Mines Physique 2 PC 2015

Thème de l'épreuve Ondes internes en vallée encaissée
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, thermodynamique, ondes
Mots clefs fluide parfait, milieu anisotrope, onde interne, nuage, poussée d'Archimède

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2015 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. -- Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. -- Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. ONDES INTERNES EN VALLEE ENCAISSEE Ce probleme comporte trois parties largement independantes. La premiere partie fait etablir l'expression de la pulsation de Brunt-Vaisala caracterisant la troposphere lorsqu'elle est stablement stratifiee. Les ondes internes sont des ondes de gravite (comme les vagues) mais se propageant a l'interieur d'un milieu continument stratifie (comme les oceans ou l'atmosphere). La deuxieme partie a pour but d'obtenir la relation de dispersion de ces ondes. La troisieme et derniere partie est une etude numerique de la propagation de celles-ci au sein d'une vallee encaissee idealisee. Dans tout le probleme, l'acceleration de la pesanteur vaudra g = 9, 8 m · s-2 et la constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J · mol-1 · K-1 . Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau lorsqu'ils sont unitaires (kb ux k = 1) ou d'une fleche dans le cas general. I. -- Atmosphere stablement stratifiee La troposphere est la couche de l'atmosphere situee entre 0 et 12 km au-dessus du sol. Il s'agit d'une couche de gaz stratifie verticalement, de l'air, que l'on modelisera par un gaz parfait diatomique. Cela signifie que sa masse volumique varie avec l'altitude suivant la verticale. Mais la troposphere est compressible et rarement isotherme parce que la chaleur qui provient du sol chauffe par le soleil est transmise aux couches atmospheriques voisines du sol, et peu aux couches superieures. On suppose que les grandeurs physiques qui decrivent la troposphere ne dependent que de l'altitude z du lieu considere. En journee, la temperature decroit quand l'altitude augmente. On supposera le gradient de dT = -C avec une constante C = 6, 00 · 10-3 K · m-1 . temperature uniforme (dans l'air sec) : dz Ondes internes en vallée encaissée Ü 1 -- En supposant qu'au niveau de la mer, la température soit &; = 15°C calculer la température a Chamonix (1050 m) puis au sommet du Mont--Blanc (4810m). Ü 2 -- En écrivant l'équilibre hydrostatique de chaque couche de la troposphère, déterminer l'expression de la pression en fonction de l'altitude 21. On fera apparaitre la constante x = % où M = 29, 0g - mol_1 est la masse molaire de l'air. On relève une pression atmosphérique po : 1013 hPa au niveau de la mer, calculer la valeur de la pression atmosphérique qui règne a Chamonix et au sommet du Mont--Blanc. Ü 3 -- On note p(z) la densité volumique de masse de la troposphère. Montrer que son équation d'état est polytropique : pp_0' : cste. On précisera la valeur numérique de la constante oz et l'on vérifiera que 1 { oz { y où y est l'indice adiabatique de la troposphère. Ü 4 -- On suppose que l'épaisseur de la troposphère est constante, Ztr : 12 km et que la terre est une boule de rayon R,: = 6400 km. Écrire l'expression de la masse mtr de la troposphère comme l'intégrale d'une fonction de 21. En simplifiant l'expression de la fonction a intégrer en considérant les valeurs numériques impliquées, donner une estimation numérique de la masse de la troposphère. La stratification verticale de la troposphère est responsable du principal mécanisme des mou-- vements verticaux qui s'y développent. Il repose sur le fait qu'une bulle d'air dont la densité est différente de celle de l'atmosphère ambiante se meut verticalement avec des accélérations différentes selon son altitude. Au cours de son ascension ou bien de sa descente, la bulle d'air change d'état thermodynamique (température, masse volumique). Considérons une bulle d'air notée 95' et vérifiant par hypothèse les conditions suivantes : -- L'ensemble 95' est homogène, constitué de particules d'air pour lequel on peut définir une masse volumique uniforme p93 et une température uniforme T. -- L'ensemble 95' se déplace suivant la verticale 07: de manière adiabatique, autrement dit on suppose qu'elle se déplace suffisamment vite pour ne pas recevoir de tranfert thermique de la part des volumes voisins de la troposphère. -- La ou les transformations subies par 95' ne sont a priori pas isothermes. -- On peut imaginer que cet air déplacé est séparé de l'air extérieur par une fine enveloppe de type << bulle de savon >> dont l'effet est négligé; -- En revanche a chaque instant il y a égalité des pressions a l'interface entre la bulle d'air et la troposphère ambiante; -- La troposphère ambiante est au repos : il y a donc équilibre hydrostatique; -- On négligera la viscosité de l'air, et on le supposera totalement sec (absence d'humidité). Avant d'être déplacée, la bulle d'air de volume V0 de masse volumique Z " (VO+5V, p0+5 p) pÿ, : po est en équilibre hydrostatique a l'altitude zo. Sa température et """ sa pression SOHË égales à celles de l'air environnant, soit T( 710) et p(Zo)- Zo+EUR" ___________ :: " p(20+5) Elle est ensuite déplacée a la hauteur zo +EUR (voir Fig. 1). ' T(%+Ê) Ü 5 -- En supposant son évolution adiabatique et réversible, et les A --1 variations assez petites pour être traitées linéairement, déterminer la g variation (W de volume en fonction de EUR , VO, po, g et du coefficient de 20 " ___________ P(Zo) compressibilité XS : --% (%)S de la bulle. AA Tu q_ . '7'- ii PHOTO 1 -- Mer de nuages dans la vallée de l'Arve -- Haute--Savoie Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Ondes internes en vallée encaissée Une onde orographique est une forme d'onde de gravité atmosphérique qui se produit lorsqu'une masse d'air est forcée en altitude par son déplacement au--dessus d'un relief montagneux. Si l'environnement est stable, la masse d'air redescendra du côté aval de l'obstacle et entrera en oscillation autour d'une hauteur égale ou inférieure au sommet de celui--ci. Ü 25 -- Dans cette question, on ne supposera plus l'air totalement sec. Expliquer qualitati-- vement la formation de nuages lenticulaires dans les Alpes, observables sur la photo 2. PHOTO 2 -- Nuages lenticulaires sur le Mont--Blanc -- Haute--Savoie FIN DE LA PARTIE III Page 6/7 L/L 939d OE[AflOE[HdOE[JI OE[(I NIH (100 4110 _0720 : : : 2000 4000 6000 t 18 1 8000 10000 170 '" 200 3000 1000 OI | | | | | | | | | || 1500 1750 2000 ? FIGURE 4 -- Diagrammes de Hôvmoller au voisinage du point C' de la vallée idéalisée EUR relevé de vz(t) toujours au point C' pendant plus d'un jour à partir du même instant initî

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PC 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Henri Lastakowski (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur l'étude des mouvements verticaux de masses d'air dans la partie basse de l'atmosphère et sur l'impact du relief sur ces mouvements. · Dans la première partie, on décrit l'évolution d'une particule de fluide constituée d'air. En combinant des approches thermodynamique et mécanique, on établit que les particules de fluide, soumises à leur poids et à la poussée d'Archimède, peuvent osciller verticalement autour d'une altitude d'équilibre. · À partir des équations de la mécanique des fluides, la deuxième partie établit la relation de dispersion des ondes internes, dont la propagation repose sur le mécanisme d'oscillations étudié dans la première partie. Pour ce faire, on réalise un développement perturbatif des équations de la dynamique, au premier ordre. · Dans la troisième partie, on interprète les résultats de simulations numériques de telles ondes dans une vallée encaissée en s'appuyant notamment sur la relation de dispersion établie dans la partie précédente. S'ensuit une analyse qualitative de différents phénomènes nuageux liés aux mouvements verticaux des masses d'air. Cette épreuve est globalement difficile : certaines questions sont calculatoires et la physique de l'ascension des particules d'air y est à peine expliquée. Dès lors, il est facile de se perdre dans des expressions mathématiques, parfois lourdes, sans pouvoir réellement en dégager le sens physique. La troisième partie est redoutable : bien que les calculs soient sans difficulté, l'interprétation des documents fournis nécessite un peu d'habitude et beaucoup de jugeote. Indications Partie I 2 Utiliser l'expression de la température obtenue à la question précédente. 3 Exprimer en fonction de z grâce à l'expression de p(z). Montrer que 1/ 1/(-1) p = p0 (0) 4 Exprimer la masse d'une coquille sphérique de troposphère, de rayon Rt + z. Remarquer que Rt z. 5 Linéariser S . 6 Développer l'expression de la poussée d'Archimède à l'ordre 1 en . 8 Il faut réexprimer S (pour l'air de la bulle d'air) en fonction de B . Effectuer alors un changement de variables B (z) = B (p, S). Remarquer que l'évolution de l'air dans la bulle est supposé adiabatique réversible. Partie II 10 Remarquer que |0 | |1 |. 12 Calculer la divergence de l'équation obtenue à la question 11. Permuter l'opérateur divergence et la dérivée partielle par rapport au temps. 13 Projeter l'équation obtenue à la question 11 sur la verticale et en calculer le laplacien. Permuter les dérivées partielles par rapport à l'espace avec celle par rapport au temps. 15 Constater que kz 2 > 0 car kz est réel par hypothèse. Partie III 20 Il faut se placer à t fixé pour déterminer la période spatiale selon Ox. De la même manière, il faut se placer à x fixé pour déterminer la période temporelle. On constate alors graphiquement que cx est égal à la pente rx . 21 Exprimer les nombres d'onde kx , ky et kz en fonction de rx , ry et rz . 24 Que se passe-t-il si l'atmosphère stratifiée n'est pas le siège d'oscillations verticales des particules d'air ? 25 Quelle est la conséquence de l'élévation de particules d'air humide ? Ondes internes en vallée encaissée I. Atmosphère stablement stratifiée 1 Intégrons la relation fournie : T(z) = -C z + T(0) lieu Chamonix Mont-Blanc d'où T (K) 281,9 259,3 t ( C) 8,7 -13,9 La conversion K C est effectuée en retranchant 273,15 à la valeur obtenue en kelvins. 2 La relation de l'hydrostatique projetée sur la verticale ascendante s'écrit dp = - g dz RT Or, d'après la loi des gaz parfaits, p = M dp gM gM p donc =- p=- dz RT RC T(0)/C - z où l'on a utilisé l'expression de la température établie à la question précédente. On reconnaît une équation différentielle du premier ordre en p. Après intégration, il vient Z z Cz p(z) = p(0) exp - dz = p(0) exp ln 1 - T(0) 0 T(0)/C - z Cz ou encore p(z) = p0 1 - (avec p(0) = p0 ) T(0) lieu Chamonix Mont-Blanc Numériquement, p (hPa) 893 555 3 D'après la loi des gaz parfaits, (z) = M p0 [1 - C z/T(0)] M p(z) = R T(z) R T(0) 1 - C z/T(0) Remarquons que Ainsi (0) = M p0 R T(0) Cz (z) = (0) 1 - T(0) -1 Le résultat de la question 2 montre que 1/ 1/(-1) p Cz =1- = p0 T(0) (0) ce qui prouve que p - = Cte avec = = 1,2 -1 La valeur de dépend de la température. Si on considère que dans les conditions de température considérées, = 7/5 = 1,4, on a bien 166 4 Considérons une coquille sphérique, de rayon Rt + z, d'épaisseur dz découpée dans la troposphère. La masse dmtr de cette coquille est dmtr = 4 (Rt + z)2 (z) dz Intégrons sur z compris entre 0 et z tr : mtr = 4 Z z tr (Rt + z)2 (z) dz 0 où (z) est une fonction de z (d'après la question 3). Pour estimer cette intégrale, notons que pour tout z dans [ 0 ; 12 km ], Rt z. Par conséquent, Z ztr Rt 2 (z) dz mtr 4 0 -1 Cz dz T(0) 0 ztr 4 Rt 2 (0) T(0) Cz - 1- C T(0) z=0 4 Rt 2 (0) d'où mtr Z z tr 1- Remplaçons dans la fraction, par son expression introduite à la question 2, mtr 4 Rt 2 p0 g C z tr 1- 1- = 4,3.1018 kg T(0) 5 Linéarisons l'expression de S en remplaçant la dérivée par le taux de variation : V = -S V0 p D'après la loi de l'hydrostatique (elle aussi linéarisée), on a p = -0 g donc V = S V0 0 g On utilise la compressibilité isentropique car on suppose que les mouvements des masses d'air sont rapides devant les durées caractéristiques des échanges thermiques entre la bulle d'air et l'air qui l'entoure. C'est pour cette raison que l'évolution est supposée adiabatique. Comme en sus, elle est réversible (absence d'amortissement ou de dissipation), elle est isentropique. - 6 Par définition, la poussée d'Archimède , à l'altitude z0 + , est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé par la bulle, de volume V0 + V à cette altitude, d'où - = (z0 + ) (V0 + V) g - u z