X Physique 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Pièges optiques
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, ondes électromagnétiques, mécanique des fluides, électrostatique
Mots clefs piège optique, ADN

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                       

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
                    

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2014 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE -- A -- (XE) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif. *** Pièges optiques Un faisceau laser fortement focalisé est capable de piéger un objet diélectrique de taille micronique ou inférieure. Dans ce problème, on étudie ce dispositif appelé piège ou pince optique, on détermine l'ordre de grandeur des forces que l'on peut exercer et on considère l'application des pièges optiques a un probléme de biophysique : l'élasticité d'une molécule d'ADN. Données : viscosité dynamique de l'eau : 77 : 1 mPa.s masse volumique de l'eau : pe : 103 kg.m_3 masse volumique du polystyrène : pp : 1,1 >< 103 kg.m_3 1 Force exercée par le champ électromagnétique sur une particule diélectrique 1.1 Force de piégeage Lorsque la particule diélectrique est de taille assez petite par rapport a la longueur d'onde de la lumière, on peut estimer la force de piégeage exercée par le faisceau lumineux en assimilant simplement la particule a un dipôle électrique. Nous commençons donc par calculer la force exercée par un champ électrique Ê sur un dipôle. Le dipôle est constitué de deux charges +q et --q placées respectivement aux points A et B7 repérés par les vecteurs %ä' et --%ä' distants de a. On note E(:Ë) le champ électrique en a? ; on suppose qu'il varie peu sur la distance a. 1. Exprimer le moment dipolaire électrique }5'. 2. Exprimer la force totale ainsi que le moment (par rapport au point médian O du dipôle ) exercés sur le dipôle par le champ. 3. Décrire qualitativement l'effet du moment sur le dipôle. On suppose maintenant que le dipôle et le champ sont colinéaires, par exemple tous deux orientés suivant l'axe a: : }? : pu} et E : Eu}. 4. Quelle est l'expression de la force dans ce cas ? 5. Décrire son effet qualitativement sur le dipôle. On considère une particule diélectrique de rayon & placée dans un champ électrique Ê. Elle acquiert un moment dipolaire }? : 60a3dE où 60 est la permittivité diélectrique du vide, et où la polarisabilité oz dépend du contraste de constante diélectrique entre la particule et le milieu environnant. Dans la suite du problème, on considérera que le moment dipolaire de la particule et le champ électrique sont toujours colinéaires. 6. Quelle est la dimension de oz ? 7. Montrer que la force exercée sur la particule s'exprime alors comme : 13 V(E2). (1) On utilisera la relation V(Ê.Ê) : 2Ê.V(Ê) + 2Ê /\ (V /\ Ê) et on supposera que le champ électromagnétique est indépendant du temps. On admettra que) pour une onde électromagnétique oscillant dans le temps a la pulsation w : E : EO cos(wt), où EO dépend des coordonnées d'espace, l'expression de la force est : 6061304 --» 2 F: 4 V(EO ). (2) 1.2 Stabilité du piège et force de diffusion La particule est placée dans un faisceau lumineux focalisé par une lentille. On étudie dans cette partie l'équilibre du piège optique dans la direction de propagation ?: du faisceau lumineux. On suppose que EO a un unique maximum en z = z.... 8. On suppose dans un premier temps que la seule force exercée sur la particule est la force de piégeage F. Montrer que la position ?: = z... est une position d'équilibre. Discuter sa stabilité. La particule, assimilée a un dipôle oscillant, rayonne de l'énergie sous forme d'onde électro-- magnétique. Il en résulte une force supplémentaire F D exercée sur la particule, dite de diffusion, qui est dirigée dans le sens de propagation de l'onde incidente et qui s'exprime comme : eod2a6w4 2 F = D 127rc4 ° (3) où c est la vitesse de la lumière. 9. Vérifier simplement l'homogénéité de l'expression de F D. On pourra utiliser l'expression de la densité volumique d'énergie électromagnétique. 10. Quelle est maintenant la condition définissant la position d'équilibre du piège zeq ? 11. Dans quel sens la force de diffusion déplace--t--elle l'équilibre ? 12. Montrer que la condition de stabilité du piège s'écrit : 32lnE (32,0) _ < 0. (4) 2 Faisceau laser focalisé par un objectif de microscope Pour constituer le piège, on utilise un faisceau laser élargi, réfléchi par un miroir, puis focalisé par un objectif de microscope (figure 1). Au foyer de l'objectif, l'intensité du champ électroma-- gnétique est maximale. Dans cette partie on s'intéresse a la force de rappel du piège optique dans la direction a: perpendiculaire a la direction de propagation du faisceau. On cherche a es-- timer l'étendue latérale U) du faisceau dans le plan focal de l'objectif et le gradient de champ électromagnétique associé. On considère que l'intensité du champ électromagnétique est uniforme a l'entrée de l'objectif de microscope. La longueur d'onde du laser est À : 1, 06 ,am. L'objectif de microscope a un diamètre d'entrée D = 3, 8 mm et un nombre d'ouverture NO : O, 4. Le nombre d'ouverture est le rapport entre la distance focale de l'objectif f et le diamètre de sa pupille d'entrée D. Pour estimer la répartition d'intensité dans le plan focal, on assimile l'objectif a un dia-- phragme de diamètre D et a une lentille mince convergente de distance focale f telle que D = f /NO. Dans la mesure où nous nous intéressons uniquement a l'ordre de grandeur de w, nous remplaçons le diaphragme circulaire de diamètre D par une pupille fente de largeur D. 13. La lentille ayant été enlevée, montrer que l'amplitude du champ électromagnétique dif-- fractée a l'infini par la pupille, dans une direction faisant un angle 9 avec le faisceau incident, est proportionnelle a : sin[ch sin(9)/2] 5) ch sin(9) / 2 ° ( objectif () A | laser |: / > X V / FIGURE 1 -- À gauche : schéma général du dispositif de piège optique. À droite, particule sphérique dans le faisceau focalisé. 14. Déterminer la répartition d'intensité lumineuse après la traversée du diaphragme en fonc-- tion de EUR. 15. La lentille ayant été replacée, quelle est la position dans le plan focal du point où converge un faisceau parallèle (appartenant au plan y = O) faisant un angle 9 avec l'axe optique ? 16. Donner un ordre de grandeur littéral puis numérique du diamètre U) du premier lobe de diffraction dans le plan focal. 17. Donner un ordre de grandeur littéral du flux d'énergie électromagnétique, a l'intérieur du premier lobe du diffraction, dans le plan focal de l'objectif de microscope, en fonction de la puissance du laser P. On supposera que toute la puissance du laser est transmise a travers l'objectif. 18. Lorsque la particule s'écarte de sa position d'équilibre d'une distance 556, elle est soumise a une force de rappel F,, : --kpôaî où kp est la constante élastique du piège optique. Déterminer un ordre de grandeur, littéral puis numérique, de kp pour une bille de polystyrène de 400 nm de diamètre. On fera l'hypothèse que le diamètre de la bille est nettement plus petit que la longueur d'onde de la lumière. La polarisabilité or du polystyrène est de l'ordre de l'unité. 3 Calibration du piège par les fluctuations thermiques Afin de calibrer le piège optique, on observe les fluctuations de position latérale de la bille. Ces fluctuations sont une manifestation du mouvement aléatoire {mouvement Brownien) de la bille dû aux collisions avec les molécules du fluide environnant. Dans la présente expérience, les excursions latérales de la bille sont de l'ordre de 10 nm sur un temps qui est typiquement de l'ordre du centième de seconde. La caractérisation du mouvement est faite de la manière suivante : on enregistre le mouvement de la bille en fonction du temps et on en fait ensuite une décomposition fréquentielle de ce signal temporel (analyse de Fourier). On porte l'amplitude des différents modes de Fourier en fonction de leur fréquence (figure 2). 10'2 -_*' 10'3 .- 104-r Amplitude relative (unités arbitraires) 10-6 . 11ll-l'l1 ..I.....l2 . 41h...| 4 | 100 10 10 103 10 105 Fréquence (Hz) FIGURE 2 -- Distribution en fréquence temporelle de l'amplitude des fluctuations latérales d'une bille de polystyrène de diamètre 20. : 2 nm confinée dans un piège optique. Pour interpréter ce résultat expérimental, on cherche la réponse de la bille a une force exté-- rieure périodique en temps qu'on écrit sous la forme complexe fe(t) : fo exp(iwt). La bille étant placée dans un liquide) on cherche l'expression de la force de trainée exercée par le liquide sur la bille. 19. Rappeler l'expression du nombre de Reynolds et sa signification physique. Calculer l'ordre de grandeur du nombre de Reynolds associé au mouvement de la bille dans l'eau. 20. Justifier le fait que la force de traînée s'exprime sous la forme : FT : --C77cw où 77 est la viscosité dynamique du liquide et U la vitesse de déplacement de la bille par rapport au liquide et C une constante numérique. 21. J ustifier le fait que l'inertie propre de la bille est négligeable et montrer que le mouvement de la bille est décrit par l'équation : fe(t) : 1937 + '7Î (6) où a: est l'écart latéral de la bille par rapport a sa position d'équilibre et lcp est la constante de raideur du piège optique. On donnera l'expression de y. 22. Montrer que l'amplitude de mouvement A de la bille soumise a la force oscillante fe(t) est donnée par : A0 W (" où on précisera l'expression de la pulsation caractéristique wc. A: 23. Quel est le comportement asymptotique de A dans les limites au --> 0 et au --> oo? Représenter ces comportements dans un diagramme log A--log w et comparer au spectre représenté sur la figure 2. 24. Déterminer graphiquement la fréquence wc sur la figure 2 et en déduire un ordre de grandeur de la constante de raideur lcp du piège optique (C = 67r). On notera qu'il s'agit d'un piège différent de celui décrit dans la partie 2. 25. Citer un autre système physique qui présente une réponse en fréquence similaire. 4 Application en biophysique Les pièges optiques sont utilisées pour mesurer les caractéristiques mécaniques de microsys-- tèmes biologiques. On a en particulier mesuré l'élasticité de molécules d'ADN en attachant une extrémité de la molécule a un point fixe et l'autre extrémité a une petite bille qui est maintenue dans un piège optique. On assimile ici les molécules d'ADN de longueur totale L % 30,um a une succession de N segments rigides et inextensibles de longueur EUR. 4.1 Modèle de chaîne idéale Dans le modèle dit de chaîne idéale7 il n'y a pas d'interaction entre les segments qui sont libres de pivoter les uns par rapport aux autres. On peut alors assimiler la chaîne a une marche aléatoire de N pas de longueur EUR. Dans ce modèle l'orientation de deux segments successifs est complétement décorrelé ce qui se traduit par : <ñ.nîfl : 0 où ñ- est le vecteur représentant le segment n° 75 de la chaîne et () désigne la valeur moyenne sur tous les couples de segments (figure 3). 26. Dans cette hypothèse, quelle est la distance quadratique moyenne  où kB est la constante de Boltzmann et T la température absolue. U(æ) = U0 + (8) ri ri+1 rN FIGURE 3 -- Schéma de chaîne idéale composée de N pas de longueur égale non corrélés les uns aux autres en orientation. 27. Montrer que la force f nécessaire pour maintenir les deux extrémités de la chaîne a une distance a: s'écrit : _ 3k3TÇC ÆL (9) f (a?) 4.2 Elasticité d'une molécule d'ADN La figure 4 montre les résultats de mesure sur l'extension d'une molécule d'ADN par un piège optique. Le modèle de chaîne idéale décrit ci--dessus ne s'applique qu'à. la première partie de la courbe force/ extension dans le domaine où la force est inférieure a 0,1 pN. On prendra k3T = 4 >< 10--21 J. 28. A partir de ces résultats expérimentaux, déterminer la longueur EUR des segments que l'on peut considérer comme rigides. 29. En utilisant les pièges optiques décrits dans les parties 1 a 3, quel serait le déplacement de la bille piégée en appliquant une force de 0,1 pN ? 30. Pensez--vous que les pièges décrits précédemment sont bien adaptés aux expériences d'éti-- rement de l'ADN ? 101 . î & 100 \ cu" 0 L 0 U- 10": 10-2: Extension Relative x/L FIGURE 4 -- Relation entre la force et l'extension relative au / L pour une molécule d'ADN. Figure tirée de G. Bao7 "Mechanics of loiomolecules"7 Journal of the Mechanics and Physics of Soliols7 207 2237 (2002).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Physique A PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Rémy Hervé (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur la caractérisation des pièges optiques et leur utilisation en tant que pinces optiques moléculaires par une approche mêlant électromagnétisme et optique. · La première partie commence par quelques questions de cours sur les dipôles électriques puis étudie la stabilité longitudinale d'une particule polaire dans un piège électromagnétique. · Dans la deuxième, on dimensionne un tel piège à l'aide d'un faisceau laser diffracté puis focalisé par une lentille. Le calcul de la figure de diffraction permet d'évaluer un ordre de grandeur théorique de la constante de rappel transversal du piège. · La troisième partie s'intéresse à l'amplitude du mouvement aléatoire dû à l'agitation thermique au sein du piège. Son étude fréquentielle montre que la constante de rappel transversal du piège est accessible par l'expérience. · Enfin, dans la quatrième partie, le piège optique sert à maintenir une petite bille fixée à l'extrémité d'une molécule d'ADN. Le déplacement du laser permet d'exercer une traction sur la bille piégée dans le faisceau et donc d'étirer la molécule. On parle de pince optique. Des résultats expérimentaux viennent valider cette utilisation. L'épreuve fait appel à l'électrostatique, aux ondes électromagnétiques, à l'optique ondulatoire et à la mécanique des fluides. Réussir une telle épreuve demande une triple compétence : une connaissance sans faille de ces nombreux aspects du cours, le recul nécessaire à leur utilisation dans une situation originale, et enfin une autonomie certaine, puisque l'énoncé comporte quelques questions difficiles, peu directives, et offre peu de schémas. Enfin, comme les années précédentes, la calculatrice n'était pas autorisée pour cette épreuve. Les applications numériques sont dans ce cas bien valorisées dans les barèmes. Ce sujet est conforme aux programmes en vigueur depuis la rentrée scolaire 2014. Indications - 2 Supposer E uniforme à l'ordre 0 sur l'étendue du dipôle et bien distinguer le point d'application des forces exercées en A et B. a 4 Écrire E + - , 0, 0 avec un développement de Taylor en x = 0 à l'ordre 1. 2 6 L'expression du champ électrique créé par une charge ponctuelle fournit une relation entre les dimensions des paramètres intervenant dans la définition de . - 7 Utiliser la définition de et reformuler l'expression de F pour qu'elle corresponde à l'un des termes de la relation donnée par l'énoncé. - et considérer le signe de F de part et d'autre de z = z . 8 Projeter F selon - u z z m 11 Quel est le signe de la dérivée de E0 en z = z eq ? 12 Quel doit être le signe de Fz + FD z en z = z eq pour qu'il s'agisse d'une position d'équilibre stable ? Vérifier que cette condition équivaut à la relation (4) modifiée avec 1 ln E0 = ln E0 2 2 13 Dans le cadre des nouveaux programmes, il faut admettre que l'amplitude diffractée dans la direction vers un point M à l'infini est la résultante des amplitudes élémentaires diffractées par chacun des points P d'abscisse X de la fente proportionnellement à la largeur élémentaire dX : Z s() = K sO exp - i (P) dX P 16 17 18 20 21 23 26 avec K, constante de proportionnalité, sO , amplitude du rayon de référence diffracté dans la direction au centre O de la pupille et (P), déphasage du rayon diffracté en P par rapport à ce rayon de référence. Exprimer (P) en fonction de k, X et . L'ouverture angulaire du faisceau diffracté par une pupille de largeur D vérifie sin D Par « flux d'énergie électromagnétique », comprendre flux surfacique de puissance électromagnétique. Sur quelle surface la majeure partie de la puissance P se trouve-t-elle concentrée ? L'intensité lumineuse I correspond à l'amplitude du vecteur de Poynting moyen. En considérant une onde plane, relier l'amplitude du champ électrique E0 à l'intensité I. Quel est l'ordre de grandeur de la puissance P d'un laser usuel ? Quelle traînée correspond au nombre de Reynolds évalué à la question 19 ? Utiliser les ordres de grandeur du déplacement et du temps caractéristiques de la bille pour obtenir une estimation de sa vitesse et de son accélération. Comment se place la pulsation c par rapport aux asymptotes dans un diagramme logarithmique ? N P - Écrire - r = ri . i=1 30 Comparer le déplacement de la bille piégée calculé à la question 29 au diamètre w du piège évalué à la question 16. Pièges optiques 1. Force exercée par le champ électromagnétique sur une particule diélectrique 1 Les charges opposées A(q) et B(-q) forment un dipôle électrique de moment dipolaire - - p = q BA orienté de la charge négative vers la charge positive. Il vient - B(-q) p A(q) - a 2 O a 2 x - p = q- a - 2 Le champ E varie peu sur la distance a. Travaillons à l'ordre 0 en le supposant - - uniforme sur l'étendue du dipôle. Il s'exerce des forces opposées q E et -q E aux points A et B. La résultante des forces exercées sur le dipôle est donc nulle : - - F = 0 et le moment en O associé s'écrit - - - - - MO = OA q E + OB -q E - - - - a a qE - -q E 2 2 - = q- a E = - - - MO = p E - - La résultante des forces F n'est nulle que si E est supposé uniforme à l'ordre 0. Si l'on prend en compte les faibles variations à l'ordre 1 du champ sur l'étendue du dipôle, il est possible d'obtenir une expression plus précise dont le calcul sera demandé à la question 4. - - 3 Notons l'angle orienté entre E et p autour . Il vient du vecteur normal - u z - MO = -pE sin - u z - p MO < 0 >0 - E z Supposons > 0, le moment est négatif et tend à diminuer . Supposons < 0, le moment est positif et tend à augmenter . Dans les deux cas, on se dirige vers la valeur à l'équilibre = 0 où le moment est nul. Le moment aligne le dipôle sur le champ électrique. - 4 Une fois - p et E alignés, le moment est rigoureusement nul mais la force évaluée à la question 2 ne l'est qu'approximativement. Reprenons le calcul en travaillant à l'ordre 1 et en supposant les vecteurs colinéaires et portés par - ux : h- - i - F = q E (A) - E (B) a a = q E , 0, 0 - E - , 0, 0 - ux 2 2 Un développement de Taylor à l'ordre 1 donne a E a × (0, 0, 0) E + - - , 0, 0 = E 0, 0, 0 + 2 2 x d'où - E - F = qa ux x soit - E - F =p ux x 5 Supposons E fonction croissante de x, la force est selon - u x et tend à déplacer le dipôle vers les x croissants. Supposons E fonction décroissante de x, la force est selon -- ux et le déplacement se fait selon les x décroissants. Dans les deux cas, le dipôle se dirige dans le sens d'une augmentation de E(x). La force amène le dipôle là où le champ électrique est le plus fort. 6 D'après la question 1, donc p = q a p q = 3 = 2 0 a E 0 a E L'expression du champ électrique créé par une charge ponctuelle - q - E = u r 4 0 r2 q justifie E = 2 0 a d'où = 1 et est sans dimension. - - 7 Retravaillons l'expression établie à la question 4 sachant que p et E sont colinéaires et portés par - ux : - E - F =p ux x - =p E x - - =- p · E - - - - F = 0 a3 E · E