X Physique 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Étude de la montée de la sève dans les arbres
Principaux outils utilisés hydrostatique, thermodynamique

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE P C PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Comment la sève monte-t-elle dans les arbres ? L'objet de ce problème est l'analyse de divers mécanismes physico--chimiques susceptibles d'expliquer la montée de la sève brute dans les arbres. La sève brute est le grand courant ascen-- dant qui conduit aux feuilles, bourgeons et fleurs, l'eau et les sels minéraux. Dans une première partie, on étudie différentes causes possibles de l'ascension de la sève : pression hydrostatique, capillarité, osmose... Cependant, une évaluation des ordres de grandeur montre qu'aucun de ces mécanismes ne peut rendre compte d'une ascension très élevée, comme dans le cas du pin Douglas où elle atteint 60 mètres. Le mécanisme principal est en fait la transpiration dont la description et le lien avec la thermodynamique de l'eau liquide font l'objet de la seconde partie. Toutes les sous-parties sont très largement indépendantes les unes des autres. Dans tout le problème, on admettra que la sève brute est une solution si diluée que ses propriétés physiques (masse volumique, tension superficielle, équation d'état...) sont celles de l'eau pure. Sauf cas contraire, la température T sera prise à égale 20°C. Données numériques Accélération de la pesanteur g = 9, 81 ms"2 Constante des gaz parfaits R = 8, 3145 J K"1 mol--1 Pression atmosphérique normale 1, 01325 bar : 0, 101325 MPa : 760 mm Hg Masse volumique de l'eau à 20°C p = 0, 99821 g cm_3 ' Tension superficielle de l'eau à 20°C 0 = 72, 75 >< 10"3 N m_1 Viscosité dynamique de l'eau à 20°C 77 = 1, 002 >< 10"3 kg m_1 8--1 Rayon des canaux de xylène (bois) R : 25 pm (conifères) a 200 mn (chêne) Température de fusion de la glace sous pression normale TF : 273, 15 K Propriétés de l'eau au point critique pc = 0,322 g cm--3 pg = 22,064 MPa TC = 373, 99°C Paramètres de l'équation d'état de Speedy à 20°C " 17, 8297 22, 3029 cm3 mol--1 Masses molaires --I-II... -- A température constante, pour un corps pur de potentiel chimique ,u, de volume molaire ?) et à la pression P, on a : ----208 MPa Formulaire du : vdP. -- Potentiel chimique d'une mole de composant ?; dans un mélange idéal à la température T et à la pression p : ...(T, P) = ,Æ(T, P) + RT ln :ci . où ,a? (T , P) est le potentiel chimique du composant 75 pur et ici sa fraction molaire dans le mélange. -- Loi de Poiseuille : 7TR4AP Q=-------- 877 h Première partie L'impossible montée A. La poussée atmosphérique. 1. En supposant que l'eau est incompressible, quelle est la pression P(h) au sommet d'une colonne d'eau de hauteur h et dont la base est a la pression atmosphérique PO ? 2. Application numérique : Quelle hauteur maximale h A peut atteindre l'eau soumise à une aspiration sous vide ? B. La capillarité. A l'interface entre une phase liquide et une phase gazeuse, un accroissement réversible (ZA de la surface de contact, à température constante, nécessite un apport énergétique par travail donné par adA où a (a > O) est la constante de tension superficielle entre les deux phases. Les forces de tension superficielle tendent donc à réduire la surface de contact et elles créent du côté concave une surpression par rapport au côté convexe, donnée, pour un interface sphérique de 20 rayon 7°, par --. T. 1. On considère une goutte de liquide, sphérique, de rayon 7", à l'équilibre avec l'air environ-- nant de pression uniforme PO ; soit P,-- la pression au sein de la goutte. &) Donner l'expression de H-- en fonction de PO, 0 et 'r. b) Application numérique : A partir de quel rayon la pression au sein d'une goutte d'eau est--elle supérieure de 1%) à la pression atmosphérique ? 2. Lorsque l'on plonge un tube de verre très propre, cylindrique et de faible rayon R, dans un liquide, on constate que le liquide s'élève dans le tube d'une hauteur h. Le ménisque a la forme d'une calotte sphérique qui se raccorde aux parois avec un angle v,b (voir figure 1). a) En calculant la pression du liquide sous le ménisque de deux façons différentes, relier h a R, cosü et à la gran-- 0 . deur ÀC = , /----, dont on donnera la dimension et que l'on PQ interprétera: . . 71-- b) Que se passe--t--1l SI 7,b > 5 ? c) Application numérique : Calculer ÀC pour l'eau. De quelle hauteur ha la sève brute peut--elle s'élever par capil-- larité dans les canaux de xylène qui la transportent ? F igure ] C. L'osmose. 1. On considère un récipient, formé de deux compartiments, de même volume V et àla même température T, 'séparés par une membrane semi--perméable, perméable au solvant A mais non aux solutés B,. Le compartiment de gauche G contient une solution supposée idéale, celui de droite D le solvant pur (voir figure 2). On note [194 (T, P) le potentiel chimique d'une mole de A pur. &) Quelle condition est satisfaite lorsque ce système est à l'équilibre? En déduire que les deux compartiments ne peuvent être alors à la même pression. b) En supposant que la solution est très diluée et que le solvant est incompressible, montrer que la surpression H qui s'exerce dans le compartiment G, appelée pression osmotique, est de la forme : H : RT(Z n,) /V où n,- est le nombre de moles du soluté B,. i c) Commenter cette loi. Où intervient la nature du ou des solutés ? En quoi cette loi est--elle remarquable ? 2. La sève brute contient en général moins d'un membrane gramme par litre de minéraux divers (ions Na+, Cl", K+, ÎÏ--i'î {::--: semi-perméable HCOg .) et parfois des substances organiques. &) Estimer la pression osmotique de la sève brute par rapport à l'eau pure en ne tenant compte que des sels minéraux. b) Certains arbres, comme l'érable, ont au début du printemps, une sève riche en sucres : la concentration F i9UTEUR 2 de disaccharides (formule brute : C12 (H20)11) peut alors atteindre 20 à. 30 grammes par litre. Quelle est alors la pression osmotique de la sève brute par rapport a l'eau pure ? c) Expérimentalement, on constate qu'à la base des végétaux, la sève brute est bien émise sous pression : on trouve des pressions de l'ordre de 1 bar et plus, en excès par rapport a la pression atmosphérique. Est-il raisonnable de considérer cette poussée radiculaire comme étant pour une large part de nature osmotique ? (1) Application numérique : De quelle hauteur ho la sève brute peut-elle s'élever sous l'effet de la poussée radiculaire ? D. La perte de charge. L'eau est un fluide visqueux et son écoulement s'accompagne nécessairement d'une perte de pression. Pour un écoulement stationnaire dans un conduit cylindrique vertical, de longueur h et de section circulaire de rayon R, la perte de charge Ap qui se produit en sus de la variation hydrostatique étudiée à la question I.A.1, est relié au débit volumique Q par la loi de Poiseuille. 1. Les canaux de xylène, approximativement cylindriques, présentent une dispersion en taille. Quels sont ceux qui transportent principalement la sève brute ? 2. Des mesures donnent des vitesses moyennes d'ascension de l'ordre de 0,5 mh_1 pour les conifères et jusqu'à 50 mh_1 pour des arbres a gros canaux comme le chêne. a) En déduire la perte de charge théorique par unité de longueur pour ces deux types d'arbres. Que constate--t-on ? b) Les mesures expérimentales sont dans un facteur d'environ 2 par rapport aux prévisions théoriques. Dans quel sens ce facteur joue--t--il ? Justifier. c) La perte de charge est-elle significative par rapport à la poussée radiculaire ? E. Quels sont, parmi les mécanismes précités, ceux qui vous semblent les plus a même d'expliquer la montée de la sève ? Montrer que la montée de la sève dans les très grands conifères demeure inexplicable a ce stade. Deuxième part ie La transpiration En fait, l'essentiel de la sève s'évapore dans l'atmosphère au niveau des feuilles. Par ailleurs, on sait par traçage radioactif qu'il y a continuité de la colonne d'eau depuis les racines jusqu'aux feuilles. A. Un analogue saisissant de ce mode de transport de la sève est donné par l'expérience de J. Bôhm (1893). Un récipient, en argile poreuse, est plongé dans un bain d'eau bouillante. L'eau du récipient est siphonnée, par l'intermédiaire d'un tube capillaire, au travers d'une bouteille contenant du mercure. Lorsque l'on retire le bain bouillant, on constate que l'eau reflue dans le tube en tirant a elle une colonne de mercure qui peut atteindre 1m de hauteur (voir figure 3). l ) v-----------_e--w--------n--u--- //I£ -..--.-- F:... 245444 . _ lV/fi'ÆRll ; IV/ Argile ! ;: @ Îl' poreuse . ' % . :: Mercure F figure 3 1. Quelle est la pression dans le tube au niveau de l'interface eau / mercure ? En quoi est--ce remarquable ? 2. Expliquer en quelques lignes en quoi cette expérience éclaire le mécanisme de la montée de la sève par transpiration. 3. L'argile poreuse est un entrelacs de pores de tailles et de formes variées dans lequels existent des ménisques entre l'air et l'eau liquide. Quelle doit--étre la largeur approximative de ces pores pour provoquer une telle dépression ? (on se référera a LB). 4. Qu'adviendrait-il si jamais une bulle apparaissait dans l'eau ? B. L'expérience de Bôhm montre que l'eau liquide peut être stable sous traction. Dans tout ce qui suit, on cherche à évaluer quelle tension (force de traction par unité de surface) l'eau liquide peut supporter sans se rompre. Un cylindre de section S, parfaitement étanche et fermé par un piston sur lequel on tire avec une force F (figure 4a), contient un liquide maintenu à température constante. À partir d'une certaine force, le liquide se rompt. Figure 40. Figure 4b 1. On admet que la colonne de liquide se rompt en deux, tout en conservant son volume, et que la surface de séparation créée est plane et bien nette (voir figure 4b). Exprimer a l'aide de la tension superficielle a du liquide le travail W qu'il a fallu fournir pour créer cette séparation. 2. W est l'opposé du travail des forces attractives à très courte portée 5 (moins de 10 nm) qui s'exercent entre les molécules de part et d'autre de la surface de séparation. Quelle est l'origine microscopique de ces forces attractives ? 3. Application numérique : En supposant que W soit fourni par une force constante Fmax sur Fmax S ? la distance adéquate ô, calculer F...ax pour l'eau à 26°C puis la tension correspondante que l'on exprimera en bar. On prendra S = 10 cm2. 4. Que vaut la pression de l'eau juste avant la rupture? Ce résultat est-il compatible avec l'expérience de Bôhm ? C. On considère un fluide de volume molaire v, a la pression P et à. la température T, dont l'équation d'état est, dans un domaine de température et de pression, correctement décrite par l'équation de Van der Waals : (P+%)(v--b)=RT où a et b sont des constantes. On appelle compressibilité isotherme XT la quantité : _ 1 ( ôv ) XT _ ?) ÔP T . 1. Calculer XT pour le fluide de Van der Waals. 2. Quel doit--étre, selon vous, le signe de XT pour que le fluide soit mécaniquement stable ? On appelle spinodale le lieu des points, dans le diagramme (U, P), pour lesquels la compres-- sibilité diverge, soit x}1 = 0. 3. Montrer que l'équation de la spinodale du fluide de Van der Waals en coordonnées (1), T) est donnée par : ' (o ----b)2 _ RT 'U3 î ' 4. En déduire l'équation de la spinodale P = f (v) en coordonnées (1), P). 5. Tracer l'allure de la spinodale dans le diagramme (U, P) en indiquant les zones où le fluide n'est pas stable mécaniquement. 6. Calculer les coordonnées (vc, PC) du sommet C de la spinodale, puis la température correspondante TC. 7. Tracer, dans le plan (11, P), l'allure des isothermes du fluide de Van der Waals. Justifier physiquement pourquoi C est confondu avec le point critique du fluide, point dont on rappellera la définition. 8. Dans les conditions expérimentales courantes, pour une température T donnée inférieure à TC, certaines parties de l'isotherme ne sont pas observées expérimentalement; une portion est remplacée par un << palier >> à P constante, d'extrémités A et B (avec 'UA < 113). Quelle est la condition d'équilibre thermodynamique que doit satisfaire le fluide en A et en B et qui détermine la position de ce palier. " 9. Indiquer sur le graphe de cette isotherme de Van der Waals les parties correspondant au fluide stable, instable, métastable. D. On introduit les coordonnées réduites 9 : T/Tg, (@ : v/vc et W : P/Pg. Po'Uo RTC de a et b). Application numérique : Est--ce bien vérifié dans le cas de l'eau? 1. Montrer que, pour un fluide de Van der Waals, le rapport est universel (indépendant 2. Donner dans le diagramme ($,7'1') l'équation de la spinodale. A quel volume réduit la pression s'annule--t-elle sur la spinodale ? Quelle est la température réduite correspondante ? 3. Application numérique : Comparer pour l'eau ces prédictions avec les valeurs expérimen-- tales d'annulation de la pression : T = 324°C et un volume massique u : 1, 8 cm3 g"1. 4. Application numérique : Calculer approximativement, pour l'eau, la pression sur la spi-- nodale côté liquide à T = 20°C. Comparer avec la valeur trouvée en II.B.4. 5. Application numérique : Calculer la pression à T = 20°C pour une masse volumique p = 0, 99821 g cm_3 . A quel résultat devrait--on s'attendre ? Que constate-t-on'? E. Ainsi, à la température ambiante, l'équation d'état de van der Waals ne décrit plus correctement l'eau liquide. Speedy a proposé en 1982 l'équation d'état suivante : P vs 2 1------=B ----1 P3 (7) ) où Ps, B et vs sont des fonctions de la température, obtenues en ajustant au mieux les mesures d'équation d'état de l'eau liquide sur le domaine T = 0 -- 100°C et P = 0 -- 100 MPa. 1. Application numérique : Calculer pour une pression de 1 atm à T = 20°C la masse volumique de l'eau. Que pensez--vous de la qualité de l'ajustement ? 2. Calculer x}1 pour l'équation d'état de Speedy. Comment interpréter PS et vs ? 3. Montrer que l'équation d'état de Speedy s'obtient, à température fixée, en faisant un développement limité de la pression en fonction de v'1 autour de vs-- 1, tronqué au second ordre. En déduire une expression de B. 4. La valeur de la pression de l'eau liquide à la limite de la métastabilité prédite par Speedy à T = 20°C est proche de la valeur expérimentale. Par ailleurs, des mesures donnent une pression de la sève de l'ordre de --1 MPa au sommet des végétaux. Qu'en concluez--vous ?

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 X Physique 1 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Florent Tournus (ENS Lyon). Cette épreuve originale nous propose d'essayer de comprendre les mécanismes fondamentaux qui se cachent derrière la montée de la sève dans les arbres. · La première partie fait le point sur plusieurs mécanismes connus, susceptibles d'expliquer la montée de la sève. Elle fait intervenir l'hydrostatique et de la thermodynamique de base. Elle peut être en grande partie abordée avec le programme de sup. · La seconde partie, quant à elle, étudie un phénomène plus complexe, plus à même d'expliquer complètement la montée de la sève, y compris dans les arbres les plus hauts. Cette partie est nettement plus complexe ; elle nécessite de bien maîtriser la thermodynamique et d'être soigneux dans les applications numériques. Indications Première partie I.A.2 Ne pas oublier de convertir en unités S.I. I.B.2.a Faire un dessin. I.B.2.c Calculer des majorants en prenant cos = 1. I.C.1.a L'expression du potentiel chimique est donnée au début de l'énoncé. I.C.1.b Utiliser la relation dµ = vdP donnée au début de l'énoncé. I.C.2.b Ne pas oublier la contribution des sels minéraux. I.D.1 La loi de Poiseuille figure en début d'énoncé. Remarquer aussi que l'arbre fixe la différence de pression p. I.D.2.b Quelle hypothèse implicite est faite concernant le cylindre ? Deuxième partie II.B.1 Utiliser la tension superficielle. La relation nécessaire est donnée dans l'énoncé de la sous-partie I.B : W = dA. II.B.3 Attention ! 6= 10 nm. On pourra prendre pour la distance moyenne entre les molécules d'eau. P II.C.1 Calculer et en déduire T . v T II.C.8 Quelle est la condition de coexistence de deux phases ? II.D Pour les applications numériques, il vaut mieux travailler avec des expressions et des grandeurs sans dimensions (, , ). Les paramètres critiques de l'eau sont donnés au début de l'énoncé. II.E.3 Poser u = v -1 et écrire le développement limité de P(u) autour de us . I. A. L'impossible montée La poussée atmosphérique I.A.1 On applique la loi de l'hydrostatique, la seule force volumique étant le poids : -- grad P = - g On suppose l'eau incompressible, donc est constante. On obtient alors, en projetant sur l'axe vertical z : dP = -g dz qui s'intègre en P(h) - P(0) = -gh et avec P(0) = P0 : P(h) = P0 - gh I.A.2 En aspiration sous vide, on peut espérer atteindre des pressions voisines de 0. On résout alors l'équation établie à la question précédente pour P(h) = 0. P0 - ghA = 0 Ce qui donne hA = P0 = 10, 3 m g On suppose ici que l'eau ne se vaporise pas. Ce n'est pas impossible, comme on le verra plus loin. Il sera bon de garder à l'esprit que dans une colonne d'eau en équilibre hydrostatique, on a un gradient de pression de 0, 1 bar/m. B. La capillarité I.B.1.a L'énoncé donne la surpression pour une interface sphérique de rayon r, ce qui est le cas pour notre goutte. La surpression est du côté concave, c'est-à-dire à l'intérieur de la goutte. Pi = P0 + 2 r I.B.1.b Il faut donc résoudre Pi - P0 2 1 = = P0 rP0 1000 soit r= 2000 P0 Application numérique : r = 1, 44 mm I.B.2.a D'une part, en M sous le ménisque, s'exerce la pression hydrostatique P calculée à la question I.A.1 pour une hauteur h, soit P = P0 - gh D'autre part, toujours en M, on a une dépression dans le liquide due à la courbure du ménisque, 2 r Un peu de géométrie nous donne la relation suivante, pour une calotte sphérique (voir dessin ci-contre) : P = P0 - R r r cos = R et donc P = P0 - 2 cos R M En égalant ces deux expressions de la pression, on obtient : P0 - 2 cos = P0 - gh R 2 cos = gh R h= h = 2 cos C 2 R 2 cos Rg avec C = r g C est la longueur capillaire. Si C R, les forces de tension de surface sont négligeables devant les forces de gravité. Inversement, si C R, on peut négliger la gravité devant les phénomènes capillaires. La loi qu'on vient d'établir est la loi de Jurin. On peut aussi remarquer que l'interface eau-air étant courbée, elle n'est pas à une hauteur constante, et donc que la pression hydrostatique n'y est forcément pas la même. Ceci montre en fait que l'interface ne peut pas être rigoureusement un arc de cercle. D'ailleurs, pour des tubes de rayon R C , la loi de Jurin n'est plus valable. I.B.2.b Si > , alors cos < 0, et donc 2 h<0 h En effet, la surpression est du côté de la concavité (voir dessin ci-contre). L'angle de contact est une caractéristique qui ne dépend que des trois phases qui se rencontrent au point de contact. Dans notre cas, l'eau, l'air et le