X Physique 1 PC 2013

Thème de l'épreuve Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale
Principaux outils utilisés électromagnétisme des milieux conducteurs, ondes électromagnétiques dans le vide, mécanique céleste
Mots clefs voile solaire, pression de rayonnement, satellite

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2013 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE -- A -- (XE) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif. *** Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale La lumière exerce une pression sur les surfaces qu'elle éclaire. La partie I traite en détail du phénomène. En adjoignant une vaste voile réfléchissante a un satellite, ce mécanisme permet d'utiliser la pression exercée par la lumière du Soleil pour la navigation spatiale. La partie II étudie l'effet de la pression de rayonnement sur un satellite en orbite autour du Soleil. La partie III traite d'un mouvement particulier d'un vaisseau spatial qui accompagne la Terre autour du Soleil, rendu possible par l'usage d'une voile. Données numériques 3>< 108m-s_1 1,5>< 108 km Vitesse de la lumière dans le vide : c Distance Terre--Soleil : D I. Pression de rayonnement Une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique se propage dans le vide puis se réfléchit sur un conducteur ohmique immobile, de surface plane, sous incidence normale. I.1 Rappeler dans le cas général les formes locales de l'équation de conservation de la charge électrique et de la loi d'Ohm. En déduire que la densité de charge électrique décroît au cours du temps en tout point a l'intérieur d'un conducteur ohmique, avec un temps caractéristique dont on donnera l'expression. I.2 Ecrire les équations de Maxwell dans le conducteur, en supposant la densité de charge nulle. I.3 Décrire qualitativement le phénomène de la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur, en détaillant les mécanismes physiques mis en jeu. 1.4 Rappeler le critère de validité du modèle limite du conducteur parfait, et caractériser le phénomène de réflexion dans cette limite. 1.5 Quel terme des équations de Maxwell est négligeable dans le modèle limite du conducteur parfait ? On se placera dorénavant dans ce cadre. 1.6 Rappeler l'expression de la force volumique de Laplace en un point du conducteur. On exprimera le résultat en fonction du champ B et de ses dérivées. 1.7 On nomme pression de rayonnement, ou pression de radiation, la pression exercée par la force de Laplace sur le conducteur. Montrer qu'elle vaut 1 --* 2 P = --, HBH #0 où Ë est le champ magnétique a la surface du conducteur. 1.8 À l'extérieur du conducteur, l'onde électromagnétique est la superposition d'une onde in-- cidente et d'une onde réfléchie. Quelle est la relation entre le champ magnétique total B a la surface du conducteur et le champ magnétique B,- de l'onde incidente au même point ? 1.9 Établir la relation entre la pression de rayonnement et la densité d'énergie u de l'onde incidente. 1.10 Établir la relation entre la pression de rayonnement et le module du vecteur de Poynting de l'onde incidente. 1.11 Application numérique : le flux d'énergie reçu du Soleil sous incidence normale au niveau de l'orbite de la Terre, ou constante solaire, vaut <1>0 : 1350 W-m_2. Exprimer la pression de rayonnement PO correspondante en fonction de <1>0, et calculer sa valeur. Commenter l'ordre de grandeur obtenu. 1.12 Comment la pression de rayonnement varie--t--elle avec la distance au Soleil ? 1.13 On se propose maintenant de retrouver le résultat de la question 1.9 par une approche microscopique. On admet les résultats suivants : une onde électromagnétique plane, progressive et harmonique dans le vide peut aussi être décrite par des corpuscules appelés photons, qui se déplacent a la vitesse de la lumière c dans le sens de propagation de l'onde. La réflexion de l'onde sur le conducteur s'interprëte alors comme le rebond des photons sur la surface du conducteur. La quantité de mouvement d'un photon est 71%, où % est le vecteur d'onde et h une constante universelle. L'énergie d'un photon est ñw, où ca est la pulsation de l'onde. On note n la densité de photons par unité de volume dans l'onde incidente, supposée uniforme. Rappeler la relation entre au et @. En utilisant la définition cinétique de la pression, retrouver le résultat de la question 1.9. 1.14 On a supposé jusqu'à présent que la réflexion se faisait sous incidence normale. En utilisant la méthode de la question 1.13, établir la relation entre la pression et la densité d'énergie pour un angle d'incidence oz quelconque. 1.15 Analyse de données : le vaisseau spatial IKAROS est un prototype de voile solaire fabriqué par l'agence spatiale japonaise (JAXA), qui a été lancé le 20 mai 2010 pour vérifier les perfor-- mances d'une propulsion basée sur une voile solaire. La force totale exercée par les photons sur la voile, d'une superficie de 173 m2 et d'une épaisseur de 7, 5 am, a été mesurée à 1,12 >< 10_3 N. La force exercée sur la sonde spatiale, d'une masse totale de 315 kg, a permis d'augmenter la vitesse d'une dizaine de mètres par seconde au bout d'un mois (source : Wikipedia). Montrer que ces résultats expérimentaux sont compatibles entre eux d'une part, et avec les résultats théoriques obtenus plus haut, d'autre part. II. Satellite en orbite héliocentrique II.1 Soit un satellite en orbite circulaire autour du Soleil, à une distance 7" de celui--ci. Exprimer sa vitesse en fonction de r, de la masse du Soleil M@ et de la constante gravitationnelle G. Dans la suite de cette partie, on étudie l'effet de la pression de rayonnement sur un satellite de masse m possédant une voile solaire de surface S , éclairée tout d'abord sous incidence normale. On supposera que les résultats de la partie I restent valables si la voile est en mouvement. II.2 On note D la distance Terre--Soleil et P0 la pression de rayonnement au niveau de l'orbite de la Terre, déterminée à la question 1.11. Exprimer la force exercée sur cette voile par la pression de rayonnement en fonction de S , Pg, D et 7". 11.3 Déterminer pour quelle valeur oc de la masse surfacique o = m / S l'attraction solaire com-- pense exactement la pression de rayonnement sous incidence normale. Exprimer oc en fonction de P0, D et de la vitesse @@ de la Terre autour du Soleil. II.4 Application numérique : on donne @@ = 30 km/ s. Calculer numériquement oc. Pour quelle épaisseur d'une voile faite dans un matériau ordinaire cette valeur est--elle atteinte ? II.5 Montrer que la résultante de la force gravitationnelle et de la force de rayonnement dérive d'une énergie potentielle dont on donnera l'expression en fonction de G, m, M@, o, Je et 7". Quelles sont les trajectoires possibles dans les cas 0 > ac, 0 = Je et 0 < oc ? 11.6 Le satellite est initialement sous l'effet de l'attraction gravitationnelle seule et en orbite circulaire de rayon 7" autour du Soleil. Il déploie sa voile de surface S a un instant %. Déterminer son énergie mécanique pour t > 150 en fonction de G, m, M@, o, Je et 7". En déduire la nature de la nouvelle trajectoire en fonction du rapport (7/00. Représenter sur un même schéma l'orbite initiale et la nouvelle trajectoire correspondant aux différents cas. II.7 On suppose maintenant que la voile reçoit le flux solaire sous l'angle d'incidence oz, et on note ii le vecteur unitaire normal à la voile, dirigé dans le sens de la force de pression. En utilisant le résultat de la question 1.14, exprimer la force F R exercée par le rayonnement sur la voile sous laforme FR=ÔFGñ7 où FG est le module de la force de gravitation exercée par le Soleil sur le satellite, et 5 est un coefficient positif dont on déterminera l'expression en fonction de o, Je et oz. 11.8 Le satellite est initialement sur une orbite circulaire, sa voile étant déployée sous incidence normale (oz : 0). Une manoeuvre du satellite permet de changer la valeur de 04 en orientant la voile. On suppose que 04 est constant, et que la normale ñ reste dans le plan de l'orbite initiale. La trajectoire reste donc également dans ce plan. On suppose dans toute la suite de cette partie que la perturbation apportée par la pression du rayonnement est faible, de telle sorte que la vitesse radiale U,. est très petite devant la vitesse orthoradiale U9, celle--ci étant donnée a tout instant par la relation obtenue a la question II.1. Écrire le théorème du moment cinétique. En déduire l'équation d'évolution de 7". Montrer que w/oe est une constante qu'on exprimera en fonction de 04 et 5. 11.9 Dessiner l'allure de la trajectoire. II.1O On cherche a faire passer le satellite sur une orbite plus élevée au moyen de la voile solaire. Pour quelle orientation de la voile le changement d'orbite est--il le plus rapide ? On se contentera d'une expression littérale de oz, sans chercher a évaluer sa valeur numérique. III. Statite Le terme "statite" est un mot--valise formé a partir de "statique" et "satellite", et désigne un vaisseau spatial gardant une distance constante avec la Terre et le Soleil. On suppose dans toute cette partie que la Terre est en mouvement circulaire uniforme autour du Soleil a la vitesse angulaire w. On se place dans le référentiel tournant a la vitesse angulaire ou autour du Soleil, dans lequel la Terre et le Soleil sont tous deux immobiles, et on choisit dans ce référentiel un repère orthon0rmé (O, ë'oe, @, 52), où 0 est le centre du Soleil, EUR}, est dirigé du Soleil vers la Terre, et 52 est perpendiculaire au plan de révolution de la Terre. La masse de la Terre étant très petite devant celle du Soleil, on considérera que le centre de gravité du système Terre--Soleil est en 0. On considère dans toute cette partie un satellite de masse m placé au voisinage de la Terre en un point A de coordonnées (a:, y, 75). On pose a: = D + a:' , où D est la distance Terre--Soleil, et on suppose :c' , y et ?: très petits devant D. III.1 Écrire la résultante de la force centrifuge et de la force de gravitation solaire qui s'exercent sur le satellite. Exprimer ca en fonction de G, M@ et D, et développer la résultante a l'ordre 1 en a:'/D, y/D, et z/D. III.2 Le satellite est soumis a l'action combinée de la force centrifuge et des forces de gravitation terrestre et solaire. On note M$ la masse de la Terre. Montrer qu'il existe deux positions d'équi-- libre sur l'axe Oa:, situées de part et d'autre de la Terre a une distance d qu'on exprimera en fonction de D, M@ et Mæ. On note L1 et L2 les points correspondants a ces positions d'équilibre, dits points de Lagrange. Par convention, L2 est le plus éloigné du Soleil. L'approximation faite a la question III.1 est--elle valable aux points L1 et L2 ? III.3 Application numérique : on donne Mæ/M@ : 3 >< 10--6. Calculer d. III.4 On adjoint une voile solaire au satellite. Dans cette question, on suppose pour simplifier que les rayons du Soleil sont parallèles a EUR}; et on ne prend pas en compte l'ombre de la Terre. On cherche a ajuster la surface et l'orientation de la voile solaire de telle sorte que le satellite soit en équilibre. Déterminer les régions de l'espace où l'équilibre est en principe possible7 moyennant un tel ajustement. Les représenter schématiquement sur un plan contenant l'axe Occ. On indiquera clairement sur le schéma la direction du rayonnement solaire et les positions de la Terre et des points L1 et L2. III.5 Déterminer la valeur maximale de a:' pour laquelle un satellite situé sur l'axe 056 est complètement dans l'ombre de la Terre. On exprimera cette valeur maximale, notée 5, en fonction de D, du rayon terrestre R$ et du rayon du Soleil R@. III.6 Application numérique : on donne RGB/RG} : 9 >< 10--3. Calculer 5. 111.7 Comment le phénomène d'ombre modifie--t--il le schéma obtenu a la question III.4 ?

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 X Physique A PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Hadrien Vroylandt (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet est consacré aux voiles solaires, qui sont envisagées comme des moyens de propulsion dans l'espace. · La première partie est consacrée à l'étude de la pression de rayonnement, qu'elle décrit par deux approches différentes : modèle ondulatoire avec la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur, puis modèle corpusculaire avec des rebonds de photons. Cette partie nécessite avant tout de parfaitement connaître et maîtriser le cours d'électromagnétisme et les propriétés des ondes électromagnétiques dans le vide. Pour traiter les dernières questions, il faut aussi avoir des notions sur le modèle statistique de la pression des gaz. · Dans un deuxième temps, le sujet aborde le problème d'un satellite en orbite autour du Soleil, équipé d'une voile solaire. Faisant essentiellement appel à de la mécanique de première année, c'est l'analyse physique des comportements possibles du satellite qui fait la difficulté de cette partie. · Enfin, une troisième partie aborde la problématique du maintien d'un satellite à une position fixe par rapport au couple Soleil-Terre. Deux questions sortent du lot : la première par les difficultés de calcul qu'elle pose, nettement supérieures à ce que l'on trouve dans le reste du sujet, et la quatrième par la subtilité de l'analyse physique qu'elle suppose. Des notions fondamentales sur l'optique géométrique et sur les ombres portées sont également requises pour répondre aux dernières questions. Très révélateur de l'importance qu'accorde l'École Polytechnique aux capacités d'analyse et de raisonnement, ce sujet exigeait des candidats un important recul sur leurs connaissances, en ne laissant qu'une place marginale aux calculs. Confronté à un tel sujet, il peut être judicieux d'investir quelques minutes à retrouver les principaux résultats au brouillon afin de mieux cerner les attentes. Cela ne sera toutefois pas suffisant pour les questions les plus ardues. Indications Partie I I.1 En utilisant les équations demandées et celle de Maxwell-Gauss, montrer que + =0 t 0 I.4 Dans le contexte du sujet, un conducteur parfait est un milieu dans lequel la densité volumique de charge peut être considérée comme nulle en tout point à tout instant. I.6 Utiliser l'équation de Maxwell-Ampère pour éliminer le courant volumique - . I.7 On pourra utiliser une analogie avec la force volumique due à la pression dans un fluide à l'équilibre. Choisir une base pour mener les calculs est recommandé. I.8 Pour un conducteur parfait, la réflexion est totale : la surface du conducteur est alors un noeud pour le champ électrique et un ventre pour le champ magnétique. I.12 Utiliser la conservation de l'énergie traversant des sphères concentriques autour du Soleil. I.14 Deux choses sont affectées : la quantité de mouvement apportée par chaque photon à la plaque, ainsi que le débit de photons sur un élément de surface dS de la plaque. Partie II II.6 Discuter le signe de l'énergie cinétique du satellite pour r . II.10 La transition est d'autant plus rapide que vr est grand. Partie III III.4 La norme et la direction de la pression de rayonnement étant choisies librement (en modifiant et ) la seule contrainte sur la force de pression de rayonnement est que sa composante suivant - ex est positive. III.5 Représenter les rayons partant des bords du Soleil et s'appuyant sur les bords de la Terre. Le rayonnement solaire pour la navigation spatiale I. Pression de rayonnement - I.1 En notant , - et E respectivement la densité volumique de charge, la densité volumique de courant et le champ électrique dans le conducteur, on a - = 0 + div t (conservation de la charge) et en introduisant la conductivité électrique , - = - E (loi d'Ohm) Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit - div E = 0 avec 0 la permittivité diélectrique du vide. Dès lors, en supposant uniforme dans le conducteur, il vient - - = div div E = 0 + =0 t 0 et donc Il résulte de cette dernière équation que, s'il existe initialement une densité volumique de charge non nulle en un point du conducteur, celle-ci disparaît, du fait d'une décroissance exponentielle, en un temps caractéristique = 0 Pour un conducteur usuel, on trouve allant de 10-15 à 10-17 seconde. I.2 En supposant la densité de charge nulle, les équations de Maxwell s'écrivent div div - rot - rot - E =0 - B =0 - - B E =- t - - E - B = µ0 + 0 t I.3 Lorsqu'une onde électromagnétique arrive sur un conducteur, son champ électrique conduit à l'apparition d'un courant volumique dans le milieu (loi d'Ohm). Le courant donne lui-même naissance à un nouveau champ magnétique (loi de MaxwellAmpère) puis, par induction (loi de Maxwell-Faraday), à un nouveau champ électrique. Ces nouveaux champs se superposent à ceux de l'onde incidente et donnent naissance, dans le milieu d'origine, à une onde réfléchie. Cette dernière étape est un effet d'antenne : un conducteur parcouru par un courant sinusoïdal dans une direction transverse à sa surface, émet une onde électromagnétique. I.4 Le conducteur peut être considéré comme parfait si, dans une bonne approximation, la charge volumique reste nulle en tout point du conducteur. On a montré à la question I.1 que toute charge volumique existante dans le conducteur disparaît sur l'échelle de temps caractéristique = 0 /. Lors du passage d'une onde électromagnétique harmonique de pulsation , les phénomènes physiques se développent sur un temps caractéristique de l'ordre de la période de l'onde T = 2/. Le conducteur pourra donc être considéré comme parfait si T= 2 0 = Dans le cas d'un conducteur parfait, l'onde incidente est totalement réfléchie. Le champ électrique à la surface du conducteur est alors nul : les champs de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sont exactement opposés sur la surface. Pour le champ magnétique en revanche, les champs de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sont égaux sur la surface : le champ magnétique total est le double du champ incident. Notons que la notion de « conducteur parfait » utilisée par l'énoncé est un peu inhabituelle. Le plus souvent, les conducteurs qualifiés de parfaits sont ceux pour lesquels la conductivité est infinie. L'énoncé s'avère même ambigu puisque les propriétés que l'on énonce dans la suite de cette question sont effectivement celles d'un supraconducteur, alors que, dans la suite du sujet, c'est bien un conducteur de conductivité finie que l'on considère. Rigoureusement, le critère mentionné ne suffit pas pour avoir ces résultats. En plus de celui-ci, il faudrait normalement comparer la profondeur de pénétration de l'onde électromagnétique dans le conducteur à l'épaisseur e du conducteur. Si est très petit devant e, on obtient bien ces résultats. Sinon, il existe une onde transmise dans le conducteur et l'onde réfléchie a une amplitude plus faible. I.5 Pour une onde harmonique de pulsation dont le champ électrique a une amplitude E0 , l'ordre de grandeur du courant de déplacement, qui intervient dans l'équation de Maxwell-Ampère, est w - w w E w w w 0 E 0 jD = 0 w t w tandis que pour le courant de conduction j E0