X Physique 1 PC 2005

Thème de l'épreuve Anneau de stockage pour molécules polaires
Principaux outils utilisés électrostatique, mécanique classique, oscillateur harmonique

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Anneau de stockage pour molécules polaires Le problème analyse le principe du piégeage dans une région restreinte de l'espace de molécules CH3F qui possèdent un moment dipolaire électrique, en utilisant l'interaction avec un champ électrostatique inhomogëne. De tels pièges permettent l'étude des collisions moléculaires ainsi que la construction de faisceaux moléculaires utilisés en nanolithographie et pour la réalisation de dépôts de surface. Données numériques : Constante de Boltzmann : kB : 1, 38 >< 10"23 J - K"1 Unité atomique de masse : 1 u = 1, 66 >< 10--27 kg Masse de CH3F : m : 34u Permittivité du vide : 80 : 8, 85 >< 10"12 F -- m"1 I. Hexapôle électrostatique On étudie la possibilité de guider le mouvement de molécules polaires avec un système élec-- trostatique formé de six électrodes cylindriques et parallèles {Ci, ?; = 1, 2, . . . 6} disposées aux sommets d'un hexagone régulier auquel elles sont orthogonales (figure 1). / \\ // x \ CÔO 2aÊ C2 / \\ .' Z } \ / )' \ ///R /I 650 , OC3 \{ / / F figure ] Leur rayon a est très inférieur au côté R de l'hexagone, a << R. Elles portent des densités linéiques de charge égales alternativement à À(À > O) pour les électrodes impaires et --À pour les paires; on considèrera que ces charges sont fixes et uniformément réparties a leur surface. On négligera les effets d'extrémités, l'ensemble pouvant être considéré comme invariant par trans-- lation selon l'axe central Oz du système. On utilisera un système de coordonnées cylindriques (fr, 9, z) avec comme repère orthonormé (à}, 59, 52). 1. Analyse des symétries &) Quelles conclusions sur le champ Ê et le potentiel électrostatique V tire--t--on de l'inva-- riance par translation du système ? b) Considérer la symétrie par rapport a un plan perpendiculaire à l'axe. Quelle propriété du champ électrique E en déduit-on ? c) Même question pour l'un des trois plans passant par l'axe central et les axes de deux électrodes opposées. (1) Montrer que les trois plans passant par l'axe et à égale distance des électrodes sont équipotentiels. e) Quelle est la période angulaire d'invariance du système par rotation autour de l'axe Oz ? En déduire une expression générale du potentiel VO", 9, 2) sous forme d'une série. 2. Soit une électrode de densité linéique de charge À. Déterminer le champ électrostatique créé par cette électrode en un point P à l'aide de la distance D de ce point à son axe (D > a). En déduire une expression du potentiel électrostatique correspondant. 3. On considère maintenant l'ensemble des électrodes du système. Montrer que, en le choisis-- sant nul sur l'axe central, le potentiel électrostatique en un point P est donné par l'expression : À D2D4Dg ) VP : 1 (_ ( ) 27T80 Il D1D3D5 où D,- désigne la distance de P à l'axe de l'électrode Ci. 4. Pour expliciter le potentiel en fonction des coordonnées de P, il est commode de considérer le plan acOy comme plan de représentation des nombres complexes. Le point P y est repéré par Z = a: + iy = rexp(i9), les axes des électrodes impaires le sont par (R, jR, fil?) et ceux des électrodes paires par (--R, --jR, --j2R), avec j = exp(i2w/ 3) racine cubique de l'unité. Montrer que : D2D4Dô _ R3 + __Z_3 D1D3D5 _ R3 -- z3 5. On s'intéresse à la partie centrale ?" << R. Montrer que le potentiel électrostatique y est À 7" 3 donné par V(T, 9, z) : ---- (È) cos(39). Cette expression respecte--t--eHe les symétries étudiées 7T80 en question 1. ? 6. Déterminer les potentiels VO des électrodes impaires dans l'hypothèse 0. << R en fonction de R, a. et À. Quel est celui des électrodes paires ? 7. On considère le système comme un condensateur, les trois électrodes impaires formant l'une des armatures, les trois paires l'autre. Déterminer la capacité par unité de longueur corres-- pondante C . Montrer que le potentiel électrostatique dans la partie centrale de l'hexapôle s'exprime sim-- plement en fonction de cette capacité linéique et de la tension Vb. 8. Application numérique. Calculer la capacité électrostatique par unité de longueur d'un hexapôle ayant R = 2.5 cm et a = 2.5 mm. II. Mouvement de molécules polaires dans un hexapôle électrostatique Dans cette partie, on analyse le mouvement de molécules, possédant un moment dipolaire permanent d, dans le champ électrique de l'hexapôle électrostatique étudié en partie I. Dans le vide, les molécules, libres de tourner, ont un mouvement de rotation; l'énergie et le moment cinétique correspondant sont quantifiés. Seul compte, pour le couplage avec le champ électrique, la projection defi' = d . E / El du moment dipolaire sur la direction du champ électrique; deff est une constante positive, négative ou nulle, donnée pour chaque état moléculaire. 1. Rappeler l'expression générale de l'énergie potentielle d'un dipôle J dans un champ élec-- trostatique E. L'écrire à l'aide de defi. 2. Déterminer l'expression du champ électrostatique Ê(T, 9, z) en coordonnées polaires dans la partie centrale de l'hexapôle. Expliciter l'expression de l'énergie potentielle puis celle de la force exercée par l'hexapôle électrostatique sur une molécule en fonction de son moment dipolaire effectif deff. 3. Montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement d'une molécule de masse m dans le champ hexapolaire s'écrit sous la forme mf' = ----KfF, où ,,--.» = ré}... et K est une constante à déterminer. À quelle condition sur le signe de deff le mouvement est-il périodique? Quelle est alors la fréquence angulaire wo correspondante ? Quel est le mouvement des molécules ayant deff de signe contraire ? 4. Résoudre cette équation difiérentielle pour un mouvement périodique d'une molécule située à l'instant t = 0 sur l'axe central et ayant une vitesse 17(t = O) = 1203353; + voyëy + vOZë'Z. Un jet moléculaire effusif est généré à partir d'une enceinte contenant CH3F gazeux, à tem-- pérature T, munie d'un orifice de sortie. Le jet est collimaté par un diaphragme de petit diamètre donnant pour direction moyenne du jet celle de l'axe central Oz de l'hexapôle. 5. Montrer que l'hexapôle permet de refocaliser les molécules, en opérant une sélection selon le moment dipolaire. Préciser la distance de première refocalisation. 6. Dans un tel jet, la distribution des vitesses est donnée par l'expression dN(v) = Av3 exp(--mv2/2kBT)dv, où dN(v) est le nombre de molécules qui ont le module de leur vitesse entre ?) et 1) + du et A un facteur ne dépendant que de la température. Établir l'expression de la vitesse la plus probable du jet. La comparer a la vitesse quadratique moyenne dans l'enceinte. 7. Application numérique. On donne R = 2, 5 cm, a = 2,5 mm, V0 = 50 kV et T = 140 K. On analyse le mouvement des molécules CH3F ayant un moment dipolaire ldeff| = 3 >< 10'30 C - m. a) Calculer wo. b) Calculer la position du premier point P(O, O, 1) où les molécules, ayant la vitesse la plus probable du jet, sont refocalisées sur l'axe Oz. III. Un anneau de stockage pour les molécules polaires Pour stocker des molécules polaires dans une région limitée de l'espace, on modifie l'hexapôle étudié auparavant en courbant les électrodes pour les transformer en tores, tous de même axe Oa: (figure 2) ; l'axe central de l'hexapôle est devenu un cercle de rayon pT, et dans un plan méridien passant par 0515, les électrodes gardent la même position relative, aux sommets d'un hexagone régulier de côté R. Lorsque le rayon du tore pT est très grand par rapport au rayon de l'hexapôle R, on admettra qu'il n'y a pas, au voisinage du cercle central, de distorsion significative du champ électrostatique par rapport au cas linéaire étudié en partie II. Pour confiner le mouvement des molécules dans la région centrale du potentiel électrostatique, on interpose un diaphragme vertical, centré sur la circonférence p = pT du tore, qui laisse passer les molécules à travers un trou de rayon TD. 1 | \l \ll , | ' I'll || '._ ..... 1 "il ul .! Il |" m' j.',.;- ----_ _ __ . i ....... , Ill Ill 'll'u "ll! Ill"! Il " || ll l'] \ F figure 2 On utilise un système de coordonnées cylindriques (p, < 10--30 O -- m. 4. On analyse le mouvement des particules décrivant une trajectoire sur la surface cylindrique W) = po- a) Déterminer a: = a:(t) pour les conditions initiales oe(t = O) = 0 et :i:(t = O) = Uoe0- b) Estimer la valeur maximale de la vitesse 'UOEO pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon TD. Représenter graphiquement la dépendance väax = väax(po) en employant les valeurs données en 3.c). 5. On analyse le mouvement des molécules dans le plan (p(t), go(t), a: = 0). Les molécules sont injectées au centre de l'anneau p(t = O) = pT avec une vitesse initiale U(t = O) = vs00 EUR}, + vp0 ê'p, où 0900 est inférieure à v$ax déterminé en 3.c). &) Montrer que l'énergie mécanique des molécules peut se mettre sous la forme mp'2 EMO = T + Ueff(p), où le dernier terme correspond a une énergie potentielle effective à expli-- citer. b) Montrer , en utilisant une représentation graphique, que le mouvement radial est contenu dans un intervalle [pmin, pmaX]. c) Calculer la valeur maximale vääax de la vitesse radiale pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon TD pour une vitesse v 

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 X Physique 1 PC 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Tailleur (ENS Cachan) ; il a été relu par Marc Jungers (ENS Cachan) et Brahim Lamine (Enseignant-chercheur à l'Université). Ce sujet propose d'étudier le piégeage de molécules polaires par un hexapôle électrostatique. Un tel dispositif permet de produire des faisceaux moléculaires afin d'étudier des collisions ou de réaliserdes dépôts de surface. Le problème fait intervenir des notions d'électrostatique et de mécanique classique. Les trois parties sont assez peu indépendantes et bloquer sur une question importante empêche souvent de continuer. · La première partie du sujet étudie le potentiel généré par un hexapôle droit. On analyse tout d'abord les nombreuses symétries du problème avant de calculer explicitement le potentiel et le champ électrostatique, ainsi que leur expression approchée dans la partie centrale du piège. · La deuxième partie, assez courte, étudie le mouvement d'une molécule polaire dans l'hexapôle. Le texte introduit une hypothèse un peu déroutante, et il faut reconnaître que faire les calculs « sans se poser de questions » était une bonne méthode pour ne pas s'enliser... Toutefois le texte nous guide bien, et le système étudié est équivalent à un oscillateur harmonique : on est en terrain connu. · Dans la dernière partie, on considère un hexapôle torique. Le rayon du tore est tel que l'on peut négliger sa courbure et donc réutiliser les résultats de la deuxième partie. On étudie alors le piégeage d'un faisceau de molécules au coeur du tore. Cette partie est relativement longue et calculatoire. Il est crucial de rester bien concentré et de garder en mémoire les résultats précédents. Ce sujet est plutôt long, mais ne présente pas de question insurmontable, et les calculs restent d'une difficulté modérée. Indications Première partie - I.1.d Le champ E est orthogonal à un plan équipotentiel. I.1.e Une fonction périodique de classe C 1 par morceaux est développable en série de Fourier. I.3 Utiliser le principe de superposition. I.4 Que peut-on dire de la somme des racines troisièmes de l'unité ? I.6 Les coordonnées d'un point quelconque de l'électrode C1 vérifient a Z = R 1 + e i R ce qui permet de calculer le potentiel en utilisant le résultat de la question I.4. Deuxième partie II.2 deff est une constante du mouvement. II.6 La probabilité que la norme de la vitesse d'une molécule soit comprise entre 1 v et v + dv est (v) = dN(v). La vitesse la plus probable correspond alors N au maximum de (v). Troisième partie III.1 Dans le nouveau référentiel, comment s'écrit le vecteur reliant la position de la molécule au centre de l'hexapôle ? III.3.a La vitesse est-elle constante ? Comment peut-on réécrire l'accélération normale ? III.3.c La molécule doit passer dans l'orifice du diaphragme. III.5.c Utiliser la conservation de l'énergie mécanique. III.6.a La probabilité d'avoir une vitesse de module compris entre v1 et v2 est Z v2 (v)dv v1 où (v) = 1 dN(v) . N dv I. Hexapôle électrostatique I.1.a La distribution de charges étant invariante par translation suivant z, le potentiel l'est également. Ainsi, Le potentiel V est indépendant de z. - En effet, le potentiel créé par une densité de charges r au point - r de l'espace s'écrit - ZZZ ( r ) d - V( r ) = - 40 ||- r - r || - - - - En posant r = r +z0 - ez , il vient ( r ) = (r ) puisque la densité de charges est invariante par translation suivant z. De plus, l'élément de volume d = r ddr dz = d étant également invariant par translation suivant z, on a - ZZZ (r ) d - V( r ) = = V(- r + z0 - ez ) - - - 40 || r + z0 ez - r || Cette relation étant valable quel que soit z0 , V est indépendant de z. - Le champ électrique E est l'opposé du gradient du potentiel V. Par conséquent, -- - 1 V - V - E = - grad V(r, ) = - er - e r r - - E ne dépend pas de z et n'a pas de composante suivant ez . I.1.b Chaque plan perpendiculaire à l'axe de l'hexapôle est un plan de symétrie, et - en tout point d'un tel plan, le vecteur E est contenu dans ce plan. Notons que le fait qu'un tel plan soit plan de symétrie est une conséquence naturelle de l'invariance de la densité de charges par translation suivant - ez et était donc implicite dès la question précédente. - - Le champ E n'a pas de composante suivant ez . Rappelons que : - · Le champ E est contenu dans tout plan de symétrie et orthogonal à tout plan d'antisymétrie de la distribution de charges qui le génère. - · Le champ B est un pseudo-vecteur ou vecteur axial. Il est par conséquent contenu dans tout plan d'antisymétrie et orthogonal à tout plan de symétrie de la distribution de courants qui le génère. I.1.c Considérons un plan P0 passant par le centre de l'axe C1 P0 central et les centres de deux électrodes diamétralement opposées. Les deux autres électrodes impaires (respectiveC6 C2 ment paires) sont symétriques l'une de l'autre par rapport C 5 au plan P0 . Ainsi, P0 est un plan de symétrie de la distribuC3 - tion de charges. Par suite, E est contenu dans P0 en tout C4 - point de celui-ci et P0 est un plan de symétrie pour E . - De plus, d'après la question précédente, E n'a pas de composante suivant - ez . - --- Par suite, en tout point de P0 , le vecteur E est dirigé suivant la direction C2 C5 . Ainsi, En tout point d'un plan P passant par l'axe central et les électrodes Ci - ---- - et Ci+3 , E est dirigé suivant Ci Ci+3 et P est un plan de symétrie de E . C1 I.1.d Soit un plan P1 passant par le centre de l'axe central C6 C2 et à équidistance des autres électrodes. Chaque axe impair est le symétrique par rapport à P1 d'un axe pair (et réciproqueP1 ment). P1 est donc un plan d'antisymétrie de la distribution C3 C5 - de charges. En tout point de P1 , le champ E lui est normal. C4 - De plus, comme le champ E est proportionnel au gradient du potentiel, il est normal aux équipotentielles. Par suite, Le plan P1 est une surface équipotentielle. I.1.e La période angulaire du système est le plus petit angle tel qu'une rotation d'angle envoie une électrode paire (respectivement impaire) sur une autre électrode paire (respectivement impaire). Le système est de période angulaire 2/3. Le potentiel est donc périodique, de période 2/3 ; il peut être développé en série de Fourier : + P V(r, , z) = V(r, 0) + Vk (r) cos(3k + k ) k=1 I.2 La distribution de charges est invariante par translation suivant z : d'après la question I.1.a, le champ électrique n'a pas de composante suivant - ez et ne dépend pas de z. De plus, tout plan contenant l'axe de l'électrode est un plan de symétrie - de la distribution de charges et le champ E au niveau de ce plan est contenu dans - celui-ci, il n'a donc pas de composante suivante - e . Enfin, le champ E ne dépend pas de car la distribution de charges n'en dépend pas. Le champ est ainsi de la forme - E = E(r)- er Soit une surface cylindrique fermée d'axe confondu avec -- E(r) l'électrode, de longueur et de rayon r > a. Notons Q la - charge contenue dans le volume délimité par , dS le vecteur r normal à la surface et 0 la permittivité du vide. Appliquons alors le théorème de Gauss à la surface ci-contre : ZZ - - Q E · dS = 0