X Physique 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Interactions dipolaires entre particules colloïdales
Principaux outils utilisés électrostatique, diffusion de particules, mécanique
Mots clefs dipôle électrostatique, interaction dipôle-dipôle, dipôle magnétique, énergie thermique, suspension de particules, loi de Fick, module d'Young, gel d'actine, champ tournant, viscosité

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2011 FILIÈRE PC COMPOSITION DE PHYSIQUE ­ A ­ (XE) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Interactions dipolaires entre particules colloïdales On s'intéresse dans ce problème aux interactions entre des sphères colloïdales diélectriques (resp. magnétiques) plongées dans un champ électrique (resp. magnétique). La partie 1 a pour but de déterminer quelles sont les forces d'interaction entre deux sphères colloïdales plongées dans un champ externe. Dans la partie 2, nous cherchons à déterminer les caractéristiques de l'agrégation d'une suspension de telles particules sous champ magnétique. Dans la partie 3, nous montrons comment ces objets peuvent être utilisés pour déterminer les propriétés mécaniques de gels à l'échelle microscopique. Enfin, la partie 4 traite du mouvement de dimères dans un champ magnétique tournant. Les parties 2, 3 et 4 sont largement indépendantes. Remarque importante : À plusieurs reprises au cours de ce problème, on demande au candidat de raisonner par analyse dimensionnelle ou d'évaluer un ordre de grandeur. Dans ce cas, le candidat n'essaiera pas d'évaluer les coefficients multiplicatifs sans dimension, qui seront omis. De l'ordre de l'unité, ils n'influencent pas l'ordre de grandeur du résultat. Données : Constante de Boltzmann : k = 1, 38 × 10-23 J · K-1 Température ambiante : T = 300 K Viscosité de l'eau : = 10-3 Pa · s Perméabilité magnétique du vide : µ0 = 4 × 10-7 H · m-1 Permittivité diélectrique du vide : 0 = 8, 9 × 10-12 F · m-1 I. Interaction dipôle-dipôle I.1 Rappeler les expressions du potentiel et du champ électriques créés par une charge ponctuelle q située à l'origine d'un repère 0xyz. On précisera soigneusement les notations utilisées. Représenter sur un schéma l'allure des équipotentielles et des lignes du champ électrique. 1 I.2 On cherche maintenant à déterminer le champ créé par un dipôle électrique. On considère deux charges -q et +q situées respectivement à l'origine et au point de coordonnées (x = 0, y = 0, z = ), et on note le moment dipolaire p~ = qe~z . Déterminer le potentiel et le champ électriques créés par ce dipôle au point M repéré par ses coordonnées sphériques (r, , ) (voir figure 1). On donnera leurs expressions dans le cadre de l'approximation dipolaire, c'est-à-dire dans le cas où r. Nous supposerons dans toute la suite de ce problème que cette condition de champ lointain est vérifiée. Représenter les lignes du champ dipolaire sur un schéma. ~ ? Expliquer I.3 Quelle est l'énergie électrostatique d'un dipôle p~ placé dans un champ électrique E qualitativement pourquoi des dipôles libres de se déplacer ont tendance à s'aggréger. I.4 On considère maintenant deux dipôles électriques (de même moment dipolaire) alignés selon l'axe Oz (~ p = pe~z = qe~z ), l'un étant situé à l'origine du repère, l'autre à la position ~r, comme indiqué sur la figure 1. Chaque dipôle est soumis au champ créé par l'autre dipôle. Dans un système de coordonnées sphériques, ~r = (r, , ), donner l'expression de l'énergie électrostatique d'interaction entre ces deux dipôles. En déduire les composantes de la force subie par le dipôle situé en ~r : ä 3p2 Ä 2 1 - 3 cos (1) Fr = 40 r 4 F = - 3p2 cos sin 20 r 4 (2) z r y O x Figure 1. Deux dipôles situés à l'origine et en ~r = (r, , ). En suivant un raisonnement strictement identique, il est possible de montrer que ce résultat décrit également les interactions entre des dipôles magnétiques m ~ = me~z plongés dans un milieu non magnétique (c'est-à-dire dont la perméabilité magnétique est égale à µ0 ). Dans ce cas le résultat précédent devient : Fr = ä 3µ0 m2 Ä 2 1 - 3 cos 4r 4 (3) 3µ0 m2 cos sin 2r 4 (4) F = - 2 Dans toute la suite de ce problème, nous considérerons le cas de dipôles magnétiques et nous utiliserons cette expression de la force magnétique entre particules. I.5 On considère maintenant des sphères magnétisables de rayon a. Soumises à un champ ma~ celles-ci acquièrent une aimantation qui résulte en un moment dipolaire gnétique externe B, 1 ~ où m est la polarisabilité magnétique de la particule. Montrez que m est induit m ~ = m B µ0 homogène à un volume. Pour une particule sphérique de volume V = 43 a3 constituée d'un matériau très magnétisable, on peut montrer que m = 3V = 4a3 . Expliquez la dépendance de cette expression avec la taille a des particules. On considère ici que le moment dipolaire des sphères magnétiques est dû uniquement au ~ = B0 e~z et n'est pas modifié par les interactions entre sphères. Donner champ uniforme appliqué B alors l'expression du moment magnétique des sphères plongées dans ce champ. En déduire la force d'interaction entre ces particules. II. Cinétique d'agrégation entre deux particules Dans cette partie, on cherche à comprendre la cinétique d'agrégation de particules magnétiques suspendues dans de l'eau et soumises à un champ magnétique externe uniforme. On supposera ici que les masses volumiques des particules et du fluide environnant sont égales. II.1 On s'intéresse au cas de deux particules. Quelles forces agissent sur les sphères ? Écrire l'équation du mouvement. II.2 Par un raisonnement dimensionnel, donner l'expression de la force de friction visqueuse sur une sphère de rayon a en translation à la vitesse ~v dans un liquide de viscosité . On admettra que dans cette loi, le préfacteur vaut 6. Dans quelle limite cette expression est-elle valable ? ~ = B0 e~z . II.3 On suppose maintenant que le champ magnétique est dirigé selon l'axe Oz : B On admet également que les deux particules sont situées sur cet axe. Dans le cas où l'inertie est négligeable, à quoi se réduit l'équation du mouvement d'une des particules ? On précisera le domaine de validité de cette dernière approximation, en exprimant le temps caractéristique lié à la friction visqueuse. II.4 À l'instant initial, les particules sont séparées d'une distance r0 qu'on supposera grande devant leur rayon : r0 a. Montrer que l'équation du mouvement est à variables séparables. L'intégrer et montrer que le mouvement suit une loi de la forme suivante : 1- t r5 = 5 b r0 (5) où b est un temps caractéristique du mouvement dont on donnera l'expression en fonction de r0 , a, , B0 et µ0 . Évaluer l'ordre de grandeur de b pour a = 1 µm, r0 = 10 µm, B0 = 10 mT. II.5 Dans le cas d'une assemblée de nombreuses particules identiques, on observe que le temps issu du modèle à deux particules décrit bien la cinétique d'agrégation de suspensions dont la 3 distance interparticulaire moyenne est r0 . On note n le nombre moyen de particules par unité de volume de la suspension. Quel est le lien entre n et r0 ? Donner en fonction de n le temps d'agrégation d'une suspension de sphères. II.6 Dans des suspensions diluées de petites particules, les interactions dipolaires sont très faibles. Expliquez pourquoi. Les déplacements des petites particules sont alors dominés par l'agitation thermique. Elles sont animées d'un mouvement incessant et aléatoire, leurs trajectoires sont très irrégulières : c'est le mouvement brownien, décrit pour la première fois par le botaniste Robert Brown en 1827. À l'échelle macroscopique, la concentration en particules évolue alors en suivant un processus de diffusion, comme celle d'un soluté. II.7 Rappeler la loi de Fick (on notera D le coefficient de diffusion). En faisant un bilan de quantité de particules adapté, établir l'équation de diffusion régissant l'évolution temporelle de la concentration en particules. Einstein a montré en 1905 que le coefficient de diffusion de particules de rayon a suspendues kT où k est la constante de dans un liquide de viscosité à la température T est D = 6a Boltzmann. Quelle est la dimension de D ? Évaluer D pour des sphères de rayon a = 1 µm suspendues dans de l'eau à température ambiante. II.8 En écrivant l'équation de diffusion sous forme dimensionnelle, construire le temps d de diffusion sur une distance typique r0 . Il est aussi possible de donner une interprétation microscopique de d : il s'agit du temps pour qu'en moyenne, une particule s'éloigne d'une distance r0 de sa position d'origine. II.9 En déduire que, pour des solutions diluées de petites particules, le mouvement est séparé en deux phases : un mouvement initial à caractère diffusif suivi d'une trajectoire balistique lorsque les interactions dipolaires dominent l'agitation thermique. Représenter schématiquement la trajectoire d'une particule entre l'instant initial et sa rencontre avec une particule voisine. Quelles sont typiquement les durées respectives d et b de ces deux phases ? II.10 L'agrégation de suspensions diluées se fait donc essentiellement par un processus brownien, tandis que les suspensions concentrées s'agrègent de manière balistique. Quelle est la concentration critique n qui sépare ces deux régimes ? On exprimera n fonction de k, T , a, B0 et µ0 . Évaluer n pour des suspensions de particules de rayon a = 1 µm, B0 = 10 mT, T = 300 K. Quel est l'ordre de grandeur de la distance interparticulaire r à la concentration critique Comparer r au diamètre des particules. n ? III. Mesure de propriétés élastiques à l'échelle submicronique Nous cherchons dans cette partie à comprendre comment la manipulation de ces particules magnétiques peut être utilisée pour sonder les propriétés élastiques d'échantillons de taille in4 férieure au micromètre. Par simplicité, nous considérons deux particules cylindriques de rayon R = a et de hauteur h = a où est un coefficient numérique d'ordre unité (voir figure 2). Les axes des cylindres coïncident avec l'axe Oz. Nous considérons que l'application d'un champ magnétique induit pour chaque cylindre un moment dipolaire identique à celui qu'aurait une sphère de rayon a. Le matériau à tester (non magnétique), coincé entre les deux cylindres, forme un disque de rayon R. En l'absence de champ appliqué, l'épaisseur de cette lamelle vaut 0 a. R h ~ B Figure 2. Deux particules magnétiques cylindriques séparées par une couche de matériau test d'épaisseur . Le champ magnétique est aligné avec l'axe des cylindres. ~ = B0 e~z . Dans cette configuIII.1 On applique dans l'axe des cylindres un champ magnétique B ration, à quoi se réduit la force d'attraction entre les deux cylindres ? On donnera son expression en particulier en fonction de h et de l'épaisseur du matériau test. III.2 Le matériau test élastique résiste à la compression avec une force Fc qui dépend du taux de compression = (0 - )/0 : Fc = R2 Y (6) où Y est le module d'Young du matériau. Donner la signification physique et l'unité de Y . III.3 Montrer alors qu'en mesurant la distance entre les centres des cylindres en fonction du champ magnétique, il est possible de mesurer le module d'Young Y du matériau étudié. III.4 Application : on s'intéresse aux propriétés mécaniques d'un gel d'actine, qui est une protéine essentielle dans l'architecture (le cytosquelette) et les mouvements des cellules vivantes. Il est possible de coincer entre des particules magnétiques une couche de ce gel. L'épaisseur de l'échantillon hors charge vaut 0 = 100 nm. En présence d'un champ de 10 mT, on mesure = 80 nm. En déduire une estimation du module d'Young du gel d'actine. III.5 En pratique, les variations d'épaisseur de la couche de gel testé sont très faibles au cours de l'expérience. La distance entre les deux particules (qui sont des sphères dans l'expérience réelle) est réalisée de la façon suivante : sur une image de microscopie à fort grandissement des deux particules, on détecte les contours de ces sphères, et on ajuste ces données par des cercles. Cette méthode permet une détection de la position du centre des particules avec une très grande précision. Expliquez qualitativement pourquoi ce protocole consistant à détecter tout un profil 5 est plus précis qu'une méthode qui consisterait à mesurer directement la distance entre deux points (les points les plus proches des sphères, par exemple). Mouvement dans un champ tournant Dans cette partie, nous nous intéressons au mouvement d'un dimère de particules magnétiques dans un champ magnétique tournant. Des techniques de ce type sont par exemple utilisées pour caractériser les propriétés rhéologiques locales (viscosité et élasticité) de certains fluides complexes comme des cellules vivantes. IV.1 On considère un dimère rigide constitué de deux particules magnétiques de rayon a au ~ contenu dans le plan Oxz et contact. Cet objet est plongé dans un champ magnétique statique B ~ d'intensité B0 (kBk = B0 ). On admet que chacune des particules du dimère acquiert un moment dipolaire égal à celui d'une particule libre. L'axe reliant les centres des particules est également contenu dans le plan Oxz. Il fait un angle avec le champ magnétique appliqué et un angle avec l'axe Oz (voir figure 3). En reprenant l'analogie de la partie I.4, calculer l'énergie magnétique dEB - - - EB de l'agrégat dans ce champ. En déduire le couple magnétique B = e y = B ey auquel d est soumis ce dimère. Tracer B en fonction de l'angle . Quelles sont les positions d'équilibre de ce dimère ? Vous en discuterez brièvement la stabilité. z ~ B - e y O x Figure 3. Dimère de sphères magnétiques de rayon a au contact soumises à un champ magné~ tique B. IV.2 On considère à présent le dimère dans une situation dynamique. La présence du fluide environnant freine l'alignement du dimère avec le champ magnétique. La force de friction visqueuse sur une sphère en translation à vitesse V est connue. Pour un dimère constitué de deux sphères de rayon a au contact, on montre que le couple visqueux résistant à la rotation est de l'ordre de : - v -a3 - e y (7) où est la vitesse angulaire de rotation du dimère. Commentez ce résultat. Le préfacteur numérique qui complète ce résultat dimensionnel est difficile à calculer en pratique, mais c'est un nombre de l'ordre de l'unité. Dans un souci de simplicité, nous le choisirons égal à 1 dans ce qui suit. 6 IV.3 On suppose maintenant qu'on applique un champ tournant dans le plan Oxz à la pulsation ~ = B0 (sin (t)e~x + cos (t)e~z ). À l'instant initial, le champ et l'axe du (voir figure 4) : B dimère sont alignés selon l'axe Oz : = = 0. On admet par ailleurs que le moment dipolaire porté par chacune des deux sphères suit instantanément les variations du champ magnétique. En considérant que seuls les couples magnétique et visqueux sont en jeu, écrire l'équation régissant la rotation du dimère soumis au champ tournant. z t ~ B - e y O x Figure 4. Dimère de sphères magnétiques de rayon a au contact soumises à un champ magnétique tournant. IV.4 En régime stationnaire, que vaut l'angle entre le champ magnétique et l'axe du dimère ? En déduire une méthode de mesure de viscosité du liquide dans lequel les particules sont plongées. IV.5 À quelle condition existe-t-il un régime stationnaire ? On déterminera la fréquence de décrochage au-delà de laquelle le régime stationnaire n'existe plus. Décrire qualitativement le mouvement dans le cas où > , et tracer la courbe (t) correspondante. 7

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 X Physique A PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet s'intéresse à l'interaction entre sphères colloïdales diélectriques ou magnétiques. Il se compose de quatre parties. · La première permet d'établir les forces d'interaction qui existent entre deux dipôles électriques ou magnétiques placés dans un champ externe. On démontre les résultats classiques du dipôle électrostatique, pour les appliquer par analogie à l'interaction magnétique dipôle-dipôle. Même si certains résultats sont fournis, la bonne compréhension de cette partie conditionne la suite du sujet. · Ensuite, on étudie l'agrégation de particules colloïdales placées dans un champ magnétique. On détermine les temps caractéristiques associés à l'agrégation et à la diffusion de particules, afin de caractériser l'évolution d'une assemblée de dipôles. Cette partie est la plus longue et la plus difficile ; elle fait appel à des connaissances de mécanique du point et de diffusion des particules. Un bon sens physique est nécessaire pour appréhender correctement les différents phénomènes mis en jeu. · Les deux dernières parties, plus courtes, présentent deux applications des particules colloïdales : les mesures de propriétés élastiques de gels à l'échelle microscopique et les mesures de viscosité d'un fluide, par des méthodes mécaniques. Les résultats de la première partie sont constamment exploités, et seules des connaissances élémentaires en mécanique sont nécessaires. Ce sujet nécessite un bon recul sur la notion de dipôle, ainsi que sur la diffusion de particules. Il est de difficulté variable : par exemple, la troisième partie est abordable dans son intégralité dès la fin de la première année. Comme c'est de plus en plus souvent le cas, la calculatrice était interdite. Pour s'y préparer, il faut s'entraîner à travailler en ordres de grandeurs lors des applications numériques. L'énoncé précisant que des parties sont indépendantes, il faut traiter en priorité ce que l'on maîtrise le mieux, ce qui impose une lecture préalable du sujet dans son ensemble. Indications Partie I I.4 Le dipôle - p2 est placé dans le champ créé par - p1 . Quelle est alors son énergie potentielle ? I.5 Sous l'action d'un champ magnétique, les dipôles magnétiques élémentaires, que sont les atomes ou molécules de la sphère, s'alignent. Partie II II.1 Ne pas chercher à expliciter les forces ici, il faut juste les présenter. Ne pas confondre le champ externe et le champ engendré par un dipôle. II.3 L'approximation est valable si le terme inertiel est négligeable devant un des deux autres. Le comparer ici à la force de frottement. II.4 Utiliser la question I.5, les deux dipôles étant alignés sur l'axe (Oz). II.6 Les particules sont petites et la solution est diluée. Faire le lien avec la norme de l'interaction dipôle-dipôle. II.8 Si la densité particulaire n varie sur une échelle de temps d , alors n n/t d Faire de même avec le terme n. II.9 Quelle est la portée de l'interaction dipolaire ? En déduire la distance moyenne associée au régime diffusif, puis utiliser la question II.4 pour le régime balistique. II.10 Quel est l'ordre de grandeur de la stabilisation énergétique du dipôle ? De l'énergie qui peut lui être communiquée de part l'agitation thermique ? Dans quel cas le régime est-il diffusif ? Balistique ? Partie III III.3 Écrire la condition d'équilibre pour un des cylindres. La simplifier sachant que h. Quelle est l'allure de la courbe B0 2 = f () ? III.5 En quoi la méthode proposée permet-elle d'améliorer la localisation du centre des sphères ? Pourquoi la mesure de la distance entre les deux sphères s'en trouve-t-elle meilleure ? Partie IV IV.1 Faire un schéma : l'angle entre les deux dipôles est et leur distance 2 a. Que devient le couple si l'on s'écarte d'une position d'équilibre ? IV.2 Décomposer le couple donné pour faire apparaître le terme de friction étudié dans la partie II. Quel est le mouvement du dimère ? IV.4 Pour déterminer , il suffit de mesurer en régime permanent. Comment peuton visualiser la direction du champ tournant ? IV.5 Comment doit évoluer le couple magnétique avec la fréquence pour que le dipôle puisse suivre le champ ? Qu'arrive-t-il au couple magnétique si > /4 ? Interactions dipolaires entre particules colloïdales I. Interaction dipôle-dipôle -- I.1 Avec les notations ci-contre, au point M tel que OM = r - er , le potentiel et le champ électrique créés par une charge q ponctuelle placée en O sont respectivement V(M) = 1 q 4 0 r et - E (M) = - er z M r O 1 q - er 4 0 r 2 y x - Les lignes de champ, courbes telles que E y soit tangent en tout point, sont donc des droites passant par O. Quant aux surfaces équipotentielles, elles vérifient V(M) = Cte , soit r = Cte : ce sont des sphères de centre O, d'autant plus resserrées que l'on s'en rapproche. Ligne de champ Équipotentielle q >0 q <0 Rappelons que le potentiel et le champ électrostatiques sont liés par -- - E = - grad V Ils vérifient les propriétés suivantes, qui sont valables quelle que soit la distribution de charges : · les surfaces équipotentielles sont orthogonales aux lignes de champ ; · la norme du champ augmente si les équipotentielles se resserrent ; · les lignes de champ convergent vers les charges négatives et divergent des charges positives ; · le champ est orienté dans le sens des potentiels décroissants. On peut également donner une expression intrinsèque (indépendante du choix des coordonnées) du résultat : -- - 1 q q OM V(M) = et E (M) = - -- 3 4 0 k - 4 0 OMk kOMk I.2 D'après le principe de superposition, le potentiel z créé par la distribution {O(-q), P(+q)} en M s'écrit V(M) = VP (M) + VO (M) r 1 q 1 q P(+q) = - r 4 0 r 4 0 r -- - -- Or, r = kPMk = kPO + OMk O(-q) = 2 - 2 r cos + r2 cos 2 r = r 1-2 + 2 r r x On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire r . Ainsi, cos r r 1- r 1 1 cos d'où 1 + r r r Alors, le potentiel électrostatique créé par le dipôle en M est 1 q cos V(M) = 4 0 r2 que l'on réécrit en introduisant le moment dipolaire - p = q- ez V(M) = M y 1 p cos 4 0 r 2 Le champ électrostatique en M vérifie - -- V - 1 V - 1 V - E = - grad V = - er - e - e r r r sin donc Er = 2 p cos 4 0 r 3 E = p sin 4 0 r 3 E = 0 Les lignes de champ du dipôle sont représentées ci-contre. Qualitativement, on construit cette figure en notant que le lignes partent de la charge +q pour revenir vers -q, deux lignes ne pouvant se croiser. - p La décroissance du potentiel en 1/r2 (et donc du champ en 1/r3 ) est caractéristique d'une distribution dipolaire. On peut directement obtenir des informations en utilisant les propriétés de symétrie et d'invariance de la distribution de charges : - · le plan (O, e ,- e ) est un plan de symétrie de la distribution de charge, r donc du champ qui est un vecteur polaire, ce qui impose E = 0 ; · la distribution est invariante par rotation autour de l'axe (Oz) : V et - k E k ne dépendent pas de .