X Physique 1 PC 2004

Thème de l'épreuve L'héliosismologie
Principaux outils utilisés statique des fluides, ondes acoustiques, optique

Corrigé

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ECOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2004 . FILIÈRE PC PREMIERE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** L'héliosismologie L'héliosismologie -- l'étude sismique du Soleil -- a pris son essor au cours des années 1970 lorsque l'on s'est aperçu que les raies du spectre solaire étaient modulées & des périodes de l'ordre de 5 minutes, et que cette modulation était due auoe oscillations globales du Soleil. Ces oscillations sont de type acoustique. Le but de ce problème est d'analyser dans le cadre de modèles très simplifiés, la propagation de ces ondes acoustiques à l'intérieur d'un astre fluide et sphérique tel le Soleil. Données numériques : Constante de gravitation : G = 6, 67 >< 10"11 kg_l--m3.s"2 Constante des gaz parfaits : RGP = 8, 31 J -K"'-moF1 Masse molaire de l'hydrogène : mH = 1 g-mol_1 Masse molaire de l'hélium _: mHe = 4 g-mol_1 Masse molaire moyenne du Soleil : , ,a = 1, 27 g-mol"1 Masse du Soleil : M = 2,0 >< 1030 kg Rayon du Soleil : R = 7,0 >< 108 m Température de surface du Soleil : T* = 5 800 K Dans tout le problème, on supposera que le Soleil possède la symétrie sphérique, et on '- négligera sa rotation propre. Sa composition sera assimilée à celle d'un gaz parfait monoatomique de masse molaire ,a. I. La structure interne du Soleil : un modèle simple ' 1. Les ordres de grandeur On cherche à estimer l'ordre de grandeur de la pression Pc, de la masse volumique pc et de la température T0 au centre du Soleil. On admettra que l'étoile n'est composée que d'hydrogène atomique et d'hélium, et que la concentrationen hélium est uniforme dans toute l'étoile. a) Estimer, par analyse dimensionnelle, l'ordre de grandeur de la pression PC au centre d'un astre de masse M et de rayon R soumis à sa propre gravité. Calculer PC dans le cas du Soleil. b) On désigne par EC l'énergie cinétique du gaz parfait monoatomique de masse molaire ,u constituant l'étoile et par Q l'énergie potentielle interne de gravitation de cet astre; on admettra la relation O + 2Eg : 0 que donne le théorème du viriel. Trouver, à. l'aide d'une simple analyse dimensionnelle, une expression de l'énergie de gravi-- tation Q; écrire l'expression de l'énergiecinétique EC du gaz stellaire en supposant, pour cette question seulement, que la température T du gaz stellaire est uniforme. En déduire l'ordre de grandeur de la température du gaz que l'on assimilera a la température TC au centre de l'astre ainsi que l'ordre de grandeur de la masse volumique centrale pc. Calculer ces deux valeurs dans le cas du Soleil. 2. Le champ gravitationnel a) ÿ désignant le champ de gravitation au sein de l'astre, donner l'expression de son module g au niveau repéré par la variable radiale r, en fonction de la masse m(r) de la boule de rayon 7". b) Montrer que, dans le cas du Soleil, dont la période de rotation moyenne est de l'ordre de 27 jours, négliger la rotation est tout à fait licite. Pour toute la suite du problème on supposera que le module g du champ gravi-- tationnel est uniforme dans toute l'étoile. 3. L'état d'équilibre On note PO (r) la pression d'équilibre au niveau 7° et g le module, uniforme dans toute l'étoile, du champ de gravitation. On suppose de plus que la structure interne de l'astre est adiabatique, l'indice adiabatique 7 étant pris lui aussi uniforme dans toute l'étoile : P0 = Bpä. Afin d'alléger 9(7 -- 1) 7 A , A étant une les calculs on notera la constante de proportionnalité sous la forme B = autre constante et on définira la profondeur z dans l'astre par 2 = R -- r. a) Pour quelle raison physique peut--on exclure del'étude le cas 7 = 1 ? b) Exprimer g en fonction de C, M et R et calculer sa valeur dans le cas du Soleil. c) Écrire l'équation locale exprimant l'équilibre au sein de l'astre. En déduire les expres-- sions de P0(2) et po(z). Donner l'allure des graphes correspondants. d) La célérité c d'une onde acoustique dans un fluide, de pression P et de masse volumique ôP 55 d'équilibre. L'exprimer pour le Soleil en fonction de 7, PO et pg. Montrer que, à l'intérieur du p est donnée par c2 = ( ) S, dans l'hypothèse d'adiabaticité et la dérivée étant prise à. l'état Soleil, la valeur de cette grandeur dépend de la profondeur 2 selon la loi : 62(2) = (7 ---- 1)gz Calculer numériquement la vitesse du son cR : c(R) au centre du Soleil, en prenant 7 = 5/3. e) Le Soleil possède une température de surface T*; en déduire dans quelle partie de l'astre solaire le modèle précédent décrivant l'évolution de c avec la profondeur z est mis en défaut. Déterminer les expressions de la vitesse du son minimale c* et de l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche z* dans laquelle le modèle n'est plus applicable. Calculer numériquement leurs valeurs avec 7 = 5/3. Il. Étude des oscillations dans les couches périphériques Dans les couches périphériques de l'étoile, on modélise localement le milieu stellaire par une structure de plans parallèles. On repère une couche par sa profondeur z = R -- 7". On s'intéresse aux petites perturbations des champs de pression et de masse volumique, de valeurs à l'équilibre Pg(2) et po(z). Par souci de généralité, on mènera les calculs avec les fonctions P0(z) et po(z) et non avec leurs expressions analytiques fonctions de z établies précédemment. On ne se servira de ces dernières expressions que dans les cas particuliers explicitement mentionnés. On considère des ondes planes de propagation verticale; les perturbations des champs de vitesse verticale 1), de pression P et de masse volumique p, sont définies par : v(z, t) = 0 + m(z, t) P(Z,t) = P0(Z) +p1(z,t) p(Z, t) = po(Z) + pi(zç t) 1. Évolution des champs a) Ecrire l'équation du mouvement d'une particule fluide soumise aux seules forces de gravité et de pression. La linéariser; le terme convectif de l'accélération (Ü -- V)fü' sera supposé négligeable. b) Que traduit l'équation ; Êpj_ : __Ô(PO'U1) ., Ôt Ôz ' c) L'évolution locale du gaz est supposée adiabatique avec P : Bp? En déduire par linéarisation la relation P1 = 02P1 où c2(z) est la célérité locale des ondes acoustiques introduite en I.3.d). d) Déduire des relations précédentes l'équation décrivant la propagation du champ de masse volumique p1 : 32 2 8,01 32,01 ""-- _ _ -- ---- = 0 87.2 (W ' 9 ôz ât2 e) Développer cette équation en explicitant 02 (z) obtenu en I.3.d). 2. Solution analytique a) En prenant 7 = 5/3, vérifier que l'équation d'évolution de pl admet comme solutions des ondes progressives de la forme générale p1(z, t) = f (t :|: 2z/c(z)). Dans la suite du problème) on conserve 7 = 5/3. 1 b) p0(z) étant de la forme zv----Î, montrer que p1 est nul à la surface. Quelle en est la conséquence pour une onde progressive arrivant en surface ? c) On considère une onde monochromatique de pulsation ca de la forme p.1(z, t) = F (2) cos cut. Dans quel type d'onde peut--on la classer? Expliciter F(z) en désignant par AM l'amplitude maximale de l'onde. d) En déduire l'expression correspondante de p1(z, t). Quelle est la particularité que pré-- sente en fonction de z l'amplitude de l'onde de pression? e) Déterminer l'expression de l'onde de vitesse associée vl (z,t). Quelles particularités observez--vous tant sur sa dépendance temporelle que spatiale? Montrer que l'amplitude de U1 atteint une limite finie à la surface, en z = O. 3. Evolution au voisinage de la surface a) À partir du niveau z* défini en I.3.e), et jusqu'à des altitudes positives (2 < 0), l'atmosphère stellaire est supposée isotherme à l'équilibre, et la vitesse des ondes sonores y prend la valeur c*. Écrire l'équation d'évolution de pl valable dans cette zone. Pour des ondes sinusoïdales, montrer qu'il existe une pulsation limite whm séparant les ondes qui pénètrent dans cette zone de celles qui n'y pénètrent pas. Calculer numériquement wlim et la période Tlim assoc1ee. b) Les régions visibles de l'atmosphère stellaire étant au voisinage de z = z*, quel effet physique permet de percevoir le champ de vitesse 111 ? Quel type de mesure permet d'y avoir accès ? Le comportement du champ v(z) est-il favorable à une telle mesure ? III. Étude des oscillations dans les couches internes Dans les couches internes de l'étoile il n'est plus possible de négliger la structure sphérique. On suppose que l'onde est sinusoïdale, localement plane et on admet que la vitesse de phase est donnée par l'expression obtenue en I.3.d), c2(z) = (fy -- l)gz avec 2 = R -- 7° Pour une étude simple, on utilise une description en termes de << rayons acoustiques >>. Pour les applications numériques, on prend 'y = 5/3. 1. Réfract ion , Par analogie avec l'optique, on définit l'indice acoustique local du milieu comme le rapport de la vitesse du son 03 au centre de l'astre à la vitesse du son locale : CR C(Z) &) Rappeler les lois de la réfraction. Montrer qu'elles impliquent, dans le cadre du modèle << plan parallèle >> où l'indice n'est fonction que de la coordonnée cartésienne z, la conservation de n sind où 73 est l'angle d'incidence. Pour un déplacement élémentaire le long du rayon, exprimer la variation di de l'angle d'incidence en fonction de dn, n et i. n: b) Dans une situation a symétrie sphérique, montrer qu'un rayon acoustique se propage en restant dans un plan passant par le centre (plan diamétral). c) De plus, à la variation de l'angle d'incidence calculée ci-dessus et désignée par di1, s'ajoute une autre contribution d'origine purement géométrique dig. Exprimer dig en fonction de dr, 7' et i. d) Dédùire de ces résultats la conservation de la quantité D = nr sinz' le long du rayon acoustique. e) En déduire que la relation précédente implique, sauf dans le cas où D est nul, l'existence d'un niveau limite rc en dessous duquel il n'y a plus de propagation verticale de l'onde. Quelle est la direction du rayon acoustique a ce niveau ? 2. 'I'rajectoire des rayons acoustiques a) Soit 7" = f (9) l'équation polaire d'un rayon acoustique. À partir des résultats précé-- / demment obtenus, justifier qu'un rayon acoustique associé à une valeur de D fixée est constitué d'arcs successifs contenus dans une couronne de rayons rmin et rmax que l'on identifiera. Que subit le rayon acoustique respectivement en ,. = rmin et 7° = rmax ? b) Montrer que, dans la partie II, il était justifié de supposer verticale la propagation dans les couches supérieures de l'étoile. c) On pose A6 = 92 -- 91, où 91 et 92 sont les angles polaires correspondants aux extrémités d'un arc. Un mode correspond a une trajectoire du rayon acoustique fermée sur un tour. A6' ne peut alors prendre que des valeurs discrètes que l'on déterminera en fonction d'un nombre entier p. (1) On montre que A9 ne dépend que du rapport oz = rc / R, soit ap pour le mode p. De plus, en considérant l'aspect ondulatoire de la propagation, un mode correspond à une onde stationnaire présentant des noeuds de pl en surface (cf. II.2.b). Soit Tp le temps de propagation de la phase de l'onde le long d'un arc du mode p; TP est donné par 7'}) = (ZR/CR)fip où @, est un facteur numérique ne dépendant que de ap. Dans ces conditions, montrer qu'au mode p correspondent des ondes stationnaires de diverses périodes sous--multiples d'une période fondamentale Tp; exprimer T p en fonction de Tp. e) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de cup et de @, pour quelques valeurs de p. Calculer les valeurs correspondantes des périodes Tp. 0,459 0,645 0,737 0,791 0,827 0,886 1,805 1,586 1,423 1,299 1,202 1,003 f) Représenter sur un schéma en coupe de l'intérieur stellaire, l'allure des rayons associés aux modes d'ordre p = 4 et p = 12. Quels modes fourniront des informations sur la structure du centre de l'astre ? Lesquels seront surtout sensibles aux propriétés des couches périphériques ? 3. Les modes radiaux On définit la fréquence caractéristique des oscillations du Soleil par : Rd _ ...=(2/0 %")1 a) D'après la définition de cette fréquence, quel phénomène physique a pour durée la période TO : 1/1/0 ? b) Le profil de la célérité du son étant toujours celui trouvé en partie I), montrer que la valeur de V0 est dominée par les couches périphériques de l'astre. Déterminer 1/0 en fonction de 7, G, M et R. Calculer la période TO associée dans le cas du Soleil. c) Montrer que nécessairement, le centre du Soleil correspond pour l'oseillation à un noeud de vitesse. On note u,... la fréquence propre du mode d'oscillation stationnaire présentant radia-- lement n noeuds d'oscillation pour la vitesse (centre exclu). Une première estimation des modes radiaux consiste à déterminer les pulsations pour les- R dr quelles w / ---- = q7r + W / 2 où q est un entier positif ou nul; donner une justification de cette 0 C(?") expression. Montrer que cette relation donne des modes d'oscillations radiales de fréquences : "0.0 = (q + 1/2)V0 Les modes excités du Soleil qui sont observés ont des périodes voisines de 5 minutes. Quel est l'ordre q moyen de ces modes radiaux ?

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 X Physique 1 PC 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-David Picon (École Polytechnique) ; il a été relu par Aurélien Fraisse (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet se compose de trois parties liées et de difficultés inégales ; certains résultats sont fort utiles pour la compréhension de la suite. · La première partie, particulièrement variée, permet d'interroger le candidat sur de nombreux points du cours : analyse dimensionnelle, équipartition de l'énergie, théorème de Gauss, accélération d'entraînement, loi de l'hydrostatique. · Dans la deuxième partie, il s'agit tout d'abord de retrouver, dans le cadre d'une étude du Soleil, des résultats proches du cours comme l'équation de propagation des ondes acoustiques. Suit une partie calculatoire nécessitant un peu de rigueur. Enfin, on s'intéresse rapidement à la validité du modèle et à sa vérification expérimentale. · La troisième partie s'éloigne plus nettement du cours. On étend tout d'abord les lois de Descartes au cas d'un milieu à symétrie sphérique. Puis on applique ces lois aux ondes acoustiques dans un milieu d'indice variable. Ce modèle permet de prédire l'existence de modes d'ondes stationnaires, dont on détermine quelques caractéristiques. Pour terminer, on teste le modèle en le confrontant à quelques données expérimentales. En résumé, on applique dans ce problème les lois de l'acoustique dans une configuration à symétrie sphérique. Cela permet de retrouver les résultats principaux d'une discipline assez jeune, l'héliosismologie, qui a pris son essor dans les années 1990. Particulièrement adaptée aux candidats férus d'astronomie moderne, elle permet de tester ses aptitudes à appliquer les relations du cours dans un cadre plus général. Indications I. La structure interne du Soleil : un modèle simple I.1.a De quels paramètres peut et doit dépendre la pression PC au coeur du Soleil ? Combien existe-t-il de combinaisons homogènes à une pression ? I.1.b Utiliser successivement l'équipartition de l'énergie, le théorème du viriel et la loi des gaz parfaits. I.2.a Appliquer le théorème de Gauss. I.2.b Puisque le Soleil tourne (par rapport au référentiel de référence supposé galiléen), le référentiel qui est lié au Soleil n'est pas galiléen. I.3.a Si = 1, qu'en est-il de la température T ? I.3.c Penser à la loi de la statique des fluides. I.3.e Calculer la vitesse de l'onde à la surface du soleil à l'aide de sa définition et de la loi des gaz parfaits. II. Études des oscillations dans les couches périphériques II.1.a 1 , v1 et p1 sont des perturbations du premier ordre. Négliger dans l'équation du mouvement tous les termes d'ordre supérieur. II.1.b Quelle loi de conservation doivent vérifier les grandeurs étudiées ? II.1.c Développer les équations au premier ordre. II.1.d Utiliser les trois questions précédentes. df (X(z)) df dX = dz dX dz et prendre le temps de faire le calcul soigneusement. II.2.b Que vaut la masse volumique totale à la surface du Soleil ? Une telle valeur est-elle possible avec une onde progressive seule ? II.2.c Utiliser la question II.2.a en écrivant 1 comme la somme d'une onde progressive et de son onde réfléchie. II.3.a L'évolution n'étant plus adiabatique, il faut trouver une nouvelle relation entre et P dans le cas isotherme. II.2.a Se souvenir que III. Études des oscillations dans les couches internes III.1.a Considérer la variation d(n sin i) à travers une lame d'épaisseur dz. III.1.b Si le rayon n'est pas dans le plan diamétral, combien y a-t-il de solutions pour des conditions initiales données ? III.1.c Faire un dessin d'un rayon traversant deux interfaces sphériques concentriques séparant des milieux de même indice. III.1.d Calculer la variation totale di = di1 + di2 . III.1.e D'après la relation établie à la question précédente, que se passe-t-il quand r diminue ? dr III.3.a Que représente ? c(r) I. La structure interne du Soleil : un modèle simple 1. Les ordres de grandeur I.1.a La pression PC au coeur du Soleil est due à l'interaction gravitationnelle qui tend à rapprocher tous les éléments de l'étoile les uns des autres. Par conséquent, son expression doit faire intervenir les caractéristiques du Soleil comme sa masse M et son rayon R, ainsi que la constante de gravitation G (et rien de plus). Cherchons alors une combinaison de ces grandeurs qui soit homogène à une pression. En s'aidant par exemple de l'expression de la force d'interaction gravitationnelle, on trouve PC = G M2 R4 Cette expression est homogène à une force divisée par une surface et c'est en fait l'unique combinaison possible. En effet, [G] = M-1 L3 T-2 et [PC ] = M L-1 T-2 Par conséquent, pour que PC soit homogène en temps, G doit apparaître à la puissance 1 dans l'expression de PC . Dès lors, il est facile de voir que le reste de cette expression est nécessairement homogène en masse et en longueur. Un calcul plus élaboré, en faisant par exemple l'approximation d'une masse volumique uniforme sur l'ensemble de l'étoile, conduit à la valeur 3 G M2 8 R4 On constate la puissance de l'analyse dimensionnelle... PC = Application numérique : PC = 1, 1.1015 Pa I.1.b En se rappelant que l'énergie d'interaction EP entre deux masses m et m distantes de r est égale à G m m EP = - r la même démarche qu'à la question précédente conduit à =- G M2 R On démontre de la même manière que c'est l'unique solution envisageable avec les grandeurs impliquées. De plus, on assimile le mélange d'hélium et d'hydrogène atomique à un gaz parfait monoatomique. Chaque molécule a donc trois degrés de liberté de translation et aucun de rotation. Or, d'après le théorème d'équipartition de l'énergie, à chaque degré de liberté correspond, à l'équilibre thermodynamique, une énergie d'agitation thermique (RGP T)/2 par mole de gaz. Comme le nombre de moles de gaz composant le Soleil est égal à M/µ, l'énergie cinétique EC du Soleil vaut Ec = 3 M RGP TC 2µ En outre, d'après le théorème du viriel donné dans l'énoncé, + 2Ec = 0 On peut en déduire la température uniforme T du Soleil égale, par ailleurs, à TC . TC = µGM 3 RGP R Finalement, on en déduit la masse volumique C au centre du Soleil. D'après la loi des gaz parfaits et avec les notations de l'énoncé, RGP T P= µ d'où C = PC µ 3M = 3 RGP TC R Application numérique : TC = 9, 7.106 K et C = 1, 7.104 kg.m-3 La température est du bon ordre de grandeur, contrairement à la masse volumique. En effet, cette dernière équivaut à 3 fois la densité moyenne de la Terre, ce qui est bien loin de la réalité. 2. Le champ gravitationnel I.2.a D'après le théorème de Gauss, dans un astre à symétrie sphérique, le champ de gravitation g(r) en r n'est dû qu'à la masse m(r) à l'intérieur de la boule de rayon r. En effet, les contributions extérieures se compensent exactement. De plus, tout se passe comme si toute la masse était concentrée en r = 0. Par suite, g(r) = G m(r) r2 Pour retrouver facilement l'expression de g, il suffit de se souvenir que la force d'interaction gravitationnelle s'identifie, à la surface du Soleil, au poids si l'on néglige l'accélération d'entraînement. Par conséquent, si m est la masse d'un objet à la surface de l'étoile, mg = GMm R2 - I.2.b Comme le Soleil tourne avec une vitesse angulaire que l'on note , le référentiel lié au Soleil n'est pas exactement galiléen. En conséquence, un système immobile dans le référentiel lié au Soleil subit la force d'inertie d'entraînement, l'accélération de Coriolis étant nulle. Comme la vitesse de rotation est constante, l'accélération d'entraînement - a (- r ) se réduit à un seul terme, - - - a (- r)= - r En un point de l'équateur, l'accélération est maximale et vaut en module a(r) = 2 r