Mines Physique 2 PC 2018

Thème de l'épreuve Électrons et atomes par l'expérience
Principaux outils utilisés électrostatique, mécanique, physique quantique, optique
Mots clefs modèle de Thomson, train d'onde, élargissement spectral, fentes d'Young, loi de Boltzmann

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2018 ­ PHYSIQUE II PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2018
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Electrons et atomes par l'experience

Electrons et atomes par l'experience
Ce probleme presente un certain nombre de modeles et d'experiences mettant en 
jeu des
electrons et des atomes. Les vecteurs sont reperes par le fait qu'ils sont 
surmontes d'une fleche
dans le cas general (!r) ou d'un chapeau lorsqu'ils sont unitaires (!
er ). Un point sur une fonction
dr
. Les applications numeriques seront des
du temps t designe sa derivee temporelle : r =
dt
ordres de grandeurs avec au plus deux chiffres significatifs, les donnees 
necessaires a celles-ci
sont rassemblees a la fin du sujet.

I. -- Modele classique de Thomson de l'atome
On modelise le mouvement de l'electron (masse m, charge -e) d'un atome 
d'hydrogene par celui
d'un oscillateur harmonique effectuant de petites oscillations autour d'une 
position d'equilibre
stable. Le centre du noyau etant fixe en O, l'electron oscille selon un axe (O, 
e!r ), il est repere
par le vecteur !r = r!
er ou r designe sa distance a l'origine O. Il subit une force de rappel de la
!
part du noyau : Fn = -m 0 2 r e!r avec 0 = 3,9 × 1015 rad·s-1 .
On montre que toute charge acceleree rayonne un champ electromagnetique. 
L'electron oscillant,
il emet donc un rayonnement dont la puissance moyenne (sur une periode 
d'oscillation de
l'electron) est donnee par la formule de Larmor
e 2 # r 2 $
6  0 c 3
Afin de justifier le caractere harmonique de la force de rappel subie par 
l'electron de la part du
noyau, on adopte le modele de Thomson. On modelise le noyau d'un atome 
d'hydrogene par
une boule de centre O et de rayon a au sein de laquelle evolue l'electron, ce 
dernier restant a
l'interieur du noyau. La charge totale du noyau est uniformement repartie dans 
son volume.
1 -- En utilisant le theoreme de Gauss en coordonnees spheriques, determiner le 
champ
! n du au noyau au sein de celui-ci (i.e. pour r < a). En deduire la force F!n 
qu'exerce
electrique E
le noyau sur l'electron lorsque celui-ci se deplace uniquement suivant (O,!
er ). Faire le lien avec
la force de rappel donnee precedemment en identifiant 0 en fonction de e, m, a 
et 0 .
2 -- Determiner, dans le cas d'oscillations libres, r(t) en fonction des 
caracteristiques du
systeme (on choisira comme conditions initiales r(0) = r0 et r(0) = 0) et en 
deduire l'expression
de l'energie mecanique E de l'electron en fonction de m, 0 et r0 .
3 -- On considere dans la suite que cette energie mecanique, malgre sa 
diminution due
au rayonnement, differe peu sur une periode de celle que l'on vient d'etablir 
en negligeant les
pertes d'energie. En tenant compte de la puissance moyenne # P $ perdue par 
rayonnement
donner l'equation differentielle verifiee par E et montrer que E depend en fait 
du temps et se
met sous la forme E(t) = E0 exp (- t). Calculer la valeur de 1/ dans le cas de 
la raie bleue
du spectre de l'atome d'hydrogene pour laquelle  = 486,1 nm. Justifier a 
posteriori le calcul
effectue.
#P $ =

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Emission et absorption de rayonnement
On reste dans le cadre du modele de l'electron elastiquement lie au noyau de 
l'atome et l'on se
place comme dans la premiere partie dans le cas particulier ou l'electron 
repere par le vecteur
!r = r!
er est en mouvement unidirectionnel suivant un axe (O,!
er ). Outre la force de rappel
F!n = -m 0 2 r e!r qu'il subit de la part du noyau, on modelise l'influence des 
pertes d'energie
mecanique de l'electron par une force de frottement fluide F!r = -m 02  r e!r 
pour laquelle
on prendra  = 6,2 × 10-24 s. On considere toujours les memes conditions 
initiales suivantes
r(0) = r0 et r(0) = 0.
Page 1/6

Physique II, annee 2018 -- filiere PC

4 -- Apres avoir ecrit le principe fondamental de la dynamique applique a 
l'electron,
determiner l'expression de r(t). Simplifier cette expression (DL a l'ordre 1) 
compte tenu de
la valeur tres petite de 0 devant 1.
5 -- Donner, en fonction de 0 et de , le temps caracteristique 2/ de 
decroissance des
oscillations de r(t) et la pulsation  des pseudo-oscillations que l'on mettra 
sous la forme :
 = 0 - .
6 -- L'attenuation par rayonnement provoque une decroissance de l'energie de 
l'oscillateur,
comme cela a ete vu a la question 3. Le rayonnement emis se presente comme un 
train d'ondes
de longueur caracteristique Lnat . Donner Lnat en fonction de la vitesse c de 
la lumiere dans le
vide et de . La lumiere emise par l'electron freine est-elle monochromatique ?
7 -- Si la seule source d'elargissement de la raie spectrale etait celle 
invoquee precedemment,
quel commentaire pourrait-on faire sur la coherence temporelle de cette source 
et sur la faisabilite d'une experience d'interference par exemple avec un 
interferometre de Michelson ?
8 -- On peut montrer, grace a l'analyse de Fourier, que l'energie rayonnee par 
l'electron
par unite de frequence est :
dI

1
= I0
d
4  ( - 0 + )2 + (/2)2
Representer qualitativement la distribution spectrale de cette raie et 
determiner sa largeur a
mi-hauteur . En deduire la largeur de la raie en longueur d'onde  et effectuer 
l'application
numerique avec les valeurs de 0 et  donnees precedement. Exprimer / en fonction 
de 0
et . Dans ce modele classique, quel commentaire peut-on effectuer sur le 
decalage en frequence
 par rapport a la largeur naturelle de la raie  ?
9 -- L'elargissement d'une raie spectrale du a l'effet Doppler est ()D  20 u/c 
ou u
est la vitesse moyenne d'agitation thermique des atomes qui emettent. Expliquer 
en quelques
lignes, sans aucun calcul, en quoi consiste l'effet Doppler. On considere un 
gaz de masse
molaire M = 23 g.mol-1 prealablement excite emettant de la lumiere. Determiner 
l'ordre de
grandeur de u pour un tel gaz se trouvant a la temperature T = 300 K. Calculer 
numeriquement
/ ()D pour ce gaz ainsi que la longueur du train d'onde LD associee. Commenter 
ce
resultat. A quelle temperature T0 faudrait-il le refroidir pour pouvoir esperer 
mesurer la largeur
naturelle  de sa raie d'emission ? Commenter ce resultat.
FIN DE LA PARTIE II

III. -- Experience de Faget et Fert
"
L'experience realisee a Toulouse en 1956
&
par Jean Faget et Charles Fert consiste a $2
interposer un fil d'araignee metallise F (de
%
rayon r0  1 µm) charge positivement sur
!
le trajet d'un faisceau d'electrons issus du S
(
#
meme point S, sortie d'un canon a electrons.
Un electron est recu en un point M de l'ecran.
Lors de sa traversee de la cavite, attire par $1
le fil, l'electron a pu passer soit a droite, soit
'
a gauche de ce dernier (voir figure 1).
Figure 1 ­ Experience de Faget et Fert
Si les electrons passent a une faible distance
du fil, on montre que l'angle  de deviation des electrons est faible et 
pratiquement le meme
pour tous.

Page 2/6

Tournez la page S.V.P.

Electrons et atomes par l'experience

Dans ces conditions, tout se passe comme si les electrons, collectes sur 
l'ecran apres deviation,
etaient emis suivant des trajectoires rectilignes en provenance des sources 
fictives S1 et S2 , telles
que S1 S2 = s = 2 f , avec f = 1 cm et
=

 e E 0 r0
m v2

Dans cette relation E0 represente l'intensite du champ electrique a la surface 
du fil, v la vitesse
d'un electron et e la charge elementaire.
10 -- Decrire qualitativement ce qu'on observe sur l'ecran.
! cree
11 -- Exprimer, en fonction de E0 , r0 et de la distance r au fil, le champ 
electrique E
!
par le fil charge. En deduire le potentiel V (r) duquel derive E.
12 -- Sachant que l'on a m v 2  10 5 eV et E0  10 6 V.m-1 , calculer la 
difference de
potentiel U = V (r0 ) - V (f ) a imposer entre la sortie du canon et le fil 
pour avoir   10-4
radian.
13 -- Dans les experiences d'optique electronique les electrons arrivent un par 
un ; decrire
comment se forme la figure sur l'ecran.
14 -- Comment interpreter l'onde associee aux electrons ? Calculer 
l'interfrange x de
l'experience dans le cas ou Z = 10 f . Comment varie-t-elle quand on augmente U 
?
15 -- Que peut-on dire de la zone occupee par les franges (champ 
d'interferences) lorsqu'on
augmente le potentiel U .
16 -- Que pensez-vous de l'approche classique, au sens non-relativiste, 
effectuee ici ?
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Deviation du cesium par un faisceau lumineux
Afin de verifier certains resultats de la theorie cinetique des gaz, on chauffe 
des atomes de
cesium places dans un four perce d'un petit orifice. Ils en sortent avec une 
vitesse caracteristique
v = 3,0×102 m·s-1 . Deux fentes F1 et F2 paralleles a (Oy), de largeur  = 10 µm 
et distantes de
, permettent d'obtenir des trajectoires quasi paralleles a (Oz) jusqu'au 
detecteur d'atomes :
un fil chaud de 10 µm de diametre au sein duquel un courant d'ionisation est 
cree par le
bombardement atomique. Ce courant est ensuite mesure par un electrometre qui 
permet donc
de deduire le nombre d'atomes recus en fonction de la position x du fil chaud.
Lumière

-[pA]
6

Four

Chambre de détection

+

#

4
Jet irradié

¢"1

*
(2

Détecteur

(1

Jet non
irradié

,
"

2

¢"2
"[)m]
0

100

200

Figure 2 ­ L'experience de Picque et Vialle (a gauche) et les resultats 
experimentaux (a
droite)

Page 3/6

Physique II, annee 2018 -- filiere PC

A travers un hublot, on irradie, sur une longueur a  20 cm, le jet atomique 
avec une lampe
spectrale classique dont la longueur d'onde   0,9 µm correspond a une raie 
d'absorption
du cesium. On considerera que l'irradiation a lieu a une distance d = 72 cm du 
detecteur.
L'experience a ete realisee par Jean-Louis Picque et Jean-Louis Vialle au 
laboratoire Aime
Cotton de l'Univerite d'Orsay en 1972. Le dispositif est represente sur la 
partie gauche de
la figure 2
17 -- Rappeler l'expression de la quantite de mouvement d'un photon du faisceau 
irradiant.
18 -- On suppose que la quantite de mouvement totale se conserve lors de 
l'absorption
d'un photon par un atome de cesium, et l'on note  l'angle que fait par rapport 
a (Oz) la
vitesse d'un atome de cesium apres cette absorption. Exprimer  en fonction de 
h, m,  et v.
En deduire la deviation x d'un atome, au niveau du detecteur, associee a 
l'absorption d'un
seul photon.
19 -- En analysant les resultats experimentaux, estimer le nombre moyen N de 
photons
absorbes par les atomes lors de leur irradiation.
20 -- Proposer une explication quantitative pour la largeur x1 du pic non 
irradie. Proposer des explications qualitatives precises pour la largeur x2 du 
pic irradie.
FIN DE LA PARTIE IV

V. -- Mesures experimentales de la duree de vie de certains etats excites de 
l'helium
Pinceau d'électrons
On modifie l'experience precedente, le but
etant cette fois non pas de devier le faisHaute
Basse
énergie
énergie
ceau atomique mais d'exciter les atomes du
jet afin de mesurer la duree de vie de l'etat
excite obtenu. Pour cela on travaille cette Vapeur
Jet atomique
#
fois avec une vapeur d'helium chauffee dans
.
un four perce d'un petit orifice permettant
aux atomes de s'echapper.
Le jet atomique ainsi obtenu est bombarde
Lentille
0
/
par un faisceau d'electrons energetiques afin
d'ioniser les atomes du faisceau. Les ions
Récepteur
positifs ainsi formes sont ensuite acceleres
photoélectrique
entre les deux plaques percees d'un condensateur plan maintenu sous une 
difference de
potentiel U = 56 × 103 V. Les cations sont
ensuite a nouveau irradies par un faisceau
-(#)
-0
d'electrons, de faible energie cette fois, qui
les neutralise en les laissant dans un etat ex#
cite E2 = 2,7 eV (E1 = 0 eV correspond a
l'etat fondamental), juste avant leur sortie
0 +
du condensateur.
Figure 3 ­ Dispositif experimental
Un atome excite a t = 0, a la probabilite
P(t) = e-t/ d'etre encore excite a l'instant t. Pour mesurer la duree de vie  
de cet etat excite,
on dispose le long du jet atomique, une lentille et un recepteur 
photoelectrique qui peuvent se
deplacer parallelement a l'axe (Oz) du jet. Il est ainsi possible d'isoler la 
lumiere emise par une
petite fraction du jet atomique situe a la distance z de la zone irradiee 
(entre z et z + dz) et
dI(z)
de tracer la courbe de variation de l'intensite differentielle i(z) =
recue par le detecteur.
dz
Page 4/6

Tournez la page S.V.P.

Electrons et atomes par l'experience

21 -- Dans ces experiences utilisant des jets atomiques, il est necessaire de 
realiser un vide
pousse dans l'enceinte traversee par le jet atomique. Expliquer pourquoi.
22 -- Pourquoi est-il necessaire d'ioniser au prealable les atomes d'helium ?
23 -- Quelle est la longueur d'onde  de la lumiere emise par le jet ?
24 -- En negligeant la vitesse des atomes a la sortie du four devant celle-ci, 
calculer la
vitesse v des cations He+ a la sortie du condensateur.
25 -- Determiner la probabilite qu'un atome du jet se desexcite entre les 
instants t et t+dt.
En deduire la probabilite qu'un atome du jet se desexcite entre les cotes z et 
z + dz.
26 -- On note K la proportion du rayonnement emis dans la direction du 
detecteur et
collecte par la lentille, n la densite volumique d'atomes dans le jet et S la 
section du jet.
Determiner l'expression de l'intensite lumineuse dI(z) recue par le detecteur.
27 -- La tangente a i(z) a l'origine, coupe l'axe des abscisses en  = 4,2 cm. 
Calculer la
duree de vie  de l'etat excite de l'atome d'helium.
FIN DE LA PARTIE V

VI. -- Irradiation d'une vapeur d'hydrogene atomique
Lorsque l'on porte de l'hydrogene a de tres hautes temperatures, superieures au 
millier de kelvins, on peut considerer que seuls les deux premiers niveaux 
d'energie accessibles aux electrons,
E1 et E2 , sont peuples. On rappelle que la population N (En ) du niveau 
d'energie En est donnee
-

En

par la relation de Boltzmann N (En ) = C e kB T ou C est une constante et kB la 
constante de
Boltzmann.
On expose ce gaz a un rayonnement electromagnetique dont la frequence  est 
telle que les
photons qui le constitue possedent une energie tres superieure a l'energie 
d'ionisation de l'hydrogene Ei = - E1 = 13,6 eV. On peut donc faire l'hypothese 
que cette irradiation ionise les
atomes d'hydrogene (de masse M ).
On analyse la distribution en vitesse des electrons (de masse m) ainsi emis. On 
observe que
la distribution experimentale de ces vitesses presente deux pics a des vitesses 
v1 et v2 dont les
largeurs sont d'autant plus importantes que la temperature du gaz est elevee.
28 -- Proposer une explication physique pour ce constat experimental.
29 -- Rappeler l'expression En en fonction de Ei et d'un entier n. Determiner 
l'expression
de v1 et v2 en fonction de m, , h et Ei .
30 -- Les conditions de cette experience peuvent etre comparees a celle de la 
surface de
N (E2 )
= 10-5 pour une etoile.
certaines etoiles. Une analyse spectroscopique permet de mesurer
N (E1 )
Determiner la temperature de sa surface en utilisant ce modele. Cela vous 
semble-t-il realiste ?
On etaiera sa reponse par des arguments quantitatifs.
31 -- Determiner l'expression de la constante C en fonction notamment du nombre 
total
N d'atomes contenus dans l'echantillon etudie.
32 -- On considere maintenant tous les niveaux d'energie potentiellement 
excites de l'atome
d'hydrogene. Quel est le nombre maximal gn d'electrons pouvant occuper le 
niveau d'energie
En . Ce nombre est appele degenerescence de l'etat En . En deduire une 
expression de la constante
C sous la forme d'une serie infinie. Que constatez-vous ?
Page 5/6

Physique II, annee 2018 -- filiere PC

33 -- On rappelle que le n-ieme rayon moyen de l'orbite de Bohr d'un electron 
de l'atome
d'hydrogene est donne par la relation
rn =

n2 h2
4 2 m e2

Proposer une explication permettant de resoudre le probleme rencontre a la 
question precedente.
FIN DE LA PARTIE VI

Donnees numeriques
Nombre d'Avogadro : NA = 6,0 × 1023 mol-1
Constante de Planck : h = 6,6 × 10-34 J·s
Constante de Boltzmann : kB = 1,4 × 10-23 J·K-1
Charge elementaire : e = 1,6 × 10-19 C
Masse molaire de l'hydrogene : 1,0 × 10-3 kg·mol-1
Masse molaire de l'helium : 4,0 × 10-3 kg·mol-1
Masse molaire du cesium : 133 × 10-3 kg·mol-1
Masse de l'electron : m = 9,1 × 10-31 kg
Masse d'un proton : M  1,8 × 10-27 kg
Vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3,0 × 10 8 m·s-1
Electron-volt : 1 eV=1,6 × 10-19 J
Permitivite dielectrique du vide : 0 = 8,9 × 10-12 F · m-1
ln(10)  2,3
FIN DE L'EPREUVE

Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 2 PC 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Louis Salkin (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur des expériences avec des électrons ou des atomes. Ses six 
parties
sont indépendantes.
· La première partie s'intéresse au modèle classique de Thomson de l'atome.
À l'aide du théorème de Gauss, on détermine la force de rappel du noyau sur
l'électron, puis on calcule l'énergie mécanique de l'électron. Pour finir, en 
tenant
compte du rayonnement de l'électron, on obtient le temps caractéristique de
décroissance de son énergie.
· L'étude de l'énergie rayonnée par l'électron en présence de frottements est 
réalisée dans la deuxième partie. On calcule d'abord la position de l'électron, 
puis
on détermine la nouvelle expression du temps caractéristique de décroissance
des oscillations. On caractérise ensuite le rayonnement induit.
· La troisième partie est consacrée à une expérience d'interférences avec des 
électrons. Cette partie mélange des raisonnements d'optique ondulatoire et de 
mécanique quantique.
· Les quatrième et cinquième parties portent sur la même expérience. Dans un
premier temps, on vérifie la théorie cinétique des gaz en étudiant la déviation
du césium par un faisceau lumineux. Ensuite, cette expérience est modifiée pour
mesurer la durée de vie du premier niveau excité de l'hélium. Ces deux parties
peu calculatoires reposent essentiellement sur des raisonnements physiques.
· Enfin, le problème s'intéresse à l'irradiation d'une vapeur d'hydrogène.
Cette épreuve est de longueur raisonnable et alterne questions de cours et 
raisonnements plus difficiles. Peu de résultats intermédiaires sont donnés ; 
toutefois, le sujet
comporte suffisamment de passages indépendants pour qu'il soit toujours 
possible de
progresser. Notons que d'assez nombreuses applications numériques sont demandées
et qu'elles ne sont pas forcément aisées sans calculatrice : il convient de 
s'entraîner
régulièrement à pratiquer les calculs numériques approchés.

Indications
3 Pendant un intervalle dt, l'énergie mécanique moyenne E varie de -P dt. 
Utiliser
r2 = 0 2 r2
6 Déterminer la largeur spectrale  telle que
 =

c
Lnat

9 Calculer la valeur de la température T0 pour avoir /()D  1.
10 Le dispositif est similaire à l'expérience des fentes d'Young.
11 Utiliser le théorème de Gauss sur un cylindre de rayon r > r0 et de hauteur h
centré sur le fil en négligeant tout effet de bord.
12 Seul l'ordre de grandeur de r0 est connu : il faut déterminer d'abord sa 
valeur.
14 Écrire la relation de De Broglie pour déterminer la longueur d'onde du 
faisceau
d'électrons.
18 Dessiner un schéma en faisant apparaître les différentes quantités de 
mouvement
et exprimer tan  de deux façons différentes.
24 L'énergie mécanique se conserve.
25 La probabilité de désexcitation dP entre t et t+dt est le produit de la 
probabilité
d'être excité à l'instant t et de la probabilité de se désexciter entre t et t 
+ dt.
26 Calculer le nombre d'atomes dans le cylindre de longueur dz et de section S. 
La
fraction d'énergie qui contribue au rayonnement détecté est
d2 E = K dP(z) dE
29 Utiliser la conservation de l'énergie.
31 Le nombre total d'atomes est conservé.
32 On a besoin de quatre nombres quantiques pour décrire un électron : ces 
nombres
ont des valeurs permises limitées en fonction du nombre quantique principal n.
En outre, le nombre N s'écrit
N = g1 N(E1 ) + g2 N(E2 ) + ...
33 L'atome a un rayon fini R. Les états accessibles doivent vérifier rn < R.

Électrons et atomes par l'expérience
1 Tous les plans qui contiennent le point M et le vecteur ebr sont des plans de
symétrie de la distribution de charge, d'où
-

En = En (M) ebr
La distribution de charge est de plus invariante selon  et . Il vient
-

En = En (r) ebr
Appliquons le théorème de Gauss sur une surface sphérique de rayon r < a :
ZZ
-
 -
 Qint
En · d S =
0
S
avec Qint =

Or,

4
 r3 , où  est la densité volumique de charge telle que
3
3e
Q
=
=
(4/3)  a3
4 a3
ZZ
-
 -

En · d S = 4 r2 En (r)
S

d'où
Finalement,

En (r) =
-

En = En (r) ebr

er
4 0 a3

avec

En (r) =

er
4 0 a3

-

Dans le champ électrique En , l'électron de charge -e est soumis à la force
-

-

Fn = -e En = -

e2 r
ebr
4 0 a3

Comparons cette expression à la force de rappel. On identifie
m 0 2 =

d'où

0 =

s

e2
4 0 a3

e2
4 0 m a3

2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le 
référentiel
du noyau supposé galiléen, en négligeant son poids,
-

m
r = -m 0 2 -
r
Projetons cette équation sur l'axe ebr ,

r + 0 2 r = 0

On reconnaît l'équation d'un oscillateur harmonique de solution
r(t) = A cos(0 t) + B sin(0 t)
où A et B désignent des constantes d'intégration. Avec r(0) = r0 et r(0) = 0,
A = r0
Finalement,

et

B=0

r(t) = r0 cos(0 t)

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie 
potentielle
de rappel du ressort Ep telle que
Ep =

1
m 0 2 r 2
2

En l'absence de forces non conservatives, l'énergie mécanique est conservée donc
E=

1
1
m v 2 + m 0 2 r2 = Cte
2
2

Calculons la constante avec les conditions initiales à t = 0. Il vient
E=

1
m 0 2 r0 2
2

3 Pendant une durée dt, l'énergie mécanique moyenne est diminuée de hPi dt, d'où
dE = - hPi dt = -
D'après la question 2,

e2
r2 dt
60 c3

r(t) = -0 r0 sin(0 t)

Avec cos2 (0 t) = sin2 (0 t) = 1/2, on a r2 = 0 2 r2 , ce qui implique
E=

1
1
m r2 + m 0 2 r2 = m 0 2 r2
2
2

De même,

r2 = 0 4 r2 =

E 0 2
m

dE
e2 0 2
=-
E
dt
60 m c3

Il vient

Notons  = e2 0 2 /(60 m c3 ). Avec E(0) = E0 , la solution s'écrit
E(t) = E0 e -t

avec

=

e2 0 2
60 m c3

Remplaçons les valeurs numériques des constantes dans l'expression de 1/,
1
6 × 9 × 10-12 × 9 × 10-31 × 33 × 108×3
=

22 × 10-19×2 × 42 × 1015×2
Simplifions cette relation, avec 4 × 16  60, 3  10 et 93  103 ,
1
6 × 92 × 33
=
× 10-11  10-8 s

4 × 16
La valeur de 0 donnée correspond à la longueur d'onde de 486,1 nm que
propose l'énoncé.
La période d'oscillation de l'électron T0 vaut
T0 =

2
2
=
 2 × 10-15 s
0
4 × 1015

On en déduit que le temps caractéristique de décroissance de l'énergie est 5 · 
106 fois
plus grand que T0 . On peut donc considérer l'énergie mécanique constante.