X Physique 1 PC 2009

Thème de l'épreuve Stabilité de la matière stellaire et interstellaire
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides
Mots clefs étoile, stabilité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2009 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Stabilité de la matière, stellaire et interstellaire Les nuages de gaz interstellaire que l'on trouve dans l'univers peuvent s'effondrer sous l'effet de leur propre champ gravitationnel et donner lieu à des structures denses, dont la stabilité même n'est pas nécessairement assurée. L'objet de ce problème est d'analyser certaines situations conduisant à ce phénomène. On admettra qu'une distribution de masse caractérisée par une masse volumique (~r) donne -- lieu à un champ gravitationnel ~g(~r) dérivant d'un potentiel (~r) avec ~g (~r) = -grad et tel que div ~g = -4G. Données numériques G = 6, 7 × 10-11 m3 · kg-1 · s-2 Constante gravitationnelle : NA = 6, 02 × 1023 mol-1 Nombre d'Avogadro : c = 3, 0 × 108 m · s-1 Vitesse de la lumière dans le vide : I. Première approche I.1 Si l'on cherche à déterminer le champ gravitationnel ~g (~r) résultant d'une distribution de masse volumique (~r), on peut s'appuyer sur une analogie électrostatique. Préciser, dans le cadre de cette analogie, les quantités qui jouent les rôles de ~g(~r), de (~r) et de G. I.2 Soit une boule de rayon R centrée à l'origine des coordonnées, dont la distribution de masse est à symétrie sphérique. Soient (r) la masse volumique, m(r) la masse de la boule de rayon r (pour r < R) et M la masse totale. I.2.1 Déterminer, pour r R, le champ gravitationnel ~g(~r) produit par cette boule de matière. 1 I.2.2 Déterminer de même, pour r < R, le champ gravitationnel ~g(~r) à l'aide de m(r). I.3 Soit une boule gazeuse de masse volumique uniforme, de masse M et de rayon R0 , initialement au repos. Elle s'effondre sous l'effet de son propre champ gravitationnel. On suppose que ce mouvement garde à tout moment la symétrie sphérique ; on fait l'hypothèse qu'un élément quelconque du milieu gazeux, de masse µ, initialement à la distance r0 , a un mouvement de chute libre, c'est-à-dire qu'il n'est soumis qu'à la force de gravitation du gaz situé initialement à une distance du centre inférieure à r0 et qui se contracte. I.3.1 On rappelle la loi de Kepler reliant, dans le cas d'une trajectoire elliptique d'un corps attiré par une masse ponctuelle M0 , la période au demi-grand axe a : = 2(a3 /GM0 )1/2 . En déduire l'expression de la durée de chute g jusqu'à l'origine en fonction de G et . Cette durée dépend-elle de r0 ? I.3.2 Calculer g pour M = 2, 0 × 1030 kg et R0 = 7, 0 × 108 m (valeurs correspondant au Soleil). Même calcul pour un nuage intergalactique sphérique, de rayon 108 fois celui du Soleil et possédant dix atomes d'hydrogène par cm3 . I.3.3 Quelle force antagoniste, non prise en compte, peut freiner un tel effondrement et éventuellement l'arrêter ? I.4 On suppose que le gaz de la boule précédente possède une température moyenne T non nulle. Ce gaz est supposé parfait, monoatomique et de masse molaire MA . I.4.1 Donner l'expression de l'énergie cinétique totale Ucin du gaz en fonction de T, M, MA et de la constante des gaz parfaits RGP . I.4.2 L'énergie potentielle de gravitation Eg de la boule est donnée par : Eg = - 3 GM 2 . 5 R0 Si Eg + 2Ucin < 0, on montre qu'un effondrement s'amorce. Déterminer le rayon critique Rc tel que, à fixé et pour R0 > Rc , ce phénomène se produit. Exprimer Rc en fonction de , T , et des constantes G, MA et RGP . I.4.3 Soit cS la vitesse des ondes acoustiques dans le gaz et S = R0 /cS une estimation du temps mis par une perturbation acoustique pour aller de la surface au centre. Expliciter cS en fonction de T, MA et RGP et exprimer S . Montrer que S est supérieur à g pour R0 > RS où RS est une distance que l'on explicitera en fonction de , T , et des constantes G, MA et RGP . Quelle interprétation dynamique vous suggère la comparaison de RS et Rc ? 2 II. Stabilité d'une étoile On s'intéresse dans cette partie aux propriétés d'une étoile dense, comme le Soleil, que l'on décrira comme une boule de gaz parfait à symétrie sphérique de masse totale M . On reprend les notations de la partie I : (r), m(r), ~g(~r) et on en utilisera les résultats. II.1 On suppose la distribution à l'équilibre. II.1.1 Exprimer, à l'aide de m(r) et (r), la force de gravitation par unité de volume à la distance r du centre. II.1.2 Dans le fluide règne une pression locale P (r) avec P (R) = 0 à la surface. Exprimer la dP . condition d'équilibre ; en déduire dr II.2 On s'intéresse à l'aspect énergétique. Soit Eg l'énergie potentielle de gravitation de toute la boule et dEg la contribution à cette énergie de la couche sphérique de masse dm(r) située entre r et r + dr. II.2.1 Exprimer dEg à l'aide de m(r) et de dm(r) . II.2.2 Montrer que dEg s'écrit dEg = II.2.3 Montrer que Eg = -3 comprise entre r et r + dr. Z R dP 4r 3 dr. dr P dV où dV = 4r 2 dr est le volume de la couche sphérique 0 II.3 Rappeler l'expression de l'énergie interne molaire Umol d'un gaz parfait en fonction de la capacité thermique molaire CV et de la température thermodynamique T . Soit = CP /CV . Exprimer Umol en fonction de , de T et de la constante des gaz parfaits RGP . II.4 Déduire de cette expression et de la précédente une relation entre Eg et l'énergie interne totale U du gaz. On supposera que est uniforme. II.5 Exprimer l'énergie totale E de la boule en fonction de U . Déterminer à quelle condition portant sur l'étoile est stable. II.6 Que devient la relation entre Eg et U obtenue en II.4 pour = 5/3. À quel type de gaz correspond cette valeur ? À quelle forme d'énergie correspond alors U ? II.7 Si la température T croît, écartant un peu le système de l'équilibre, les réactions nucléaires s'accroissent et fournissent plus d'énergie. En utilisant II.5, comment interprétez-vous le retour à l'équilibre, donc la stabilité, du Soleil ? 3 III. Évolution d'une perturbation On suppose que l'univers est constitué de matière que l'on traitera comme un fluide non visqueux, caractérisé par un champ de masse volumique (~r, t) , un champ de vitesse ~v (~r, t) et un champ de pression P (~r, t). On appellera ~g(~r, t) le champ gravitationnel local. On suppose qu'en plus de la pression et de la gravitation, il existe une autre force extérieure de densité volumique f~V (~r, t) = (~r, t)~(~r, t) caractérisée ici par le champ vectoriel ~(~r, t). III.1 Écrire l'équation locale traduisant la conservation de la masse. III.2 Écrire l'équation d'Euler traduisant localement le principe fondamental de la dynamique. III.3 Écrire l'équation locale reliant ~g et . III.4 On suppose que le milieu est suffisamment dilué pour négliger la pression : P0 = P (~r, t) 0. On considère à un instant t0 une région de masse volumique uniforme 0 et au repos : ~v (~r, t0 ) = ~0 ; on note ~g0 (~r) le champ gravitationnel dans cette région, et on suppose ~(~r, t) = -~g0 . III.4.1 Montrer que = 0 et ~v = ~0 est solution des équations précédentes pour t > t0 (solution statique). III.4.2 À un instant donné, cette région est soumise à une perturbation ; son état est alors caractérisé par le champ de vitesse ~v1 = ~v (~r, t), la masse volumique = 0 + 1 et le champ ~g = ~g0 + ~g1 ; on suppose toujours P = 0 et ~ = -~g0 . Exprimer les trois équations qui relient ~v1 , 1 et ~g1 . Les linéariser par rapport à ces trois variables. En déduire l'équation satisfaite par 1 . Qu'en concluez-vous sur l'évolution de la perturbation ? Préciser le temps caractéristique d'évolution. III.5 La croissance d'une perturbation crée progressivement une surpression P1 . III.5.1 Écrire l'équation d'Euler en tenant compte de cette pression et la linéariser. III.5.2 La pression et la masse volumique du fluide sont liées par l'équation d'état P (). 2 1 Montrer que 1 est solution de l'équation : = c2S 1 + 4G0 1 où on exprimera cS en t2 dP fonction de . d III.5.3 On cherche alors des solutions de l'équation précédente sous la forme P1 (~r, t) = A exp i(~k · ~r - t). Exprimer la relation de dispersion (k) donnant en fonction de k. 4 III.5.4 Montrer qu'il existe un nombre d'onde critique kJ tel que, pour k < kJ , les perturbations sont exponentiellement amplifiées. Exprimer la longueur caractéristique associée J = 2/kJ en fonction de G, 0 et cS . Comparer cette longueur aux rayons Rc et RS déterminés en I.4.2 et I.4.3. III.5.5 On désigne par masse de Jeans et on note MJ la masse de la boule de rayon J /2. En donner l'expression. Traduire la stabilité du fluide par une condition sur sa masse totale M et sur MJ . IV. Univers en expansion et stabilité L'Univers est en expansion uniforme. Une origine étant choisie (arbitraire, l'espace étant homogène et isotrope) et un repère R d'observation déterminé, soit ~s le vecteur position d'un point matériel de l'espace à l'instant de référence tR . À un instant t, ce point matériel se trouve en ~r(t) = a(t)~s où a(t) est un facteur d'échelle universel, avec a(tR ) = 1. Il est donc en mouvement d~r a dans R avec la vitesse ~v = = a~s = ~r. dt a Dans cette partie, on suppose ~(~r, t) ~0. IV.1 On considère deux points matériels A et B repérés respectivement par ~rA et ~rB . Expliciter leur vitesse relative ~vA - ~vB . En déduire que tout point, par exemple B, peut être choisi comme « centre » de l'expansion. IV.2 La matière constituant l'univers est, comme en III.4, considérée comme un fluide non visqueux de masse volumique uniforme 0 (t), de pression P0 = 0 mais animé dans R d'une a vitesse locale ~v0 (~r, t) = ~r. a IV.2.1 L'équation obtenue en III.1 est satisfaite par la solution 0 (t) = a-3 (t)0 où on a posé 0 = 0 (tR ). Montrer que l'intégrale de 0 (t) sur une boule de rayon r(t) est une constante au cours du temps. Quelle propriété physique ce résultat traduit-il ? IV.2.2 Montrer que l'équation obtenue en III.2 est satisfaite par ~g0 (~r, t) = - condition que aa2 soit une constante que l'on précisera. 4G0 (t) ~r à 3 IV.2.3 Une solution a(t), correspondant à un modèle cosmologique particulier, est telle que a(t = 0) = 0. Déterminer cette solution en cherchant pour a(t) une dépendance temporelle de la forme t . IV.2.4 Exprimer H(t) a/a en fonction de t. On pose HR = H(tR ). Exprimer tR en fonction de HR . Pourquoi appelle-t-on tR « âge de l'univers » ? Calculer l'âge que donne ce modèle avec la valeur de HR que permet d'obtenir l'expérience : HR = 71 km · s-1 · Mpc-1 . Le parsec (symbole « pc ») est une unité de longueur couramment utilisée en astronomie et adaptée aux grandes échelles de distance : 1 pc = 3, 262 année-lumière ; son multiple Mpc est le mégaparsec. 5 IV.3. On cherche à déterminer l'évolution temporelle d'une perturbation, l'état de base étant celui étudié en question IV.2 et caractérisé par {0 (t), ~v0 (~r, t), g0 (~r, t), P0 = 0} . On pose : = 0 + 1 (~r, t), ~v = ~v0 + ~v1 (~r, t), ~g = ~g0 + ~g1 (~r, t), P = P0 = 0 et on ne retiendra dans les équations que les termes linéaires en 1 , ~v1 et ~g1 . IV.3.1 En utilisant l'opérateur de dérivation à l'ordre zéro : l'équation de conservation de la masse (cf.III.1) conduit à : d ~ montrer que = + (~v0 · ), dt t a d1 + 3 1 + 0 div ~v1 = 0 . dt a On pose = 1 (~r, t) d et = . Montrer que + div ~v1 = 0. 0 (t) dt IV.3.2 Montrer de même que l'équation d'Euler (cf. III.2) conduit à l'équation : d~v1 a + ~v1 = ~g1 . dt a IV.3.3 Écrire l'expression reliant ~g1 et 1 . Cette relation forme avec les deux équations obtenues aux questions précédentes un système fermé. En éliminant ~g1 et ~v1 , montrer que satisfait l'équation différentielle : a + 2 - 4G0 = 0 . a Indication. On utilisera le fait que ~r évoluant proportionnellement à a(t), on a pour tout champ de vecteur V (~r, t) : ~ d ~ = - a div V ~ + div dV . div V dt a dt IV.3.4 En utilisant l'expression de 0 (t) et celle de a(t) obtenue en IV.2.3 expliciter l'équation différentielle de . L'équation admet des solutions de la forme t ; en donner la solution générale. Qu'en concluez-vous sur l'évolution temporelle d'une perturbation ? La comparer à celle obtenue en III.5.4. 6

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 X Physique 1 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jimmy Mullaert (École Polytechnique) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Les structures stellaires que l'on trouve dans l'univers ont une masse importante et peuvent par conséquent s'effondrer sous l'effet de la gravitation. Cet effondrement est compensé par d'autres forces répulsives qui permettent la stabilité de l'ensemble. Ce sujet vise à comprendre pourquoi les étoiles comme l'univers tout entier sont stables, et comment ils réagissent à de faibles perturbations, grâce à une linéarisation des équations qui régissent leur dynamique. · La première partie développe une analogie entre les interactions gravitationnelle et électrostatique. On établit une estimation de la durée de l'effondrement, ainsi qu'une taille limite au-delà de laquelle l'effondrement se produit, à partir d'un argument énergétique. · Dans la deuxième, on établit une relation entre l'énergie potentielle de gravitation d'une étoile et son énergie interne. L'étoile est assimilée à un gaz parfait. Une condition de stabilité sur le coefficient de Laplace fournit une explication à la stabilité du Soleil. · La troisième est consacrée à l'étude de la stabilité de l'univers vis-à-vis de petites perturbations de densité. Dans un premier temps, on néglige la pression, ce qui conduit à une instabilité. Par la suite, la prise en compte du gradient de pression dans l'équation d'Euler donne une équation des ondes modifiée avec un terme d'ordre 0 (équation de Klein Gordon). La relation de dispersion fait apparaître l'instabilité de Jeans vis-à-vis des grandes longueurs d'onde. · Dans la dernière partie, on démontre l'instabilité d'un modèle d'univers en expansion en suivant le même cheminement que dans la partie précédente. En résumé, le sujet couvre une grande partie du programme de physique, de la thermodynamique à la mécanique des fluides en passant par les phénomènes de propagation et de dispersion. Il comporte quelques questions de cours, mais aussi de difficiles questions d'interprétation qui testent efficacement le sens physique des candidats. Indications Partie I I.1 Utiliser l'équation locale fournie par l'énoncé. I.2.1 Analyser les invariances et symétries du problème puis utiliser le théorème de Gauss. I.3.1 Montrer tout d'abord que la masse de gaz située à une distance inférieure à celle de la masse µ est constante lors de la chute. Enfin, la chute libre peut être assimilée à une demi-ellipse très aplatie. Partie II II.1.2 Le champ de force volumique qui résulte d'une pression non homogène est - -- f v = - grad P. Ici, le gradient est radial en raison de la symétrie sphérique. II.2.3 Écrire l'énergie potentielle comme une intégrale des énergies élémentaires calculées ci-dessus. Réaliser une intégration par parties. II.3 Exprimer la capacité thermique molaire CV à l'aide de en utilisant la relation de Mayer CP - CV = RGP . II.4 Écrire l'énergie contenue dans la couronne comprise entre les rayons r et r+dr en fonction de dr puis en fonction de dV. Intégrer entre r = 0 et r = R pour obtenir E. Reconnaître l'intégrale qui apparaît dans l'expression de Eg . Partie III III.2 Ne pas oublier le gradient de pression. III.3 La formule est donnée au début de l'énoncé. III.4.2 Il faut négliger les termes d'ordre 2 pour que l'équation obtenue soit linéaire. Utiliser également la question précédente pour simplifier l'expression. Afin d'obtenir l'équation vérifiée par 1 , il faut dériver l'équation de conservation de la masse et éliminer - g1 et - v1 grâce aux deux autres relations. III.5.2 Linéariser la loi de comportement au voisinage de 0 . III.5.3 C'est 1 qui est une onde plane. Utiliser l'équation de propagation pour en déduire une condition sur et k. III.5.4 Si est complexe, l'amplitude de l'onde plane augmente exponentiellement au cours du temps. IV.2.2 IV.2.3 IV.3.1 IV.3.2 IV.3.3 Partie IV - - Exprimer r et v en fonction de a. Injecter a(t) = A t dans l'équation précédente. Pour qu'un tel monôme en t soit constant, il faut que la puissance de t soit nulle. Il faut éliminer les termes d'ordre 2 et utiliser l'équation de conservation de la masse qui fait apparaître la dérivée particulaire. Utiliser l'équation d'Euler satisfaite par la vitesse - v0 . Attention à l'opérateur de dérivation d'ordre 0. La convection se fait ici à la vitesse - v0 + - v1 . Procéder de même qu'à la question III.4. Stabilité de la matière, stellaire et interstellaire I. Première Approche I.1 Si on compare l'équation locale fournie par l'énoncé div - g = -4 G avec l'équation de Maxwell-Gauss, - div E = 0 on peut faire une analogie en identifiant charge volumique et masse volumique . De même, on identifie les champs électrostatique et gravitationnel, ainsi que la constante G et -1/40. Il est bon de connaître les limites de cette analogie : la force électrostatique peut être répulsive alors que la force gravitationnelle est toujours attractive. I.2.1 Considérons un point M quelconque, différent de l'origine. Tout plan contenant la droite (OM) est un plan de symétrie pour la densité . Comme - g est un vecteur polaire, il appartient à l'intersection de tous ces plans, c'est-à-dire - g =g- er En raison des invariances du problème par rotation autour de n'importe quel axe passant par l'origine, la norme de - g ne dépend que de la distance r à l'origine. Finalement, - g (- r ) = g(r) - er Considérons la boule B de centre l'origine et de rayon r > R. D'après la forme gravitationnelle de l'équation de Gauss, on a ZZZ ZZZ div - g dV = - 4 G(r) dV = -4 G M B B Or, si l'on note S la surface de la sphère entourant B, avec sa normale orientée vers l'extérieur, le théorème d'Ostrogradski permet d'écrire ZZZ ZZ - - div - g dV = g · d = 4 r2 g(r) B On en déduit S GM - g (- r)=- 2 - er r On voit que dans le cas r > R, le champ obtenu est le même que celui créé par une masse ponctuelle M placée à l'origine. I.2.2 Le raisonnement précédent reste valable à condition d'adapter la masse contenue dans la sphère fictive qui ne vaut plus M, mais m(r). G m(r) - - g (- r)=- er r2 I.3.1 On remarque tout d'abord que la masse située à une distance à l'origine inférieure à celle de la masse µ ne varie pas pendant la chute car l'étoile s'effondre en gardant sa symétrie sphérique. On peut donc considérer que la masse µ est en chute libre dans le champ de pesanteur d'une masse ponctuelle M0 . La trajectoire est par conséquent une conique dont le centre de l'astre de masse M0 est l'un des foyers. Comme la vitesse initiale est nulle, l'énergie de la particule est strictement négative et la trajectoire est une ellipse. De plus, la vitesse orthoradiale initiale est nulle, si bien que l'ellipse se réduit à un segment et les foyers en sont les extrémités. Si on note a le demi grand axe et b le demi petit axe de l'ellipse, la demidistance c entre les foyers est reliée à l'excentricité e par c = ea et a2 = b 2 + c2 Ainsi, si l'excentricité tend vers 1 et a reste fixé, alors c tend vers a et b tend vers 0. On a bien une ellipse aplatie avec les foyers situés aux extrémités. Attention, dire que l'on fait tendre l'excentricité vers 1 ne suffit pas : si on laisse le paramètre de l'ellipse p = b2 /a constant et que l'on fait tendre l'excentricité vers 1, on obtient une parabole. Géométriquement, si on se donne deux points F et F , l'ellipse de foyer F et F est le lieu des points M pour lesquels MF + MF = Cte Si on prend la constante égale à FF , on obtient le segment [FF ] et les foyers de cette ellipse plate sont bien ses extrémités. La particule est initialement à l'apogée de sa trajectoire. La hauteur de chute r0 est par conséquent égale au grand axe de l'ellipse. Dans ces conditions, la durée de la chute est la moitié de la période de révolution donnée par la loi de Kepler. On obtient s R0 3 g = 8 G M0 4 R0 3 , on obtient 3 r 3 g = 32 G Finalement, en remarquant que M0 = Cette grandeur ne dépend plus de la hauteur initiale r0 , ce qui signifie que deux masses identiques placées à des distances différentes de l'origine mettent le même temps à rejoindre l'origine lors de l'effondrement. On peut retrouver la formule donnant le temps de chute. Écrivons l'égalité des énergies massiques entre les positions r et r0 : r2 G M0 G M0 - =- 2 r r0 r dr 2 G M0 r0 c'est-à-dire =- -1 dt r0 r Séparons les variables et intégrons entre r = r0 et r = 0 : Z g Z 0 dr r g = dt = - 2 G M0 r0 0 r0 -1 r0 r