X Physique 1 PC 2010

Thème de l'épreuve La chaleur des planètes
Principaux outils utilisés mécanique céleste, diffusion thermique, mécanique des fluides
Mots clefs diffusion, convection, accrétion, formation planétaire

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2010 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est interdite pour cette épreuve. Pour les applications numériques, on se contentera d'un seul chiffre significatif. La chaleur des planètes Ce problème étudie quelques aspects de la formation des planètes et de leur refroidissement. I. Genèse des planètes telluriques Les planètes telluriques telles que Mars ou la Terre se sont formées par la condensation de nuages de poussières sous l'effet de l'interaction gravitationnelle, au cours d'un processus dit d'accrétion. I.1. Accrétion de petits corps par une planète en formation I.1.1. Une planète supposée ponctuelle et de masse M est immobile dans le vide à l'origine O d'un référentiel galiléen. Un point matériel de masse m arrive de l'infini avec une vitesse initiale ~ ~ ~v0 , de norme v0 . On définit b = kLk/mv 0 , où L est le moment cinétique en O de la masse m. Donner l'interprétation géométrique de b à l'aide d'un schéma. I.1.2. Les deux masses interagissent sous l'effet de la gravitation. On note G la constante newtonienne de gravitation. On suppose m M , de telle sorte que la masse M reste pratiquement immobile. Quelle est la nature de la trajectoire de la masse m ? On note rmin sa distance minimale d'approche à l'origine. Exprimer b en fonction de rmin , v0 , G et M . I.1.3. On considère maintenant le cas où la planète de masse M n'est plus ponctuelle mais est assimilée à une sphère homogène de rayon R. Exprimer la vitesse de libération vl en fonction de G, M et R. Montrer que la masse m arrivant de l'infini heurte la planète si 2 b  M2 initialement. Montrer que dans le cas de l'accrétion galopante, le rapport M1 /M2 augmente au cours du temps. Commenter. I.2. Chauffage par collision I.2.1. L'hémisphère nord de Mars présente une vaste dépression, qui pourrait résulter d'une collision avec un gros astéroïde. Calculer l'élévation globale moyenne de température résultant de la collision avec un astéroïde de rayon r = 1000 km et de masse volumique = 3 × 103 kg · m-3 , arrivant de l'infini avec une vitesse initiale que l'on prendra nulle. La vitesse de libération de Mars est vl = 5 km · s-1 , sa masse M = 6 × 1023 kg. On supposera que la capacité thermique massique de Mars est constante, C 103 J · kg-1 · K-1 , et que toute l'énergie cinétique de l'astéroïde est absorbée par Mars lors de la collision. I.2.2. Expliquer pourquoi l'accrétion étudiée dans la partie I.1 s'accompagne nécessairement d'une élévation de température importante. Quel mode de transfert thermique permet d'évacuer une partie de l'énergie interne ? I.3. Différenciation planétaire La Terre est constituée pour deux tiers de sa masse de matériaux légers tels que les silicates, de masse volumique 1 , et pour le tiers restant de matériaux lourds tels que le fer, de masse volumique 2 . On prendra pour les applications numériques les valeurs approchées 1 = 4 × 103 kg · m-3 et 2 = 9 × 103 kg · m-3 . La température initiale de la Terre est élevée, et son intérieur est partiellement fondu. I.3.1. On assimile pour le moment la Terre à une sphère homogène de rayon R et de masse volumique moyenne 1/m = (2/1 + 1/2 )/3. Exprimer l'intensité g(r) du champ de gravitation à une distance r 6 R du centre de la Terre en fonction de r, R et de sa valeur à la surface g0 = g(R). I.3.2. On considère une petite bille de fer de volume V et de masse volumique 2 à la distance r du centre de la Terre. La bille est immergée dans le liquide de masse volumique m . Calculer la résultante des forces s'exerçant sur la bille. En déduire la variation 2 d'énergie potentielle du système lorsqu'elle tombe depuis la surface jusqu'au centre de la Terre. La calculer numériquement pour une mole de fer de masse MFe 60 g. On donne R = 6000 km, g0 = 10 m · s-2 . Comparer la variation d'énergie potentielle à l'ordre de grandeur caractéristique d'une enthalpie de réaction chimique. I.3.3. Les matériaux les plus denses ont tendance à s'enfoncer vers le centre alors que les matériaux moins denses migrent vers la surface. Ce processus conduit à la différenciation du globe terrestre en un manteau externe, constitué des espèces les plus légères et recouvert d'une fine écorce, et un noyau interne, constitué des espèces plus lourdes. Calculer le rayon du noyau. Que peut-on dire, qualitativement, de la distribution de température dans le noyau à l'issue du processus de différenciation planétaire ? II. Refroidissement par conduction On suppose dans cette partie que le manteau terrestre est indéformable. Le seul mécanisme par lequel il peut évacuer son énergie interne est donc la diffusion thermique. On suppose pour simplifier que le manteau est homogène et que sa température au temps initial t = 0 est uniforme, de valeur Tc = 4000 K (valeur actuelle de la température à la limite entre le manteau et le noyau). On suppose également qu'un mécanisme externe maintient la température de surface Ts constante pour t > 0, avec Ts Tc . On admet enfin (ce qu'on justifiera par la suite) que la courbure de la planète est négligeable. Sa surface est par conséquent assimilée au plan d'équation z = 0, où z est la profondeur comptée positivement à partir de la surface. II.1. On suppose que la température T ne dépend que de la profondeur z et du temps t. Écrire l'équation aux dérivées partielles régissant l'évolution de la température T (z, t) pour z > 0 et t > 0. Cette équation fait apparaître un coefficient , dit coefficient de diffusivité thermique, dont on donne la valeur numérique = 10-6 m2 · s-1 . II.2. On cherche une solution de cette équation de la forme T (z, t) = f (), où = z/(2 t). Écrire l'équation différentielle que doit vérifier f . Vérifier que la solution générale de cette équation est Z f () = A exp(-s2 )ds + B, 0 où A et B sont des constantes d'intégration. II.3. On donne l'intégrale fonction de Tc et Ts . R + 0 exp(-s2 )ds = /2. Déterminer les expressions de A et B en II.4. Donner l'expression du gradient de température en z = 0, dit gradient géothermique, à l'instant t. II.5. Les mesures actuelles de la température dans le sous-sol donnent un gradient géothermique de 30 K · km-1 . En déduire que l'approximation qui consiste à négliger la courbure de la Terre est justifiée. Estimer numériquement l'âge de la Terre, en années, suivant ce modèle. Une année vaut approximativement 3 × 107 s. Le résultat obtenu vous paraît-il satisfaisant ? 3 III. Refroidissement par convection Le modèle de la partie précédente est incomplet pour deux raisons. D'une part, le manteau terrestre se comporte comme un fluide très visqueux, qui peut évacuer la chaleur par convection. D'autre part, la radioactivité constitue une source importante d'énergie, qui ne peut être négligée. Dans cette partie, on se propose de modéliser le phénomène de convection dans le manteau terrestre. On modélise celui-ci comme un fluide contenu entre les plans z = 0 et z = a. Comme dans la partie précédente, z désigne la profondeur comptée à partir de la surface. Le champ de vitesses eulérien du fluide ~v (~r, t) satisfait l'équation de Navier-Stokes 1 -- D~v = - gradP + ~g + ~v , Dt où D/Dt désigne la dérivée particulaire, la masse volumique du fluide, supposée ne dépendre que de la température, P sa pression, ~g le champ de gravitation, supposé constant et uniforme, la viscosité cinématique du fluide, et l'opérateur laplacien. On admet que l'équation d'évolution de la température T (~r, t) dans le fluide est donnée par l'équation de la diffusion thermique, dans laquelle on remplace la dérivée T /t par la dérivée particulaire DT /Dt. Comme dans la partie II, on note le coefficient de diffusivité thermique, supposé constant et uniforme. III.1. Chauffage par le bas On modélise dans un premier temps le chauffage du manteau terrestre par le noyau. On note Ts la température en z = 0 et Tc la température en z = a, supposées constantes, avec Tc > Ts . III.1.1. Montrer que ces équations admettent une solution statique avec ~v = ~0. On notera P0 (z), 0 (z) et T0 (z) les valeurs de P , et T pour cette solution. Déterminer T0 (z) et dessiner le profil de température. III.1.2. Pour déterminer si la solution statique est stable, on étudie l'évolution au cours du temps d'une petite perturbation. On pose P (~r, t) = P0 (z) + P1 (~r, t), (~r, t) = 0 (z) + 1 (~r, t), T (~r, t) = T0 (z) + T1 (~r, t), et on traite P1 , 1 , T1 et la vitesse du fluide ~v comme des perturbations du premier ordre. On suppose que la masse volumique ne dépend que de la température, et on note = -(1/)(d/dT ) le coefficient de dilatation thermique, supposé indépendant de T dans la gamme de température considérée. Linéariser l'équation de Navier-Stokes et l'équation de la diffusion thermique. Vérifier qu'elles se mettent sous la forme ~v t T1 t = - 1 -- gradP1 - ~g T1 + ~v 0 (z) = - vz + T1 , où est une constante dont on donnera l'expression. Expliquer quels sont, dans le membre de droite de ces équations, les termes qui favorisent la convection et ceux qui s'y opposent. 4 0 a /2 a z Figure 1. Cellules de convection. III.1.3. La résolution complète de ces équations linéarisées, auxquelles il faudrait ajouter la conservation de la masse, est complexe et montre que des rouleaux de convection, représentés sur la figure 1, peuvent apparaître sous certaines conditions. Nous allons nous contenter d'une solution simplifiée qui est correcte au milieu du manteau, au voisinage de z = a/2. On admet que le champ de vitesses y est principalement vertical, vx = vy = 0, et on cherche une solution ne dépendant que de x et t de la forme, en notation complexe vz (x, t) = Re [A exp(t + ikx)] T1 (x, t) = Re [B exp(t + ikx)] P1 (x, t) = Re [C exp(t + ikx)] , où A, B et C sont des amplitudes complexes, et et k sont réels. En insérant les trois relations ci-dessus dans les équations obtenues à la question III.1.2, obtenir la relation entre et k pour que le système ait des solutions non nulles. III.1.4. On cherche la condition sous laquelle peuvent apparaître des rouleaux de convection cylindriques (voir figure 1), qui correspondent à la valeur k = /a. Montrer que pour cette valeur de k, la solution statique est instable si le nombre de Rayleigh, défini par Ra = ga4 /, est supérieur à un seuil qu'on précisera. III.1.5. On donne les valeurs numériques a = 3000 km, Tc - Ts = 2000 K, = 2 × 10-5 K-1 , g = 10 m · s-2 , = 10-6 m2 · s-1 , = 1017 m2 · s-1 . Comparer la valeur de à son ordre de grandeur pour un liquide ordinaire. Calculer le nombre de Rayleigh et montrer que la convection dans le manteau est possible. Quelle caractéristique de ce système compense sa grande viscosité ? III.2. Chauffage interne On étudie maintenant le chauffage du manteau terrestre par la radioactivité interne. On note H la puissance par unité de masse dégagée par les désintégrations radioactives dans le manteau terrestre, supposée constante et uniforme. On néglige le chauffage par le noyau, et on considère par conséquent qu'il n'y a pas de transfert thermique à travers le plan z = a. Comme précédemment, on note Ts la température en z = 0, supposée constante. III.2.1. Comment est modifiée l'équation de la diffusion thermique en présence de la source de chaleur ? On notera C la capacité thermique massique, supposée constante. Déterminer la solution statique T0 (z) de cette équation en tenant compte des nouvelles conditions aux limites. Dessiner le profil de température. 5 III.2.2. Comme dans la partie III.1., on étudie l'évolution d'une petite perturbation autour de cette solution statique. Montrer que les équations obtenues à la question III.1.2. sont toujours valables, à ceci près que est une fonction de z. Exprimer la valeur de au milieu du manteau (z = a/2) en fonction de H, C, et a. III.2.3. Calculer numériquement le nombre de Rayleigh associé au chauffage interne. On donne H = 8 × 10-12 W · kg-1 et C = 103 J · kg-1 · K-1 . Le chauffage interne suffit-il à produire de la convection ? III.2.4. La réaction radioactive la plus importante est la désintégration du noyau 40 K, qui a une demi-vie d'environ 109 années. Que peut-on en conclure sur l'importance de la convection au début de l'histoire du globe terrestre ? III.3. Épilogue III.3.1. Des deux mécanismes de chauffage étudiés, lequel vous semble le plus important ? III.3.2. La convection dans le manteau transporte l'énergie thermique depuis le noyau vers les couches supérieures du manteau, à des profondeurs d'environ 30 km, où la température est voisine de 1000 K. La convection conduit-elle à un gradient géothermique plus grand ou plus petit que la conduction thermique seule, étudiée dans la partie II ? 6

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 X Physique 1 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet sur la géothermie des planètes est composé de trois parties : la genèse des planètes, leur refroidissement par conduction puis par convection. Les motivations de fond sont de discuter en parallèle le processus de chauffage du manteau terrestre et celui d'évacuation de l'énergie thermique associée vers la surface. · La première partie est consacrée à la formation des planètes. La première souspartie aborde le mécanisme initial de cette formation par accrétion de points matériels provenant de l'infini. Après une deuxième sous-partie très brève sur l'énergie thermique résultant de l'accrétion, une troisième sous-partie s'intéresse à la différenciation du noyau, c'est-à-dire à la séparation des éléments légers et lourds en manteau et noyau, sous l'effet combiné de la gravitation et de la poussée d'Archimède. Cette première partie constitue une entrée en matière ardue puisqu'il faut être capable de restituer ou de retrouver de nombreux résultats, en particulier de mécanique céleste, pour les utiliser immédiatement dans des raisonnements assez fins et peu guidés. · La deuxième partie envisage en parallèle le chauffage du manteau par le noyau et l'évacuation de cette énergie vers la surface par conduction. Cette courte partie suppose cette fois de bien maîtriser le cours sur la diffusion thermique, l'équation de diffusion étant un prérequis. De plus, si la résolution de l'équation est relativement guidée, elle nécessite une certaine aisance avec les équations aux dérivées partielles. · La troisième partie traite de l'apparition de rouleaux de convection dans le noyau. Après une première sous-partie s'intéressant à la croissance d'une instabilité convective dans un manteau chauffé par diffusion par le noyau, une deuxième envisage le même phénomène lorsque le chauffage du manteau se fait par désintégration d'éléments radioactifs. Aux compétences déjà requises dans la partie précédente s'ajoute cette fois la mécanique des fluides avec, en particulier, l'utilisation de la dérivée particulaire dans une autre équation que celle de Navier-Stokes. Il faut également savoir traiter un problème de diffusion thermique avec sources. Enfin, l'ensemble de ce travail doit pouvoir être fait dans une démarche de type perturbation. Ce sujet est particulièrement intéressant dans les thématiques qu'il aborde, notamment la genèse des planètes par accrétion et la croissance d'une instabilité de Rayleigh-Bénard. Cela le rend riche et donc susceptible de poser des difficultés puisqu'il allie, à un niveau avancé, maîtrise des savoirs, complexité des calculs et finesse des raisonnements. Notons, par ailleurs, que la première partie, bien que difficile, est entièrement traitable avec des outils de première année. À réserver aux candidats qui veulent se mettre en difficulté. Indications I. Genèse des planètes telluriques - I.1.1 Utiliser la méthode de la droite d'action pour déterminer L quand la masse est à l'infini. I.1.2 Le moment cinétique et l'énergie cinétique sont conservés. I.1.3 La vitesse de libération est la vitesse minimale que doit avoir un corps quand il quitte la surface d'une planète pour atteindre l'infini. I.1.4 Seuls les points matériels vérifiant l'inégalité de la question précédente atteignent la planète. I.3.1 Appliquer le théorème de Gauss au champ gravitationnel. I.3.2 L'enthalpie standard pour produire une mole d'eau est d'environ -300 kJ. II. Refroidissement par conduction II.3 Pour z fini, lorsque t tend vers 0, T tend vers Tc et tend vers l'infini. II.5 On peut négliger la courbure de la Terre si les variations de températures ont lieu sur des distances caractéristiques petites devant le rayon terrestre. III. Refroidissement par convection III.1.2 Utiliser, en le justifiant, que (T0 + T1 ) - (T0 ) 1 d = dT (T0 + T1 ) - T0 T1 III.1.4 La solution statique est instable si la fluctuation avec k = /4 peut croître exponentiellement. III.2.1 En présence d'une source, il faut ajouter, dans l'équation de diffusion, un terme H/C. La chaleur des planètes I. Genèse des planètes telluriques I.1.1 Le point matériel arrivant de l'infini avec une vitesse - v0 on peut, sans perte de généralité, choisir un système d'axe cartésien centré sur la planète tel que - v =v - e 0 0 x À l'infini, le point matériel se déplace donc suivant une droite parallèle à l'axe (Ox) située à une distance y0 de celui-ci. En terminant de fixer le système d'axe cartésien, on peut donc poser comme condition initiale que le point matériel à la vitesse - v0 en un point P0 de coordonnées (x0 , y0 , 0) avec x0 qui tend vers moins l'infini (et y0 > 0). En calculant le moment cinétique du point matériel par rapport à O en P0 puis en prenant la limite, on en déduit b : - -- L (P0 ) = m OP0 - v0 = -m v0 y0 - ez d'où b = y0 b est la distance entre le point O et la direction de la vitesse initiale du point matériel. y - v0 b O x b est généralement appelé « paramètre d'impact ». I.1.2 La trajectoire d'un point matériel soumis à l'attraction gravitationnelle d'un corps peut être de trois types : une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Le point matériel provenant de l'infini, sa trajectoire n'est pas fermée, ce n'est donc pas une ellipse. Par ailleurs, une trajectoire parabolique correspond à une vitesse à l'infini nulle. Par conséquent, si l'on suppose v0 non nul, La trajectoire du point matériel est une branche d'hyperbole. Le point matériel, que l'on note P, est soumis à la seule attraction gravitation - nelle F de la masse M située en O, - m M - F = -G OP OP3 - Il en résulte que son moment M en O est nul : - - - - M = OP F = 0 Ainsi, d'après le théorème du moment cinétique appliqué à P, - - - - dL = 0 soit L = L0 dt - où L0 est un vecteur constant. Or, lorsque P passe par le point de sa trajectoire le plus - proche de O, la distance OP vaut rmin et la vitesse est orthoradiale (normale à OP) de norme notée v m , d'où - k L k = m rmin v m vm soit, pour b, b = rmin v0 Il reste à déterminer v m . Pour cela, appliquons le théorème de l'énergie cinétique au point P. La masse m n'est soumise qu'à l'attraction gravitationnelle de M qui dérive de l'énergie potentielle mM Ep = -G OP Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à P entre l'infini, où sa vitesse vaut v0 , et le point de la trajectoire le plus proche de O, où sa vitesse vaut v m , donne 1 1 mM m v0 2 = m v m 2 - G 2 2 rmin r M ce qui s'écrit aussi v m = v0 2 + 2 G rmin r M On en déduit b = rmin 1 + 2 G rmin v0 2 I.1.3 La vitesse de libération est la vitesse minimale que doit avoir une masse m lorsqu'elle quitte la surface d'une planète pour atteindre l'infini. Dans le cas limite où la vitesse initiale de la masse est v , elle atteint l'infini avec une vitesse nulle. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre la surface de la planète, où OP = R et v = v , et l'infini, où Ep = 0 et v = 0, donne mM 1 m v 2 - G =0 2 R r 2GM d'où v = R La masse heurte la planète si la distance minimale d'approche rmin est plus petite que le rayon de la planète. Or, d'après la question précédente M 2 b2 = rmin + 2 G 2 rmin v0 ce qui implique que b2 est une fonction strictement croissante de rmin . De ce fait, l'inégalité rmin < R est équivalente à l'inégalité M GM 2 2 2 b < R +2G 2 R = R 1+2 2 v0 v0 R dans laquelle on reconnaît l'expression de v . On en conclut que la masse m heurte la planète si 2 v b2 < R2 + 1 v0 2