Mines Physique 2 PC 2020

Thème de l'épreuve Microscopie optique
Principaux outils utilisés mécanique, physique ondulatoire, optique géométrique, laser
Mots clefs oeil, lentille boule, mire sinusoïdale, conditions de Gauss, transformée de Fourier, laser femtoseconde, waist

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A2020 -- PHYSIQUE II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.
CONCOURS 2020
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés les termes de la 
licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique II, année 2020 -- filière PC

Microscopie optique

Afin de contrôler la qualité des tissages, Antoni Van Leeuwenhoek (1632-1723), 
apprenti drapier aux
Pays Bas, inventa le premier microscope à fort grandissement vers 1668. Cet 
instrument permit, grâce
à la curiosité de son inventeur, de découvrir l'existence d'un monde vivant à 
une échelle invisible à
l'oeil nu. Ces découvertes marquèrent la naissance de la microbiologie. Cet 
instrument n'a jamais cessé
d'évoluer pour extraire un maximum d'informations de l'échantillon étudié en 
trouvant de nouveaux
contrastes et en explorant des échelles toujours plus petites.

Dans une première partie, nous préciserons la limite de résolution de l'oeil 
afin d'apprécier ensuite,
dans la partie IL, l'apport du microscope de Van Leeuwenhoek pour réussir à 
voir de petits détails.

Pour observer des échantillons biologiques transparents faiblement contrastés, 
Frederik Zernike (1888-
1966) proposa une technique originale d'observation sur fond noir, la 
microscopie à contraste de phase.
Cette découverte lui valut l'attribution du prix Nobel de physique en 1953. Le 
principe de cette
technique fait l'objet de la partie III.

Plus récemment, l'utilisation de lasers pulsés comme source de lumière pour les 
microscopes permet
à la fois de nouveaux contrastes spécifiques des différents constituants d'un 
tissu biologique, mais
également une imagerie tridimensionnelle. La partie [IV propose de s'intéresser 
à certains aspects de
la microscopie < biphotonique >.

Quatre documents informatifs sont rassemblés à la fin de l'énoncé.

La notation 1' désigne la valeur angulaire 1 minute d'arc, c'est-à-dire un 
soixantième de degré, soit 1! --
2,9 x 107#rad. Les vecteurs sont surmontés d'une flèche, sauf s'ils sont 
unitaires et sont alors surmontés
d'un accent circonflexe. Traditionellement, les nombres complexes sont 
soulignés. Une grandeur portant
un astérisque, comme z*, désignera le complexe conjugué de z. L'intensité 
1(x,t) associée à une onde
monochromatique d'amplitude complexe s(x,t) correspondra au produit s(x,t) x 
s*(x;t).

I. -- Pouvoir de résolution de l'oeil humain

Cette partie s'appuie sur les documents 1, 2 et 3.

L'oeil peut être modélisé par une lentille mince convergente de
distance focale variable f' placée dans l'air, d'indice n = 1 et
de diamètre D, identique à celui de la pupille d'entrée de l'oeil.

On désigne par À la longueur d'onde moyenne du rayonnement
visible égale à 500 nm. FIGURE 1 -- Géométrie de l'oeil.

Dans cette partie on considérera deux objets, ponctuels, incohérents, placés 
dans l'air à une dis-
tance grande devant le punctum remotum, dont les images se forment au centre de 
la fovéa d'un oeil
emmétrope. Comme indiqué sur la figure 1, ils sont vus sous un angle a.

J 1 -- En considérant le nombre fini N de cônes présents par unité de surface 
au centre de la
fovéa et sans tenir compte de la diffraction, estimer la valeur minimale de & 
notée «1, permettant
de discerner les deux objets situés à l'infini. Le résultat sera donné en 
fonction de N, et f' puis sera
estimé numériquement en minute d'arc.

J 2 -- En raison de la diffraction par la pupille, l'image d'un objet ponctuel 
est une tâche sur la
rétine. En tenant compte de la diffraction, estimer de nouveau la valeur 
minimale de & notée @2
séparant deux objets ponctuels incohérents vus distinctement par un oeil 
emmétrope au centre de sa
fovéa. Exprimer @2 en fonction de À et D et comparer sa valeur à celle de æ.

J 3 -- En utilisant la valeur minimale @2 = 1' séparant deux objets ponctuels 
incohérents à distance
finie, calculer numériquement la dimension a; du plus petit motif observable à 
l'oeil nu. Donner un
exemple d'objet possédant une dimension de longueur comparable à «1.

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Physique II, année 2020 -- filière PC

IT. -- Microscope de Van Leeuwenhoek

Le premier microscope de Van Leeuwenhoek, était rudimentaire et reposait sur 
l'utilisation d'une seule
lentille boule. Après polissage d'une goutte de silice fondue, Van Leeuwenhoek, 
obtint des lentilles boule
de rayon À -- 0,60 mm de centre ©. L'indice optique de la silice sera noté n, 
les foyers objet et image
de la lentille sont respectivement notés F et F.

1 4 -- Expliquer, à l'aide d'un schéma optique précis, l'intérêt d'introduire 
une telle lentille entre
l'échantillon et l'observateur.

Sur la figure 2 on a représenté la trajectoire d'un
rayon lumineux initialement parallèle à l'axe op-
tique (Cz) se propageant dans une lentille boule
d'indice optique n placée dans l'air d'indice uni-
taire. Les rayons incidents et émergents se coupent
dans un plan passant par ©, perpendiculaire à l'axe
(C'z). L'étude sera menée dans l'approrimation de
Gauss. FIGURE 2 -- Lentille boule

Les angles formés entre les rayons lumineux et les

normales aux dioptres sont notés i1,au point 7 en entrée de la lentille et 52 à 
l'extérieur de la lentille

au point J, en sortie. De même, les angles intérieurs seront notés r1 et r2. 
L'angle F'CJ est noté Br
et l'angle de déviation CF'J sera noté B.

J 5 -- Déterminer la relation entre à et i2. Exprimer à en fonction de x et R. 
Exprimer B, en
fonction de i;et n, puis en fonction de x, R et n. Exprimer $ en fonction de à: 
et 8, puis de x, R et
n. En déduire la distance focale f; définie comme la distance CF" sur la figure 
2 en fonction net R.
Estimer enfin numériquement f; en prenant n = 1,5.

Dans toute la suite, (Ox) désigne la direction trans-

x

B verse à l'axe optique contenant l'objet étudié. On li-

, , mite l'étude au plan (Ox,0z) et on prendra f, =

AL F 7 A 1,0mm. On utilise à présent un modèle de lentille
O

o > 2
mince équivalent à la lentille boule, possédant la même
distance focale f, et le même rayon R. Celle-ci est

B' représentée sur la figure 3.
On rappelle que la relation de conjugaison pour une

FIGURE 3 - Lentille mince équivalente à la len- lentille mince de centre C' 
dans l'approximation de

tille boule Gauss s'écrit :

1 1 1
CA CA CF

Le grandissement transversal + d'un système optique est défini comme le rapport 
de la taille de l'image
l BR!

A'B
et de la taille de l'objet + = --=--

, tous deux orientés transversalement à l'axe optique. Une des normes

actuelles est d'imposer une distance £ -- 195 mm sur l'axe optique entre un 
objet et son image à travers
l'objectif.

J 6 -- Déterminer l'expression de CA en fonction de £ et f; pour que le 
grandissement transversal
y du microscope de Van Leeuwenhoek soit supérieur à 1 en valeur absolue dans 
l'approximation de
Gauss. On a ici {/ > 4f;, en déduire une expression approchée de .

Une onde 5 (x,2,t) plane progressive harmonique de vecteur d'onde k = krüy + 
k,@, de pulsation w
s'écrira sous la forme complexe : s(x,2,t) -- Aeï@t-En), En raison des 
dimensions impliquées, il faut
considérer des objets cohérents pour estimer la résolution de cette lentille. 
On utilise pour cela une
mire sinusoïdale de pas a > À, placée au voisinage de F' éclairée par une onde 
plane monochromatique
(figure 4). L'épaisseur de la mire ne joue aucun rôle. On prendra À = 500 nm.

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La transmittance {1 (x) par la mire sinusoïdale placée en z = 0, entre les onde 
incidente s; et transmise
s4 est définie par la relation s4(x,2 = 0+,t) = ti (x); (x,2 = 07 ,t) avec ti 
(x) = [1 + cos (2)] /2.
L'onde incidente plane harmonique se propage suivant l'axe optique, sous la 
forme

s;(at) = Age i-2k0) avec ko = 27/}

1 7 -- Proposer un moyen expérimental permettant de
générer le signal s,(2,t). Exprimer l'onde transmise s, (x,2,t)
après la mire sous la forme de trois ondes planes progressives
monochromatiques :

sy (at) -- Ajeitot-ki5) + Ajeïtwt-k2.7 FE Ageitwt-ka1)

FIGURE 4 --- Introduction d'une mire si-
nusoïdale au foyer.

On précisera pour chacune le vecteur d'onde : ki, ko et k3
en fonction de À et a. Les amplitudes A,, A, et A; seront
données en fonction de À,. Décrire la figure observée dans le
plan focal image de la lentille boule en précisant les positions
et la nature des images.

Le rayon d'inclinaison maximale qui peut participer à la formation de l'image à 
travers l'objectif est
défini par un angle U par rapport à l'axe optique dont la tangente a pour 
valeur tan U = R/f.

1 8 -- Estimer numériquement tan U. Exprimer le pas minimal a> observable avec 
ce montage en
fonction de U et À puis en fonction de RÀ, À et f,. Comparer numériquement a2 à 
ai et commenter ce
résultat.

III. -- Microscope à contraste de phase

Les échantillons biologiques transparents possèdent souvent un indice optique 
proche de celui de la
solution aqueuse qui les contient. Il faut parfois colorer certaines parties 
pour parvenir à les observer.
Ces colorants peuvent perturber le fonctionnement des cellules et fausser ainsi 
les résultats. Frederik
Zernike inventa le microscope à contraste de phase où les images sont 
contrastées sans coloration.

. x N X On a représenté sur la figure 5 un échantillon transparent ho-
ko mogène d'épaisseur e suivant (Oz), d'indice n' placé en O dans
aise un milieu d'indice unitaire, éclairé par une onde plane progres-

+b sive monochromatique de longueur d'onde À, dont on a sché-

O F" 7Z  matisé une surface d'onde notée Y;. Les variables x, x', et X

!
--b# désignent respectivement les positions transverses à l'axe op-
Ê tique dans les plans objet, focal image et image.
>; Plan Plan Plan , \
! objet focal image J 9 -- Représenter l'allure d'une surface d'onde après la 
tra-

, y .
FIGURE 5 -- Dispositif de Zernike VISE de l'échantillon.

L'onde incidente s'écrit sous la forme S,;(t) = A e' be, L'onde à rès la 
traversée de l'échantillon s'écrit
24 220
suivant les valeurs de T :

wa pour æ < --b et x > b

-- i(wt--v) --
s+ (et) = Age FVES P { wi pour --b b
2 ler pour -b |y|bet |X| < || b. En déduire une expression réelle de l'intensité 7 1x ) observée dans le plan image en fonction des mêmes variables. Exprimer alors en fonction de ', le contraste Lnax -- Lni dans le plan image défini par la relation C1 -- TI. OÙ Lmax EURt {min désignent respectivement max min les valeurs maximales et minimales de l'intensité dans le plan image. 1 14 -- Pour améliorer le contraste, on place au foyer image F" de l'objectif un disque, de diamètre suffisamment petit pour être négligé, dont le rôle est d'apporter un déphasage de +7/2 à l'onde qui le traverse (voir figure 5). En précisant les intervalles en X considérés, déterminer, en fonction de 4', les expressions de l'amplitude S,(X) et l'intensité L(X) de l'onde dans le plan image de l'objectif. En déduire le contraste C2(4/). Commenter ce résultat. 1 15 -- Pour augmenter C9, le disque placé en F", en plus d'être toujours déphasant (47/2), devient partiellement absorbant de transmittance t:(+') telle que [£3(x/)| < 1. Exprimer le contraste C3 en fonction du module de t;, et de w/. Commenter ce résultat. IV. -- Microscopie non linéaire L'utilisation d'un laser pulsé comme source de lumière permet à certains constituants des tissus comme le collagène d'émettre un signal détectable et de pouvoir obtenir des images tridimensionnelles sans utiliser de colorant. IV.A. -- Réponse non linéaire de l'échantillon Pour étudier la réponse d'un composé comme le collagène à une onde électromagnétique, on utilise un modèle classique où le système est une charge q de masse m liée par une force F à un centre O fixe dans le référentiel de l'échantillon. On supposera le mouvement de q unidimensionnel suivant la direction entre © et q, cette distance sera appelée x(t). Pour simplifier, on ne s'intéressera qu'à la composante électrique du champ incident po) (t,x,2) et, en raison des dimensions impliquées, seule la dépendance temporelle de Ê aura un effet sur le mouvement de q. On utilise l'expression de E (t) = Epevt+ Ene tt dans laquelle Es = Ep, est le vecteur polarisation constant. Les effets des champs magnétique et de pesanteur sont négligés dans le bilan de forces. L' interaction de la charge q avec son environnement est modélisée par une force de friction visqueuse : f = = --ml$ EG avec [> 0. La force liant q à O s'écrit F'-- F5 -- MUST US. En régime 
sinusoïdal forcé établi à à la

pulsation w, on cherche à décrire le mouvement de q donné par une fonction x1 
(t) réelle, correspondant
à la superposition de deux fonctions harmoniques complexes conjuguées :

ra (t) = Xs(w)e*t + Xi (we "

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J 16 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique à q, dans le 
référentiel de l'échantillon

supposé galiléen, montrer que le mouvement de gq est décrit par la fonction :

L qEoe"*t gEoe *t

z(t) = (t) = mD(x) + mD°(&) (1)

dans laquelle on précisera l'expression de D(w) en fonction de w, F et w,.

Pour des valeurs de Æ5 suffisamment intenses, une non linéarité dans la force 
de rappel doit être
introduite. Dans ces conditions, la force de rappel se met sous la forme F -- 
F2 -- --m(wir + Br? )üx.

J 17 -- Déterminer l'énergie potentielle V(x) associée à F3. Cette énergie 
potentielle peut-elle
concerner une entité possédant un centre de symétrie en O ?

1 18 -- Dans ce cas non linéaire, le mouvement de q peut s'écrire comme la 
somme d'une pertur-
bation x2(t) et du mouvement précédent +1 (t). On aura donc à présent x (t) = 
x1(t) + xa(t) avec
Ita (t)|  [x1(t)| à tout instant. Montrer qu'en régime sinusoïdal forcé, la 
perturbation x2 (t) est
solution de l'équation :

dx dto 2 2
À 19 -- Justifier le fait qu'il faille chercher la solution de l'équation (2) 
sous la forme x2(t) --

X o(w)e it + X$(w)e 7%? + K où K est une constante.

J 20 -- En déduire une expression de X,(w), X5(w) et K en fonction de E5, D(w), 
D*(w), D(2w),

D* (2w), B, q, wy et m. Dans toute la suite on supposera que le terme constant 
K° est négligeable
devant |X o(w)|.

Dans le microscope étudié on s'intéresse au champ électrique E,(t) de l'onde 
rayonnée par l'échantillon
et l'on admet sa proportionnalité à x(t) : ainsi ÆE,(t) -- Kix(t) où K1 est une 
constante qu'on
ne cherchera pas à déterminer. L'intensité du rayonnement est variable suivant 
la composition des
différentes zones de l'échantillon. À l'intérieur du microscope un filtre passe 
haut isole le signal de plus
grande pulsation dans £, (t). Pour réaliser l'image, un photo détecteur très 
sensible mesure ensuite
l'intensité associée au champ électrique à 2w.

1 21 -- Pourquoi parle-t-on dans ce cas de microscopie à deux photons ?

IV.B. -- Laser pulsé Titane-Saphir

\

Pour engendrer dans l'échantillon des signaux à 2w détectables, il faut 
l'exciter avec des champs
incidents de pulsation w d'amplitude ÆQ suffisamment intense. Pour ce faire on 
utilise des lasers
fournissant des impulsions temporelles, dont le milieu amplificateur est 
constitué d'un cristal de saphir
dopé au ions titane (Ti : Saphir). Sur la figure 6 sont représentées les 
courbes spectrales d'émission et
d'absorption relative de ce cristal.

r r
Absorption UT,
Emission

0,4

Intensité relative

0,2

400 600 800 1000

FIGURE 6 -- Spectres d'émission et d'absorption du cristal de Ti : Saphir

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J 22 -- En utilisant la relation liant la largeur spectrale Az (en Hertz) à la 
durée du train d'onde
T. (en seconde) d'une source lumineuse : Ar + 1, proposer un ordre de grandeur 
de la durée 7.
des impulsions délivrées par ce laser. On rappelle la valeur de la célérité de 
la lumière dans le vide
c = 3,0 x 10®m:-s7!.

On modélise l'émission du laser par le champ électrique E(t) de la figure 7 en 
un point donné. La
période de répétition des impulsions est T = 1,25 x 10 Ys, la durée des 
impulsions 7. est dans la
pratique égale à 10 fs (i.e. 1,00 x 104$). Sans respecter les échelles, on a 
représenté en bas de la figure
7, le spectre en amplitude G(w) de E(t). Le spectre est constitué d'un ensemble 
de raies régulièrement
espacées de ôw disposées dans une enveloppe gaussienne centrée autour de la 
pulsation wo et de largeur
à mi-hauteur Aw.

"4h, 4h, 4.
1} l' LM
en
Gnax =G (0)
For rt] l L | Li ee ",

FIGURE 7 -- Caractéristiques temporelles et spectrales du laser Ti : Saphir 
utilisé. En haut : Modèle
d''emissionpourlechamp 'electrique E(t) avec T= 1 ,25 x 1078s et 7---10fs ; en 
bas:spectreG(w)
de E(t). Les échelles ne sont pas respectées.

J 23 -- À partir d'une lecture de la figure 6, estimer une valeur numérique 
raisonnable pour la
pulsation wo du laser. Relier les largeurs Aw et ôw aux temps T et 7, puis 
calculer leurs valeurs
numériques respectives.

La puissance moyenne du laser Ti : Saphir vaut P = 1 W, le faisceau est supposé 
cylindrique de rayon
Wo = 0,5 mm, le champ électrique associé E(t) y est supposé uniforme, sa valeur 
maximale sera notée
Eo. I peut donc être associé localement à une onde plane sur une section 
circulaire de rayon W5.
En dehors de ce disque, on suppose le champ nul. Pour comprendre l'intérêt 
d'utiliser un laser pulsé,
Eg est comparé avec Ef correspondant à un laser quasi monochromatique émettant 
en continu à wo,
possédant les mêmes propriétés géométriques et la même puissance moyenne P.

DJ 24 -- Justifer le fait qu'il soit plus pertinent de comparer les carrés des 
champs que leurs ampli-
tudes. En faisant les hypothèses simplificatrices nécessaires sur la forme de 
l'impulsion estimer l'ordre
de grandeur du rapport Æ$/E$?. Commenter ce résultat.

La structure du faisceau émis suivant (Oz) du laser Ti : Saphir est en réalité 
gaussienne. Le champ
électrique n'est plus supposé uniforme et se met sous la forme

2
Eo (Wo, x, z) = A EXP - (55) |

Le paramètre Wo, appelé waist, correspond au minimum de la demi-largeur du 
faisceau

W (2) = Woif1+ (CE)

2R

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La coordonnée z est mesurée sur l'axe du faisceau avec origine au waist et zR 
-- rWè /)o désigne la
longueur de Rayleigh.

Fronts d'onde

2)

St À

(0

FIGURE 8 -- Profil longitudinal et transversal du mode fondamental gaussien. La 
fonction W(z) est
tracée à gauche en fonction de z2/2r, et Eo (Wo, x, z = 0) est tracé à droite 
en fonction de x/W.

Sur la figure 8, on a représenté W (z) en fonction de 2/2} ainsi que les 
variations de E5 (Wo, x, z = 0)
dans le plan du waist en fonction de x/W9. L'amplitude du champ électrique E 
(t,x,2) dans le plan
(O,x,z) se met sous la forme :

2
E(ha2)-- Aopy (y F (wa) | a (D EE) 2 Ep(Wosa, 2) (0) eX0)

où la fonction #,,,(t) permet de représenter l'impulsion temporelle étudiée 
auparavant. Le terme de
phase eX(2), ne jouera aucun rôle dans le raisonnement.

Le faisceau laser traverse l'objectif du microscope, il est focalisé

en son foyer image F". On prendra CF' = fr = 1,00 mm. Le T dx!
faisceau est représenté sur la figure 9.

Echantillon

Z
>

1 25 -- En considérant un waist W9 de 0,50 mm, calculer la
valeur numérique de la longueur de Rayleigh zR associée à ce
laser. En déduire la raison pour laquelle le faisceau sera focalisé Objectif

au foyer F" de l'objectif du microscope. Ficure 9 -- Trajectoire du faisceau

laser à travers l'objectif modélisé par

1 26 -- On note W{ le waist du faisceau en F". Exprimer ne Jentille mince 
convergente.

WS en fonction de À, f; et Wo. Estimer sa valeur numérique.

On admet que 2W4 correspond à la résolution latérale de l'objectif. Après la 
lentille, on repère la
position sur l'axe (O2) par la coordonnée z/ dont l'origine est prise en F".

L'amplitude du champ électrique Eo (W4, x, z/) associé au laser focalisé sera 
d'autant plus importante
qu'on se rapproche de F". Pour apprécier la résolution axiale de l'objectif, il 
faut trouver la profondeur
62! autour de F" sur laquelle Eo (W4,x, + 62//2) reste suffisant pour générer 
dans l'échantillon un
signal à 2w détectable. On estime ainsi que si l'intensité du signal à 2w9 en 
z//2 est divisée par 10 par
rapport à l'intensité maximale en z = f}, alors elle ne sera plus suffisante.

L'intensité du signal à 2w est proportionnelle au carré du champ électrique à 
2w, lui-même propor-
tionnel au carré du champ incident à wo. La profondeur 6z/ est donc définie par 
la relation

Ef (Wi,x 0, a -- +0z//2) 1

E&(Wi,x=0,z=0) 10

1 27 -- Exprimer 62 en fonction de W4 et À puis estimer sa valeur numérique.

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Les dimensions 62' et W{ sont comparables aux diamètres des fibres de
collagène qui s'entrelacent pour former les tissus biologiques.

J 28 -- Le faisceau d'un laser Ti : Saphir est focalisé par un objectif
de microscope sur un échantillon comportant des fibres de collagène. En
s'aidant du document 4, expliquer comment, en récupérant une partie
du signal à 2wn généré par l'échantillon vers l'objectif, il est possible
de construire une image tridimensionnelle, comme celle de la figure
ci-contre, sans aucune coloration.

(4 à
Document 1 : Modélisation de l'oeil Sans accommodation
humain emmétrope
PR F
p Parcours
e, = Rétine Accommodatif
Muscles cilliaires,

RP + Choroïde AN
; Humeur 1 _ 1
À U vitrée N _ Sclère PP QT
H À
| JA \ \ Accommodation maximale
|  -- Fovéa (F )
! L. >: né Nerf optique

Cornée_... _{ 7
Cristallin et
4
W7
N

Ligaments_
Iris à

Humeur acqueuse _

«NX
Pupille N UV

NS

Diamètre de la pupille : D = 3mm

Indice de l'humeur vitrée : 1,33

Lentille mi équivalent
Indice du cristallin : 1,45 CNE CE

La fovéa contient en son centre environ N -- 160 000 cônes/mm?, chacun de ces 
cônes est une cellule photosensible.
Le punctum proximum (PP) est le point le plus proche que l'on peut voir 
distinctement. Il est situé à 25 cm de la
pupille et tel que dans cette situation f' = f/ = 16 mm.

Le punctum remotum (PR) est la distance à partir de laquelle l'oeil n'accommode 
plus, il est tel que dans cette
situation f'= f} =17 mm.

Image du plan focal de la lentille

1,0
0.8

Intensité relative 6

dans le plan focal _?
image de la lentille
8 0,4

0,2

. . ; 0,0
Document 2 : Diffraction par la pupille ? Distance de promie
. . 1stance PT Imiêre ... _-- 1
d'une lentille mince convergente annulation = 1,22 Àf /D

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f
/ À
; {
? 1
! {
; i
ÿ {
ER
{
À {
;
!
4 t
? {
; \
; À

ÿ
ÿ À

Ft LS

Seuls les cas (a) et (b) permettent de discerner

deux maxima. En (b), il s'agit de l'angle

minimal permettant de discerner deux taches.

Principe de balayage du faisceau par orientation d'un miroir Document 4 : 
Principe
du microscope à deux photons
£ Miroir orientable dans
deux directions
Laser
msn Q \ orthogonales.
Schéma de principe du microscope
à deux photons
Objectif de microscope Lo
Miroir orientable
dans deux directions
Laser TiSaphir orthogonales.
Plan focal image
de l'objectif.
Elargisseur de faisceau
Coefficient de réflexion et de transmission
A en intensité du miroir dichroïque
1 -- Photo ---- h
Réflexion Transmission Miroir dichroïque
Déplacement possible Objectif
selon Oz de microscope
LL 1
0 F! Plan focal image
+ f + ; + > :
400 800 |
U Longueur d'onde [nm] V2

Images de deux sources
ponctuelles incohérentes à
travers une lentille
convergente pour différentes
valeurs de l'angle « par
rapport à l'axe de symétrie.

Document 3 : Pouvoir de séparation entre deux

taches issues de sources incohérentes

FIN DE L'ÉPREUVE

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Raphaël Galicher (enseignant-chercheur à l'université) et Émilie Frémont 
(professeur
en CPGE).

Ce sujet porte sur la microscopie. Il est composé de quatre parties 
indépendantes.
· La première partie s'intéresse à l'instrument d'optique le plus commun : 
l'oeil.
On détermine la résolution de l'oeil en prenant en compte la taille des cellules
réceptrices et la diffraction à travers la pupille.
· L'étude du microscope de Van Leeuwenhoek est réalisée dans la deuxième 
partie. On calcule tout d'abord la distance focale d'une lentille boule. 
Ensuite, on
ajoute au dispositif une mire de transmittance sinusoïdale afin de déterminer
la taille du plus petit objet détectable à travers cette lentille.
· La troisième partie est consacrée au microscope à contraste de phase. On 
étudie
dans un premier temps l'effet de l'ajout d'un matériau, d'indice optique 
différent
de celui du milieu environnant, sur la propagation d'une onde plane. Ensuite,
on améliore le dispositif en ajoutant un filtre déphaseur dans le plan focal 
image
de la lentille : cette technique, qui permet de filtrer l'énergie associée à 
certaines
fréquences spatiales de l'objet dont on fait l'image, porte le nom de 
strioscopie
et permet d'étudier des objets de phase.
· Enfin, le problème s'intéresse à la microscopie à deux photons, basée sur des
phénomènes non linéaires. On montre que la prise en compte de la non linéarité
du milieu engendre une onde dont la fréquence est double de celle de l'onde
incidente. Afin d'initier cette non linéarité, on utilise un laser pulsé de très
haute puissance. Cette dernière partie repose essentiellement sur une étude
mécanique de l'interaction entre le laser et l'échantillon et sur les faisceaux
gaussiens.
Cette épreuve de longueur raisonnable alterne questions de cours et 
raisonnements
plus difficiles. Elle fait surtout appel aux notions vues en optique 
géométrique et
ondulatoire. Peu de résultats intermédiaires sont donnés ; toutefois, le sujet 
comporte
suffisamment de passages indépendants pour qu'il soit toujours possible de 
progresser.
Notons que de nombreuses applications numériques sont demandées et qu'elles ne 
sont
pas toujours aisées sans calculatrice : il faut s'entraîner régulièrement à 
pratiquer les
calculs numériques approchés.

Indications
Partie I
1 L'oeil discerne les deux objets si leurs images se forment sur deux cônes 
différents.
2 À la limite de discernabilité, le maximum de l'intensité de la première image 
se
superpose au premier zéro de la seconde image.
Partie II
5 L'approximation de Gauss conduit à utiliser l'approximation des petits angles.
6 Déterminer puis résoudre une équation du second degré vérifiée par x = CA.
La solution doit vérifier CA0 /CA < -1. Partie III 13 L'intensité est maximale dans le domaine |X| < || b et minimale dans le domaine |X| > || b. Simplifier l'expression obtenue dans le cas 0  1.
14 L'objet déphaseur n'agit que sur le terme de fréquence nulle. Le nouveau 
facteur
de transmission s'écrit
e
t(x) = e i/2 - i(x)
15 De même, le facteur de transmission devient
e
t(x) = |t3 | e i/2 - i(x)
Partie IV
16 Injecter l'expression de x1 (t) dans l'équation différentielle. Les 
exponentielles complexes forment une famille libre.
18 Avec |x2 (t)|  |x1 (t)|, le terme non linéaire peut s'écrire

-
f = -m x2 u
cx ' -m x1 2 u
cx
En outre, x1 (t) est solution de l'équation différentielle de la question 16.
20 Utiliser l'expression de x1 (t) obtenue à la question 16.
24 La puissance moyenne du laser pulsé est définie par
(
Z
Pm
1 T
P=
p(t) dt avec p(t) =
T 0
0

si 0 6 t 6  c
sinon

Microscopie optique
I. Pouvoir de résolution de l'oeil humain
1 Les rayons des deux objets notés A1 et A2 proviennent de l'infini : leur image
va se former dans le plan focal image de la lentille. Représentons la situation 
sur le
schéma ci-dessous en introduisant l'angle  :
A2

A1

A01
`
A02

f0
`
f0
On se place dans l'approximation des petits angles : tan  ' . Afin d'observer 
les
deux images A01 et A02 séparées, ces dernières doivent au minimum se situer sur 
deux
cônes successifs, séparées d'une distance `min = b. Le document 1 dit que la 
fovéa
contient environ N = 1,6 · 105 cones.mm-2 . Chaque
 cône occupe alors la surface 1/N
sur la fovéa, ce qui correspond à une largeur 1/ N des cellules photosensibles. 
Ainsi,
1
b= 
N
La condition limite `min = b impose alors
tan  =

On a

1 =

b
1
= 
0
f0
f N

Les objets sont situés à l'infini : un oeil emmétrope n'accommode pas et d'après
le document, f 0 = f20 = 17 mm. Ainsi
1
1

=
× 10-3
1 =
4
6,8
17 × 16 · 10
Avec 6,8 ' 7,

1 ' 1,4 · 10-4 rad ' 0,50

L'hypothèse   1 est vérifiée.
2 Chaque objet engendre une figure de diffraction par la lentille. On se 
retrouve
donc dans la situation décrite par le document 3. Prenons le critère 
d'indiscernabilité
suivant : si la distance entre les deux maxima est plus petite que le rayon de 
la tache
de diffraction, alors les deux figures sont indiscernables. L'angle minimal 2 
vérifiant
le critère d'indiscernabilité vaut, dans l'approximation des petits angles,
d
2 ' tan 2 = 0
f
avec d le rayon de la tache centrale de diffraction. D'après le document 2, on a
d = 1,22 f 0 /D. Par conséquent,
2 =

1,22 
D

Publié dans les Annales des Concours

1,22 × 5 · 10-7
' 2 · 10-4 rad ' 10
3 · 10-3
On a 2 ' 2 1 : le pouvoir de résolution de l'oeil est donc limité par le 
phénomène
de diffraction.
2 =

AN:

On remarque qu'il y a deux cellules réceptrices par élément de résolution.
Le « détecteur » oeil respecte le critère de Shannon pour échantillonner 
correctement la figure de diffraction.
3 Le plus petit détail est observé quand on place l'objet au punctum proximum
(PP), c'est-à-dire à la distance `PP = 25 cm de la pupille. D'après le schéma, 
avec
2  1,
a1
2 ' tan 2 =
`PP
d'où
a1 = `PP 2
a1 ' 25 · 10-2 × 2,9 · 10-4 ' 75 µm

AN:

Le diamètre d'un cheveu dont l'épaisseur est d'environ 100 µm est de l'ordre de
grandeur de a1 .

II. Microscope de Van Leeuwenhoek
4 Une lentille boule est une lentille convergente.
En effet, le schéma ci-contre montre qu'un faisceau incident parallèle converge 
en un point de
l'axe situé après la lentille.

F0

Elle permet d'obtenir un grandissement supérieur à 1 (en valeur absolue) à
partir d'un objet réel, comme on peut le voir sur les figures simplifiées 
ci-dessous.

O
A

0

F

F0

O

F0

 A F

A

A0

L'intérêt d'une lentille boule est sa symétrie sphérique : tout axe passant par 
le
centre peut faire office d'axe optique. On peut aussi évoquer sa facilité de 
fabrication.
5 Dans l'approximation des petits angles, la loi de Descartes de la réfraction 
appliquée au niveau des deux dioptres s'écrit
i1 = n r1

et

i2 = n r2

Or, le triangle ICJ est isocèle en C : les angles à la base sont égaux, 
c'est-à-dire
r1 = r2 . La loi de Descartes de la réfraction impose
i1 = i2