X Physique 1 PC 2002

Thème de l'épreuve Étude de l'équilibre et des mouvements de l'atmosphère à grande échelle
Principaux outils utilisés fluide en équilibre hydrostatique, thermodynamique, mécanique du point
Mots clefs loi de Laplace, référentiel non galiléen, fluide en équilibre, force d'inertie

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2002 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Le vent à l'échelle des prévisions météorologiques nationales L'air qui constitue l'atmosphère terrestre est concentré dans une couche d'une dizaine de kilomètres d'épaisseur au--dessus du sol : la troposphère. On considère cet air comme un fluide constitué de domaines élémentaires dont les dimensions horizontales sont en France de quelques dizaines de kilomètres et les dimensions verticales d'une dizaine de mètres. La première partie de ce problème présente différents modèles d'équilibre de l'atmosphère. La deuxième partie décrit les mouvements horizontaux et verticaux de cette atmosphère à grande échelle et présente le modèle dit du vent géostr0phique. Enfin, on étudie dans la troisième partie les écarts entre ce modèle et le vent réel. Dans tout le problème, l'air sera considéré comme un gaz parfait. Table 1: Echelles caractéristiques de l'atmosphère aux latitudes moyennes (go ... 45°) Vitesse horizontale du vent _ 10 ms Vitesse verticale du vent _ 10"2 ms Échelle de temps des mouvements verticaux et horizontaux _-- Échelle des gradients horizontaux de pression HW P>|l Données numériques ' Constante des gaz parfaits R = 8, 3 J mol_1 K"1 Pression atmosphérique au niveau de la mer P0 = 105 Pa Masse molaire de l'air Ma = 29 gmol"1 Rayon de la Terre TT = 6, 4 >< 103 km Accélération de la pesanteur en France g = 9, 8 ms"2 Latitude typique de la France ' 90 = 45° I - Modèles d'équilibre de l'atmosphère On considère de l'air en équilibre dans le référentiel terrestre R. Chaque élément de ce fluide est donc en équilibre sous l'action des forces extérieures à cet élément, qui sont de deux types : les forces de pression et la force due au champ de pesanteur. 1. L'air étant considéré comme un gaz parfait, calculer sa masse volumique»p0 = p(Pg,Tg) dans les conditions normales de température T 0 = 273 K et de pression P = Po. 2. On choisit dans R un repère orthonormé de vecteurs unitaires {ë}, ë'y, EUR.}, dont l'origine O est située à la surface de la terre et où ë} est dirigé vers les altitudes croissantes; l'état de l'atmosphère est caractérisé par les champs de pression P(oe, y, z) et de température T(oe, y, z). &) Ecrire la condition d'équilibre mécanique de l'air soumis aux forces de pression et au champ de pesanteur ÿ' = --gëZ supposé localement uniforme. b) En déduire que P ne dépend que de z et établir l'équation différentielle permettant de déterminer P(z) en fonction de M... P, Q, T et de la constante des gaz parfaits R. 3. On considère dans un premier temps l'atmosphère en équilibre isotherme. a) Montrer que la pression varie avec l'altitude 2 selon une loi du type : P(z) = PO exp (----ËÏ--) où H est une longueur nommée hauteur d'échelle de l'atmosphère que l'on explicitera en fonction de M... R, g et T. Calculer la hauteur d'échelle Ho de l'atmosphère isotherme a TO = 273 K. b) L'hypothèse d'une température uniforme est--elle justifiée ? 4. On considère maintenant l'atmosphère en équilibre adiabatique caractérisé a toute altitude . C . par la relat10n P = K ,07 où K est une constante et 'y = --B % 1,4 est le rapport des capac1tés C 'U thermiques à pression et volume constants des gaz parfaits diatomiques. &) Montrer que dans ce modèle P(z) et T (2) vérifient les relations suivantes : Z Z --fy__ ""--T_-- __ H --H 7 -- 1 0 y -- 1 0 b) Calculer numériquement le gradient vertical de température en K km_1 correspondant a ce modèle d'atmosphère en équilibre adiabatique. c) Représenter graphiquement les allures des variations de la pression et de son gradient en fonction de l'altitude. (1) Calculer numériquement ce gradient de pression pour z = 0, 2 500 et 5 000 m. e) À partir des gradients de pression trouvés, donner un ordre de grandeur de l'échelle de la dimension verticale LZ sur laquelle la pression varie de 100 Pa. f) Exprimer le rapport des masses volumiques de l'air p(P, T) / p(P0,T0) en fonction de z, H0 et fy. Calculer p a 2 500 m d'altitude. Il - Dynamique des mouvements atmosphériques à l'échelle synoptique : le vent géostrophique 3EFWEI DE METEDFËDLDGIË. DE DÉTALUNYA FUNDADID DATALANP. FER A LP. HEDEHDF'. - UNIVERSITAT DE BAHDELDNË. ___ 1--_,-.--. "'-"" _-"';--H "' .-- ' L ÜËUdÈ "'--.:.:Ë. __ . 1. La Figure 1 représente les lignes isobares, cotées en hPa et tracées de 2 hPa en 2 hPa, au niveau de la mer en Europe de l'Ouest, le 23 janvier 2002 à 0 h. &) Déterminer sur cette carte de pression la valeur du gradient de pression horizon-- tal a Bordeaux. Comparer à la donnée de la Table 1. Doré-- navant, la valeur du gradient horizontal de pression utilisée dans les applications numé- riques sera celle donnée par cette Table 1. Anä]isi [IDE 23-GOE-02 F figure 1 b) Sachant qu'on attribue habituellement aux domaines élémentaires des dimensions ho--_ rizontales Lh telles que la pression horizontale varie en moyenne de 100 Pa, déterminer un ordre de grandeur de Lh. Dans la suite du problème, nous nous placerons a cette échelle. 2.3) Donner l'expression du champ de gravitation terrestre ÿ'* (f) en un point repéré par F par rapport au centre de la Terre, assimilée à une sphère homogène de masse MT. On désignera par G la constante de gravitation universelle. b) Établir l'expression donnant la variation avec l'altitude z du module g* (75) = ||ÿ'*|| en fonction du rapport 1 et de g* (0). Quelle est l'erreur relative commise a 2 500 m d'altitude si "" T l'on remplace g* (2) par g5' = g* (0). 3. Soit RO le référentiel barycentrique terrestre, géocentrique, que l'on considérera comme galiléen, et soit Re le référentiel terrestre local, dont l'origine 0 a pour latitude go (Figure 2). On choisit Oa: tangent au parallèle passant par O et dirigé vers l'Est, Oy tangent au méridien passant par O et dirigé vers le Nord. F figure 2 Le référentiel Rg est animé par rapport a RO d'un mouvement de rotation diurne uniforme de vitesse angulaire cÜ._ &) Préciser dans Re la direction de l'accélération d'entraînement ÏE(F). Pour un point d'altitude z a la verticale de O, établir l'expression de son module FE(Z) en fonction de w, z, TT et 90. Quelle est l'erreur relative commise sur FE a 2 500 m d'altitude si l'on remplace FE(z) par FED : FE (0). Calculer la valeur typique de FE0 en France. ' b) Soit ÿ'(f) le champ de pesanteur local, dont la direction est donnée par celle d'un fil à plomb. Déduire des résultats précédents la relation entre le champ de pesanteur ÿ(f), le champ de gravitation terrestre ÿ'* (7Û et l'accélération d'entraînement ÎE(F). Justifier l'hypothèse d'un champ de pesanteur localement uniforme ÿ utilisée en I. c) Une particule de masse m se déplace à la vitesse V dans Rg. Donner l'expression de l'accélération de Coriolis F C correspondante en fonction de V et @. Exprimer la force d'inertie de Coriolis Ë'C dans Ooeyz en fonction de m,w, de la latitude @ et des composantes (Vw, Vy, VZ) de Y. 4. Sur l'air atmosphérique en mouvement s'exercent les forces de pesanteur, d'inertie de Coriolis et de gradient de pression; écrire l'équation vectorielle du mouvement d'un domaine particulaire; en déduire les trois équations donnant les coordonnées de l'accélération locale Î' : V dans Ooeyz. 5. On se propose tout d'abord d'étudier les mouvements verticauæ de l'air dans le cadre du modèle d'atmosphère en équilibre adiabatique. &) Évaluer les ordres de grandeur des différents termes situés dans le second membre de l'équation du mouvement vertical, en utilisant les résultats trouvés à la question I.4.d) lorsqu'on se place à. 2 500 m d'altitude, pour une latitude go : 45° et un vent de l'ordre de 10 ms"1. Que peut--on en déduire sur l'importance de la composante verticale de la force d'inertie de Coriolis ? b) Les observations montrent qu'en dehors de très brèves périodes d'adaptation aux pertur- bations verticales, les ascendances ou descendances sont particulièrement stables dans le temps. Que peut-on en conclure concernant l'amplitude de l'accélération verticale? À partir des don- nées de la Table 1, estimer l'ordre de grandeur de l'accélération verticale. En effectuant alors les simplifications légitimes, a quoi se réduit l'équation du mouvement vertical de l'air ? Conclure quant aux résultats de la partie I. 6. On étudie maintenant les mouvements horizontauaz de l'air en se plaçant à. 2 500 m d'al-- titude. a) En s'appuyant sur les données de la Table 1, simplifier les équations du mouvement horizontal. On définit le paramètre de Coriolis le par k : 2w sincp : quelles sont ses valeurs numériques respectives a des latitudes de 45° dans les hémisphères Nord et Sud. b) On définit la vitesse relative horizontale par V,, = V mé}; + V yë'y. Montrer que la force de Coriolis horizontale par unité de masse peut s'exprimer sous la forme: fCh-- -- --k(ez /\ Vh). Que peut-- --on en conclure sur l'orientation du vecteur fc}, par rapport au vecteur V,, dans les hémisphères Nord et Sud ? c) Calculer le module de la force horizontale de Coriolis rapportée à. l'unité de masse fc}, à une altitude de 2 500 m pour laquelle le vent a une vitesse horizontale de 15 m/s à une latitude de 45°. En prenant comme gradient horizontal de pression à la même altitude celui donné par la Table 1, calculer le module de la force de pression horizontale par unité de masse fish. (1) De façon générale, les observations montrent que les accélérations tangentielles subies par les domaines particulaires dans leurs mouvements horizontaux sont toujours très faibles dans les grands mouvements atmosphériques sous nos latitudes moyennes. De même les accélérations normales sont en général très petites sauf a l'avant des dépressions mobiles. En vous appuyant sur les données de la Table 1, estimer l'ordre de grandeur des modules des quantités fCh, fph et de l'accélération horizontale Fh-- -- Vh. Que peut- on en conclure pour la valeur de la somme vectorielle fph + foi,. 7. On appelle vent géostrophique le vent fictif de vitesse horizontale V vérifiant identique- ment l'équation fph + fCh= _ 0. a) Montrer que ce vent est entièrement déterminé par la connaissance de la distribution spatiale de pression et exprimer son champ de vitesse V9 à l'aide du gradient horizontal de pression Ü;,(P). b) Quelle est la valeur de l'accélération fg et la nature locale de la trajectoire des particules constituant le vent géostrophique ? Préciser sur un schéma les orientations respectives de V9, f ph et fg}, dans les hémisphères Nord et Sud. c) Compte tenu des ordres de grandeurs donnés dans la Table 1, vérifier que, pour la latitude de 45°, le module V9 de la vitesse géostrophique est égal à Vh. Définir à l'aide de la |Vg -- Vhl Vh figure 3 la fourchette de latitude pour laquelle l'écart relatif reste inférieur à 30%. d) En déduire les deux conditions nécessaires pour que le vent géostrophique soit une bonne approximation Vg % V;, du vent réel. Ces conditions sont-elles vérifiées aux latitudes équatoriales (90 < 20°) ? 120 100 80 Vg--Vh T (%) 60 %||Ü,(P)H : Cte 40 20 0 --20 --40 r(°) 60 65 70 75 80 85 90 25 30 35 40 45 5 F igure 3 III - Écarts entre le vent géostrophique et le vent réel : le vent de gradient Le vent réel est parfois en désaccord avec le vent géostrophique notamment au voisinage des dépressions. Ce désaccord provient de la présence dans l'équation du mouvement horizontal du terme d'accélération f,, qui a été négligé dans l'hypothèse géostrophique. Malgré l'apparente complexité des cartes qui décrivent les perturbations météorologiques, les distributions de vitesse et de pression sont cependant assez simplement reliées au prix de quelques approximations. 1. Pour une analyse plus fine des mouvements horizontaux locaux, on utilise dans Rg, en tout point du champ d'écoulement, le repère dit naturel constitué d'un trièdre direct de vecteurs unitaires {EUR}, EUR... 52} tel que EUR} soit parallèle et de même orientation que la vitesse réelle horizon-- tale Yh et tel que EUR}, soit orienté verticalement vers le haut. Dans ce repère la vitesse horizontale --+ ds s'écrit Vh : Vë}, avec V = dt ; 0, où 3 est l'abscisse curviligne de la particule le long de sa dé 5 trajectoire. On rappelle la relation --â---t-- = --ÈÎ, où RC est le rayon algébrique de courbure de la S C trajectoire, son signe étant celui de la coordonnée du centre de courbure mesurée le long de l'axe orienté par ê'n. a) Décomposer dans ce repère naturel, selon et et en, l'accélération Ph, la force de Coriolis horizontale foi,, la force de pression horizontale fph et la vitesse géostrophique Vg. P ÔP b) On note et VP- -- ----Ô------t et en VP- -- -- .Montrer que dans le repère naturel les deux 83 Ûn composantes tangentielle et normale de l'accélération Ph vérifient les systèmes : th=_lÔ_P P;... =--kV--lô--P p 83 p Ôn 2. Afin d'obtenir une approximation meilleure prenant en compte la courbure des trajectoires, on impose à l'accélération Ph la condition th : 0 moins restrictive que la condition Ph : 0 définissant l'approximation géostrophique. Le vent approché ainsi défini porte le nom de vent de gradient, sa vitesse VV et son accélération Pv horizontales seront repérées par l'indice V. On effectue de plus une hypothèse simplificatrice supplémentaire : la composante du gradient de pression normale à la trajectoire de la particule est supposée constante le long de cette dernière. a) Comparer les trajectoires et les lignes isobares. Quelle est leur forme? Par un dessin, préciser en un point d'une trajectoire, les directions respectives du gradient de pression, de la vitesse V du vent géostrophique, de la vitesse VV et de l'accélération PV du vent de gradient? b) Montrer que le module VV de la vitesse du vent de gradient est solution d'une équation du second degré. En déduire que VV est liée à Vg par la relation VV--Vg V V vV "RC/ç Déterminer son ordre de grandeur avec les données de la Table 1. c) Compte tenu du résultat précédent et en se limitant & l'hémisphère Nord, vérifier que 1 /14 ÔP les deux solutions ayant pour expression VV : äRck {1--- 162 R _8 ,-- l} avec RC > 0 pour n ÔP Ô_n On admettra sans démonstration que ce sont les deux seules. Pour chacune des deux situations météorologiques, faire un schéma faisant apparaître les directions et les amplitudes relatives des forces, le sens de rotation du vent de gradient ainsi que les directions et les amplitudes relatives de la vitesse géostrophique et de celle du vent de gradient. l'une et RC < 0 pour l'autre, étant négatif dans les deux cas, sont physiquement admissibles. (1) Montrer que dans le cas des anticyclones (hautes pressions) le gradient de pression ne peut dépasser une valeur limite fonction du rayon RC. Que peut-on en conclure quant a la forme du profil de pression et à la force du vent au voisinage du centre d'un anticyclone par comparaison avec la région proche du centre d'une dépression ? Commenter en faisant référence à la figure 1.

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 X Physique 1 PC -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par JeanJulien Fleck (ENS Ulm) et Vincent Fourmond (ENS Ulm). Le problème aborde différents modèles de l'atmosphère. Il est long et de difficulté croissante, les questions devenant de plus en plus qualitatives. Sa résolution ne fait appel qu'à des relations de base : l'équation de l'hydrostatique puis celle de l'hydrodynamique, la loi de Laplace et les formules de cinématique du point. Il ne faut surtout pas négliger les applications numériques : ici, elles comptent énormément. · La première partie compare le modèle de l'atmosphère en équilibre isotherme avec celui de l'atmosphère en équilibre adiabatique. Le premier permet de se donner une idée de la distribution de l'air tandis que le second, plus réaliste, permet de déterminer la taille caractéristique des domaines élémentaires utilisés en météorologie. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la dynamique de l'air : les mouvements verticaux et horizontaux sont étudiés de manière découplée. On justifie au passage la modélisation en couches d'air horizontales adoptée dans la première partie. Enfin, un modèle de vent horizontal est analysé : le vent géostrophique. Cette partie se conclut par l'étude des conditions nécessaires à la pertinence de ce modèle. · La troisième partie propose une analyse plus raffinée afin d'expliquer le comportement du vent horizontal, dans le cas où le modèle précédent en est incapable. Elle est la plus qualitative et nécessite une bonne compréhension du problème pour dresser les schémas demandés. Indications Partie I I.3.b Que constate-t-on en pratique au sommet de la troposphère ? I.4.a La température devient une inconnue mais on a une nouvelle équation. Penser à la méthode de séparation des variables. - I.4.e On peut estimer Lz sachant que kh Pk fournit une estimation du rapport P/Lz , P étant la variation de pression. Partie II II.2.a Utiliser le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel. II.3.a Quel est le mouvement du point coïncidant avec M dans R0 ? La valeur de n'est pas donnée car elle est simple à calculer. II.3.b La force de Coriolis n'est pas incluse dans le champ de pesanteur. Pour justifier que le champ de pesanteur est localement constant, on pourra utiliser l'estimation de E0 . II.5.b La table 1 donne le temps typique des mouvements verticaux. Les couches horizontales d'air peuvent-elles être considérées comme étant en équilibre ? II.6.a Que dire de la vitesse verticale par rapport à la vitesse horizontale ? - - - II.6.d Comparer h à fCh puis à fPh . II.7.b Pour le schéma, on se souviendra que le gradient de pression est orthogonal aux isobares. II.7.d Pour trouver une deuxième condition, on peut s'intéresser à la forme des isobares dans une zone où l'approximation géostrophique est valable. Partie III III.2.a Comment évolue la pression le long d'une trajectoire ? III.2.b Pour évaluer le rayon de courbure, s'appuyer sur la figure 1. III.2.c Le signe de la courbure dépend du sens de parcours de la trajectoire et de l'orientation du plan. Penser aussi à relier le gradient avec les zones de dépressions et d'anticyclones. III.2.d Il y a un lien entre la vitesse de croissance d'une fonction et la norme de son gradient : cette dernière est d'autant plus grande que la fonction varie rapidement sur des distances faibles. I. Modèles d'équilibre de l'atmosphère I.1 L'équation d'état du gaz parfait est, avec n la quantité de gaz PV = n RT m Soit m la masse de gaz. Comme = et m = n Ma , on a V = Application numérique : PMa RT 0 = 1, 3 kg.m-3 I.2.a Considérons un élément de fluide de volume d . Il subit l'action du champ de pesanteur et celle des forces de pression. La résultante volumique des forces de - pression est - P, si bien que - - d = d - g - P d À l'équilibre, l'accélération est nulle, d'où l'équation - - 0 = - g - P I.2.b En projetant cette équation sur la base cartésienne, on obtient P 0 = - x P 0=- y 0 = -g - P z On déduit des deux premières équations que P ne dépend que de z. En substituant à son expression obtenue à la question I.1, on obtient pour P l'équation différentielle suivante : dP g Ma + P=0 dz RT I.3.a Comme g est localement constant et T uniforme, P obéit à une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. La solution, qui est donc exponentielle, s'écrit z RT P(z) = P0 exp - avec H = H g Ma Pour T0 = 273 K, on trouve H0 = 8, 0 km I.3.b La hauteur d'échelle est du même ordre de grandeur que l'épaisseur de la troposphère. Or, en pratique, on s'aperçoit que la temérature diminue avec l'altitude pour atteindre un minimum de l'ordre de -60 C. L'hypothèse d'atmosphère isotherme est donc hautement criticable. Elle donne néanmoins une idée de la distribution de la pression. I.4.a Dans le modèle de l'équilibre adiabatique, T devient une inconnue mais on dispose d'une équation supplémentaire grâce à la loi de Laplace. P ne dépend toujours que de z car aucune force ne s'exerce sur les axes Ox et Oy. Dans la loi de Laplace, la constante K se trouve en se plaçant en z = 0. L'équation différentielle vérifiée par P est la suivante : dP + g = 0 dz Comme = 0 P P0 1 et 0 g = P0 , elle devient H0 1 dP P0 P + =0 dz H0 P0 1 Cette équation s'intègre en séparant les variables P et z. 1 dz P- dP =- - 1 P0 H0 P0 On intègre la pression de P0 à P et l'altitude de 0 à z. ! -1 P z =- -1 - 1 - 1 P0 H0 d'où P(z) = P0 1 - -1 z Ho -1 PMa Calculons maintenant la température. Comme = , la loi de Laplace s'écrit RT aussi P1- T = Cte Cette constante s'exprime en fonction de T0 et P0 , ce qui donne P1- T = P1- T0 0 T = T0 Finalement T(z) = T0 1 - P P0 -1 z H0 -1 I.4.b La température est une fonction affine de z, donc le gradient vertical de température est constant. Il vaut