X Physique 1 PC 2006

Thème de l'épreuve Propagation de signaux électriques
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrocinétique, ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2006 FILIÈRE PC PREMIERE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Propagation de signaux électriques L'objet de ce problème est d'étudier. la propagation de signaux électriques dans diverses structures conductrices. Dans la première partie, on s'intéresse à la propagation dans un câble dit << coaxial >>. L'équation de propagation est établie ainsi que certaines caractéristiques des ondes se propageant dans le câble. Dans la seconde partie, la structure de propagation, ou « ligne >>, est une chaîne constituée de l'association en série de cellules LC . La propagation y présente un aspect dispersif qui est étudié. Dans la troisième partie, on montre comment l'introduction d'un élément non linéaire permet de contrebalancer l'effet dispersif de la ligne; des solutions « solitons >> de l'équation de propagation sont mises en évidence. Données numériques : Permittivité du vide : 50 : 8, 854 >< 10--12F-m"1 = 3 >< 108m-s'"1 Vitesse des ondes EM dans le vide : c = \/80M0 Formulaire : f étant un champ scalaire et ä un champ vectoriel : rot( f (L') = f rot ä + grad f /\ ä' ch(u + v)ch(u -- v) = ch2u + sh2v divÊ=£-- rotË=-------- Équations de Maxwell dans le vide 50 375 , 4 # 3Ê div B = 0 rotB = ,u0j + 80N0--ÔÎ I. Propagation dans un câble coaxial Le câble, schématisé figure 1, est formé de deux cylindres métalliques, de sections circulaires, coaxiaux et de rayons respectifs p1 et pg(p1 < pg). Le premier cylindre 1 est plein, c'est l'âme du câble, et le deuxième 2 est creux, c'est la gaine. On supposera les cylindres de très grande conductivité; les charges et courants électriques qu'ils transportent seront, aux fréquences de travail, considérés comme surfaciques et le champ électromagnétique est nul dans le volume des conducteurs. De plus il ne circule aucun courant sur la surface extérieure de la gaine. L'espace entre les deux cylindres est empli d'un milieu isolant homogène dont les caractéristiques sont supposées indépendantes de la fréquence; on admettra alors qu'il suffit de remplacer dans toutes les équations de Maxwell 50 par 5 = 808,-- où EUR,... est la permittivité relative de l'isolant. Données numériques du câble : q51 : 2p1 : 1,0 mm, (bg : 2pg = 3, 5 mm,er ='2, 25. Coupe longitudinale Coupe transversale Figure 1 -- Schéma du câble coaxial Un point M entre les cylindres sera repéré par ses coordonnées cylindriques (p, 9 , 2), Oz étant l'axe des cylindres. On désigne par (EUR... 59, ë},) le repère orthonormé associé. 1.1. Caractéristiques électriques du câble On cherche dans ces premières questions à. identifier quelques quantités électriques caracté-- ristiques du câble. Capacité linéique. On suppose que l'âme porte la charge Q par unité de longueur. 1.1.1 En un point M compris entre les conducteurs, établir l'expression du vecteur champ électrique E en fonction de Q, de p et EUR = 5057. ; on négligera tout effet de bord. 1.1.2 En déduire l'expression de la différence de potentiel entre les cylindres, V1 -- Vg, en fonction de Q, p1 et pg. 1.1.3 Exprimer la capacité linéique 1' du câble en fonction de pl et pg. 1.1.4 Calculer la valeur numérique de 1' et celle de V1 ----- Vg pour Q = 1 nC - m"1. À quelle distance de l'axe le champ E prend--il sa valeur maximale Emax dans le milieu isolant ? Calculer Emax. Inductanoe linéique. On suppose le conducteur central parcouru par un courant surfacique continu d'intensité I. 1.1.5 Donner l'expression du vecteur champ magnétique Ë en fonction de I et de p en un point M compris entre les conducteurs; on négligera tout effet de bord. 1.1.6 On considère un tronçon de longueur unité limité par deux plans orthogonaux à l'axe. Le flux magnétique propre <1> de ce tronçon est le flux de B a travers un demi--plan 9 : Cste, limité par les extrémités du tronçon. Trouver l'expression de (1) en fonction de I, pl et pg. 1.1.7 En déduire l'inductance linéique du câble A en fonction de pl et pg. 1.1.8 Calculer la valeur numérique de A. À quelle distance de l'axe le champ B prend--il sa valeur maximale Bmax dans le milieu isolant ? Calculer Bmax pour I = 100 mA. 1.1.9 Si on suppose maintenant que l'intensité I est répartie en volume dans le conducteur central, l'inductance par unité de longueur sera--t--elle modifiée ? 1.2. Onde électromagnétique TEM On cherche a montrer qu'un champ électromagnétique a la fois transverse électrique et trans- verse magnétique (mode TEM) peut se propager entre les deux conducteurs. On considère une onde progressive (E, B) de la forme : Êo(OE. y)e'(w'"'"". Êo(OE. y)EUR'(wt_kz' avec des composantes nulles selon Oz et la > 0. 1.2.1 Montrer que ké} /\ Ë0 = wËO et ké} /\ ËO = --weu0Êo. Quelle est la structure locale du champ EM ? 1.2.2 En déduire la relation de dispersion qui relie le et w. Quelle est la vitesse de phase 1) de cette onde; l'exprimer en fonction de s.,. et c. Préciser le rapport entre la norme de E et celle de Ë. 1.2.3 Le champ EM doit satisfaire les conditions aux limites du système. Justifier que c'est le cas pour l'onde caractérisée par EO (p) = EO (,0)ê'p et B0 (p) = BO (p)ëg. 1.2.4 Soit I (z, t) l'intensité du courant parcourant le conducteur interne. Montrer que I (2, t) est de la forme I (27, t) = 10EURj(wt--kz), et exprimer Bo(p) en fonction de lo et p. 1.2.5 Quelle est l'intensité parcourant le conducteur externe ? 1.3. Aspect électrocinétique; impédance caractéristique Pour z fixé et à un instant t donné, on définit localement la différence de potentiel U (z,t) 1 --0 entre le conducteur interne 1 et l'externe 2 par U (2,15) = -- / E(p, z,t) -- dl, la circulation du 2 champ électrique étant prise sur une "courbe plane du plan z fixé reliant les deux conducteurs. 1.3.1 Montrer que, pour l'onde TEM analysée en 1.2, U(z,t) est indépendant de la courbe plane choisie pour relier dans ce plan les conducteurs et montrer que U (z, t) s'exprime sous la forme : U(z,t) = UOeÎ("'t_kz). Peut--on définir, pour cette onde, un potentiel scalaire V(p, z, t) tel que E en soit partout, au signe près, le gradient ? Expliciter les raisons de votre réponse. 1.3.2 Déterminer le rapport Z; = U (2, t) / I (2, t). Quelle est la propriété remarquable de cette impédance appelée « impédance caractéristique » ? A 1.3.3 Montrer que ZC : \/;. 1.3.4 On considère maintenant une onde TEM du même type mais se propageant en sens inverse. Quelles sont alors les dépendances spatiotemporelles de U (z, t) et I (z, t) pour cette onde '? En déduire l'expression de U / I en fonction de Zc. ' 1.3.5 Calculer numériquement Zc et la vitesse de propagation v a partir des données. 1.4. Réflexion en bout de câble Un signal de tension UinC(z,t) : Aexp j (cut -- kz) se propage dans le sens des z croissants. Il atteint l'extrémité du câble en z = 0. À cette extrémité les deux conducteurs cylindriques sont reliés par une impédance Z (ou) 1.4.1 Quelle condition doivent vérifier tension et courant en z = 0? En déduire l'existence d'un signal réfléchi Uref(Z, t) : B exp j(wt + kz) et expliciter la relation entre A, B, Z et Zc. 1.4.2 Exprimer le coefficient de réflexion en tension ?" : B /A en fonction de Z et Zc. Quelle est sa valeur pour Z = 00 (circuit ouvert) ? même question pour Z = 0 (court--circuit) ? Les résultats obtenus en 1.3 se généralisent a toute onde TEM progressive correspondant au signal U (t =F 2/11) et d'intensité I (t :|: 2/0) associée. 1.4.3 Quelle caractéristique de la propagation dans ce câble justifie cette généralisation? Préciser l'hypothèse de travail essentielle à cette propriété. 1.4.4 Le signal incident est un signal rectangulaire de durée 7' courte par rapport au temps de propagation dans le câble. Donner sans calcul l'allure du signal réfléchi dans le cas d'une extrémité ouverte, puis dans le cas d'une extrémité en court-circuit. 1.4.5 L'extrémité du câble est maintenant fermée sur une résistance R. Pour quelle valeur de R n'y a--t-il aucun signal réfléchi ? ' 1.4.6 Expliquer avec la valeur numérique obtenue à la question 1.3.5 l'intérêt d'avoir un générateur de signaux dont l'impédance de sortie est de 50 Q. 11. Propagation sur une ligne électrique On considère une << ligne électrique >> composée d'une suite de « cellules » identiques. Le schéma de la ligne est donné dans la figure 2. Dans la cellule n, on note Vn la tension aux bornes de la capacité C, Qn la charge de celle--ci et In le courant traversant l'inductance L. L'étude est menée dans le cadre de l'électrocinétique. 11.1. Equation d'évolution 11.1.1 Exprimer la dérivée par rapport au temps de Qn uniquement en fonction des courants et celle de In en fonction des tensions. d2 II.1.2 En déduire que dtîn 2 exprimera en fonction de L et C' . Figure 2 - Ligne de cellules LC en série II.2. Aspect énergétique d 1 1 Calculer Elt-- (5CVn2 + 5Llä) et l'exprimer en fonction de Vn_1, V... In et In+1. Interpréter la relation obtenue en précisant le rôle de chaque terme. 11.3. Propagation On cherche une solution sinusoïdale Vn(t) de l'équation obtenue en 11.12 (en nota-- tion complexe _l_/fi(t) = Anejwt) telle que l'effet de chaque cellule soit un déphasage & fixé Vn+1 = _lfae_ja (retard si 01 > O). II.3.1 Exprimer An en fonction de A0, n et oz. II.3.2 Trouver la relation de « dispersion » entre a et w. II.3.3 Montrer que ces solutions n'existent que si ca est inférieur à une certaine fréquence wc que l'on exprimera. Quel est alors le domaine utile de variation de oz ? II.3.4 Si cette condition est vérifiée, pourquoi peut--on parler de propagation de la phase? Préciser la « vitesse » de propagation 'vç, correspondante, la vitesse étant définie ici comme le nombre de cellules parcourues par unité de temps ? II.3.5 On suppose maintenant au << cm. En explicitant oz en fonction de w, exprimer ch. Que constate--t--on ? En déduire que l'effet d'une cellule sur un signal électrique, composé de fré-- quences suffisamment basses, se traduit par un retard temporel 7' que l'on exprimera en fonction de tag, justifiant ainsi le nom de << ligne à retard >> donné à ce système. II.3.6 Application numérique. C' =10nF, L =25 ,uH. Calculer wo et T. Combien de cellules faut--il mettre en série pour obtenir un retard total de 0,1 ms? Quelle serait la longueur d'un câble coaxial comme celui étudié en I qui produirait le même retard ? 11.4. Effets dispersifs On se place dans le cas où au < wc et a > O. II.4.1 Rappeler la définition et l'interprétation de la vitesse de groupe 719. En donner l'ex-- pression en fonction de cm et a ; donner l'allure de son graphe en fonction de 04. Que constate--t--on pour a : 7r ? II.4.2 En notation complexe, l'intensité I,, est de la forme £n(t) = Bnej'"t. Exprimer B..., en fonction de A... L, wo et &. Calculer la moyenne temporelle de l'énergie de la cellule (n) : 1 1 E : <ëCVn2 + --Llä> ainsi que celle de la puissance P reçue de la cellule (n -- 1). En déduire le 2 rapport P/ E. Que retrouve--t--on ? II.4.3 Expliquer qualitativement comment va évoluer un signal non monochromatique se propageant le long de cette ligne. Comment appelle--t--on ce phénomène '? II.5. Impédance caractéristique II.5.1 Pour un signal sinusoïdal avec a: > O, expliciter le rapport Zc : fi/ In+1 de la tension et du courant de sortie de la cellule (n), appelé << impédance caractéristique >>. II.5.2 Montrer que la partie réactive XC de cette impédance est celle d'une inductance L' que l'on précisera. II.5.3 En exprimer la partie résistive RC en fonction de L, C' et 04, puis de L, C et au. En étudier la valeur pour u) << wo et pour au --> wc. Commenter ces résultats. II.5.4 Pour une ligne de longueur finie, et pour des signaux correspondant à ca << wo, sur quelle impédance faut--il fermer la ligne pour ne pas avoir de signal réfléchi? En utilisant les valeurs numériques de 11.3.6, calculer L' et la valeur de RC correspondante. III. Le soliton de Toda Dans cette partie, on cherche à compenser les effets dispersifs vus précédemment. Pour cela, on remplace le condensateur présent dans chaque cellule de la partie II, par un dipôle non linéaire, représenté figure 3.a et comportant une diode D. Cette diode est polarisée en inverse par la tension continue Vg. Pour la propagation dans la ligne, la diode D se comporte alors comme un condensateur de capacité variable Cp(V) dépendant de la tension V a ses bornes, et donc de la polarisation Vb choisie et du signal Vn (t) propagé. III.1. Modélisation de la capacité variable III.1.1. Expliquer qualitativement comment on peut choisir les valeurs de la résistance de polarisation R0 et de la capacité linéaire Go pour que l'ensemble soit équivalent en régime variable à une capacité variable CD(VO--l--Vn) soumise àla tension VO+Vn. On supposera cette modélisation valable par la suite (figure 3.b). III.1.2. On place, en parallèle avec l'élément non linéaire CD de la figure 3.b, une capacité linéaire CL. Il est possible de choisir judicieusement la valeur de CL pour que l'on ait approxi-- 1 mativement ---------------- s a + bV sur le domaine V E [1V, 3V]. CL + CD(V) En déduire que la charge Q(V) portée par la capacité variable soumise à la tension V0 + V,, Vn est de la forme : Q(Vg + V n)-- -- Cste + Qoln (l +-- F --) où QD et F0 sont des constantes que l'on 0 exprimera en fonction de a, b et V6. V=VO+Vn CD(V) <---> & b Figure 3 - Dipôle non linéaire remplaçant la capacité C III.2. Propagation de solitons sur la ligne III.2.1 Reprendre l'étude faite au 11.1. et montrer que, désormais : (122 V,, Fo III 2 2 Montrer ue V (t) -- FOQ2 est Solution de l'é uation récédente avec ' ' q "' _ ch2[Qcmî -- Pn] q p Lroä : F0 et Q : sh(P) où P est un paramètre sans dimension. On pourra exprimer le second membre de l'équation de 111.21 en utilisant la relation suivante, valable pour tout n : 2 2 2 Q CO d m-- 'Ælfl[Ch(QCÛÉ _ [EUR)] . III.2.3 rIïracer l'allure de cette solution a t fixé en fonction de n. Exprimer sa vitesse de propagation ?) (nombre de cellules par unité de temps) a l'aide de CO et P. Quelle est son amplitude maximale Vmax ? Son étalement (ordre de grandeur de sa largeur)? Montrer qu'une telle onde n'existe que si 11 est supérieur a une valeur critique que l'on précisera. III.2.4 Application numérique. On prend L = 220 ,uH, @@ = 3, 5 nC et F0 : 4, 5 V. Calculer Co. Expérimentalement on a observé sur une telle ligne 1) = 2, 5 cellules [LS--1. Évaluer l'amplitude de V,, et estimer la durée de passage du soliton dans la cellule n. III.2.5 En supposant que chaque soliton représente un bit d'information, quel débit obtient-- on avec cette ligne ?

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 X Physique 1 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benjamin Levrard (Chercheur au CNRS) ; il a été relu par Georges Rolland (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve porte sur la propagation de signaux électriques dans diverses structures conductrices. Elle s'articule en trois parties, dont les deux premières sont relativement indépendantes entre elles. La troisième partie s'inscrit dans la continuité de la deuxième et il semble difficile de l'aborder sans avoir traité et compris les concepts physiques développés dans cette dernière. · La première partie s'intéresse à la propagation des ondes électromagnétiques dans un câble coaxial composé d'une âme et d'une gaine conductrices. Après avoir déterminé certaines caractéristiques électrocinétiques en régime statique, la propagation et la structure des ondes TEM est ensuite étudiée. Une impédance caractéristique de la ligne est calculée pour déterminer finalement les propriétés de réflexion et les conditions d'adaptation d'impédance en bout de câble. · La deuxième partie décrit la propagation d'un signal électrique dans une chaîne constituée de cellules LC discrètes. L'effet de retard et de dispersion des cellules sur un signal électrique, ainsi que le bilan énergétique au niveau d'une cellule sont étudiés. Si les aspects dispersifs sont au centre des questions, les analogies implicites avec la première partie visent à montrer qu'aux basses fréquences (ou aux grandes longueurs d'onde), le comportement du câble coaxial peut être simulé par une telle chaîne. · Dans la troisième partie, on introduit une capacité non linéaire (appelée aussi « varicap ») dans la ligne à retard pour compenser la dispersion. La ligne permet alors la propagation d'ondes solitaires localisées de type solitons permettant de propager des signaux multifréquentiels sans déformation sur de très longues distances. La détermination des principales caractéristiques des solitons est alors proposée. Ce problème met principalement en jeu les connaissances en électromagnétisme et physique ondulatoire du programme de PC. Il est assez caractéristique d'une épreuve de l'X, c'est-à-dire relativement long, de difficulté croissante mais bien formulé et construit. Certaines questions isolées sont plus difficiles et il convient de savoir les passer si on est bloqué trop longtemps. Si les deux premières parties sont classiques et ont déjà été abordées précédemment dans de nombreuses autres épreuves de concours, la troisième est plus originale et porte sur une thématique (les ondes non linéaires) très en vogue. On peut cependant regretter que la multiplicité des questions proposées dans les parties I et II empêchent probablement une majorité de candidats d'aborder la partie III, pourtant la plus intéressante. Malgré l'évocation d'ondes non linéaires hors programme, aucune connaissance spécifique sur ce sujet n'est requise pour traiter cette partie, qui favorise le sens physique. Indications Partie I I.1.6 Montrer que le champ magnétique est nul à l'extérieur de la gaine et à l'intérieur de l'âme. I.1.9 Réutiliser le raisonnement de la question I.1.6 pour discuter la valeur de l'inductance totale. Le flux total a-t-il changé ? 1.2.1 Utiliser les formules vectorielles données par l'énoncé dans les équations de Maxwell pour relier les amplitudes des champs électrique et magnétique. - - - 1.2.2 Calculer le double produit vectoriel k ( k E ) de deux façons différentes. 1.2.3 Vérifier que les champs proposés satisfont bien les relations de passage aux différentes interfaces. 1.3.3 Relier, dans un premier temps, la vitesse de propagation v, calculée à la question I.2.2, avec les paramètres géométriques et . Dans un second temps, utiliser l'équation de Maxwell-Faraday sous sa forme intégrale sur le même contour orienté de la question I.1.6. 1.4.1 Exprimer les relations de continuité pour la tension et le courant en z = 0. Partie II II.2 Pour interpréter le résultat, effectuer un bilan des puissances échangées par la cellule n. II.4.1 Interpréter l'évolution de la tension dans chaque cellule pour = . II.4.2 Utiliser la relation ejx - 1 = ejx/2 (ejx/2 - e-jx/2 ) et la relation de dispersion. Relier le rapport P/E avec la vitesse de groupe v g trouvée à la question précédente. Partie III III.1.2 Considérer la capacité dynamique de la diode varicap C(V) = dQ/dV. III.2.2 Calculer le second membre de l'équation différentielle de la question III.2.1, en utilisant la formule trigonométrique donnée dans le formulaire. III.2.3 Déterminer la valeur minimale de la fonction sh P/P. III.2.4 Estimer P à la calculatrice à partir de l'équation implicite trouvée à la question précédente. Propagation de signaux électriques I. Propagation dans un câble coaxial 1. Caractéristiques électriques du câble I.1.1 Dans un premier temps, cherchons la structure spatiale du champ électrique. En considérant un câble coaxial infini, les deux plans contenant le point M et respectivement perpendiculaires et contenant l'axe du cylindre sont des plans de symétrie pour la distribution de charge. Le champ électrique en M, vecteur polaire, appartient - donc à l'intersection de ces plans et est ainsi radial de la forme E = E (, , z) - e . L'invariance de la distribution de charge par translation suivant l'axe Oz et par rotation autour de ce même axe indique en outre que l'amplitude du champ électrique - est indépendante de z et de de sorte que E = E () - e . gaine ! E ^ame h ! d S lat L'application du théorème de Gauss à un cylindre de rayon (compris entre 1 et 2 ), de hauteur h passant par M et coaxial avec l'âme s'écrit ZZ - - Qh Qint = E · dS = 0 r 0 r (S) où la charge totale Qint portée à l'intérieur du cylindre est Qint = Q h. Le champ étant radial, son flux est nul sur les parties supérieures du cylindre. En découpant la surface latérale du cylindre en bandes élémentaires de hauteur h et d'angle d, chaque - vecteur surface d S associé de norme dSlat = h d est aussi radial et colinéaire au champ électrique. Il vient alors ZZ ZZ ZZ Z 2 - - E · dS = E () dSlat = E () dSlat = h E () d = 2h E () S Slat Slat 0 soit, entre les conducteurs - E (, , z) = E - e = Q - e 2 0 r L'hypothèse d'un câble coaxial infini revient à négliger les effets de bord. I.1.2 La circulation du champ électrique entre l'âme et la gaine s'écrit Z 2 Z 2 Z 2 - - - E · d = E · (d - e + d - e ) = E () d 1 1 1 -- - Or, E = - grad V, d'où Z 2 Z 2 - - - dV = V1 - V2 = E · d = 1 1 soit V1 - V2 = Q 2 0 r Z 2 1 d Q 2 ln 2 0 r 1 I.1.3 En négligeant les effets de bord et en supposant que les conducteurs sont en influence totale, la capacité linéique est donnée par Q = (V1 - V2 ). D'après la question précédente, il vient = 2 0 r ln(2 /1 ) I.1.4 Les valeurs numériques proposées pour le câble conduisent à = 1, 0.10-10 F.m-1 puis à V1 - V2 = Q/ = 10 V D'après la question I.1.1, l'amplitude du champ électrique décroît avec la distance à l'axe des câbles. Dans le milieu isolant, le champ est donc maximum pour = 1 ; sa valeur est donnée par Emax = Q = 1, 6.104 V.m-1 21 0 r I.1.5 Le plan contenant le point M et l'axe des cylindres étant un plan de symétrie pour la distribution de courant, le champ magnétique, vecteur axial, est perpendi culaire à ce plan et colinéaire au vecteur orthoradial - e . En outre, pour un câble supposé infini dont les effets de bord sont négligés, la distribution de courant est invariante par translation suivant l'axe Oz et par rotation d'un angle quelconque autour de cet axe. La composante orthoradiale du champ magnétique ne dépend donc - pas des coordonnées z et de telle sorte que B (M) = B () - e . ! B Oz = 2 ^ame I C = 1 gaine d!`