Mines Physique 2 PC 2016

Thème de l'épreuve De la physique dans le tunnel de Fréjus
Principaux outils utilisés diffusion thermique, physique quantique
Mots clefs onde thermique, effet tunnel, équation de Schrödinger, radioactivité alpha

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2016 - PHYSIQUE II PC CONCOURS COMMUN MINES PONTS Ecole des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TELECOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Etienne, MINES Nancy, TELECOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filiere MP). CONCOURS 2016 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est autorise. Sujet mis a la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Telecom, Concours Centrale-Supelec (Cycle international). Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II - PC L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. De la physique dans le tunnel de Frejus De la physique dans le tunnel de Frejus Ce sujet comporte deux parties independantes qui s'interessent a divers aspects de la physique dans le tunnel de Frejus. A l'exception de i tel que i2 = -1, les nombres complexes sont soulignes. La notation z designe le nombre complexe conjugue de z. Les vecteurs seront traditionnellement surmontes d'une fleche, par exemple ~j pour un flux surfacique ; sauf s'ils sont unitaires et seront alors surmontes d'un chapeau, par exemple ebz tel que kb ez k = 1. Pour les applications numeriques on utilisera 3 chiffres significatifs. I. -- Temperature dans le tunnel de Frejus Le tunnel routier du Frejus relie la vallee de l'Arc, en France, au val de Suse, en Italie. Long d'environ 13 km, le tunnel passe sous le col du Frejus dans les Alpes cottiennes. La pointe Frejus culmine a une altitude de 2934 m. Premier puits de ventilation Entrée Nord Pointe Fréjus 1228 m Second puits de ventilation 1298 m 0,54% 1 2 3 4 5 6 7 Entrée Sud 8 9 10 11 12 km Figure 1 ­ Tunnel de Frejus La roche environnante dans le tunnel a une temperature constante tout au long de l'annee d'environ 30 C. Dans un premier temps nous etudierons les evolutions saisonnieres de la temperature dans le sol. Puis nous tenterons d'expliquer cette temperature elevee par un modele geophysique. Surface O x z Figure 2 ­ Sol I.A. -- Evolutions saisonnieres de la temperature dans le sol On se place au sommet de la pointe Frejus a une altitude de 2934 m. On assimile la roche a un milieu semi-infini de conductivite thermique , de masse volumique s et de capacite thermique massique cs . Sa surface est plane et horizontale et est soumise a la variation de temperature exterieure T (z = 0,t) = 0 + T0 cos(t) avec 0 = 0 C. (Voir figure 2). 1 -- Calculer la moyenne temporelle de la temperature exterieure en z = 0. Calculer la temperature maximale et minimale. Proposer une valeur numerique pour T0 pour les evolutions annuelles de temperature. 2 -- Le flux thermique elementaire, defini comme la quantite d'energie traversant une surface elementaire dS pendant dt , est note dQ . Rappeler la definition du vecteur ~jQ , densite de flux thermique. Quelle est sa dimension ? 3 -- Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En deduire les dimensions de la conductivite thermique . 4 -- On etudie une tranche mesoscopique de sol comprise entre z et z + dz de surface S. Quelle est l'energie thermique Q recue par cette tranche entre t et t + dt ? Page 2/7 Physique II, annee 2016 -- filiere PC 5 -- Pourquoi etudie-t-on une tranche mesoscopique ? jQ 6 -- Etablir l'expression de sa variation d'energie interne dU en fonction de et S puis z T . en fonction de s , cs , S et t 2 T (z,t) T (z,t) = D dans 7 -- En deduire l'equation de la chaleur a une dimension t z 2 laquelle on precisera l'expression et la dimension du coefficient D de diffusion thermique. On cherche des solutions de la forme T (z,t) = 0 + T0 ei(t-kz) verifiant la condition aux limites T (z = 0,t) = 0 + T0 cos(t). 8 -- Interpreter cette forme de solution. Determiner la relation de dispersion correspondante. En deduire l'expression de k qu'on mettra sous la forme k = k + ik avec k > 0. Quelle est la signification physique de k et k . Determiner l'expression correspondante de la solution reelle T (z,t). 9 -- Calculer la profondeur ze a partir de laquelle les oscillations annuelles de temperature ne s'ecartent pas de 0 de plus de 1%. Que peut-on dire de la temperature dans le tunnel routier de Frejus ? Pour les roches granitiques constituant le Frejus on donne s = 2,65 × 103 kg · m-3 , cs = 8,50 × 103 J · K-1 · kg-1 et = 3,00 si. 10 -- Que peut-on dire des variations quotidiennes de la temperature a la profondeur ze ? En terme de filtrage frequentiel, comment se comporte le sol ? I.B. -- Temperature d'origine geophysique La temperature moyenne de 30 C relevee dans le tunnel de Frejus peut etre expliquee par un modele geothermique simple de la croute terrestre. On considere qu'au niveau des Alpes, l'epaisseur de la croute terrestre continentale est Lc = 45,0 km. Les roches granitiques qui constituent une partie des Alpes contiennent des elements radioactifs comme l'uranium, le thorium et le potassium. La chaleur produite par ces elements radioactifs est directement proportionnelle a leur concentration. x O Surface Dans les modeles couramment utilises cette concentration decroit exponentiellement avec la profondeur, de sorte que la puissance volumique degagee Croûte z z z+dz peut s'ecrire P = P0 e- H avec H = 10,0 km. On terrestre -3 prendra P0 = 2,50 µW · m . La croute terrestre I c /m repose sur le manteau terrestre, a la fois plus dense et plus chaud que la croute. On admet enfin qu'au Manteau niveau de l'interface Ic/m entre la croute et le man- terrestre ~jm teau ce dernier genere un flux surfacique constant ~jm = -jm ebz avec jm = 35,0 mW · m-2 . Figure 3 ­ Modele geophysique 11 -- Effectuer, en regime stationnaire, le bilan thermique dans une tranche de croute terrestre de surface S, comprise entre z et z + dz. 12 -- En deduire la temperature T (z) en fonction de : H, Lc , P, jm , et 0 = 0 C la temperature moyenne de surface en z = 0. f 13 -- Exprimer le flux thermique total ~jS = jS ebz au niveau de la surface en z = 0. 14 -- Comparer les deux termes proportionnels a z et simplifier l'expression de T (z). Calculer la temperature au centre du tunnel de Frejus (z = 1,70 km) puis jS . Page 3/7 Tournez la page S.V.P. De la physique dans le tunnel de Frejus I.C. -- Prise en compte du relief On suppose maintenant que la temperature a la surface plane z = 0 possede dependance ! 2xune spatiale en x que l'on modelise par la relation T (x,z = 0) = Ts + T1 cos . Pour etudier l'effet du relief sur la temperature dans le tunnel de Frejus on prendra = 10,0 km. 15 -- On suppose pour cette question qu'il n'y a pas de source d'energie thermique dans la roche. Donner sans demonstration l'equation differentielle satisfaite par T (x,z) en regime stationnaire. En utilisant la methode de separation des variables, determiner la solution T (x,z) qui respecte la condition aux limites T (x,z = 0) et qui demeure finie lorsque z +. Justifier la prise en compte des effets de la variation spatiale de la temperature. 16 -- Toujours pour une surface plane d'equation z = 0, en utilisant la linearite de l'equation satisfaite par la temperature, determiner T (x,z) en considerant les sources internes d'energie thermique. 17 -- On !considere ici que la topographie de la surface peut etre representee par l'equation 2x h(x) = h0 cos . La temperature de la surface Ts = T (x,z = h) sera prise egale a celle de l'air ambiant et sera modelisee par Ts = 0 + z. En effectuant un developpement limite en z T . a l'ordre 1, exprimer la temperature T (x,z = 0) en fonction de h, T (x,z = h) et z z=0 T en fonction notamment du flux d'energie thermique a la surface jS . En Determiner z z=0 deduire que que l'on peut ecrire ! 2x -z/ -z/H T (x,z) = 0 + c1 z + c2 1 - e + c3 h0 cos e ou l'on precisera l'expression des constantes c1 , c2 , c3 et en fonction des donnees du probleme. FIN DE LA PARTIE I II. -- Radioactivite et effet tunnel Le tunnel de Frejus abrite le Laboratoire Souterrain de Modane (LSM), sous 1700 metres de roche. Unite mixte du CNRS et du CEA, le LSM est en fonctionnement depuis 1982. Le LSM est un site scientifique exceptionnel protege des rayons cosmiques, ou ont lieu des recherches sur le neutrino, la matiere noire ainsi que des mesures de faibles radioactivites et leurs applications aux etudes sur l'environnement et aux datations. Le LSM est entre autres specialise dans la spectrometrie . Le rayonnement , qui suit generalement une emission ou , est issu du noyau de l'atome et correspond a une desexcitation de ce dernier. En effet, apres une desintegration ou , le nouveau noyau n'est pas toujours dans un etat d'equilibre energetique : il possede encore un trop plein d'energie , on dit qu'il est excite. Pour se debarrasser de cet excedent, il va emettre un ou plusieurs rayonnements d'energie determinee et caracteristique du noyau et donc de l'atome en presence. Nous allons dans cette partie nous interesser plus particulierement a la radioactivite . II.A. -- Le quanton libre 18 -- Une particule quantique (quanton) est localisee sur un axe (O,b ux ). L'etat quantique de cette particule est caracterise par une fonction d'onde : (x,t). Rappeler le postulat de Born donnant la probabilite dP que la particule se trouve dans l'intervalle [x,x + dx] a l'instant t. En deduire la dimension de (x,t). R + 19 -- Interpreter la propriete - |(x,t)|2 dx = 1. Page 4/7 Physique II, annee 2016 -- filiere PC 20 -- Quelle est la signification physique de = |(x,t)|2 ? En associant la probabilite de presence a un courant de probabilite donner sans demonstration l'equation de conservation de la probabilite de presence. On fera apparaitre un vecteur ~j appele vecteur densite de courant de probabilite. Une analyse non demandee montre que dans le cas mono-dimensionnel i~ ~j = - u bx (1) 2m x x Lorsque la particule possede une energie potentielle V (x), la fonction (x,t) est solution de l'equation de Schrodinger non relativiste - avec ~ = ~2 2 (x,t) (x,t) + V (x)(x,t) = i~ 2 2m x t h = 1,05 × 10-34 J · s. 2 21 -- Rappeler ce qu'on entend par particule non relativiste. On cherche des etats d'energie stationnaire E de la forme (x,t) = (x) × f (t). Determiner l'equation de Schrodinger independante du temps verifiee par (x) et la forme generale de (x,t) en fonction notamment de (x) et E. Que peut-on dire de la probabilite de presence dP ? On definit une particule libre comme une particule de masse m, d'impulsion p~ et d'energie p ~2 > 0 evoluant dans une region d'energie potentielle V (x) nulle. E = 2m 22 -- Determiner la solution generale de l'equation de Schrodinger independante du temps pour une particule libre. Montrer que sa fonction d'onde (x,t) est la somme de deux ondes planes se propageant en sens inverse. 23 -- Definir le vecteur d'onde ~k que l'on peut associer a cette particule. Determiner la relation entre p~ et ~k. Comment s'appelle cette relation ? II.B. -- Effet tunnel Le quanton d'energie E arrive d'une region i definie par x < 0 et dans laquelle son energie potentielle est V (x) = 0. Il est susceptible egalement de se trouver soit dans une region ii telle que 0 < x < a ou regne une energie potentielle V (x) = V0 ou bien dans une region iii definie par x > a, dans laquelle V (x) = 0. On supposera que 0 < E < V0 et l'on cherche des etats stationnaires d'energie E. V(x) iii i V0 E ii O x a Figure 4 ­ Marche d'energie potentielle 24 -- Rappeler brievement ce que serait le comportement de ce quanton s'il etait regi par la mecanique classique. 25 -- Determiner la forme generale de la solution de l'equation de Schrodinger independante du temps dans la region i et iii . On ne cherchera pas a determiner les 2 constantes d'integration qui apparaissent dans la region i ni celle qui apparait dans la region iii . 26 -- Determiner la forme generale de la solution q de l'equation de Schrodinger independante 2m(V0 -E) du temps dans la region ii . On posera q = . Cette solution fait apparaitre 2 ~2 constantes d'integration que l'on ne cherchera pas a determiner. Page 5/7 Tournez la page S.V.P. De la physique dans le tunnel de Frejus 27 -- Enoncer les proprietes generales de la fonction d'onde en x = 0 et x = a permettant d'ecrire un systeme de 4 equations dont les 5 inconnues sont les constantes d'integration des questions 25 et 26. On ne cherchera pas a resoudre ce systeme. Quelle derniere hypothese permet de definir completement la fonction d'onde en tout point x ? 28 -- En utilisant l'equation (1) determiner les courants de probabilite dans les regions i et iii en fonction des constantes d'integrations de la question 25. Comment peut-on interpreter ces deux courants ? En deduire les coefficients de reflexion R et de transmission T caracterisant cette barriere d'energie potentielle en fonction de ces memes constantes. Un calcul non demande permet d'obtenir T = 1 1+ V02 sh2 4E(V0 -E) (qa) 29 -- On considere que le quanton est un electron de masse me = 9,11×10-31 kg et d'energie E = 1,00 eV evoluant dans le potentiel decrit sur la figure 4 avec V0 = 2,00 eV. Dresser un tableau des valeurs de qa et T pour a = 0,50 nm ; 1,00 nm et 2,00 nm. Definir ce que l'on appelle une barriere d'energie potentielle epaisse et montrer que dans ce cas T T0 (E,V0 ) e-2qa ou l'on precisera l'expression de T0 (E,V0 ). En etudiant les variations de T0 (E,V0 ) pour 0 < E < V0 , deduire que pour une barriere epaisse, l'on peut ecrire ln(T ) -2qa. II.C. -- Radioactivite La radioactivite est l'emission de noyaux d'helium 4, appeles particules , par des noyaux atomiques lourds (generalement tels que Z > 82), selon la reaction A ZX V(x) V0 A-4 42 He +Z-2 Y E dans laquelle A represente le nombre de nucleons (protons x0 x xm et neutrons) et Z le nombre de protons du noyau X. George O Gamow fut le premier en 1928 a interpreter la radioactivite grace a l'effet tunnel. Il considera que le noyau X etait constitue au prealable de la particule et du noyau Y . L'energie potentielle V (x) d'interaction entre ces deux par- Figure 5 ­ Allure de l'energie ticules est une fonction de la distance x qui les separe dont de potentielle l'allure est representee sur la figure 5. -- pour des grandes valeurs de x, cette energie potentielle correspond a la repulsion electrostatique, et presente donc un profil coulombien de la forme 4K0 x -- pour x < x0 , les interactions nucleaires attractives interviennent et l'energie potentielle est un puits tres profond. -- pour l'uranium 238 : Z = 92 et x0 = 3,50 × 10-15 m. La mesure de l'energie E des particules emises par ce noyau donne une valeur proche de 4,00 MeV. 30 -- Determiner l'expression de la constante K en fonction de Z et de la charge elementaire e = 1,61 × 10-19 C. En deduire la hauteur V0 de la barriere d'energie potentielle a franchir. Calculer la distance xm a laquelle l'energie potentielle coulombienne est egale a E. Donner un ordre de grandeur de la largeur de la barriere d'energie potentielle a franchir. Peut-on considerer que la barriere est epaisse ? On donne la masse de la particule , m = 6,64 × 10-27 kg et on 1 rappelle que 4 = 8,98 × 109 si. 0 Page 6/7 Physique II, annee 2016 -- filiere PC Etant donne que la barriere d'energie potentielle Approximation de V(x) ... n'a pas la forme simple de celle etudiee dans la section II.B, on ne peut donc plus utiliser directe... V(x) ment l'approximation de T obtenue a la question x 29. Pour x > x0 , on peut cependant approcher x x 0 m la fonction V (x) par une succession de barrieres dx rectangulaires de hauteur V (x) et de largeur dx Figure 6 ­ Approximation de la barriere. (Voir figure 6) suffisamment epaisse pour pouvoir utiliser l'approximation. 31 -- En generalisant le resultat obtenu pour T en fonction de T0 , determiner T (x + dx) en fonction de T (x), q et dx. En considerant, pour simplifier la suite du calcul, que qdx 1, etablir la relation s Z K 2 xm 2m - E dx ln(T ) - ~ x0 40 x 32 -- On admettra que r Z xm r xm x0 - 1 dx xm -2 x 2 xm x0 20 log10( ¿1/2 [s] ) 238 16 236 234 12 246 En deduire la loi de Gamow-Condon-Gurney, valable pour xxm0 1 : 8 b ln(T ) = a - E 226 210 242 230 224 4 0 232 244 200 228 226 198 196 222 194 216 218 204 202 208 206 84Po 88Pa 92U 96Cm 220 Dans laquelle on exprimera a et b en fonc214 -4 tion des donnees du probleme. 218 -1/2 (E [Mev] ) 33 -- En considerant que la particule fait des aller-retour dans une region d'ex0,35 0,40 0,45 0,50 tension 2x0 et que l'on peut obtenir un Figure 7 ­ Loi de Geiger-Nuttall ordre de grandeur de la vitesse de la particule en utilisant la relation E = 21 m v 2 , estimer l'expression du temps moyen tm entre deux rebonds de la particule sur la barriere d'energie potentielle. En deduire celles du nombre moyen de rebonds par seconde, de la probabilite dp d'emission pendant dt et du temps de demi-vie 1/2 de l'emetteur . En admettant que tm varie peu d'un emetteur a un autre determiner une relation entre ln(1/2 ) et E. Cette loi fut etablie empiriquement par Geiger et Nuttal en 1911. 34 -- Comparer les resultats precedents a ceux que l'on peut deduire des mesures rassemblees sur la figure 7. FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PC 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Henri Lastakowski (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) et Tom Morel (Professeur en CPGE). Ce sujet est divisé en deux parties indépendantes. La première est consacrée à différents phénomènes thermiques dans le sol, la seconde à la description de l'effet tunnel. · La première partie débute par l'étude de la propagation d'ondes thermiques dans le sol. Elle nécessite une bonne maîtrise du cours afin d'aboutir rapidement à l'équation de la chaleur. On étudie alors la propagation d'une onde plane sinusoïdale dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur. On s'intéresse ensuite à l'influence des effets géophysiques en prenant en compte les apports thermiques issus des désintégrations radioactives dans la croûte terrestre, et du flux thermique issu du manteau. C'est l'étude des effets de relief qui conclut cette partie : on prend en compte les variations de température en surface. · Il est nécessaire de bien connaître les bases de la physique quantique pour aborder la seconde partie. Au menu : fonction d'onde, équation de Schrödinger et solutions en ondes stationnaires dans le cas simple d'un potentiel uniforme. L'utilisation des résultats précédents permet d'étudier l'effet tunnel à proximité d'une marche de potentiel. Enfin, cerise sur le gâteau, on montre que l'effet tunnel est à l'origine de la radioactivité chez certains éléments chimiques. La partie I propose des problèmes de diffusion assez classiques, proches de certains exercices de cours. La partie II est entièrement dédiée à la mécanique quantique, plus particulièrement à l'effet tunnel. Plusieurs calculs sont relativement fastidieux à mener et nécessitent une grande rigueur. Indications Partie I 2 Contrairement à ce que dit l'énoncé, la quantité d'énergie traversant la surface dS pendant dt est dQ dt. 4 Être attentif aux orientations du vecteur surface sur les parois du système. 8 Injecter la solution proposée dans l'équation de la chaleur et séparer partie imaginaire et partie réelle. 10 Comparer pour des variations journalières et annuelles de température. 11 Les variations d'énergie interne, nulles en régime stationnaire, sont dues aux flux thermiques échangés et aux désintégrations des éléments radioactifs. 15 Chercher une solution de la forme T(x, z) = TS + T1 tx (x)tz (z). 16 Pour une équation linéaire, la solution est la somme de solutions issues des différentes contributions. Partie II 23 Remarquer que la solution de l'équation de Schrödinger est analogue à une onde - - plane progressive harmonique de forme f (x, t) = f0 e i(t- k · r ) . 28 Simplifier au maximum l'expression de la fonction d'onde avant de mener ce calcul, et remarquer que l'on peut négliger l'influence de la dépendance temporelle. Remarquer également que le calcul dans la zone III est identique à celui dans la zone I. 30 En dehors du noyau X, le potentiel V(x) traduit l'interaction électrostatique entre le noyau Y et la particule . 31 Remarquer que pour parvenir en x + dx, la particule doit parvenir en x puis franchir une barrière de potentiel de largeur dx et de hauteur V(x). 33 T 1, par conséquent la probabilité de franchir la barrière au bout de N tentatives est approximativement égale à N × T. Si le système contient un nombre M(t) de particules radioactives à l'instant t, combien se désintègrent pendant dt ? Quelle est alors la loi d'évolution de M(t) ? De la physique dans le tunnel de Fréjus I. Température dans le tunnel de Fréjus 1 La valeur moyenne de la fonction cosinus étant nulle, la moyenne temporelle de la température extérieure en z = 0 est égale à 0 . Donc hT(0, t)i = 0 = 0 C Avec l'expression de T(0, t), et Tmax = 0 + T0 Tmin = 0 - T0 On peut raisonnablement supposer un écart de températures de l'ordre de 30 C entre l'hiver et l'été, ce qui correspond à T0 = 15 C - 2 Notons d S le vecteur surface élémentaire. Le vecteur densité de flux thermique - Q est défini de sorte que - dQ = - Q · dS D'après cette expression, la densité de flux thermique j Q est homogène à une puissance surfacique. L'énoncé définit à tort le flux thermique comme l'énergie traversant la surface dS pendant dt. En toute rigueur, cette énergie est égale à dQ dt. Notons également que le flux ainsi défini correspond au flux thermique traversant la - surface dS dans le sens du vecteur d S . 3 En notant la conductivité thermique du sol, la loi de Fourier s'écrit -- - Q = - grad T La loi de Fourier est applicable lorsque · le gradient thermique n'est pas trop élevé ; · le gradient thermique ne varie pas trop rapidement ; · le milieu est isotrope. Par ailleurs, notons la dimension d'une température. L'opérateur gradient étant homogène à l'inverse d'une longueur, il vient [] = Or Ainsi [puissance] L × L2 [puissance] = [énergie] = M.L2 .T-3 T [] =M.L.T-3 .-1 4 Le système est invariant par translation suivant x et y, la température ne dépend spatialement que de z, et on peut poser - bz . Q = jQu Le système constitué de la tranche de surface S comprise entre les altitudes z et z + dz ne reçoit des transferts thermiques qu'à travers les surfaces supérieure et inférieure. L'énergie élémentaire mise en jeu ici s'écrit Q = -sortant dt - Q (z) - S (z) = -S u bz z z + dz avec sortant le flux sortant. Or, d'après la question 2, Z - sortant = - Q · dS z - S (z + dz) = S u bz - (z + dz) Q - avec S le vecteur surface sortant (voir schéma). Entre t et t + dt, le système reçoit de l'énergie à travers la surface située en z et celle située en z + dz. Le transfert thermique total reçu entre t et t + dt vaut - - - Q = - - Q (z, t) · S (z) + Q (z + dz, t) · S (z + dz) dt D'après le schéma, Q = - (j Q (z + dz, t) - j Q (z, t)) S dt Finalement Q = - j Q dz S dt z 5 Il est nécessaire d'introduire ici un système de taille mésoscopique. En effet, la température étant inhomogène à l'échelle de la croûte terrestre, il est impossible d'introduire une température globale pour l'ensemble de la croûte. Par conséquent, le système doit être petit comparé aux échelles de variation de température. En outre, les lois de la thermodynamique ne sont applicables que pour des systèmes comprenant un très grand nombre de particules. Pour pouvoir définir une température, le système doit donc être grand comparé à l'échelle atomique. 6 Le système, défini à la question 4, n'échange pas d'énergie sous forme de travail avec l'extérieur. Le premier principe appliqué à la tranche de solide entre les instants t et t + dt s'écrit donc dU = Q D'après la question 4, dU = - j Q dz S dt z Par ailleurs, le sol est considéré comme une phase incompressible, indilatable. La capacité thermique de la tranche comprise entre z et z +dz vaut cs s dV avec dV = S dz. La variation d'énergie interne entre t et t + dt s'écrit dU = cs s dVdT = cs s dV Par conséquent, dU = cs s T dt t T dz S dt t