Mines Physique 2 PC 2013

Thème de l'épreuve Rebonds d'une goutte d'eau
Principaux outils utilisés mécanique, mécanique des fluides
Mots clefs nombre de Reynolds, tension superficielle, dissipation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO(EfiUOE,ENSTAIfiUÆSTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, NHNESIH£SAH«DÆHïENNE,NUNESIÆDNANGY, TÉLÉCONIBRETAGNE,ENSAEI%UÜSTECH(FHJÈREIOEP) ÉCOLEIKHÆÎOEKOEDÜQUE(FHJÈREÎÈD CONCOURS D'ADMISSION 2013 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ]] -- PC. L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre. -- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. REBONDS D'UNE GOUTTE D'EAU Il est possible de réaliser par traitement chimique d'une plaque métallique une surface plane parfaitement hydrophobe : une goutte d'eau posée sur cette surface n'y est en contact qu'en un seul point et on constate qu'elle adopte une forme sphérique si elle est suffisamment petite (observation 01). Lorsqu'on lâche une goutte sphérique de rayon ao oe 1,0 mm sans vitesse initiale a une hauteur h % 10 cm au--dessus de la plaque supposée horizontale et qu'on filme avec une caméra rapide, on constate que la goutte reste au contact du plan hydrophobe pendant une durée r de l'ordre de quelques millisecondes (observation 02). Pendant cette phase, la goutte s'aplatit puis s'arrondit avant de décoller. Une fois qu'elle a décollé, la goutte qui a récupéré sa forme sphérique remonte jusqu'à une altitude maximale inférieure a h avant de retomber. Le processus se répète ensuite avec cinq à dix rebonds perceptibles (observation 03). Le but du problème est de proposer des modèles simples tentant d'interpréter ces observations. Toutes les définitions et données numériques utiles pour tout le problème sont rassemblées en fin d'énoncé. Dans tout le problème, eæprirner ou déterminer une grandeur signifie en donner une expression littérale. En revanche calculer une grandeur signifie en donner une valeur numérique avec deux chiffres significatifs. Dans tout le problème, les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires ou d'une flèche dans le cas général, le champ de pesanteur ÿ' : -- gÜZ est uniforme et le référentiel terrestre supposé galiléen. Une quantité surmontée d'un point indique da la dérivée totale par rapport au temps de cette quantité : a = --. dt Rebands d'une goutte d'eau 1. -- Forme des gouttes Dans toute cette partie, la goutte est supposée au repos. Pour fa-- ciliter les calculs correspondants à l'observation 01, on adopte 2" une géométrie différente de la réalité en considérant la goutte cylindrique de rayon (1 et de hauteur 9 comme représenté sur la . figure 1. Du fait que le contact avec la goutte réelle est ponc-- (, tuel, on admet que dans le modèle cylindrique, toute la surface du cylindre (y compris sa base) est en contact avec l'air; cela revient à supposer qu'une mince couche d'air sépare la base du cylindre de la plaque. L'expérience montre que les interactions entre l'eau et l'air sont associées à une énergie potentielle de la FIGURE 1 * Modèle forme EN : AS où S est l'aire de l'interface eau--air et A une cylindrique constante positive appelée coefficient de tension superficielle. I.A. -- Rôle de la tension superficielle Dans la partie I.A on néglige la pesanteur. D 1 -- Exprimer le volume V de la goutte cylindrique et sa surface totale de contact avec l'air S en fonction de a et e. En déduire que son énergie potentielle de tension superficielle se met sous la forme : 2A V EW : 27rAa2 + & D 2 -- Déterminer, pour V et A fixés, la valeur au de a pour laquelle E... passe par un minimum. On exprimera ao en fonction de V. Vérifier que la valeur correspondante de l'épaisseur de la goutte est ce : 2110, ce qui donne une géométrie ( proche > de la sphère. En déduire l'expression du minimum de l'énergie potentielle en fonction de A et a... tracer le graphe de EW en fonction de a. en fonction de A. En déduire D 3 -- Déterminer7 pour V et A fixés l'expression de 11112 a=lln qu'au voisinage de a : a... on peut mettre, a une constante additive près, l'énergie potentielle de tension superficielle sous une forme analogue à l'énergie potentielle élastique d'un ressort de raideur k, de longueur à vide [0 et de longueur a. On exprimera le en fonction de A et [D en fonction de (la. Calculer le et comparer a la raideur d'un ressort réel qui s'allonge de Al : 1 cm lorsqu'on lui suspend une masse ... : 100 g. I.B. -- Influence de la pesanteur Dans cette partie on prend en compte la pesanteur. On prend l'origine des énergies potentielles de pesanteur a la base de la goutte de telle sorte que les cotes de ses faces inférieure et supérieure sont respectivement 1 : 0 et z : &. On fait l'hypothèse que l'énergie potentielle de pesanteur modifie très peu la valeur 043 de a qui rend minimale l'énergie potentielle totale de la goutte. On supposera notamment que la relation entre V et au obtenue à la question 2 reste Vraie. E' 4 -- Montrer que, sous ces hypothèses, l'énergie potentielle de pesanteur de la goutte s'écrit 27rueyaä Em : T Page 2/8 Physique 11, année 2013 * filièm PC D 5 -- On note al : ag(1 + EUR) la Valeur qui rend minimale l'énergie potentielle totale de la goutte. En supposant EUR << 1 et en utilisant un développement limité, déterminer à l'ordre 1 l'expression de EUR en fonction de a... ue, g et A. Interpréter le signe de (. Vérifier a posteriori l'hypothèse EUR << 1. FIN DE LA PARTIE I II. -- Modèle mécanique du rebond L'analyse de la partie I conduit à modéliser la tendance d'une goutte à reprendre une forme sphérique par un ressort de raideur k. Pour prendre en compte par ailleurs l'inertie de la goutte et 57 L d'inévitables frottements internes, ou adopte le modèle de la Z VVVVVVVVVVV m figure 2 : on attache sous une masse ponctuelle m : 6,3 mg un patin (P) plan de masse nulle via un ressort de raideur k : 2,6 N.m*l et de longueur à vide eo et un amortisseur qui exerce sur 711 une force de la forme F : + f ÈÜZ où e est la distance entre la masse m et le patin. Le ressort et l'amortisseur sont 0 montés en parallèle. On néglige la masse du ressort et la masse de l'amortisseur Dans ce modèle toute la masse de la goutte est concentrée en son sommet, cela sera corrigé dans la partie III. patin (P) plaque fixe FIGURE 2 + Modèle mécanique de la goutte À chaque instant t, on repère les mouvements du système par la cote z(t) de la masse m et par la cote Z (t) : z(t) + e(t) du patin (P), la cote nulle étant prise sur la plaque fixe. II.A. -- Étude de la chute Le système est abandonné avec les conditions initiales z(t : O) = h + eu, z'(t : 0) : 0, e(t : O) : en et é(t : 0) : 0. On néglige les forces exercées par l'air. E' 6 -- En isolant le patin, montrer que e(t) reste constamment égal à eo. E' 7 -- Justifier par ailleurs que l'évolution de z(t) correspond à une chute libre. En déduire, en fonction de g et h, l'expression du module de la vitesse vo : |i(to)| de la masse m a l'instant to où le patin touche la plaque de cote z : 0. Calculer %. II.B. -- Étude du choc sur la plaque On fixe désormais l'origine des temps t : 0 a l'instant où le patin touche la plaque. Du fait de sa masse nulle, sa vitesse devient instantanément nulle. On repère alors l'évolution de l'épaisseur e(t) avec les conditions initiales e(t : O) : en et e(t : O) : +ug. Dans toute la suite de cette partie on suppose que le poids de la goutte est négligeable devant les autres forces en jeu. D 8 -- On suppose que le patin reste au contact de la plaque fixe en z : 0. Montrer que l'équation difiérentielle décrivant l'évolution de e(t) : e(t) + eu se met sous la forme & Q où l'on explicitera les constantes positives m0 et Q en fonction de m, 14: et f . ä+ È+wä£:0 E' 9 -- On suppose que Q2 >> 1 et l'on néglige tous les termes en 1/Q2. En déduire que la solution générale est de la forme e(t) : exp (+ %) [B cos(oept) + C sin(umt)] et déterminer les constantes d'intégration B et C en fonction de vo et wo. Page 3/8 Tournez la page S.V.P. Rebands d'une goutte d'eau D 10 -- Pour " E N, on note T,. la suite des instants correspondants aux extrema successifs (positifs ou négatifs) de E(t). On admet que les oscillations de E(t) sont perceptibles tant que leur amplitude E(Tn) reste supérieure où égale à 10% de la Valeur initiale 5(Tg). Exprimer le nombre d'oscillations perceptibles en fonction de Q. Combien peut--on en obsewer si Q : 5? On conservera cette valeur de Q dans toute la suite de cette partie. II.C. -- Décollement de la goutte On s'intéresse désormais à la possibilité de décollement du patin. On note Ë : Rû, 'action de contact exercée par la plaque fixe sur le patin. D 11 -- Établir l'expression de H en fonction de k, f , EUR et E'. D 12 -- En limitant les calculs à l'ordre 1 en 1/Q, de simples substitutions non demandées donnent alors wo t _ 1 R : mwa vo exp (* --) {SID tout + -- cos umt } 2Q ( ) Q ( > Déterminer l'instant 7 > 0 où le patin décolle. Calculer sa valeur, le modèle est-il en accord avec les observa-- tions? Quelle erreur relative commet-on si l'on néglige le terme en 1 / Q dans l'expression de T '? D 13 -- Quelle loi de variation de T en fonction du paramètre 04), étudié dans la partie I, le modèle prévoit-- il? Une étude expérimentale menée sur des gouttes de 104 "0 [ml 10 rayon variant entre 0,5 mm et 2 mm a permis de tracer le graphe de la figure 3 en échelle log--log. Tester la validité FIGURE 3 * T fonction de "D du modèle. --3 FIN DE LA PARTIE II III. -- Modèle ondulatoire du rebond Le modèle de la partie Il présente l'inconvénient de concentrer toute la masse de la goutte en son sommet. Par ailleurs les forces de tension superficielle, bien que ne n'existant qu'en surface ont une influence au sein de la goutte par le biais des forces de pression. On adopte donc dans cette partie un modèle plus respectueux du ca-- ractère continu du milieu envisagé mais afin d'éviter de lourds cal-- " culs on se limite a une géométrie unidimensionnelle et a de faibles déformations. De plus on ne s'intéresse qu'à la phase où la goutte est au contact de la plaque; on néglige donc la pesanteur. HLA. -- Équation d'onde La goutte est modélisée comme sur la figure 4 par une chaîne de U N masses M liées par des ressorts identiques de longueur à vide de et de raideur K . Au repos la masse de numéro (11) est située à la FI_GURE 4 * Modele ondula-- cote min et on repère son mouvement par sa cote z" : min + {n(t). tolre N D 14 -- En supposant 1 < n < N, établir l'équation du mouvement de la n--ième masse faisant intervenir les positions EUR,,(t), {"n1(t) et {n+1(t). Page 4/8 Physique 11, année 2013 * filièm PC D 15 -- On fait l'approximation des milieux continus en introduisant une fonction de deux variables {(z,t) telle que {(z : nd...t) : {,. (t) et en considérant de plus que (io --> 0 pendant que N --> +oo. Montrer que EUR(z,t) est solution d'une équation de D'ALEMBERT faisant apparaître une célérité c que l'on exprimera en fonction de K , du et M. Montrer que la force exercée par la partie inférieure de la chaine sur la partie supérieure s'écrit % A Ë(z,t) : * Kdo Æ M; E' 16 -- On cherche des solutions de la forme EUR(z,t) : EURM sin(az * ip) cos(wt * $) avec 0 S ga < 7r et 0 5 11} < 7r. Etablir l'expression de a > 0 en fonction de w et c. III.B. -- Conditions aux limites - Conditions initiales La chaîne de masses est finie et localisée au repos entre la cote z : 0 de la plaque et la cote z : 200, de telle sorte que la masse inférieure est a tout instant au contact de la plaque. D 17 -- Quelle est la condition aux limites imposée par la plaque à la masse inférieure qui est directement posée sur elle? En déduire la valeur de (p. 8 D 18 -- Justifier le fait que {% : 0 à tout instant. En déduire que seule une suite de z=2nu pulsations wi associées à un entier i sont possibles et les exprimer en fonction de i, ao et c. 56 É É=Ü moment où la chaine touche la plaque, elle est déformée par la pesanteur. On choisit donc comme nouvelle origine la position de la masse inférieure à t : 0. Les calculs complets étant hors de portée, on admet que seul le mode fondamental, de pulsation la plus basse, est présent avec ga : 07 il} : 0 et 5 M < 0. En déduire que la masse inférieure reste au contact de la plaque jusqu'à la date T que l'on exprimera en fonction de ao et c. D 19 -- Les conditions initiales EURlz=D et sont délicates a mettre en oeuvre car au III.C. -- Retour à la goutte d'eau Pour faire le lien entre ce modèle et la goutte, il convient d'expliciter c et donc K. On suppose donc qu'il y a N >> 1 masses ponctuelles identiques M : TTL/N distantes au repos de du : 2% /N . D 20 -- Déterminer, en fonction de n, l'expression de la raideur du ressort obtenu en associant en série deux ressorts de même raideur K,. D 21 -- En déduire l'expression de la raideur K que doit posséder chaque ressort de la chaine pour que celle--ci soit équivalente au ressort unique de raideur !: de la question 3 modélisant les effets de la tension superficielle. On exprimera K en fonction de A et N. E' 22 -- Exprimer alors le temps de contact T de la goutte en fonction de A, ne et de son rayon 04]. Calculer T et comparer avec le résultat de la question 13. III.B. -- Rôle éventuel de la compressibilité de l'eau On se demande à présent si l'incompressibilité de l'eau peut être remise en cause. D 23 -- Quel phénomène courant prouve le caractère compressible de l'eau ? Comment peut-on mesurer très simplement son coefficient de compressibilité isentropique Xs avec le matériel d'une salle de travaux pratiques'.? On ne demande pas un protocole détaillé mais juste le principe de la mesure. Page 5/8 Tournez la page S.V.P. Rebonds d'une goutte d'eau D 24 -- Si on omet l'influence de la tension superficielle et qu'on privilégie le caractère compressible de l'eau, on peut conserver le modèle utilisé dans cette partie à condition de remplacer la célérité c des ondes obtenue à la question 15 par la célérité du son dans l'eau ce. Calculer dans ce cadre le temps de contact T de la goutte d'eau sur la plaque et conclure. FIN DE LA PARTIE III IV. -- Étude des pertes lors du rebond On se propose dans cette partie de relier le nombre limité de rebonds (observation 03) a la dissipation d'énergie pendant le rebond de la goutte d'eau sur la plaque. Pour cela on étudie d'abord un écoulement plan simple afin d'établir une expression de la puissance dissipée par viscosité dans l'eau. IV.A. -- Puissance dissipée par viscosité dans un écoulement modèle Dans cette question on envisage l'écoulement station-- naire d'un fluide de viscosité 77 et de masse volumique 2 F, a constantes entre deux plaques planes de cotes res-- î_) pectives z : 0 et z : e. La plaque inférieure est fixe ... alors que l'on déplace la plaque supérieure a vitesse ' constante Ü : U û1 (Voir figure 5). L'épaisseur 5 étant faible, on néglige la pesanteur. On rappelle l'équation de N avier-Stokes : # (%+(fi--gräd)fi) : fgradp+nAzî FIGURE 5 * Écoulement modèle On cherche a priori un champ des vitesses sous la forme 17 : v(æ,z) ûz et un champ de pression de la forme p : p(z) D 25 -- Montrer qu'en fait fi : 11(z)iïz et que l'accélération des particules de fluide est nulle. E' 26 -- Montrer que le champ de pression est uniforme et que dans le cas général, 1) est une fonction affine de 2. En considérant les conditions aux limites du problème7 exprimer alors 11 en fonction de 2, U et e. D 27 -- Montrer que la force surfacique exercée par une particule de fluide sur la particule dF de fluide située sous elle s'écrit @ : fs ûz où l'on exprimera fs en fonction de n, U et e. E' 28 -- En déduire que la puissance des actions de contact reçue par une particule de fluide de Volume d19 : dm dy dz de la part de ses voisines s'écrit d'P... : pdi9 où l'on exprimera p en fonction de 11, U et e. Commenter le signe de 'P... lorsqu'on applique ce résultat à l'ensemble du fluide. D 29 -- En déduire l'expression de la puissance développée par les forces intérieures a une particule de fluide de volume d19 : dz dy dz. Commenter son signe, qu'advient-il de cette puissance ? Page 5/8 Physique 11, année 2013 * filièm PC IV.B. -- Cas de la goutte On suppose que l'étude la partie lV.A peut être adaptée au cas de la goutte d'eau posée sur la plaque et qui se déforme. On estime que la puissance volumique dissipée par viscosité peut s'écrire sous la forme : 2 Æ * 1 e di? * "2 e di où e(t) % 2 a(t) est l'épaisseur de la goutte et a(t) son rayon. 1 d E' 30 -- Donner une estimation de __e en fonction du temps de contact T de la goutte. En e déduire une expression de l'ordre de grandeur de l'énergie AE dissipée par viscosité au sein de la goutte pendant son rebond en fonction de ne, ao et T. D 31 -- Soit E l'énergie cinétique de la goutte au moment où elle touche la plaque et où elle n'est pas encore déformée. Exprimer le rapport E/AE en fonction de T, g, h, ,uE et 71EUR. En estimant la Valeur de ce rapport, indiquer si les pertes pendant le rebond permettent d'interpréter l'observation 03. D 32 -- Calculer en ordre de grandeur le nombre de Reynolds Re correspondant aux oscil-- lations de la goutte. En quoi le modèle de la partie IV.A est-il critiquable? Pour corriger ce modèle, on admet que la viscosité réelle de l'eau doit être remplacée par une viscosité effective neñ : ne Re. Les pertes pendant le rebond permettent-elles alors d'interpréter l'observation 03 '? FIN DE LA PARTIE IV V. -- Étude des pertes dans l'air Pour estimer le nombre maximal de rebonds, on néglige désormais les pertes d'énergie lors du rebond et on se focalise sur les pertes d'énergie lors du déplacement de la goutte dans l'air. Dans cette partie la goutte est supposée sphérique de rayon au. Elle est lancée d'une hauteur h sans vitesse initiale à l'instant t : 0. Les actions de l'air sur la goutte sont modélisées uniquement par une force de traînée, ce qui suppose notamment que l'on néglige la poussée d'Archimède. De plus, on suppose que cette force de traînée est de la forme F : f ,un 7r aämî V.A. -- Ordres de grandeurs On néglige tout d'abord la traînée pour étudier le mouvement de la goutte. D 33 -- Exprimer la vitesse 1; de la goutte de rayon au lâchée d'une hauteur h lorsqu'elle passe a la hauteur 2 au--dessus de la plaque. D 34 -- Exprimer le nombre de Reynolds Re de la goutte lorsqu'elle se trouve a la hauteur 2 au--dessus de la plaque en fonction de n... ,a... g, h, au et z. Calculer Re après un centimètre de chute et lorsque la goutte atteint la plaque. Commenter le choix adopté par l'énoncé pour l'expression de la force de traînée. V.B. -- Influence de la traînée sur le nombre de rebonds La résolution analytique de l'équation du mouvement en présence de la traînée ne présentant pas d'intérêt pour évaluer un simple ordre de grandeur du nombre de rebonds, on simplifie davantage le modèle en remplaçant la traînée par sa valeur au moment de l'impact de la goutte sur la plaque, la Vitesse de la goutte à cet instant étant estimée en l'absence de traînée. Page 7/8 Tournez la page S.V.P. Rebands d'une goutte d'eau D 35 -- Montrer que cette simplification revient a remplacer le champ de pesanteur g par une valeur efiective gi lorsque la goutte se dirige vers la plaque et g+ lorsqu'elle s'en éloigne. On écrira gi : g(1 i 7) et l'on exprimera la constante 'y en fonction de il... ne, [1 et au. Calculer 'y et commenter sa valeur. E' 36 -- On note hu l'altitude de la goutte après n rebonds en identifiant hg a la hauteur h de laquelle on lâche la goutte. Exprimer fin en fonction de h, 11 et 7. D 37 -- Exprimer un ordre de grandeur du nombre de rebonds maximal N en fonction de pe, p... h et (lo. Calculer N et commenter ce résultat compte--tenu de l'observation 03. FIN DE LA PARTIE V Données numériques de l'eau : ;LE : 1,0- 103 kg.m*3 . Masse volumique < 3 de l'air : ua : 1,3 kg.m* de l'eau : ne : 1,0 - 10*3 Pa.s . Viscosité dynamique < de l'air : n,, : 1,8 - 10*5 Pas dans l'eau : ce : 1,4- 103 m.s*1 . Célérité du son < 1 dans l'air : ca : 3,4 - 102 m.s* . Coefficient de tension superficielle entre l'eau et l'air : A : 7,0 - 10*2 N.m*1 . Rayon de la goutte d'eau considérée : ao : 1,0 mm 0 Hauteur de laquelle les gouttes sont lâchées : h : 10 cm. 0 Champ de pesanteur : g : 9,8 ms". FIN DE L'ÉPREUVE Page 8/8

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 Mines Physique 2 PC 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm). Cette épreuve porte sur l'étude du rebond d'une goutte d'eau sur une surface hydrophobe. Elle s'articule en cinq parties qui utilisent de nombreux renvois aux questions précédentes (particulièrement aux résultats de la partie I). Ces cinq parties peuvent être regroupées en trois thèmes traités à la suite, qui correspondent chacun à une observation décrite en début d'énoncé : · Le premier thème (partie I) est consacré à l'étude de la forme d'une goutte d'eau de petite taille, à l'équilibre, déposée sur une surface hydrophobe. La goutte est modélisée comme un cylindre droit et les effets de la pesanteur sur sa forme sont évalués. On décrit en outre son élasticité en introduisant un coefficient de raideur k qui sera très employé par la suite. · Le deuxième thème calcule l'ordre de grandeur du temps de contact de la goutte avec une surface hydrophobe sur laquelle elle rebondit après une chute libre. La goutte est tantôt modélisée comme un système formé d'une masse, d'un ressort et d'un amortisseur (partie II), tantôt comme une chaîne linéaire de N masses et ressorts (partie III). · Le dernier thème est consacré à la dissipation de l'énergie cinétique de la goutte lors du rebond. On calcule successivement les contributions de la dissipation de l'énergie dans la goutte (partie IV) et de la dissipation induite par la force de traînée durant sa chute dans l'air (partie V). Ce problème est très intéressant, car il aborde une question physique dont l'énoncé est en apparence simple, la chute et le rebond d'une goutte sur une surface hydrophobe, à l'aide de modèles permettant des calculs d'ordres de grandeur très pertinents puisqu'ils donnent accès aux mécanismes physiques responsables du comportement de la goutte. Il est cependant de difficulté inégale : si certaines parties sont très accessibles et classiques, quelques questions sont originales et nécessitent, notamment, une bonne compréhension du principe fondamental de la dynamique lorsqu'il est appliqué à un objet de masse nulle ou une bonne maîtrise de la puissance des actions de contact. Il permet aussi bien de réviser les points classiques du cours que de se tester sur des questions inhabituelles, ce qui en fait une bonne préparation aux concours. Indications Partie I 3 Reconnaître une énergie potentielle de la forme E = 1/2 × k(a - l0 )2 + Cte . 4 Sommer l'énergie potentielle de tranches de goutte d'épaisseur dz aux cotes z. Exprimer e en fonction de V, puis V en fonction de a0 . Partie II 6 La somme des forces exercées sur un objet de masse nulle est nulle. Partie III 15 Effectuer un développement limité à l'ordre 2 en d0 de n+1 et n-1 . 18 Que dire de la force exercée par la partie supérieure en z = 2a0 ? 19 Quand la réaction de la plaque sur la goutte s'annule-t-elle ? 20 Les ressorts transmettent intégralement les tensions auxquelles ils sont soumis. 23 La table des données numériques données en fin d'énoncé ou la lecture de la question suivante peuvent aider considérablement. Partie IV 25 Le fluide a une masse volumique constante et est en écoulement incompressible. . 26 Projeter l'équation de Navier-Stokes sur les vecteurs - u et - u x z 28 La puissance des actions de contact est le produit de la force exercée sur la surface par la vitesse du point d'application. 29 Faire appel au théorème de l'énergie cinétique. Existe-t-il une autre forme d'énergie que l'énergie cinétique associée à une particule fluide ? 30 Considérer que la goutte s'aplatit puis retrouve sa forme au cours du temps . 31 Y'a-t-il un lien entre le rapport E/E et le nombre de rebonds ? Partie V 34 Quelle limite sépare les forces de traînée en - - v des forces en - v - v ? 35 Réintroduire la masse de la goutte dans l'expression de la force de traînée effective. 36 On suppose que la déformation de la goutte au rebond ne dissipe aucune énergie. 37 Fixer une hauteur limite hN légèrement supérieure à la taille de la goutte pour calculer N. Rebonds d'une goutte d'eau I. Forme des gouttes I.A Rôle de la tension superficielle 1 Le volume d'un cylindre est égal au produit de sa base par sa hauteur, donc a V = a2 e e Calculons sa surface en sommant les surfaces de ses bases et de son côté : S = 2 × a2 + 2a e Remplaçons e par V/(a2 ) dans l'expression de l'énergie potentielle Ep,t = A S, Ep,t = 2Aa2 + 2A V a 2 Calculons la dérivée de Ep,t par rapport à a : dEp,t 2V = A 4 a - 2 da a Cette dérivée ne s'annule qu'une fois pour a = a0 tel que V = 2 a03 soit a0 = V 2 Puisque Ep,t tend vers + lorsque a tend vers 0 ou vers +, il ne peut s'agir que d'un minimum. Comparons l'expression du volume de la goutte obtenue à la question 1 avec son expression en fonction de a0 : V = a2 e = 2 a03 soit, lorsque a = a0 , e0 = 2a0 Calculons l'énergie potentielle minimale en remplaçant le volume de la goutte par son expression en fonction de a0 : Ep,t (a0 ) = 2Aa02 + 2A donc Ep,t 2a03 a0 2 Aa2 Ep,t (a0 ) = 6 Aa02 2A V a La figure ci-contre représente le potentiel Ep,t en fonction de a. 0 a0 a 3 Exprimons la dérivée seconde de Ep,t : d2 Ep,t 4V = A 4 + da2 a3 qui donne en a = a0 d2 Ep,t da2 = 12 A a=a0 Effectuons un développement de Taylor de Ep,t à l'ordre 2 au voisinage de a0 : 1 d2 Ep,t dEp,t (a - a0 ) + (a - a0 )2 Ep,t (a) = Ep,t (a0 ) + da a=a0 2 da2 a=a0 Or, d'après la question précédente, dEp,t da =0 a=a0 si bien que l'on peut écrire, en omettant les termes d'ordres supérieurs à 2, Ep,t (a) = 6 A a02 + 6 A(a - a0 )2 On reconnaît l'expression de l'énergie potentielle d'un ressort de raideur k et de longueur à vide 0 à une constante près : E(a) = E(0 ) + où k = 12 A = 2,6 N.m-1 k (a - 0 )2 2 et 0 = a0 = 1 mm La raideur k d'un ressort qui s'allonge de = 10-2 m lorsqu'on lui suspend une masse de m = 0,1 kg est k = mg = 98 N.m-1 On constate que la raideur de la goutte est beaucoup plus faible que la raideur du ressort « test », lui même relativement lâche. Le potentiel effectif du ressort associé à la goutte est représenté en tirets sur la figure ci-dessous. On vérifie sa concordance avec l'énergie potentielle de tension superficielle au voisinage de a0 . Ep,t 0 a0 a