X Physique 1 PC 2003

Thème de l'épreuve La matière noire
Principaux outils utilisés gravitation, hydrostatique
Mots clefs matière noire, galaxies

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE , ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2003 ' FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** La matière noire dans l'univers L'univers est peuplé de galaæies, généralement regroupées en amas, dont la luminosité pro- vient des étoiles qui les composent. Par un raisonnement simple supposant une relation linéaire entre la densité de lumière et la densité de masse, il est possible, à partir de la mesure de la luminosité d'une galaæie, d'estimer sa masse sous forme d'étoiles. Indépendamment de cette approche, la masse d'une galaæie peut être déterminée par la mesure de la force qu'elle emerce sur des objets situés dans son champ de gravitation. Cette mesure aboutit à une masse totale bien plus importante que celle déduite de sa composante lumineuse, laissant supposer l'existence d'une composante de matière « noire ». De même l'estimation de la masse des amas de alaæies aboutit à un désaccord entre la 7 masse lumineuse et la masse gravitationnelle. . La mise en évidence de matière noire fait l 'objet de ce problème. Données numériques Masse solaire ' 1 M5 = 1, 99 >< 1030 kg Parsec (unité de longueur) 1 pc = 3, 09 >< 1016 m Constante de gravitation universelle G = 6, 67 >< 10"11 N -- m2 - kg--2 Masse de l'atome d'hydrogène ' ' #H = 1, 67 >< 10_27 kg Célérité des ondes électromagnétiques dans le vide 0 = 3,00 >< 108 m - 8--1 Charge élémentaire e = 1, 60 >< 10"19 C Formulaire Dans tout le problème, les coordonnées sphériques seront notées (r, 9, go) et les coordonnées cylindriques (R, 9, z). Intégrale particulière : a: 1 ' ' / du = arctan a: 0 1 + u2 On note (ff) le potentiel dont dérive le champ gravitationnel Â(F) : *Æfi=--@fi@. I. Modélisation d'une galaxie spirale La distribution de masse des étoiles (masse visible) d'une galaXie est modélisée par le potentiel gravitationnel g défini par : M .@G(R,z)=...--_£_--__ a,b>0. R2 + (a+ WF Nous allons chercher à en déduire la forme de la distribution de masse des étoiles d'une telle galaxie. 1. Considérons d'abord le cas limite où b = 0. &) Donner l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera (131). b) Montrer qu'en tout point (R, 2) avec 2 < 0, le potentiel p est équivalent à celui engendré en ce même point par une masse ponctuelle placée en (0, a). Que peut--on en conclure en ce qui concerne la valeur de la densité de masse p(R, z) en tout point du demi espace 2 < 0 ? 0) À quel système simple est équivalent le potentiel en tout point (R, 2) avec 2 > 0 ? d) Où se trouve localisée la masse correspondant à D. Préciser, sans calcul, la forme des courbes isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie. 2. Considérons à présent le cas où a = 0. a) Donner, en fonction "de 7', G, M et b, l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera <Ï>g. _ b) En déduire la forme des surfaces isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie dans ce cas. 3. Décrire schématiquement, dans un plan contenant Oz, l'évolution des courbes d'isodensité b lorsque le rapport -- varie. Illustrer graphiquement le cas où b >> @ et celui où b << a. a 4. Une galaxie spirale peut être décrite par un disque fin présentant un renflement en son centre; les << bras >> en spirale de la galaxie correspondent à de petites surdensités locales qui seront négligées. On admettra que le potentiel @@ est apte à décrire la distribution de masse visible d'une telle galaxie. En analysant le comportement asymptotique du potentiel G donner l'expression de la masse visible totale de la galaxie. II. Rotation d'une galaxie spirale 1. La plupart des étoiles de la galaxie se déplacent selon des orbites circulaires dans le plan équatorial de la galaxie. a) Pour une orbite de rayon R, déterminer la valeur de la vitesse V(R) de l'étoile en fonction de G, M, R, a et b. Quelle est la forme asymptotique de V(R) quand R tend vers l'infini ? b) Exprimer en fonction de a et de b la distance Rmax à laquelle V(R) est maximale. 2. Application numérique. On donne pour une galaxie typique a 1 kpc, b = 0,1 kpc, M = 2 >< 1010 M5. a) Calculer la vitesse V(R) à la distance R = 50 kpc du centre. b) Calculer la vitesse maximale V...aX :; V(Rmax). c) Illustrer graphiquement l'allure de V(R). III. Mesure expérimentale de la rotation d'une galaxie La mesure de la << courbe de rotation >> V(R) d'une galaxie se fait_par l'observation de raies d'émission ou d'absorption de nuages de gaz interstellaires qui se déplacent à la vi-- tesse V(R). Une partie" du gaz interstellaire est composée d'atomes d'hydrogène neutre dont l'état électronique fondamental possède deux niveaux d'énergie séparés par une différence de 6 >< 10_6 eV. Le passage de l'état de haute énergie à celui de basse énergie est aCcompagné de l'émission d'une onde à la fréquence 1/ = 1, 4 GHz, soit 21 cm environ de longueur d'onde. 1. La galaxie est assimilée à. un disque mince à symétrie axiale, dont la normale au plan fait un angle 'à avec la direction de visée (figure 1). ' a) Comment peut être déterminée expérimentalement l'inclinaison i de la galaxie ? b) Exprimer en fonction de i, 9 et V(R) la composante V{,bs de la vitesse de rotation V(R) selon la ligne de visée A orientée de la galaxie vers l'observateur. , , direction de visée A (vers l'observateur) plan de la galaxie Figure 1. Dans le plan de la galaæie, l'angle 9 a pour origine la direction oe'oe de ce plan orthogonale à la direction de visée A, l'axe y'ÿ étant la projection de A sur ce plan. 2. Lorsqu'une source émettant une onde électromagnétique de célérité c et de longueur d'onde A se ra roche d'un observateur a la vitesse 11 << c le lon de sa direction de visée ce dernier 7 'Il mesure une longueur d'onde À' décalée (effet Doppler) donnée par : X = A ( 1 -- --C--) au premier ordre en v/c. a) Un observateur mesure les longueurs d'onde À'(Û) et À'(0 + 7r) de la raie d'émission de l'hydrogène neutre émise en deux points diamétralement opposés de la galaxie. Exprimer en fonction de i, 6', V(R) et À (la longueur d'onde de la raie à l'émission) le décalage spectral AÀ' : |À'(0 + 7r) -- À'(9)l observé. Pour quel diamètre AÀ' est--il maximal? b) Quelles sont les inclinaisons de galaxies défavorables à cette mesure ? 3. La plupart des galaxies pour lesquelles-la mesure a pu être effectuée ont une loi V(R) qui est en accord avec les prédictions de la partie II dans les régions centrales de la galaxie, mais qui tend vers une valeur constante VC au--delà de quelques kiloparsecs du centre, correspondant à R > a, b. a) Dans ce domaine R > a, b, en supposant sa distribution à symétrie sphérique et en utilisant les résultats de la partie II, déterminer la dépendance en R de la masse Mtot (R) contenue dans la sphère de rayon R, qui permet d'interpréter l'existence d'une vitesse constante VC; en quoi cela justifie--t--il l'existence de matière noire au sein des galaxies ? b) En considérant la galaxie constituée de deux composantes massiques, l'une visible (disque lumineux D) et l'autre sombre (halo H), exprimer la vitesse résultante V... en fonc-- tion des vitesses VD et VH que donnerait chacune des Composantes prises individuellement. c) Le halo, supposé a symétrie sphérique, peut être modélisé par une distribution de 50 r2+râ matière de la forme pH (r) = où ro et flo sont des paramètres. Justifier la dépendance à 1 . ' . . . grande distance en ---- de la densité de masse totale p..., Etablir l'express1on de ptet en fonction 73 2 _YQ_ de 7", VO et G. En déduire que fig = 47TG . Quel est l'intérêt de l'introduction de la constante T0 ? d) Exprimer VH(R) en fonction de V0, R et m. 4. Application numérique : V0 = 200 km - S"1, m = 5 kpc. a) Les méthodes d'observation ne fournissent aucune donnée au--delà de Rlim = 50 kpc, distance pour laquelle V(R) : VC. En déduire une limite inférieure de la masse totale MT de la galaxie et une limite supérieure à la fraction massique d'étoiles au sein de la galaxie. b) Calculer VH et Vtot a R = Rmax et à R = Rhm du centre de la galaxie. Dessiner schématiquement les courbes Vp(R) due au disque, VH(R) due au halo ainsi que la courbe Vtot (R) - 5. Une dizaine de points de meSure régulièrement espacés le long d'un diamètre de la galaxie sont nécessaires pour estimer sa << courbe de rotation >>. a) Quelle résolution AÀ/À sur la mesure des longueurs d'onde des raies est nécessaire pour mesurer une vitesse de rotation de l'ordre de VC ? b) En raison de la limite due à la diffraction, quelle est la taille minimale du radiotélescope qu'il faut utiliser pour obtenir la résolution spatiale voulue sur la galaxie la plus proche dont le diamètre angulaire est de 10 minutes d'arc ? Quelle technique peut être envisagée pour obtenir une telle résolution ? IV. Amas de galaxies La mise en évidence expérimentale de la présence de matière noire dans les galaxies (partie III) justifie l'étude d'autressystèmes afin de confirmer cette observation et son interprétation. Un amas de galaxies est une structure comprenant une centaine de galaxies liées gravita-- tionnellement, que l'on supposera à symétrie sphérique et de rayon R A. Dans cette partie, nous allons nous attacher à mettre en évidence les différentes contributions àla masse gravitationnelle d'un amas de galaxies. ' 1. En utilisant la masse d'une galaxie typique de la partie II.2 et en considérant qu'un amas comporte N = 100 galaxies, calculer numériquement la contribution MV à la masse de l'amas sous forme de galaxies. C'est la masse visible de l'amas. 2. La masse gravitationnelle de l'amas peut être déduite des déterminations des vitesses des galaxies dans le champ gravitationnel de l'amas. On observe expérimentalement que le décompte des galaxies en fonction de leur vitesse croit avec celle--ci jusqu'à une coupure franche, correspondant à une vitesse maximale Vmax. a) En interprétant cette vitesse maximale Vmax comme une vitesse de libération, exprimer la masse gravitationnelle M A de l'amas en fonction de G, Vmax et R A. En donner la valeur numérique pour RA = 1 Mpc et 'Vmax = 2500 km - s--1. b) L'amas, de rayon R A = 1 Mpc, est constitué d'une centaine de galaxies, chacune possédant un halo de rayon externe RH. En prenant leur volume total égal à celui de l'amas, déterminer une limite supérieure pour RH; en déduire à l'aide des résultats de 111.3 la masse totale d'une de ces galaxies. Comparer alors la somme des masses ainsi évaluées des galaxies à la masse M A de l'amas; qu'en concluez-vous ? 3. L'ensemble de l'amas baigne dans un gaz chaud d'ions et d'électrons détecté par son émission dans le domaine des rayons X; soit Tg sa température. Nous allons ici évaluer la contribution de ce gaz à la masse gravitationnelle de l'amas. On désigne par M A(r) la masse de l'amas contenue à l'intérieur de la sphère centrée de rayon 7". On admet que l'amas peut être considéré comme un fluide en équilibre (équilibre entre les forces de pression et de gravitation). a) Établir, entre la pression P(r) du gaz, sa masse volumique pg (7°) et la masse M A (T), la relation traduisant le fait que le gaz est en équilibre mécanique. b) En supposant que le gaz est un gaz parfait, exprimer P en fonction du nombre d'élec-- trons par unité de volume ne, de la constante de Boltzmann kg et de la température du gaz Ty, en considérant le gaz composé uniquement d'hydrogène, entièrement ionisé à cette température. 0) Comment s'écrit alors la relation d'équilibre mécanique en fonction de la densité élec-- tronique ne, la température du gaz T 9, G, 163, M A (T), r, et la masse ,uH de l'atome d'hydrogène. n d) La densité d'électrons suit la loi expérimentale ne = $ avec une extension ,... rA observée du gaz jusqu'à une distance 4734 du coeur de l'amas. En faisant l'hypothèse d'un gaz isotherme, déterminer la masse M A de l'amas; montrer que la masse Mgaz du gaz jusqu'à la distance limite 4734 est donnée par Mgaz(4frA) = 47r ,uH 7107"î [4 -- arctan 4]. e) Application numérique. On donne kBTg "= 9 keV, no = 1, 5 >< 103 m"3 et 'ï'A = 0,3 Mpc. Calculer M A et Mgaz. 4. Discuter la cohérence des résultats de cette partie, et donner la composition en pourcentage massique d'un amas de galaxie en termede gaz, matière lumineuse (galaxies) et matière noire.

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 X Physique 1 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Fourmond (ENS Ulm) ; il a été relu par Antonin Ferri (ENS Ulm) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet traite d'un thème toujours d'actualité en astrophysique : la présence dans l'univers de matière qui se manifeste uniquement par sa masse, donc par le champ gravitationnel qu'elle engendre. Il s'articule en quatre parties, de difficulté assez progressive : · La première traite de la modélisation de la partie visible d'une galaxie spirale. Les questions qu'elle comporte sont sans difficulté majeure, mais nécessitent d'adapter les outils de l'électrostatique au cas de la gravitation. · La deuxième, très courte, donne une estimation de la vitesse de rotation des étoiles en fonction de leur position, dans l'hypothèse où il n'y a que de la matière visible. · La troisième constate l'incompatibilité entre ces prédictions et les observations. Elle propose une détermination de la masse de matière noire d'une galaxie. Cette partie est sensiblement plus difficile que les deux précédentes, et nécessite des raisonnements physiques assez complexes. · La dernière s'intéresse aux amas de galaxie, et montre que la part de matière noire est encore plus importante dans les amas que dans les galaxies. Elle permet aussi de réviser l'hydrostatique avec une modélisation d'un gaz en équilibre gravitationnel. Ce sujet n'est pas très calculatoire (à part quelques questions). En revanche, il constitue un bon entraînement pour développer son sens physique. En outre, il utilise des théorèmes qui ne sont vus en cours que dans le cas de l'électrostatique, mais qui s'appliquent aussi à la gravitation. Enfin, il permet de réviser l'hydrostatique, dans un cas un peu éloigné du cours. Il n'est pas très difficile (si ce n'est quelques questions), mais peut déstabiliser les candidats en demandant d'appliquer des connaissances, par ailleurs bien maîtrisées, à des cas nouveaux. Indications Partie I I.1.b Remarquer que fixer le champ fixe aussi la densité de masse. I.2.a L'énoncé demande d'exprimer le potentiel en fonction de r et non de R. I.3 Ne pas chercher à faire des calculs. Partie II II.1.a Utiliser le repère de Frenet. Partie III - III.1.b Calculer V · - u , où - u est le vecteur unitaire de la ligne de visée. III.2.b À quoi ressemble la galaxie dans le cas i = /2 ? III.3.a Utiliser le théorème de Gauss pour montrer que la forme asymptotique obtenue à la question II.1.a se généralise simplement pour tout R, dans le cas d'une distribution à symétrie sphérique. III.3.b Remarquer que V2 est linéaire en M. 1 u2 =1- . III.3.d Remarquer que 2 1+u 1 + u2 III.4.a Supposer que la contribution de la masse visible est négligeable et le vérifier a posteriori. III.5.b La limite de résolution est de l'ordre de min , où a est le diamètre de a l'ouverture du télescope. Partie IV IV.2.a La vitesse de libération est la vitesse qui permet à un corps de surmonter l'attraction gravitationnelle de l'amas. IV.3.a Utiliser la relation de l'hydrostatique. Faire attention au fait que le champ gravitationnel n'est pas constant. IV.3.b Le gaz est électriquement neutre. La loi des gaz parfaits peut aussi s'écrire P = nkB T, où kB est la constante de Boltzmann et n la densité volumique de particules. I. Modélisation d'une galaxie spirale I.1.a Dans le cas où b = 0, le potentiel se simplifie en GM D (R, z) = - q 2 R2 + (a + |z|) I.1.b Pour z < 0, on a GM D (R, z) = - q 2 R2 + (a - z) En outre, si l'on nomme A le point (R = 0 , z = a) et P le point (R , z), on a AP2 = R2 + (a - z)2 GM AP ce qui est rigoureusement équivalent au potentiel d'une masse ponctuelle M placée en A. On sait que la densité de masse est reliée au champ gravitationnel par l'équation - div A = -4 G On en déduit D (R, z) = - Il faut ici se souvenir que les théorèmes puissants de l'électrostatique, comme le théorème de Gauss, s'appliquent aussi aux champs gravitationnels. L'équation ci-dessus est en fait celle de Maxwell-Gauss, mais dans le cas de la gravitation. La connaissance du champ de gravitation ou du champ électrique fixe complètement la densité de masse ou de charge. Il suffit de savoir que les équations de l'électrostatique et celles de la gravitation sont reliées par les relations masse charge 1 G- 4 0 Comme le champ est celui d'une masse ponctuelle, on sait que sa divergence est nulle partout sauf sur la masse (R = 0 , z = a > 0) où elle n'est pas définie. On en déduit, pour z < 0 =0 I.1.c Le potentiel est invariant par symétrie par rapport au plan z = 0. On en déduit que si z > 0, le champ se comporte comme celui d'une masse ponctuelle placée en (R = 0 , z = -a). I.1.d On en déduit en particulier que = 0 pour z > 0. Ce résultat et celui de la question I.1.b impliquent que la masse est localisée dans le plan z = 0. Comme D est invariant par rotation autour de l'axe R = 0, on en déduit que la densité de masse doit être elle aussi invariante par rotation. En particulier, les courbes d'isodensité sont les courbes R = Cte La galaxie a donc une forme circulaire. On pourrait douter de cette réponse, vu le titre de la partie. Il ne faut pourtant pas s'inquiéter : la modélisation envisagée ne permet pas d'en dire plus (voir l'énoncé à la question I.4). En outre, les phénomènes donnant naissance à la forme spirale des galaxies ne sont pas encore très bien compris. I.2.a Dans le cas où a = 0, on a GM S (R, z) = - R2 + z 2 + b2 c'est-à-dire, comme R2 + z 2 = r2 , GM S (r) = - r 2 + b2 I.2.b Ce potentiel est à symétrie sphérique ; en conséquence, il doit en être de même pour la densité. Les surfaces d'isodensité sont donc des sphères et la galaxie, dans ce cas, est sphérique. I.3 On peut déduire des questions précédentes que la composante en a du champ correspond à une densité localisée sur le plan z = 0, à symétrie circulaire, tandis que la composante en b correspond à une répartition sphérique de la densité de masse. Par conséquent, les valeurs relatives de a et b indiquent quelle portion de la masse est dans le disque ou dans la boule. z as b a O R z as a b O R Il s'agit bien sûr d'un raisonnement purement qualitatif. On pourrait calculer la densité de masse grâce à la loi suivante : - 1 1 =- div A = G 4 G 4 G En pratique, le calcul est très complexe et ne donne pas de résultat satisfaisant analytiquement. Il faut recourir à des tracés numériques pour se donner une idée plus précise de la répartition de masse. I.4 Pour R et z grands devant a et b, l'expression générale de G se simplifie en GM GM G = - =- 2 2 r R +z Or, ce potentiel est exactement celui d'une masse ponctuelle M placée à l'origine du repère. On en déduit que la galaxie a une masse M.