X Physique 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Météorologie
Principaux outils utilisés thermodynamique, hydrostatique

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2000 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Phénomènes météorologiques associés à des mouvements verticaux de masses d'air Les phénomènes météorologiques ont des origines multiples; une compréhension complète néces- site de prendre en compte de nombreux bilans d'échange (rayonnement, cycle de l'eau). Toutefois un certain nombre de phénomènes sont uniquement dus au déplacement adiabatique de masses d'air. Nous nous proposons dans ce problème d'analyser certains d'entre eux et étudierons leurs conséquences sur la formation de certains types de nuages. Nous nous intéresserons dans une première partie aux mouvements verticaux d'air sec puis dans une seconde partie aux mouvements d'air humide et au phénomène de condensation. Enfin la troisième partie étudie quelques aspects de l'air humide saturé. On supposera le champ de pesanteur localement uniforme : ? : --geÎ} où ?; est le vecteur unitaire dirigé selon la verticale ascendante. Constantes et données numériques. Constante des gaz parfaits R = 8, 3 J K_1 mol--1 Accélération de la pesanteur g = 9, 8 m s"2 Air sec Masse molaire moyenne M,, = 29 g mol"1 Capacité thermique massique à pression constante c,, = 1, 0 X 103 J K"1 kg"1 Rapport des capacités thermiques à p et à V constants 'y = cp/cv = 1, 40 Eau Masse molaire M6 = 18 g mol--1 Température du point triple Tt = 273,16 K (0,01°C) Pression du point triple pt : 610 Pa Enthalpie massique de vaporisation à 0°C L,, = 2, 50 X 106 J kg'1 Enthalpie massique de vaporisation à 100°C L,, = 2, 25 >< 106 .] kg"l Première partie Les mouvements d'air dans l'atmosphère peuvent se présenter sous forme d'oscillations ver-- ticales. Nous cherchons à en déterminer les principales caractéristiques. 1. Pour une atmosphère en équilibre << hydrostatique », les différentes grandeurs physiques qui la caractérisent ne dépendent que de l'altitude z. a) Donner l'équation qui relie à l'équilibre la pression p(z), la masse volumique p(z) et 9. b) On considère l'air sec comme un gaz parfait; on suppose de plus l'atmosphère isotherme de température To. Déterminer p(z) et p(z) à l'aide de p(0), p(0), M... 9, R et T0 . ' c) Calculer la hauteur caractéristique correspondante pour une température de 10°C. 2. Pour étudier la stabilité de l'équilibre, on considère une petite masse d'air m que l'on déplace verticalement dans l'atmosphère supposé être en équilibre hydrostatique mais non iso-- therme a priori. On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe du type << bulle de savon >> d'effet négligeable. La pression dans la bulle est supposée être à tout instant égale à la pression extérieure correspondant à l'altitude où se trouve la bulle. Avant d'être déplacée, la bulle de volume V6 est en équilibre à l'altitude zo et sa température et sa pression sont égales à celles de l'air environnant, soit T(zo) et p(z0). &) La bulle est déplacée à la hauteur 20 + h. En supposant son évolution adiabatique et réversible, et les variations assez petites pour être traitées linéairement, déterminer la variation ôV de volume en fonction de VO, p, g, h et du coefficient de compressibilité isentropique XS défini ar __l(Ü_V) p Xs-- V ap S- b) Déterminer la force d'Archimède exercée par l'atmosphère sur la bulle; on introduira 1 d le gradient relatif de masse volumique : --d--p . p z 0) En déduire l'équation du mouvement de la bulle. (1) Quelle condition doit vérifier le gradient de masse volumique pour que l'équilibre de l'air en zo soit stable? Déterminer dans ce cas la pulsation Q(zo) des oscillations d'une bulle autour de l'altitude zo. La pulsation Q(zo) est appelée << pulsation de Väisälä-Brunt >>. 3. On considère l'air comme un gaz parfait. a) Expliciter xg à l'aide du coefiicient 'y = cp/cv. Traduire la condition de stabilité sur le gradient de masse volumique sous la forme d'une condition relative au gradient de température dT/dz. b) Montrer alors qu'une atmosphère isotherme est stable. Déterminer dans ce cas la pul-- sation Q(zo) en fonction de g, 7 et de la célérité des ondes sonores co . c) Calculer numériquement (Ma) et la période T correspondante pour une température de 15 °C . Deuxième partie On s'intéresse dans cette partie tout d'abord à l'équilibre liquide--vapeur de l'eau pure, puis à l'effet de l'eau contenue dans l'atmosphère sous forme vapeur. 1. Soit e(T) la pression de vapeur saturante de l'eau a la température T et L,, l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau à cette température. On considère la vapeur d'eau comme un gaz parfait. a) Montrer que, moyennant une approximation que l'on justifiera : 1 d_e L,,Me EdT _ RT2 ' b) En choisissant LU indépendant de T et égal à L, (Tt), exprimer e(T) en fonction de T, à l'aide de pt et Tt, pression et température du point triple. c) Calculer numériquement, en utilisant le tableau de données, e(T) pour les températures de 5°C, 10°C, 15°C. Calculer aussi e(100°C) en prenant pour LU sa valeur moyenne entre 0°C et 100°C. Com- menter la valeur trouvée pour 100°C. 2. On considère maintenant un volume V d'air humide, mélange composé d'une masse ms d'air sec et d'une masse mv de vapeur d'eau (sans eau liquide) avec mv << ms. On note 123 la pression partielle de l'air sec, c'est-à--dire la pression qu'il aurait s'il occupait seul le volume V; on note de même pu la pression partielle de la vapeur d'eau. Ce mélange est considéré comme un mélange idéal de gaz parfaits et donc la pression totale ]) est la somme des deux pressions ps et pv . L'humidz'té 'H est définie comme le rapport entre la pression partielle de vapeur d'eau pv et la pression de vapeur saturante (: (T) : 'H = &. On cherche à déterminer les conditions pour @ lesquelles apparaît une condensation. &) On suppose l'enthalpie de vaporisation ainsi que les capacités thermiques indépendantes de la température dans le domaine considéré. Montrer que l'humidité, la pression totale et la température, pour deux états indicés 1 et 2 sont reliées par : 1"(Ë) -- 1n(Ë) -- L"Me (l -- l) H2 192 R T2 T1 ' b) L'air humide est dans un état initial A de température TA, de pression totale 11,4 et d'humidité H A strictement inférieure à 1. Il subit une transformation adiabatique réversible. En négligeant la capacité thermique de l'eau, trouver une relation implicite qui permet de déterminer la température de condensation TC en fonction de T A et de 'H A c) En supposant T C proche de TA, montrer que T0 est approximativement donné par : --1 ln'HA T = 1------_ T . C LvMe_cpMa A RTA R La transformation nécessaire est--elle une compression ou une détente ? 3.a) Par beau temps, on observe des nuages appelés << cumulus >>. Quelle est l'origine de ces nuages ? Ces nuages ont une forme caractéristique : leur base est pratiquement plane et les bases de tous les nuages sont à la même altitude (figure 1). Pourquoi en est-il ainsi et par quoi est déterminée cette altitude ? Figure 1 b) On considère que la pression de l'air en mouvement vertical adiabatique est toujours égale à celle de l'atmosphère en équilibre hydrostatique (Cf. question 2. de la première partie). Montrer que dans ces conditions, pour cet air : Calculer numériquement ce gradient en K / km . c) On donne au sol (2 = O) : TA : 25°C, 'HA = 0,55 . Calculer l'altitude de base des cumulus. d) En présence de vent, les nuages sont entraînés; cependant on peut voir des nuages « accrochés >> au sommet d'une colline ou d'une montagne. Expliquer pourquoi le vent ne les emporte pas. Figure 2 e) La photographie de la figure 2 montre une structure nuageuse possédant une périodicité spatiale. Elle est due à un vent de NO arrivant sur les Monts Appalaches (chaîne orientée SO-- NE) et excitant dans l'atmosphère des oscillations verticales. Expliquer le phénomène observé. La période spatiale est de l'ordre de 10 km. En utilisant la période de Väisälä-Brunt calculée dans la question 3.c) de la première partie, évaluer la vitesse du vent nécessaire pour expliquer le phénomène; le résultat est--il plausible ? Troisième partie On s'intéresse maintenant à des transformations d'air humide pour lesquelles une fraction de l'eau est condensée. La phase gazeuse se comporte comme il a été vu dans la deuxième partie. L'enthalpie du système est la somme des enthalpies de l'air sec et de l'eau. On raisonnera sur un volume V contenant une masse ma d'air sec, une masse mv de vapeur d'eau et une masse ml d'eau liquide. On négligera le volume de la phase liquide et on considèrera des situations où la masse d'eau, vapeur et liquide, est très faible devant la masse de l'air. La) Montrer que, dans ces conditions, la différentielle de l'enthalpie H du système peut s'écrire : dH : macpdT + L,,dmv b) En déduire celle de l'entropie dS . 2. Exprimer m,, en fonction de e(T) et de la pression p. En déduire l'expression de la diffé-- rentielle dm... en prenant comme variables indépendantes T et p. 3. On considère une transformation adiabatique et réversible. Exprimer pour cette transfor-- dT mation (--) en fonction de T, p et e(T). Mettre le résultat sous la forme : cond dp ( dT ) ( dT) _ = a _ dp cond dp as dT où (d_) est la quantité correspondante pour de l'air sec et où & [T, p,e(T )] est un facteur P as multiplicatif dont on montrera qu'il est inférieur à 1. 4. De l'air contenant une certaine proportion d'eau sous forme vapeur arrive sur une chaîne de montagnes où il subit à la montée une détente et à la descente une compression que l'on supposera toutes deux adiabatiques et réversibles. a) Montrer, par une discussion qualitative, que, si la température initiale est supérieure à une température T1, il n'y a pas formation de nuage et que, pour une même altitude, l'air redescendant possède la même température que l'air montant . b) Montrer de même que si la température initiale est plus froide, il y a formation de nuages. S'il y a alors pluie, en déduire que l'air descendant est à une température plus élevée que celle de l'air montant. Ce vent est appelé foehn en Europe et chinook aux Etats-Unis. 5. On souhaite effectuer une évaluation de ce dernier effet. Pour cela, on suppose que l'air montant commence à se condenser à l'altitude h A pour une température TA et la pression p A. Il se détend adiabatiquement avec pluie jusqu'à l'altitude h B de pression p B où sa température est notée TB . Puis l'air devenu sec revient à l'altitude h A de pression p A mais avec la température TF . a) En prenant a constant, égal à une valeur moyenne a, exprimer T3/TA en fonction de p 3 / p A. Exprimer ensuite Tp/TB . En déduire T F / TA en fonction de p B / p A, Py et a . b) On donne hA = 500 m, TA = 10°C, hB = 2500 m. Evaluer la pression p... de l'atmo-- sphère à l'altitude moyenne de 1500 m à l'aide du modèle isotherme étudié aux questions 1.b) et Le) de la première partie, pour une température de 10°C et une pression de 1 X 105 Pa au niveau de la mer. Prendre a = a(5°C, p...) et le calculer. c) Le même modèle d'atmosphère donne 193 / p A. Calculer la température TF.

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 X Physique 1 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Péter Horvai (ENS Ulm) ; il a été relu par Étienne Reyssat (ENS Ulm), Olivier Arcizet (ENS Ulm) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon). Ce problème traite de thermodynamique appliquée à la météorologie, plus précisément au comportement d'une masse d'air humide. La première partie étudie les propriétés de l'air sec ; la deuxième partie étudie l'air humide et le point de condensation ; enfin, la troisième partie traite du cas de l'air avec eau condensée. L'épreuve requiert des connaissances concernant les gaz parfaits, les transformations adiabatiques, ainsi que les relations fondamentales des transitions de phases (en particulier l'équation de Clapeyron). La difficulté de ce problème est moyenne, mais il est impératif de bien maîtriser les formules de thermodynamique. Indications I.2.b La quantité d'air dans la bulle ne change pas, mais son volume change, ainsi que la densité de l'air environnant. I.2.d On a affaire à un oscillateur harmonique. I.3.a Utiliser l'équation d'état d'un gaz parfait. I.3.b Utiliser l'expression de dp/dz et l'équation d'état. II.1.a Il s'agit de la relation de Clapeyron. II.1.b Il suffit d'intégrer la relation précédente. II.2.a Développer ln(H1 /H2 ) à partir de la définition de H. Ensuite montrer que le rapport des pressions partielles de la vapeur dans les états 1 et 2 est le même que le rapport des pressions totales. II.2.b Le point de condensation est caractérisé par HC = 0. Ensuite utiliser la relation entre pression et température lors d'une transformation adiabatique d'un gaz parfait. II.2.c Poser TA /TC = 1 + x avec x petit devant 1. II.3.a Sans rien savoir sur les nuages, on devine de ce qui précède la réponse attendue. II.3.b Partir de la forme différentielle de (4) et utiliser (2) et (6). II.3.d Il s'agit d'un état stationnaire. III.1.a On peut négliger le changement d'enthalpie dû au chauffage de l'eau, liquide ou vapeur. III.1.b Commencer par exprimer dH en fonction de dp et dS. III.2 Utiliser l'équation d'état du gaz parfait. Approximer V/T en utilisant le fait que l'eau (liquide et vapeur) est en quantité négligeable. III.3 Utiliser dS = 0 avec l'expression de la question III.1.b en substituant par le résultat de la question III.2. Exprimer (dT/dp)as . Mettre ce dernier en facteur dans l'expression obtenue pour (dT/dp)as et écrire l'autre facteur sous la forme 1+x (ici schématique) . Conclure en comparant x et y. 1+y III.4.a Partir d'une masse d'air au point de condensation au sommet de la montagne. III.4.b Utiliser la question III.3, notamment le fait que < 1. III.5.a Partir de la question III.3 et de la forme explicite de (dT/dp)as . Intégrer l'équation. III.5.b Calculer pm en utilisant la formule de la question I.1.b et la valeur obtenue à la question I.1.c. On se sert du résultat de la question III.3, avec e(T = 5 C) calculé à la question II.1.c. III.5.c Utiliser le résultat des questions I.1.b et III.5.a. Première partie I.1.a On est à l'équilibre, nous devons donc écrire l'équation de l'hydrostatique -- grad p = -g - ez ou encore dp = -g dz où - e z désigne le vecteur unité vertical orienté vers le haut. I.1.b L'équation d'état d'un gaz parfait s'écrit pV = nRT Cette relation sera utilisée tout au long du problème. m Exprimons en fonction de p et T. Par définition = , puis avec l'équation V d'état il vient p p m p = m= = M (1) nRT RT n RT On remplace cette expression dans I.1.a p Mg dp =- Mg = - p dz RT RT En résolvant cette équation différentielle en p on a (2) Ma g p(z) = p(0)e- RT0 z et en exprimant à partir de p avec (1) (z) = (0)e ag -M RT z 0 La décroissance exponentielle de la densité de l'air (supposé isotherme, dans un champ de pesanteur uniforme) est connue sous le nom de loi de Boltzmann. C'est un cas particulier de la loi de Boltzmann plus générale de la physique statistique qui dit que dans un ensemble canonique (système fermé en équilibre avec un thermostat de température T) la probabilité que le sys- E tème possède l'énergie E est proportionnelle à e kB T où kB est la constante de Boltzmann. Profitons-en pour noter que kB n'est pas un nombre magique mais sert seulement à définir l'unité de température. I.1.c D'après le résultat de la question précédente la hauteur caractéristique est RT0 . Pour T = 10 C soit T = 283 K : Ma g z caractéristique = 8,27 km Deux remarques. D'une part, il faut faire attention à convertir les masses molaires, avant l'application numérique, en kg mol-1 . D'autre part on n'a que deux chiffres significatifs dans la table des valeurs numériques donnée en début d'énoncé, ça n'aurait donc pas de sens de calculer avec plus de précision. On gardera néanmoins un chiffre significatif de plus, pour que les valeurs numériques soient réutilisables dans les calculs (ou vérifications) ultérieures, sans accumuler trop d'erreurs d'arrondi. I.2.a Par définition de la compressibilité isentropique, on a lors d'une transformation isentropique infinitésimale, la relation V = -V0 S p. Pour un petit déplacedp ment, p = z. En combinant ces deux relations et le résultat de la question I.1.a, dz on a (avec la notation h = z) V = V0 S gh I.2.b La force d'Archimède est la force hydrostatique exercée sur un corps plongé dans un fluide (ou un système de fluides) au repos. C'est l'intégrale, sur la surface du corps, de la force de pression exercée par le fluide, et c'est aussi l'opposée de la force de pesanteur que subirait la masse de fluide occupant le volume du corps immergé. - La force d'Archimède est F A = FA - e z où FA est donnée par FA = gV Dans notre cas, = (z0 + h) et V = V0 + V. Ainsi FA = (z0 + h) · g · (V0 + V), soit à l'ordre 1 en h d FA = (z0 ) + h gV0 (1 + S hg) dz d = (z0 )gV0 + gV0 + (z0 )gV0 S g h + O h2 dz 1 d FA = (z0 )gV0 1 + + S g h + O h2 dz I.2.c L'équation du mouvement se déduit de l'équation de Newton - d2 h - ez = F dt2 - - - F est la somme de la force d'Archimède F A et de la force de pesanteur F p = - -mg e z ; de plus, m = (z0 )V0 . Avec la question précédente, ceci donne d2 h 1 1 d = mg 1 + + S g h - m dt2 m dz m Soit d2 h 1 d = + S g gh dt2 dz I.2.d On reconnaît l'équation de l'oscillateur harmonique (h = kh). L'équilibre en 1 d z0 est stable si le coefficient de rappel k = + S g g est négatif. Ce qui donne dz pour le gradient de masse volumique