X Physique 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Oscillations d'une bulle
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, oscillateur amorti, physique des ondes
Mots clefs bulle, amortissement, onde sphérique, haut-parleur, régime sinusoïdal forcé

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2012 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif. Oscillations d'une bulle Ce problème étudie les propriétés acoustiques d'une bulle d'air au sein d'un volume d'eau. Il aborde successivement les oscillations libres de la bulle, puis les oscillations forcées. On modélise ensuite l'amortissement de ces oscillations. Les résultats théoriques sont finalement comparés avec des données expérimentales. On considère une bulle d'air plongée dans un grand volume d'eau. Dans tout le problème, on néglige l'effet de la gravité et on considère l'air comme un gaz parfait. Données numériques Coefficient adiabatique de l'air : Pression atmosphérique : Masse volumique de l'eau : Vitesse du son dans l'eau : P0 0 cs = = = = CP /CV = 1, 4 1, 0 × 105 Pa 1, 0 × 103 kg · m-3 1, 5 × 103 m · s-1 I. Oscillations libres d'une bulle d'air A l'équilibre, la bulle est sphérique, de rayon R0 , et la pression est partout égale à P0 . On étudie les oscillations radiales de la bulle autour de sa forme d'équilibre. On suppose que ces oscillations conservent la symétrie sphérique. On note R(t) = R0 + r1 (t) le rayon de la bulle à l'instant t, avec |r1 (t)| R0 . Le champ de pression est P (r, t) = P0 + p1 (r, t) (avec |p1 (r, t)| P0 ), r désignant la distance au centre de la bulle. Dans cette partie, on assimile l'eau à un fluide incompressible et sans viscosité. I.1 On suppose dans tout le problème que la pression de l'air à l'intérieur de la bulle reste homogène à tout instant, et que ses transformations sont adiabatiques et réversibles. On note 1 pa (t) la valeur de p1 (r, t) pour r R(t). Exprimer la relation entre la pression et le volume de la bulle, puis la relation entre pa (t) et r1 (t). Linéariser cette relation et en déduire la relation de proportionnalité entre pa (t) et r1 (t). I.2 La pression extérieure est égale à P0 . Lors d'une variation dVa du volume de la bulle d'air, montrer que le travail des forces de pression s'exerçant sur le volume d'eau entourant la bulle est pa dVa . I.3 En déduire que les forces de pression s'exerçant sur l'eau dérivent d'une énergie potentielle qu'on écrira sous la forme 1 U (r1 ) = Kr12 , 2 (1) où K est une constante qu'on exprimera en fonction de , P0 et R0 . I.4 On va maintenant calculer l'énergie cinétique de l'eau. Le champ de vitesse de l'eau est supposé radial à tout instant, et la vitesse radiale est notée v1 (r, t). Montrer que r 2 v1 (r, t) est indépendant de r. En déduire l'expression de v1 (r, t) en fonction de r, R0 et r1 = dr1 /dt. I.5 Calculer l'énergie cinétique de l'eau et mettre le résultat sous la forme 12 M r12 , où M est une constante qu'on exprimera en fonction de 0 et R0 . I.6 Écrire l'équation d'évolution de r1 (t). Montrer que le rayon de la bulle oscille à la pulsation 0 = c/R0 , où c est une constante dont on précisera l'expression en fonction de , P0 et 0 . I.7 Récrire la relation de proportionnalité entre pa (t) et r1 (t), déterminée à la question I.1, en fonction de 0 , 0 et R0 . I.8 Application numérique : calculer c, et comparer cette valeur à la vitesse du son dans l'air. Justifier l'approximation, faite à la question I.1, que la pression est homogène à l'intérieur de la bulle. Quel est l'ordre de grandeur de la fréquence de l'oscillation pour une bulle millimétrique ? Comment se compare-t-il aux fréquences sonores perçues par l'ouïe ? II. Oscillations forcées On se propose maintenant de retrouver l'expression de la pulsation d'oscillation par une méthode différente, grâce à l'équation dynamique locale. Ceci permettra de traiter les oscillations forcées de la bulle sous l'effet d'une surpression pe (t) appliquée à grande distance de la bulle. On traite dans toute cette partie la surpression locale p1 (r, t) et la vitesse radiale v1 (r, t) dans l'eau comme des quantités infinitésimales. pe (t) est la limite de p1 (r, t) lorsque r tend vers l'infini. Comme dans la partie I, on assimile l'eau à un fluide incompressible et sans viscosité. II.1 Dans ces conditions, montrer qu'on peut écrire en tout point de l'eau 0 v1 p1 =- . t r (2) II.2 En utilisant le résultat de la question I.4, en déduire l'expression de p1 (r, t) en fonction de 0 , R0 , r1 (t), pe (t) et r. 2 II.3 Quelle est, en utilisant le résultat précédent, l'expression de p1 (r, t) à la surface de la bulle ? En comparant avec le résultat de la question I.7, en déduire l'équation d'évolution de r1 (t), et vérifier qu'on retrouve le résultat de la question I.6 lorsque pe (t) = 0. II.4 On impose une surpression extérieure sinusoïdale pe (t) = pe0 cos(t), avec pe0 > 0, au moyen d'un haut-parleur. En régime sinusoïdal forcé, exprimer l'amplitude et la phase des oscillations de la bulle en fonction de pe0 , 0 , R0 , 0 et . II.5 Pour étudier les oscillations de la bulle, on place un petit microphone dans l'eau, à une distance d du centre de la bulle, qui enregistre la surpression locale pm (t). Donner l'expression de pm (t). II.6 En régime sinusoïdal forcé, en déduire le module de l'amplitude de pm (t), noté pm0 , en fonction de pe0 , R0 , d, 0 et . II.7 On suppose, dans cette question seulement, que d = 2R0 . Tracer soigneusement pm0 /pe0 en fonction de /0 . II.8 En pratique, on retient la bulle au moyen d'un petit filet de tulle. Quel effet physique, négligé dans ce problème, oblige à utiliser cet artifice ? III. Modélisation de l'amortissement On prend dorénavant en compte la compressibilité de l'eau, négligée jusqu'ici. Cette partie étudie l'effet des vibrations des ondes sonores sur les oscillations libres de la bulle. III.1 On écrit la masse volumique de l'eau en un point quelconque, repéré par le vecteur position ~r, sous la forme (~r, t) = 0 + 1 (~r, t), avec |1 (~r, t)| 0 . On note ~v1 (~r, t) la vitesse du fluide et p1 (~r, t) la surpression. On rappelle que p1 (~r, t) = c2s 1 (~r, t), où cs est la vitesse du son dans l'eau. Établir l'équation de d'Alembert pour la surpression p1 (~r, t) dans l'eau. III.2 Comme dans la partie I, on étudie les oscillations radiales de la bulle, qui conservent la symétrie sphérique. On donne l'expression du laplacien en coordonnées sphériques 1 2 (rp1 (r, t)) . r r 2 Vérifier que la forme suivante est solution de l'équation de d'Alembert : p1 (r, t) = 1 r - R0 1 r - R0 p1 (r, t) = t - + t+ r cs r cs Å ã Å ã . (3) (4) On admettra que c'est la solution générale. III.3 Justifier qu'on choisisse, pour ce problème, de poser (t) = 0 pour tout t. III.4 Montrer que 0 r1 (t) = - Ç p1 (r, t) r 3 å . r=R0 (5) III.5 Exprimer le membre de droite de l'équation (5) en fonction de (t), (t), R0 et cs . III.6 Exprimer (t) en fonction de la surpression pa (t) à l'intérieur de la bulle et de R0 , puis en fonction de 0 , 0 , R0 et r1 (t) en appliquant le résultat de la question I.7. III.7 Déduire des trois questions précédentes que l'équation d'évolution de r1 (t) se met sous la forme r1 + 0 r1 + 02 r1 = 0 . Q (6) Donner l'expression de Q en fonction de cs et de la quantité c introduite à la question I.6. Application numérique : calculer Q. III.8 Montrer que dans la limite où l'eau est incompressible, l'équation (6) coïncide avec celle obtenue à la question I.6. III.9 Quelle est la cause physique du terme d'amortissement de l'équation (6) ? IV. Étude expérimentale des oscillations forcées Comme dans la partie II, on impose une surpression au moyen d'un haut-parleur. Pour tenir compte de la propagation des ondes sonores dans l'eau, introduite dans la partie III, on écrit maintenant cette surpression sous forme d'une onde plane pe (~r, t) = pe0 cos(t - ~k · ~r), avec pe0 > 0. IV.1 Déterminer la relation entre |~k| et . IV.2 En présence de la bulle de rayon R0 , dont le centre est choisi à l'origine, on écrit la surpression totale sous la forme 1 r - R0 p1 (~r, t) = pe0 cos(t - ~k · ~r) + t - r cs Å ã , (7) avec r = |~r|. Expliquer pourquoi p1 (~r, t) ainsi défini est solution de l'équation de d'Alembert. IV.3 On suppose que |~k|R0 1, de telle sorte qu'on puisse faire l'approximation cos(t- ~k ·~r) cos(t) au voisinage de la bulle. Vérifier que les résultats des questions III.4 et III.5 sont inchangés. Comment le haut-parleur modifie-t-il la relation obtenue à la question III.6 ? En utilisant le résultat de la question I.7, montrer qu'on obtient un système de deux équations différentielles pour r1 (t) et (t). Dans ces équations, on exprimera cs en fonction de Q, 0 et R0 en utilisant le résultat de la question III.7. IV.4 Résoudre ce système dans le régime sinusoïdal forcé, et déterminer les amplitudes complexes de r1 (t) et de (t) en fonction de pe0 , 0 , R0 , 0 , Q et . IV.5 Comme dans la partie II, on mesure la surpression dans l'eau grâce à un petit microphone placé dans l'eau à une distance d du centre de la bulle, avec |~k|d 1. Exprimer l'amplitude 4 complexe de la surpression enregistrée par le microphone. Vérifier qu'on retrouve le résultat de la question II.6 dans la limite où l'eau est incompressible. Figure 1 : Module de l'amplitude (à gauche) et cosinus de la phase (à droite) de la surpression mesurée par le microphone en fonction de la fréquence du haut-parleur. Deux cas sont représentés : avec ou sans bulle d'air [d'après V. Leroy, M. Devaud, J.-C. Bacri, Am. J. Phys. 70, 1012 (2002)]. IV.6 Estimer à partir des courbes expérimentales de la figure 1 les valeurs de 0 , Q et d/R0 . IV.7 En déduire une estimation de la taille de la bulle utilisée pour cette expérience. Est-il légitime de considérer qu'à la surface de la bulle, la surpression imposée par le haut-parleur est uniforme ? IV.8 Comparer la valeur expérimentale de Q avec la valeur prédite par la modélisation de la question III.7.Commenter. IV.9 On a supposé dans tout ce problème que les oscillations de la bulle étaient adiabatiques et réversibles. Nommer un effet physique mettant en défaut cette hypothèse. Quelle est la conséquence de cet effet sur la dynamique des oscillations ? IV.10 Le système décrit dans ce problème est un analogue acoustique de la diffusion d'une onde plane électromagnétique par un dipôle dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié. Expliciter les points communs et les différences. 5

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 X Physique A PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Rémi Lehe (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet traite des oscillations d'une bulle d'air seule, plongée dans un bain d'eau d'extension infinie. Il comporte quatre parties liées qu'il est souhaitable de traiter dans l'ordre proposé. · Dans la première partie, il s'agit d'étudier les oscillations libres de la bulle. On montre que le système se comporte comme un ressort, dont la raideur est liée à la compressibilité de l'air et dont l'inertie est due à l'eau qui entoure la bulle. La conservation de l'énergie mécanique de l'eau permet d'aboutir à une équation d'oscillateur harmonique, sans second membre, pour le rayon de la bulle. · L'étude des oscillations forcées est réalisée dans la deuxième partie. À partir de l'équation d'Euler, de la continuité de la pression à l'interface gaz/eau et de l'incompressibilité de l'écoulement, on établit une équation d'oscillateur harmonique, cette fois avec second membre, en raison de l'excitation par un haut-parleur. Une étude de la réponse du système en régime sinusoïdal forcé est alors menée. · La troisième partie modélise l'amortissement selon la physique des ondes acoustiques, en régime libre : l'eau est traitée comme un fluide compressible. L'énoncé invite à comprendre la forme des solutions, de type « onde sphérique », qu'il faut utiliser pour résoudre le problème. Via les équations de la dynamique, on montre que le rayon de la bulle est solution de l'équation différentielle d'un oscillateur amorti libre. · Dans la quatrième partie, les calculs précédents sont repris mais en ajoutant, cette fois, l'excitation du haut-parleur. L'étude est menée en régime sinusoïdal forcé. On doit alors confronter les résultats théoriques à des courbes expérimentales, ce qui est l'occasion de commenter la modélisation. Le sujet n'est ni long, ni réellement difficile, mais nécessite une bonne connaissance des méthodes de résolution des trois domaines du programme auxquels il touche : la physique des oscillateurs, la physique des ondes et la mécanique des fluides. Indications Partie I I.1 Appliquer la loi de Laplace à l'air à l'intérieur de la bulle. La pression dans la bulle est P0 + pa (t). I.2 Raisonner sur l'eau comprise entre r = R0 + r1 et r R0 . I.3 Montrer que dVa 4 R0 2 dr1 . I.4 L'incompressibilité permet de montrer que r2 v1 (r, t) est indépendant de r. I.5 Raisonner d'abord sur une coquille sphérique d'épaisseur dr située en r, puis intégrer sur le rayon. I.6 Traduire la conservation de l'énergie mécanique et dériver. Partie II II.3 La pression est continue à la traversée de l'interface gaz/eau. II.5 Utiliser l'expression établie à la question II.2, évaluée en r = d. II.8 La bulle tend spontanément à monter... pourquoi ? Partie III III.2 Il suffit de vérifier qu'une fonction y de la forme r - R0 1 + y(r, t) = f t - r cs est solution de l'équation de d'Alembert. III.3 décrit une onde convergente. III.6 Traduire la continuité de la pression à l'interface gaz/eau. Partie IV IV.6 d/R0 s'obtient en évaluant pm0 /pe0 à une fréquence donnée. IV.7 Utiliser le résultat de la question I.6. Oscillations d'une bulle I. Oscillations libres d'une bulle d'air I.1 Appliquons la loi de Laplace à l'air, considéré comme un gaz parfait en évolution adiabatique réversible, 4 3 (P0 + pa ) V = P0 R0 3 où V est le volume de la bulle. Puisque la bulle est supposée sphérique à tout instant, 4 4 (P0 + pa (t)) × (R0 + r1 (t))3 = P0 R0 3 3 3 si bien que pa (t) = P0 - P0 (1 + r1 (t)/R0 )3 Puisque |r1 | R0 , linéarisons cette expression, pa (t) = - 3 P0 r1 (t) R0 Il est cohérent d'obtenir que pa et r1 sont de signe opposé, car pour une évolution isentropique d'un gaz parfait, P V = Cte impose que P et V varient en sens contraire. I.2 Considérons l'eau comprise entre les sphères de rayon intérieur R0 + r1 et de rayon extérieur R1 , avec R1 R0 . Le travail des forces pressantes en r = R0 +r1 vaut W(R0 + r1 ) = (P0 + pa ) dVa En r = R1 , la pression est P0 et le travail de ces forces s'écrit W(R1 ) = -P0 dVa Dans les deux travaux, la variation de volume est dVa car l'eau est supposée incompressible donc seul le volume de l'air dans la bulle varie. En sommant les travaux reçus, il apparaît que W = pa dVa I.3 Remplaçons pa par son expression obtenue à la question I.1. Il vient W = - Puisque on déduit, Va = 3 P0 r1 dVa R0 4 [R0 + r1 (t)]3 3 dVa = 4 [R0 + r1 (t)]2 dr1 dVa 4 R0 2 dr1 c'est-à-dire que Ainsi, car (|r1 | R0 ) W = -12 P0 R0 r1 dr1 Le coefficient multipliant dr1 s'identifie à la résultante des forces de pression s'exerçant sur l'eau qui dérive du potentiel U(r1 ), tel que dU = 12 P0 R0 r1 dr1 Alors la résultante des forces de pression s'exerçant sur l'eau dérive de U(r1 ) = 1 Kr1 2 2 avec K = 12 P0 R0 I.4 Notons Dm (r, t) le débit massique à l'instant t, à travers la sphère de rayon r, centrée en O. Puisque l'écoulement est supposé incompressible, Dm (r, t) = Dm (r + dr, t) Dm =0 r Comme Dm (r, t) = 4 0 r2 v1 (r, t), on en déduit que ce qui prouve que Le produit r2 v1 (r, t) est indépendant de r. Évaluons ce produit en r = R0 : par continuité de la vitesse normale à l'interface eau/gaz, il vient r2 v1 (r, t) = R0 2 r1 (t) d'où v1 (r, t) = R0 2 r1 (t) r2 I.5 L'énergie cinétique de la coquille sphérique d'eau d'épaisseur dr située en r est 1 0 4 r2 dr × v1 2 (r, t) 2 2 2 1 R0 2 = 0 4 r dr × r1 (t) 2 r2 dEc = 1 dr 0 4 r1 2 (t) R0 4 2 2 r Puisque l'eau occupe l'espace compris entre r = R0 et r +, il suffit d'intégrer sur r entre ces deux valeurs, Z + 1 dr Ec = 0 4 r1 2 (t) R0 4 2 2 r R0 Z + 1 dr = 0 4 r1 2 (t) R0 4 2 r2 R0 + 1 1 = 0 4 r1 2 (t) R0 4 - 2 r R0 donc Par conséquent, dEc = Ec = 1 M r1 2 2 avec M = 4 0 R0 3