contribuent a l'etude de la rotation de la Terre (interferometrie a grande base, telemetrie laser sur satellites...), mais le laser-Lune permet une prediction rapide, fondee sur des observations recentes de la rotation de la Terre. Terre et Lune etant en orbite autour du Soleil, la telemetrie laser-Lune contribue a l'elaboration des ephemerides du systeme solaire. Ainsi, elle permet de mesurer l'angle entre l'ecliptique (le plan contenant l'orbite moyenne de la Terre) et le plan equatorial de la Terre, element cle de la navi- 150 155 gation spatiale. Elle permet aussi de determiner le rapport des masses de la Terre et de la Lune. La telemetrie laser-Lune permet enfin de tester la theorie de la gravitation d'Einstein, la relativite generale. Terre et Lune ont des masses tres importantes et des vitesses que l'on ne peut negliger par rapport a la vitesse de la lumiere. 160 La precision relative des mesures de distance, quelques 10-11 , rend indispensable la prise en compte de la relativite et permet de tester la validite de ses principes. C'est ainsi que le principe d'equivalence1 se trouve verifie avec une tres bonne precision pour des corps comme la Terre et la Lune (voir l'appendice C). Appendices 165 170 175 180 185 190 A La duree du trajet aller-retour n'est pas immediatement convertible en distance car entre l'emission de l'impulsion par le telescope et son arrivee sur la Lune, cette derniere s'est deplacee et le reflecteur avec elle. Entraine par la rotation de la Terre, le telescope s'est aussi deplace entre le depart et le retour de l'impulsion. De plus, l'infime ralentissement de la lumiere dans l'atmosphere se traduit par un allongement de la duree du trajet. Equivalent a plusieurs metres sur la distance, cet ecart est d'autant plus grand que l'impulsion laser traverse une couche d'atmosphere plus epaisse, donc que la Lune est basse sur l'horizon. Il faut aussi modeliser l'atmosphere le long du trajet de la lumiere a partir des parametres meteorologiques mesures a la station. L'incertitude de cette correction est de quelques millimetres pour une hauteur de 40 au-dessus de l'horizon, mais peut atteindre deux centimetres si la Lune n'est qu'a 15 . Enfin, selon la relativite generale, la duree de propagation de la lumiere dans le potentiel gravitationnel d'un objet massif (pour nous, le Soleil essentiellement) est plus longue que celle en l'absence de cet objet. Dans le cas d'un trajet Terre-Lune, ce retard est equivalent a allonger leur distance de pres d'une dizaine de metres ! B 195 200 Vous avez dit distance ? 205 C 210 215 220 225 Quelques nombres Le telescope a un diametre de 1,5 metre et sa focale est de 30 metres. A la sortie du telescope, le faisceau a un angle d'ouverture de 1 seconde d'arc mais l'agitation de l'atmosphere augmente cette valeur qui devient de l'ordre de 5 secondes d'arc. Le laser utilise envoie des impulsions de 600 mJ a une longueur d'onde 1,06 µm ou de 300 mJ a 0,53 µm. La duree d'une impulsion est de 400 ps et la cadence de tir est de 10 Hz. Le reflecteur de la mission Apollo 15 est compose de 300 cataphotes ayant chacun une ouverture circulaire de 3,8 cm de diametre. 230 235 Laser-Lune et relativite En dehors de l'amelioration de notre connaissance des mouvements de la Lune offerte par les observations laser-Lune, la plus importante application en physique fondamentale a trait a la gravitation. Verifier que la constante de la gravitation G ne variait pas etait l'un des buts annonces. Une diminution de G au cours du temps se traduirait par une decroissance de la vitesse angulaire orbitale de la Lune, une deceleration seculaire donc. Or, les interactions de maree entre la Terre et la Lune sont responsables d'une deceleration seculaire de la Lune (le laser-Lune donne -24 secondes d'arc par siecle au carre) qui doit etre precisement modelisee pour isoler la contribution d'une eventuelle variation de G. La limite actuelle est |G/G| < 2 × 10-11 /an. Une autre application de type relativiste a ete suggeree par K. Nordtvedt en 1968 : si la Terre et la Lune ne repondaient pas de la meme facon au champ de gravitation du Soleil, violant ainsi le principe d'equivalence de la relativite generale, l'orbite de la Lune autour de la Terre se trouverait allongee le long de l'axe Terre-Soleil. En 1976, deux equipes americaines ont montre qu'aucun effet Nordtvedt n'etait mesurable, conduisant a une verification du principe d'equivalence a 10-12 pres. Le laser-Lune est a l'heure actuelle le meilleur test du principe d'equivalence pour des corps dont la cohesion est assuree par leur gravitation propre. 1 Le principe d'equivalence enonce l'egalite de la masse gravitationnelle et de la masse inertielle de tous les corps. Rappelons qu'on appelle masse inertielle d'un corps celle qui intervient dans la relation fondamentale de la dynamique, c'est-adire le rapport de proportionnalite entre les forces appliquees a ce corps et son acceleration. La masse gravitationnelle d'un corps est la masse qui intervient dans l'expression de la force de gravitation qu'il subit. 5 2.644 2.643 Durée d'aller-retour (s) 2.642 2.641 2.64 2.639 2.638 2.637 0 1 2 3 4 5 6 Heure de mesure Figure 2: Observations menees dans la nuit du 25 mars 2000, donnant la duree d'aller-retour de la lumiere entre l'observatoire et la Lune en fonction de l'heure. Sur l'axe des abscisses, le temps est compte en heures et l'origine correspond a minuit. 2.7 Durée d'aller-retour (s) 2.65 Observations mars-avril 2000 2.6 2.55 2.5 2.45 2.4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Numéro du jour d'observation (en jour) Figure 3: Observations menees aux mois de mars et d'avril 2000, donnant la duree d'aller-retour de la lumiere entre l'observatoire et la Lune en fonction du temps. L'axe des abscisses est gradue avec un pas de 1 jour a partir de la graduation 1 qui correspond au 1er mars 2000. 6 Analyse de l'article 1. Estimez la distance D separant la Terre de la Lune grace aux donnees du debut du texte. I - Traversee de l'atmosphere L'atmosphere terrestre est supposee en equilibre hydrostatique dans un champ de pesanteur uniforme. Elle est assimilee a un gaz parfait de masse molaire M , sans autre hypothese particuliere. Sa pression P , sa temperature T , sa masse volumique et son indice optique n varient avec l'altitude z. On suppose que n(z) - 1 est proportionnel a (z). 2. Pour un tir vertical, quelle correction D faut-il apporter a la mesure de la distance D a cause de l'atmosphere ? Vous l'exprimerez sous forme d'une integrale sur l'epaisseur de l'atmosphere. 3. Exprimez D en fonction de n0 , indice optique au sol (z = 0), et d'une longueur H fonction de la temperature au sol T0 . Quelle est l'interpretation physique de H ? 4. Sachant que n0 - 1 = 3 × 10-4 et que T0 = 290 K, calculez H et D. Comparez cette derniere valeur a celle indiquee dans le texte (ligne 176). 5. Comment l'expression de D obtenue a la question 3 est-elle modifiee pour un tir incline de l'angle h > 0 par rapport a l'horizontale ? II - Trajet Terre - Lune 6. D'apres le texte (lignes 186 ­ 192) la duree du trajet Terre-Lune est affectee par la presence du Soleil. On suppose que la variation relative de la duree de ce trajet est proportionnelle au potentiel gravitationnel du Soleil et fait aussi intervenir c, la vitesse de la lumiere dans le vide. Par un raisonnement dimensionnel, exprimez la correction a apporter a la distance Terre-Lune resultant de cet effet. Dans votre resultat final, faites apparaitre la vitesse de revolution v de la Terre autour du Soleil. 7. Estimez numeriquement la valeur de v . Calculez la correction de distance due a la presence du Soleil et comparez-la a ce qu'indique le texte (ligne 192). III - L'echo lumineux Le faisceau lumineux emis depuis la Terre est un cone dont l'angle d'ouverture est note . On note S la surface du miroir du telescope et S la surface du reflecteur place sur la Lune. On supposera que tous les miroirs sont parfaits. Le laser vert utilise a une longueur d'onde . 8. Calculez le nombre N de photons emis par une impulsion laser et verifiez que votre valeur est coherente avec celle indiquee dans le texte (ligne 52). 9. L'ouverture du faisceau a la sortie du telescope (ligne 196) est-elle due a la seule diffraction ? 10. En tenant compte de l'agitation atmospherique (ligne 198), quelle est la fraction d'energie lumineuse recue par le reflecteur lunaire a chaque impulsion laser ? 11. Expliquez pourquoi les cataphotes ont la propriete de renvoyer la lumiere dans la direction d'ou elle est arrivee (lignes 37 ­ 42). 12. Montrez que tous les rayons lumineux reflechis sur un meme cataphote parcourent exactement le meme chemin optique entre l'emission et la reception. 13. Estimez l'angle d'ouverture du faisceau reflechi par un cataphote du a la diffraction. 14. Estimez le rapport entre l'energie recue par le telescope et celle reflechie par les cataphotes. 15. En deduire la valeur du rapport entre l'energie recue par le telescope et celle qu'il a emise. 7 16. Combien de photons recupere-t-on apres chaque tir ? Quelles raisons peut-on invoquer pour rendre compte de l'ecart entre cette valeur et celle du texte (lignes 54 ­ 55) ? 17. Expliquez pourquoi l'incertitude de mesure est liee a la duree de l'impulsion. En quoi l'accumulation de tirs permet-elle de reduire cette incertitude (lignes 90 ­ 102) ? IV - Analyse de la figure 2 Pour simplifier l'analyse, on suppose que l'orbite de la Lune est contenue dans le plan de l'equateur terrestre et que le reflecteur est au centre de la face visible de la Lune. On suppose aussi que la Lune tourne autour de la Terre dans le meme sens que la Terre autour d'elle-meme. On note la latitude de l'observatoire ou se trouve le telescope. 18. Les observations du 25 mars 2000 ont-elles ete menees autour du premier quartier lunaire, de la pleine Lune ou du dernier quartier lunaire ? 19. Quelle est la principale cause de la variation de la duree aller-retour t representee sur la figure 2 ? A quel instant t0 la Lune est-elle au plus haut dans le ciel de l'observatoire ? 20. Modelisez la variation temporelle de t autour de t0 . Dans un cadre que vous detaillerez, montrez que t s'ecrit comme un polynome du second degre en (t - t0 ). 21. Estimez la latitude de l'observatoire grace a la figure 2 et a la table 1. Commentez. V - Analyse de la figure 3 Dans cette analyse, on considere que l'orbite de la Lune est une ellipse d'equation polaire r = p/(1 + e cos ), ou r est la distance Terre-Lune et l'angle reperant la direction de la Lune dans le plan de son orbite. Le parametre p et l'excentricite e sont des constantes. 22. Quel est le cadre d'hypotheses qui permet d'obtenir cette orbite ? 23. Quelle est la cause principale des variations de la duree d'aller-retour representee figure 3 ? 24. Grace a la figure 3, estimez la periode de revolution T de la Lune ainsi que le demi-grand axe a et l'excentricite e de son orbite. 25. Quelles explications peut-on donner a l'absence d'observations entre les jours 27 et 43 ? VI - Tests de physique 26. On suppose que la constante de gravitation G varie lentement au cours du temps (lignes 211 ­ 216) et on en etudie les consequences sur l'orbite de la Lune. Quelle quantite reste conservee ? 27. On suppose que l'orbite de la Lune est approximativement circulaire. Expliquez pourquoi une diminution de G se traduit par un ralentissement de la vitesse angulaire de la Lune. Quelle est la variation relative de la vitesse angulaire si celle de G est de 1 % ? 28. G est maintenant supposee constante. Montrez qu'a la deceleration seculaire (diminution de la vitesse angulaire) de -24 secondes d'arc par siecle au carre (ligne 219) est associe un eloignement de la Lune au rythme de quelques centimetres par an. 29. On s'interesse maintenant a l'influence de la deceleration seculaire de la Lune sur la rotation propre de la Terre. Expliquez pourquoi le moment cinetique total du couple Terre-Lune est conserve. Montrez que l'on peut negliger la contribution due a la rotation de la Lune sur elle-meme. 30. Montrez que la deceleration seculaire de la Lune modifie la periode de rotation de la Terre sur elle-meme. S'agit-il d'une augmentation ou d'une diminution ? 8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique A PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Rémi Lehe (ENS Ulm) et par Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Ce problème porte sur la mesure des variations de la distance Terre-Lune par télémétrie laser et sur la physique de ces variations. Il s'appuie sur la lecture d'un article consacré à ces questions, à laquelle le candidat était prié de consacrer une petite demie-heure. · Les trois premières parties sont consacrées à la technique de mesure de la distance Terre-Lune, qui est basée sur la mesure du temps d'aller et retour d'une impulsion laser émise depuis la Terre et réfléchie sur la Lune. Ce temps est influencé par l'indice de l'atmosphère terrestre (Partie I) et par des effets gravitationnels dus à la présence du Soleil (Partie II). Du fait de différents facteurs le faisceau émis depuis la Terre est très fortement atténué à son retour, ce qui rend l'utilisation d'un laser obligatoire (Partie III). · La Partie IV traite des variations de la distance Terre-Lune à l'échelle d'une journée et de la possibilité de déduire la latitude de l'observatoire terrestre de ces variations. · La partie V aborde les variations de la distance à l'échelle du mois. C'est l'occasion d'analyser l'orbite de la Lune autour de la Terre. · La dernière partie s'intéresse à des tests rendus possibles par la grande précision de l'expérience étudiée. Certaines parties ne sont pas aussi simples que leur énoncé pourrait le laisser supposer. La partie I nécessite par exemple que l'on complète les informations données par l'énoncé pour parvenir à poser un modèle convaincant. Les parties IV et V, basées sur l'analyse d'un document, demandent de la rigueur sur la portée de l'interprétation des résultats qui sont proposés. Elles contiennent en outre quelques calculs numériques un peu fastidieux (les calculettes étaient interdites). Ce problème est très intéressant et bien construit. Il est bien dans l'optique des nouveaux programmes, ce dont témoignent deux facteurs : il repose sur l'étude d'un article, dont les figures font l'objet d'une analyse approfondie, et il comporte des questions relativement ouvertes. Ceci peut être déstabilisant, il faut donc s'y entraîner. Ainsi, et bien que cela ne soit pas demandé dans l'énoncé, il est vivement conseillé de commencer la réponse à une question en posant le cadre dans lequel on choisit de travailler. De même, il faut s'appuyer sur des schémas pour faire apparaître toutes les grandeurs nécessaires à la résolution. Indications Partie I 2 Calculer (z) pour une atmosphère isotherme et en déduire les variations de l'indice en fonction de l'altitude. 5 Dans l'atmosphère « modèle » d'indice constant n0 et d'épaisseur H, considérer que le rayon incliné parcourt une plus grande distance que le rayon vertical. Partie II 6 Exprimer les dimensions de l'énergie en s'inspirant de l'expression d'une énergie cinétique de translation. Partie III 11 Que devient un rayon porté par - u lorsqu'il est réfléchi sur un miroir dont la - normale est ex ? Comment peut-on disposer les deux autres miroirs du cataphote ? 16 Relire les lignes 59 à 89 pour avoir une idée de ce que sont devenus les photons manquants. L'absorption de l'atmosphère et le rendement des détecteurs peuvent aussi être pris en compte. Partie IV 18 À quelle heure le soleil atteint-il son zénith ? Ceci permet-il de placer la Lune par rapport au Soleil et à la Terre ? 19 Doit-on vraiment prendre en compte le mouvement de la Lune durant l'intervalle de temps de la mesure ? Quel phénomène a un temps d'évolution proche de la durée de la mesure ? 20 L'énoncé précise que l'on peut considérer que les réflecteurs sont placés au centre de la face visible de la Lune. Partie V 22 Les lignes 117 à 121 sont assez utiles pour voir qu'il n'est pas évident que la Terre et la Lune se comportent comme des masses ponctuelles. Partie VI 26 Même si G varie, la force d'attraction gravitationnelle reste une force centrale. Objectif Lune 1 Les lignes 5 à 7 de l'article donnent l'ordre de grandeur de la durée t que met la lumière, dont la vitesse est c, pour parcourir l'espace séparant la surface de la Terre de la surface de la Lune dans les deux sens (t = 2,5 ms). On en déduit que la distance D entre le télescope émetteur et les cataphotes est de l'ordre de ct = 3,7.108 m D= 2 R R /4 T L D DTL Ajoutons les rayons de la Terre et de la Lune à D pour obtenir la distance DTL entre les centres des deux astres considérés comme sphériques : DTL = D + R + RL = 3,8.105 km Le texte ne donnait pas la valeur de la vitesse de la lumière c, qui fait donc partie des grandeurs à connaître. I. Traversée de l'atmosphère 2 La mesure de la distance Terre-Lune est ici basée sur une mesure de temps de parcours de la lumière. Par conséquent, ce que l'on mesure par cette méthode est, à proprement parler, la longueur du chemin optique L, et non la distance réelle D. Pour un tir vertical, le chemin optique entre la Terre et la Lune s'écrit : Z D L= n(z)dz 0 La différence D entre ce chemin optique et la distance réelle D s'écrit donc : Z D D = L - D = (n(z) - 1)dz 0 3 Comme n(z) - 1 est proportionnel à (z), calculons l'évolution de la densité volumique de l'air dans le champ de pesanteur terrestre. La température T varie typiquement de quelques dizaines de kelvins sur l'épaisseur de l'atmosphère, ce qui est relativement faible par rapport à sa valeur absolue au sol T0 de l'ordre de 300 K. Dès lors, faisons l'hypothèse que la température T est une constante T0 sur toute l'épaisseur de l'atmosphère (modèle dit de l'atmosphère isotherme), que l'on considère comme un gaz parfait. Puisque l'air est considéré comme un gaz parfait à la température constante T0 , on a RT0 P(z) = (z) M D'autre part, la loi de l'hydrostatique s'écrit dP = -(z) g dz - (avec g = -g - ez ) Remplaçons P(z) dans cette expression par celle qui est issue de la loi des gaz parfaits pour obtenir l'équation différentielle vérifiée par (z) d(z) Mg + (z) =0 dz RT0 après factorisation par RT/M. Résolvons cette équation du premier ordre à coefficients constants. Il vient z (z) = (0) exp - H avec H= RT0 Mg On interprète ici H comme étant l'épaisseur caractéristique sur laquelle varie notablement, que l'on identifie à la longueur caractéristique demandée par l'énoncé. Par hypothèse, n(z) - 1 est proportionnel à (z), si bien que l'on obtient : z n(z) - 1 = (n0 - 1) exp - H Injectons ce résultat dans l'expression de D pour obtenir : Z D z D = (n0 - 1) exp - dz H 0 Puisque H représente maintenant l'épaisseur sur laquelle l'indice de l'atmosphère est distinct de celui du vide, il est raisonnable de poser que H D. On peut donc changer la borne supérieure de l'intégrale en +. Dès lors, on obtient D = H (n0 - 1) Tout se passe comme si l'atmosphère avait un indice optique uniforme n0 et une épaisseur H. Il était ici indispensable de faire une hypothèse sur l'évolution de T, car l'évolution de (z) dépend clairement de celle de T(z), et l'énoncé ne donne pas d'information sur celle-ci. De plus, le fait de proposer une hypothèse de manière spontanée est ici conforme à l'esprit de ce type d'épreuve. En effet, l'énoncé précise dans son préambule que « Les hypothèses des modélisations doivent être clairement précisées et toutes les approximations doivent être explicitées et justifiées. » 4 Utilisons les valeurs numériques données pour trouver H= RT0 = 8,5 km Mg Ce résultat confirme que l'hypothèse H D était justifiée. On en déduit que D = H(n0 - 1) = 2,5 m en accord avec le texte (ligne 176), qui mentionne un écart de « plusieurs mètres ».