Mines Physique 2 PC 2017

Thème de l'épreuve Voyage au cœur du Soleil
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, thermodynamique, electromagnétisme, propagation d'ondes acoustiques
Mots clefs relation de dispersion, induction magnétique, modèle polytropique, force de Laplace, force de Lorentz, mode propre de vibration

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                       

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2017 ­ PHYSIQUE II PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l'épreuve : 4 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE II - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Physique II, annee 2017 -- filiere PC Voyage au coeur du Soleil Ce sujet traite de quelques phenomenes remarquables concernant le Soleil, et aborde differentes manieres d'etudier notre etoile, de sa surface a son centre. Les trois parties sont independantes les unes des autres. La premiere concerne les manifestations en surface de l'activite magnetique du Soleil, que l'on peut voir sur des cliches pris par des satellites en orbite autour de notre etoile. La seconde partie s'interesse aux pulsations solaires, observees pour la premiere fois dans les annees 60, et qui permettent aujourd'hui de connaitre la structure interne du Soleil. Enfin, la troisieme partie propose un modele simplifie permettant d'estimer les conditions physiques regnant au centre de notre etoile. Le Soleil est decrit comme une sphere en equilibre hydrostatique, constituee de plasma (gaz ionise) localement neutre. Sauf mention contraire, on neglige la rotation de l'etoile sur ellememe, ce qui permet de traiter un probleme a symetrie spherique. Le symbole designe les quantites se rapportant au Soleil dans son ensemble. Les vecteurs seront traditionnellement ! pour le champ magnetique ; sauf s'ils sont unitaires surmontes d'une fleche, par exemple B et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple u !r tel que "! ur " = 1. Les applications numeriques seront des ordres de grandeurs comportant au maximum deux chiffres significatifs. Des donnees numeriques et un formulaire sont rassembles en fin d'enonce. I. -- La surface du Soleil 1 -- Le flux radiatif surfacique a la surface du Soleil, considere comme un corps noir, est donne par la loi de Stefan = T 4 ou est la constante de Stefan-Boltzmann et T la temperature de sa surface. On definit la luminosite d'une etoile comme la quantite d'energie qu'elle rayonne par seconde. Determiner l'expression de la luminosite L du Soleil et calculer sa valeur numerique. En realite, la luminosite du Soleil n'est pas uniforme : on observe des taches sombres a sa surface qui sont liees a son activite magnetique (figure 1). En particulier, ces taches sont souvent situees a la base de boucles magnetiques, dites boucles coronales, qui sont la consequence directe de la torsion du champ magnetique par la dynamo solaire. Pour interpreter l'existence de ces taches et boucles, on adopte le modele suivant : · A l'echelle d'une tache, la surface du Soleil est localement plate. Elle est assimilee au plan (xOy) sur la figure 1. · On se place a la surface du Soleil, dans un systeme de coordonnees cylindriques (r,,z). On note (! ur ,! u ,! uz ) la base locale associee. La geometrie correspondante est representee sur la partie centrale de la figure 1. · Sur une portion de surface petite devant les dimensions du Soleil et aux echelles de temps ! = B(r)! considerees, le champ magnetique est suppose stationnaire et de la forme B uz , avec B (r) > 0. On precise que B decroit depuis l'axe vers la peripherie. · On suppose que le plasma solaire n'est compose que d'ions H+ et d'electrons libres. On assimile ce plasma a un gaz parfait dont on note T la temperature et p la pression. On suppose sa masse volumique s uniforme au voisinage de la surface. I.A. -- Les taches solaires 2 -- On considere un volume elementaire d suppose neutre du plasma solaire constitue de N sortes de particules elementaires de charges q1 , · · · , qN , en nombre n1 , · · · , nN par unite de volume et de vitesses !v1 , · · · , !vN . Donner l'expression de la densite volumique de courant !j puis ! et d . En deduire celle de la resultante des forces electromagnetiques dF! en fonction de !j, B ! que l'on peut ecrire cette resultante sous la forme dF! = -grad()d dans laquelle on precisera l'expression de . Page 1/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2017 -- filiere PC Tube de champ % Tache solaire $b! # ! $b# " $b" Figure 1 ­ A gauche : Cliche d'une tache solaire pris par la sonde Hinode en 2006. Au centre : geometrie adoptee pour la modelisation des tubes et des taches. A droite : Cliche d'une boucle magnetique pris par le telescope TRACE, en orbite autour du Soleil depuis 1998. 3 -- Montrer que la grandeur p + 2µ1 0 B 2 est uniforme si on reste proche de la surface du Soleil. A la surface du Soleil, mais a l'exterieur d'une tache solaire, la valeur de la pression est pext = 1,3 bar et celle de la temperature Text = Ts , le champ magnetique est quant a lui negligeable. Ce n'est plus le cas au centre d'une tache solaire ou la valeur du champ magnetique est Bint = 0,5 T. Calculer la pression pint et la temperature Tint au centre d'une tache solaire. 4 -- Calculer la valeur du rapport du flux radiatif d'une tache solaire sur celui d'une zone normale. Commenter ce resultat. I.B. -- Les boucles magnetiques Les taches solaires sont dues a l'emergence de tubes de champ magnetique dans l'atmosphere solaire. On considere ici un tube de champ magnetique en forme de cylindre de revolution d'axe (O,! uz ) et de rayon R. Ce tube est represente sur la partie centrale de la figure 1. 5 -- On admet que B (r) est une fonction decroissante. Justifier le fait que le tube de champ ! a tendance a se dilater sous le seul effet du champ magnetique B. 6 -- En fait, le tube de champ est egalement parcouru par un courant electrique provenant de l'interieur du Soleil et dont la densite est de la forme !jt = jt (r)! uz . En supposant que la longueur du tube est grande devant son rayon, determiner l'expression du champ magnetique ! t cree par !jt en fonction de µ0 , r et de l'intensite I(r) du courant traversant un disque de rayon B r. En deduire l'expression de la force de Laplace dF!t correspondante exercee sur un element de volume d du tube, en fonction de I(r), de sa derivee et des autres grandeurs du probleme. En admettant que I(r) est une fonction positive et croissante, quel est l'effet du champ magnetique ! t sur le tube de champ ? B 7 -- On se place maintenant dans la situation reelle en superposant les deux champs ! tot = B ! +B ! t . Etablir une condition portant sur les commagnetiques regnant dans le tube B posantes du champ et de la densite de courant, traduisant l'equilibre du tube de champ. En deduire que dans un tube de champ a l'equilibre, la densite de courant est colineaire au champ magnetique. 8 -- On constate sur les cliches du Soleil (partie droite de la figure 1) que les tubes de champ ont tendance a former des boucles, en connectant deux points de la surface du Soleil. Ce que l'on voit sur la photo est en fait le rayonnement des particules chargees presentes dans la boucle et dont la vitesse varie le long de celle-ci. Quelle hypothese de l'enonce faudrait-il modifier pour rendre compte de ce phenomene ? FIN DE LA PARTIE I Page 2/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2017 -- filiere PC II. -- Modes de vibration des etoiles De nos jours, il est possible d'aller plus loin que l'observation de la surface du Soleil. Grace a des techniques proches de la sismologie terrestre, on peut etudier la structure interne du Soleil, on parle d'heliosismologie. On propose dans cette partie de decouvrir deux types d'ondes mecaniques pouvant se propager dans notre etoile. L'etude de leurs proprietes permet notamment de remonter au profil de rotation interne du Soleil mais ce point ne sera pas aborde. II.A. -- Ondes acoustiques dans un fluide a une dimension On veut etudier la propagation du son dans un tuyau de section constante, d'axe (O,! ux ). Au repos, le fluide present dans le tuyau est caracterise par une pression uniforme p0 , une masse volumique uniforme 0 et un champ de vitesses nulles. On rappelle qu'une onde sonore est une perturbation par rapport a cet etat d'equilibre, et on notera p1 , 1 et v1 les valeurs des pression, masse volumique et vitesse associees a cette perturbation. Le coefficient de compressibilite " 1 d " isentropique du fluide au repos est defini par S = 0 dP " . S 9 -- Etablir l'equation de propagation verifiee par la pression p1 a partir de trois equations locales a lineariser. Vous nommerez et expliciterez les approximations et/ou hypotheses realisees. En deduire l'expression de la celerite c de l'onde acoustique en fonction de S et de 0 . 10 -- On se place a present dans le cas d'un tuyau ferme en x = 0 et ouvert en x = L. Justifier que ces conditions aux limites imposent v1 (0,t) = 0 et p1 (L,t) = 0. Justifier ensuite que l'on peut chercher les solutions de l'equation precedente sous la forme p1 (x,t) = p0 cos(t) cos(kx+) et en deduire l'expression de v1 . Etablir la relation de dispersion de ces ondes, puis determiner l'expression des frequences propres fn , pour n N. Calculer l'ecart f entre deux frequences propres consecutives. Que pouvez-vous en dire ? 11 -- Representer les modes n = 1 et n = 2 sur un schema montrant les ondes de pression et de vitesse, dans deux couleurs (ou styles de traits) differentes. II.B. -- Ondes mecaniques dans une etoile Les etoiles, et en particulier le Soleil, sont egalement le siege de phenomenes oscillants, induisant des variations mesurables de leur luminosite et de leur rayon. Nous admettons que des ondes se propagent dans les etoiles, excitees par divers processus que nous n'etudierons pas ici. La geometrie du probleme est a present en 3 dimensions et nous utiliserons donc les coordonnees spheriques (r,,). De la meme facon qu'a une dimension, on peut ecrire les equations linearisees de l'hydrodynamique, obtenir une equation d'onde et, en cherchant des solutions separables en temps et en espace, montrer que le deplacement radial r d'une particule de fluide dans l'etoile est solution de l'equation # $# $ d 2 r 2 (2N )2 (2S )2 r = 0 1- + 2 1- dr2 c 2 2 &' ( % kr2 ou est une pulsation que l'on supposera independante de r, c(r) est la celerite des ondes sonores dans l'etoile. Enfin, les quantites S (r) et N (r) sont deux frequences intervenant dans ce genre de problemes : ) ( + 1)c2 S (r) = r2 Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2017 -- filiere PC est la frequence de Lamb pour N et * # $ 1 p0 1 0 - N (r) = g p0 r 0 r est la frequence de Brunt-Vaisala ou est l'indice adiabatique du gaz (plasma) constituant l'etoile et g le champ gravitationnel. + On generalise la notion de vecteur d'onde a 3 dimensions en notant sa norme k(r) = kr2 + kh2 , 2 (+1) ou kr (r) est la norme du vecteur d'onde vertical et kh (r) = celle du vecteur d'onde r horizontal. 12 -- On se place dans un pre& = 100 &=5 mier temps dans le regime des hau' tes frequences dans lequel 2N . [ (Hz ] &=1 Simplifier l'expression de kr et montrer que l'on retrouve la relation de & = 20 dispersion correspondant aux ondes acoustiques de la sous-partie II.A. Etablir la condition d'existence d'ondes acoustiques harmoniques radiales selon le signe de kr2 . En exploitant la figure 2, determiner l'intervalle [r1 ,r2 ] des rayons de l'etoile )/*¯ dans lequel une onde harmonique de frequence f = 1 mHz et de degre Figure 2 ­ Profils de la frequence de Brunt-Vaisala (trait = 5 peut exister. continu) et de la frequence de Lamb (pointilles) dans le Les frontieres r1 et r2 de cette zone Soleil. Tire de Christensen-Dalsgaard, 2011, Lecture notes de propagation definissent des condiin physics. tions aux limites sur le deplacement radial et la pression du fluide dans l'etoile. Il se forme alors des modes de resonance, appeles modes p, crees par la surperposition d'ondes acoustiques progressives. Ces modes sont caracterises par une condition de resonance , r2 qui impose r1 kr dr = (n + p ), p etant une constante et n un entier naturel. 13 -- Dans le cas ou 2S et 2N , exprimer la frequence fn,p des modes p en fonction de n, p et d'une integrale que l'on exprimera mais que l'on ne cherchera pas a calculer. Determiner l'ecart entre deux frequences consecutives et commenter. Quelle critique peut-on faire concernant la validite de cette approximation ? 14 -- On s'interesse maintenant au regime des basses frequences, dans lequel pour chaque entier on a 2S . Etablir la condition d'existence d'ondes harmoniques radiales dans cette situation. En exploitant la figure 2, discuter de la region du Soleil dans laquelle elles peuvent exister en fonction de leur frequence. Ces ondes sont appelees ondes de gravite . En etablissant un bilan des forces sur un element de fluide a cet endroit de l'etoile, proposer une explication du mecanisme a l'origine de ces ondes. Tout comme pour les modes p,, les ondes de gravite qui existent dans la region r [r3 ,r4 ] r peuvent entrer en resonance si r34 kr dr = (n + g ) ou g est une constante et n un entier naturel. La superposition d'ondes acoustiques progressives forme alors des modes g. 15 -- Dans le cas des tres basses frequences 2N , montrer que ces modes g ne sont plus espaces regulierement en frequence mais qu'une autre grandeur est reguliere. Laquelle ? Page 4/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2017 -- filiere PC 16 -- D'une maniere generale, les ondes acoustiques sont-elles longitudinales ou transversales ? On justifiera sa reponse par une explication qualitative basee sur un schema si necessaire. 17 -- Dans le cadre du Soleil a symetrie spherique, la vitesse de groupe est un vecteur !vg qui s'exprime sous la forme !vg = u !r + u ! dans la base locale. En deduire la nature kr kh longitudinale ou transversale des ondes de gravite. 105 Puissance spectrale [ m2 . s-2 . Hz-1 ] 10 4 103 2000 10 2 216 3000 Fréquence [ !Hz ] 218 220 4000 222 101 100 Fréquence [Hz] 10 ¡1 10 ¡5 10¡3 10¡ 4 10¡ 2 Figure 3 ­ Spectre des oscillations du Soleil obtenu grace a l'instrument GOLF entre 1996 et 1998. Les figures de droite detaillent certaines regions du spectre de gauche A l'instar d'une peau de tambour, le Soleil vibre selon une combinaison des modes p et g dont il est le siege, et sa luminosite varie en consequence. Le spectre represente sur la figure 3 a ete obtenu par une analyse spectrale des variations temporelles de la luminosite du Soleil, entre avril 1996 et juin 1998. 18 -- Dans quelles bandes spectrales s'attend-on a trouver les modes p d'une part et le mode g d'autre part ? Quels modes sont les plus visibles sur la figure 3 ? Les donnees experimentales sont le resultat d'une observation de la surface du soleil, proposer une explication pour cette difference de visibilite. Commenter la coherence entre les donnees experimentales et les resultats theoriques obtenus dans cette partie. FIN DE LA PARTIE II Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2017 -- filiere PC III. -- Modele polytropique du Soleil Nous cherchons dans cette derniere partie a estimer les conditions de temperature, pression et densite regnant au centre du Soleil, region encore inaccessible a tout moyen d'observation. On utilise a nouveau les coordonnees spheriques (r,,) et on note p(r) la pression, (r) la masse volumique et g(r) le champ gravitationnel a une distance r du centre de l'etoile (a symetrie spherique). La masse de gaz a l'interieur d'une sphere de rayon r est notee M (r). 19 -- En appliquant le theoreme de Gauss, exprimer g(r) en fonction de G et M (r). Rappeler l'equation de la statique des fluides que l'on peut ecrire pour cette etoile. On suppose que le gaz verifie une equation d'etat dite polytropique, s'ecrivant sous la forme 1 p = K1+ n ou K est une constante et n est l'indice polytropique du gaz (plasma) constituant le Soleil. On definit les deux grandeurs adimensionnees et par = c n , ou c est la densite au centre du Soleil et r = r0 ou r0 est un rayon caracteristique. 20 -- Verifier que la pression s'ecrit sous la forme p = pc n+1 , on donnera l'expression de pc en fonction de K, c et n. dM 21 -- Etablir la relation = 4r2 . dr 22 -- Indiquer les valeurs prises par la fonction au centre et a la surface du Soleil, dont on neglige l'atmosphere. En utilisant les trois questions predentes montrer que, par un choix astucieux de r0 , la fonction obeit a l'equation differentielle dite de Lane-Emden, # $ 1 d 2 d + n = 0 2 d d On determinera l'expression de r0 en fonction de n, K, G et c . L'equation de Lane-Emden peut etre resolue numeriquement pour une valeur donnee de l'indice polytropique. On peut donc calculer numeriquement son premier zero s , c'est-a-dire la premiere valeur de ou la fonction () s'annule. On peut ensuite calculer numeriquement s la valeur de la derivee de () en s . 23 -- On suppose connus la masse M = M (s ) et le rayon R = r0 s du Soleil. Montrer que si l'on considere que la masse du Soleil est le produit de son volume par sa masse volumique moyenne , l'equation d'equilibre hydrostatique permet d'obtenir sa masse volumique centrale c que l'on exprimera en fonction de s , s et . . La resolution de l'equation 24 -- On modelise le Soleil par un polytrope d'indice n = 10 3 s 26 de Lane-Emden donne s = 3 et - 3 = 7 × 16 = 112. Sachant que dans le cas du Soleil s K = 4 × 109 SI, calculer la valeur de c , puis en utilisant la figure 4 celle de pc pour le Soleil. 25 -- Pour evaluer la temperature centrale, on suppose maintenant que le plasma solaire est un gaz parfait, constitue de protons, de noyaux d'helium 4 et d'electrons (on neglige la presence des autres elements). On considere que la fraction massique d'helium est Y = 28%. Montrer que la neutralite electrique impose xe = xp + 2xHe , ou xp designe la fraction en nombre de protons, xe celle en electrons et xHe celle en noyaux d'helium. En deduire que la masse 4 molaire du melange est donnee par M = 8-5Y Mp , en justifiant les eventuelles approximations realisees. En deduire la temperature centrale du Soleil selon ce modele. Le Soleil tire son energie de deux cycles de reaction : le cycle PP (pour proton-proton) domine si la temperature centrale est inferieure a 20 MK et le cycle CNO (pour Carbone-Azote-Oxygene) qui domine pour les temperatures superieures. 26 -- Quelle est la nature de ces reactions ? Quel est le cycle dominant dans le Soleil ? FIN DE LA PARTIE III Page 6/7 Tournez la page S.V.P. Physique II, annee 2017 -- filiere PC Donnees ! se decompose dans la base cylindrique locale (! · Si un vecteur A ur ,! u ,! uz ) sous la forme ! A = Ar u !r + A u ! + Az u !z , son rotationnel est donne par $ # $ # $ # 1 (rA ) Ar Ar Az 1 Az A ! ! u !r + u ! + u !z - - - rotA = r z z r r r · Dans la base cylindrique locale (! ur ,! u ,! uz ), le gradient d'un champ scalaire (r,,z) s'ecrit sous la forme 1 ! grad = u !r + u ! + u !z r r z 25 · Constante des gaz parfaits : R J · mol-1 · K-1 ; 3 · Permeabilite magnetique du vide : µ0 = 4 · 10-7 T · m · A-1 ; · Constante de Stefan-Boltzmann : = 6 · 10-8 W · m-2 · K-4 · Constante de gravitation : G = 6,7 · 10-11 m3 · kg-1 · s-2 ; · Masse molaire du proton : Mp = 1,0 · 10-3 kg · mol-1 · Pour le Soleil : -- masse : M = 2 · 1030 kg -- rayon : R = 7 · 108 m 1 -- temperature de surface : Ts = 5,7 · 103 K 1000 4 · 103 K 4£107 "1,4 3£107 '(!) 2£107 "1,3 1£107 "1,2 9£106 1£105 5 ! 2£10 3£105 Figure 4 ­ Representation graphique des fonctions f (x) = x1,2 ; x1,3 et x1,4 FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Maimbourg (agrégé de physique) ; il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (professeur en CPGE). Ce sujet traite de quelques phénomènes physiques concernant notre étoile, le Soleil. Il comporte trois parties indépendantes. · La première partie s'intéresse à la surface du Soleil et propose en particulier une étude des taches solaires. On montre que ces taches sont dues à la présence d'un champ magnétique local qui a pour effet de diminuer la température de surface. Cette diminution de température entraîne également la diminution du flux radiatif local, ce qui explique que les taches solaires apparaissent plus sombres. · La deuxième partie, la plus longue, étudie l'existence d'ondes acoustiques de volume dans le Soleil. Elle est divisée en deux sous-parties. La première, facile, propose d'établir l'équation d'onde acoustique dans un modèle unidimensionnel puis de montrer que des conditions aux limites imposées conduisent à l'obtention d'ondes stationnaires. La seconde étudie l'existence d'ondes acoustiques stationnaires s'établissant dans le volume du Soleil. Le Soleil étant sphérique, les modes propres sont plus difficiles à étudier. L'énoncé propose une relation de dispersion dont on étudie les différents cas limites. Enfin, les résultats théoriques obtenus sont utilisés afin d'interpréter les variations de la luminosité solaire au cours du temps. Cette section est difficile et demande une très bonne maîtrise de la notion de relation de dispersion. Elle s'écarte souvent du programme de PC. · La troisième partie, la plus facile, cherche à estimer la température, la pression et la densité au centre du Soleil. Ces grandeurs n'étant pas mesurables directement, on ne peut qu'estimer leurs valeurs à partir d'un modèle. Le plasma constituant le Soleil est ici modélisé par une équation d'état polytropique où la pression évolue en puissance de la densité. On démontre dans ce cadre l'équation dite de Lane-Emden à partir de l'équation de la statique des fluides, qui est utilisée dans un cadre original puisque ni la densité ni l'accélération de la pesanteur ne sont constantes. Ce sujet est plutôt court mais particulièrement difficile. Il s'éloigne très souvent du cours et exige d'avoir assimilé en profondeur les notions afin de les mobiliser dans un contexte nouveau et non conventionnel. Cependant, l'indépendance des parties offrait aux candidats plusieurs points d'entrée dans le sujet. Le fait que la dernière partie soit la plus facile rappelle qu'il est toujours judicieux de lire complètement le sujet au début de l'épreuve. Les principaux chapitres abordés sont l'électromagnétisme, la thermodynamique, la propagation des ondes acoustiques et, dans une moindre mesure, la dynamique des fluides. Indications Partie I 2 Pour la seconde partie de la question, utiliser l'équation de Maxwell-Ampère pour exprimer la densité de courant en fonction du champ magnétique. 3 Par analogie avec la démonstration de l'équation d'Euler, appliquer le principe fondamental de la dynamique sur une particule fluide. 7 Utiliser l'expression établie à la question 2 de la force exercée sur un volume élémentaire traversé par une densité de courant - et soumis à un champ magné - tique B . On rappelle que deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Partie II 12 Une onde acoustique peut exister dans un milieu si elle peut s'y propager, c'està-dire si son vecteur d'onde présente une partie réelle non nulle. 13 La propagation de l'onde acoustique est supposée linéaire. La fréquence de l'onde est alors invariante par translation selon r. La fréquence propre f n,p peut donc être « sortie » de l'intégrale radiale. 17 Exprimer la pulsation en fonction des vecteurs d'onde radial k r et orthoradial k h . En se plaçant à la limite basse fréquence, montrer que la vitesse de groupe est purement orthoradiale. Partie III 19 Écrire l'expression des forces d'interaction gravitationnelle et électrostatique et en déduire une analogie entre les grandeurs physiques. En déduire alors l'expression du théorème de Gauss gravitationnel par analogie avec le théorème de Gauss électrostatique. 21 La masse M en r + dr peut s'écrire M(r + dr) = M(r) + dm avec m la masse de la calotte sphérique comprise entre les rayons r et r + dr. 23 Appliquer l'équation de l'équilibre hydrostatique à la surface du Soleil. 25 La masse d'un électron est environ 1 800 fois plus faible que celle d'un proton. Leur contribution en masse peut donc être négligée. Voyage au coeur du Soleil I. La surface du Soleil 1 La luminosité L du Soleil est l'intégrale du flux radiatif surfacique sur la sphère S de rayon R et de température Ts . Le flux radiatif étant supposé constant sur toute la surface, il vient ZZ L = dS = Ts 4 4R 2 S Effectuons l'application numérique associée. L = 6·10-8 ·(10001/4 ·103 )4 ·4·(7·108)2 = 6·10-8 ·1000·1012 ·4·49·1016 4·1026 W 2 Considérons un ensemble de charges indicées par i, de densité volumique ni , de charge qi et se déplaçant à la vitesse - vi . Le courant associé - i s'écrit - =nq - v i i i i - s'écrit Ainsi, par additivité des courants, le courant total N - = Xn q - i i vi i=1 Le champ électrique étant supposé nul, la force de Lorentz se réduit ici à sa - composante magnétique. Évaluons la force de Lorentz d F s'exerçant sur un volume - d de plasma. La force étant également une grandeur additive, d F s'écrit comme la - somme des forces dFi associées à chacun des types de charge qi . N X - - dF = dFi i=1 - Par ailleurs, la force de Lorentz magnétique dFi s'écrit, avec ni qi d la charge totale contenue dans d , Finalement, - - dFi = ni qi d - vi B ! N X - - - dF = n q v B d i i i i=1 - , soit, en identifiant la densité de courant - - dF = - B d En absence de champ électrique, l'équation de Maxwell-Ampère se réduit à - - rot B = µ0 - si bien que - - - rot B - dF = B d µ0 L'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques est fournie en fin d'énoncé. - , Ainsi, avec B = B(r) - u z dB - - - rot B = - u dr - d dB dF = - B(r) - u r µ0 dr - d d B2 - dF = - u r µ0 dr 2 Finalement, -- - d F = - grad () d avec = B2 2µ0 - Cette écriture montre que d F est une force conservative car elle dérive d'une énergie potentielle. Ici, B2 /2µ0 est l'énergie magnétique volumique. 3 Considérons la particule de plasma de volume d se déplaçant à la vitesse - v dans un référentiel supposé galiléen et fixe par rapport à la surface du Soleil. Appliquons le principe fondamental de la dynamique à cette particule. Par analogie avec l'équation d'Euler de la mécanique des fluides, -- - d- v = - grad p + f V S dt - avec f V l'ensemble des forces volumiques s'exerçant sur la particule fluide. Dans le cas présent, les forces volumiques sont le poids et la force d'origine magnétique calculée à la question précédente. De plus, en se plaçant à proximité de la surface du Soleil, S et g sont indépendants de z. La force volumique totale s'écrit alors - -- B2 f V = - grad + S gz 2µ0 Par ailleurs, on se place d'après l'énoncé à l'équilibre hydrostatique, si bien que - d- v = 0 dt -- B2 (r) Finalement, grad + p(r, z) + S gz = 0 2µ0 Soit encore, B2 (r) + p(r, z) + S gz = Cte 2µ0 En se limitant à des cas proches de la surface, donc à z = Cte , le terme S gz est constant, si bien que B2 (r) + p(r, z) = Cte 2µ0 En considérant un champ magnétique nul à l'extérieur d'une tache solaire, il vient d'où pext = pint + B2 2µ0 pint = pext - B2 2µ0