Mines Physique 2 PC 2012

Thème de l'épreuve Un soir d'été
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique, ondes acoustiques
Mots clefs Équation d'Euler, perturbations, onde plane progressive, réflexion et transmission d'une onde, interface air/eau, écoulement potentiel, vitesse de groupe, vitesse de phase, ressort, loi de Hooke, module de Young, association en série et parallèle de ressort, analyse dimensionnelle, ordre de grandeur, force de volume, force de surface

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2012 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. UN SOIR D'ETE Meme dans la douceur d'un soir d'ete, un physicien cherche a modeliser les phenomenes qui l'entourent : l'eau de la piscine (partie I), les mouvements d'un insecte pris au piege d'une toile d'araignee (partie II) ou les battements des ailes des papillons (partie III). Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires : ebx ; ou d'une fleche dans le cas general : -r , -v . Pour les applications numeriques, trois chiffres significatifs sont recquis. Les nombres complexes sont soulignes mis a part i2 = -1. I. -- L'eau dans la piscine L'eau contenue dans une piscine rectangulaire est assimilee a un fluide parfait (non visqueux) caracterise par une masse volumique au repos e = 1, 00 × 103 kg · m-3 . On note g = 9, 81 m · s-2 l'acceleration de la pesanteur. Dans cette partie, on s'interesse a deux questions I.A (est-il possible, lorsqu'on parle au bord de la piscine, d'etre entendu par un nageur plonge sous l'eau ?) et I.B (quelle est l'origine du clapotis a la surface libre de l'eau ?) qui sont d'ailleurs totalement independantes. I.A. -- Parler dans l'air, entendre dans l'eau ? Dans cette partie I.A, on tient compte de la compressibilite isentropique e = 4, 60 × 10-10 SI de l'eau, supposee constante dans les conditions de la propagation des ondes acoustiques (ondes de compression de faible amplitude). On note = c p /cv le rapport des capacites thermiques massiques a pression constante c p et a volume constant cv . Pour un gaz de molecules diatomiques rigides on rappelle que c p = 7R/2 et cv = 5R/2. 1 -- Rappeler la definition et l'unite de mesure de la compressibilite . Comparer, dans les conditions normales de temperature et de pression, les valeurs de e et celle de la compressibilite isentropique gp,2 d'un gaz parfait diatomique. Un soir d'ete On note (Oz) la verticale ascendante, p0 la pression atmospherique. En presence d'une onde acous-r a l'instant t on admet que la pression p, la densite volumique tique, en un point repere par le vecteur -v ( -r ,t) dans le fluide se mettent sous la forme de masse et le champ de vitesse - -r ,t) = p - gz + ( p( e e r ,t) + o( ) 0 -r ,t) = + ( - ( e e1 r ,t) + o( ) -v ( -r ,t) = - - -r ,t) + o( ) v0 + ve ( avec 1 - La vitesse v0 correspond a celle des particules de fluide a l'equilibre dans le referentiel galileen considere. On peut donc choisir un referentiel dans lequel le fluide est au repos a l'equilibre et donc - - v0 = 0 . - 2 -- En utilisant l'equation d'Euler, exprimer, a l'ordre , la derivee t ve en fonction de e , e , e et g. On suppose que l'onde acoustique est harmonique de longueur d'onde . Determiner l'expression d'une longueur 0 telle que - 1 -- ve Si 0 alors - grad(e ) . t e 0n exprimera 0 en fonction de g, e et e . Calculer la valeur numerique de 0 . Que peut-on en conclure ? 3 -- En exprimant, au meme ordre, la loi locale de conservation de la masse, etablir l'equation aux -r ,t). Quelle signification donner a c = 1/ ? derivees partielles du second ordre verifiee par e ( e e e Calculer sa valeur numerique. L'air a pour masse volumique au repos a = 1, 3 kg · m-3 et pour compressibilite isentropique a = 5, 7×10-6 SI. L'appel du professeur (dans l'air) au nageur (dans l'eau) est modelise par la propagation d'une onde acoustique plane progressive, de frequence f , qui atteint la surface horizontale de l'eau sous l'incidence > 0 ; elle donne lieu a la propagation d'une onde refractee sous l'angle > 0. La geometrie du probleme est representee sur la figure 1. z O y x F IGURE 1 ­ Refraction d'une onde acoustique a la surface de l'eau -r ,t) de l'onde de pression associee a l'onde 4 -- Determiner la representation complexe a ( -r ,t) en fonction de x, z, t, f , et c = 1/ , on notera son incidente. On exprimera a ( a a a a amplitude et on choisira la phase de cette onde nulle au point origine des coordonnees. 5 -- Montrer que l'onde refractee possede la meme frequence que l'onde incidente et determiner la direction de la propagation de cette onde. Que dire de l'onde refractee si = 45 ? A quelle condition necessaire sur l'appel du professeur peut-il etre entendu ? Page 2/7 Physique II, annee 2012 -- filiere PC Afin de preciser les conditions de transfert de la puissance acoustique de l'air dans l'eau, on etudie dans les questions 6 a 8 une onde acoustique se propageant en incidence normale ( = 0) depuis l'air vers l'interface z = 0 qui separe l'eau de l'air. 6 -- Determiner les expressions des representations complexes des ondes reflechie (notee r ) et transmise (notee e ) en fonction de a , f , t, z, ca ou ce et des coefficients de reflexion r ou de transmission t¯ de l'onde de pression incidente. 7 -- Determiner les expressions des representations complexes des vitesses de deplacement de fluide associees a ces trois ondes ; on les ecrira en fonction de a , (a , ca ) ou (e , ce ), r ou t¯ et f , t, z. En deduire les expressions des coefficients r et t¯ a l'interface air-eau, en admettant la continuite de la pression de part et d'autre de cette interface. 8 -- Definir le coefficient de transmission T1/2 de l'intensite acoustique d'un milieu 1 vers un milieu 2. Montrer que dans le cas de la transmission d'une onde sonore de l'air vers l'eau Ta/e 4a ca e ce Calculer la valeur numerique de Ta/e . Que peut-on en conclure ? I.B. -- Le clapotis de l'eau dans la piscine On mene a present l'etude des oscillations de la surface de l'eau de la piscine. Cette derniere est un parallelepipede de longueur L, de largeur et de profondeur H. L'air qui la surmonte sera considere comme un fluide de pression uniformement egale a p = p0 en z = 0 ; l'acceleration de la pesanteur est g = 9, 81 m · s-2 . Pour etudier les oscillations de sa surface, on assimile l'eau a un fluide incompressible, non visqueux dont la densite volumique de masse e = 1, 00 × 103 kg · m-3 est constante. On neglige toutes les forces autres que de pesanteur et de pression. Dans ces conditions, on recherche des solutions aux equations de l'hydrodynamique sous la forme - d'ondes planes caracterisees par une vitesse de propagation (vitesse de phase) u = ub n, ou u > 0 et nb est un vecteur unitaire du plan horizontal (Oxy). Les ondes planes associees aux champs de pression - -r ,t) et de vitesse -v ( -r ,t) ont pour pulsation et pour vecteur d'onde k = u nb. p( 9 -- Dans le cadre du modele propose, rappeler l'expression generale du champ d'acceleration - -r ,t) dans l'eau. Montrer que l'approximation k -v k = v u permet d'en proposer une forme a ( simplifiee que l'on utilisera dans la suite de cette partie. 10 -- Justifier que l'ecoulement non stationnaire de l'eau peut alors etre decrit comme irrotationnel - - -v ( -r ,t) = - ou potentiel : grad [ ( r ,t)]. Montrer qu'a un choix pres de l'origine des potentiels (que l'on justifiera avec soin), on peut etablir en z = 0 l'equation 2 =0 + g t2 z -r · nb. -r ,t) = (z) exp i t - 1 11 -- On cherche le potentiel des vitesses sous la forme ( u Expliciter, sous cette hypothese, la condition aux limites en z = 0, a la limite de la surface libre de d l'eau ; puis, justifier la condition decrivant l'ecoulement au fond de la piscine : = 0. dz z=-H 12 -- En considerant l'equation locale de conservation de la matiere, etablir l'equation differentielle du second ordre verifiee par (z). En utilisant la condition sur le fond de la piscine determiner l'expression de (z) en fonction de (0), , u, H et z. On utilisera la fonction cosinus hyperbolique. 13 -- En utilisant la condition sur la surface libre, etablir enfin l'expression reliant la vitesse de phase u( ) des ondes de surface et la pulsation avec les parametres g et H. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Un soir d'ete 14 -- Le clapotis de l'eau dans la piscine se traduit par un bruit parfaitement audible car la frequence f des oscillations peut se trouver dans le meme domaine que les ondes sonores audibles dans l'air. Proposer une valeur raisonnable pour f et en deduire, dans une approximation de grande profondeur (que l'on verifiera et que l'on conservera dans la suite) la valeur correspondante de u. 15 -- En justifiant votre reponse, diriez-vous que ces ondes de surface sont dispersees ou non dispersees ? Montrer que, dans l'approximation retenue, la vitesse de groupe u de ces ondes est telle que u = u ou l'on determinera Q. FIN DE LA PARTIE I II. -- La toile de l'araignee Ayant abandonne l'idee d'etre entendu d'un nageur dans la piscine, le physicien commence une promenade dans le jardin qui l'amene a s'arreter en admiration devant une toile d'araignee. Les fils en sont-ils aussi solides qu'on le dit ? Cette partie se propose de repondre a la question. II.A. -- Modelisation d'un fil elastique 16 -- On considere d'abord un ressort elastique, regi par la loi de Hooke, dont on note k la raideur et 0 la longueur a vide ; on note aussi s = 1/k la souplesse du ressort. Quelle est la force exercee par ce ressort sur son extremite lorsqu'il acquiert la longueur ? On precisera le sens de cette force sur un schema. 17 -- On associe en serie (cf. figure 2-a) deux ressorts elastiques, alignes, de raideurs k1 et k2 , de longueur a vide 01 et 02 , formant un systeme elastique unique de longueur totale = 1 + 2 . Montrer que l'ensemble est equivalent a un ressort elastique unique de longueur a vide 0 = 01 + 02 dont on exprimera la constante de raideur k en fonction de k1 et k2 . Ce ressort est-il plus souple ou plus raide que chacun des deux ressorts dont il est forme ? k1 k1 a k2 x x `1 b k2 `2 ` F IGURE 2 ­ Association de deux ressorts en serie (a) et en parallele (b) 18 -- On associe maintenant en parallele (cf. figure 2-b) les deux ressorts elastiques de la question precedente formant un systeme elastique unique de longueur = 1 = 2 . Determiner la raideur k et la longueur a vide 0 du ressort elastique unique equivalent a cette association ; Commenter sa souplesse. 19 -- En vous appuyant sur les resultats des questions 17 et 18, expliquez pourquoi la force exercee sur une de ses extremites par un fil elastique de longueur 0 , de section s, peut etre decrite par une loi analogue a celle qui regit les ressorts elastiques (loi de Hooke) avec pour constante de raideur du fil k = Es/0 , la constante E, caracteristique du materiau dont il est constitue, est appelee module d'Young du fil. Montrer l'analogie de cette expression avec une relation, issue de votre programme, liee aussi aux lois d'association en serie ou en parallele. Page 4/7 Physique II, annee 2012 -- filiere PC Pour mesurer le module d'Young d'un fil d'araignee, le physicien procede a l'experience suivante : il preleve sur une toile un fil d'araignee cylindrique, de rayon r0 , de section constante s = r02 , de longueur a vide 0 , et il le fixe en deux points fixes situes sur une meme horizontale, distants de 0 . Il attache alors, en un point du fil, un hamecon muni d'un ou plusieurs plombs de peche ; le module du poids de l'ensemble est note P (cf. figure 3). Le fil elastique se tend et prend a l'equilibre une forme en V , les deux segments du fil, de longueurs 1 et 2 , formant avec l'horizontale les angles 1 et 2 positifs et dans l'intervalle [0, /2[. On peut aussi noter h la fleche du fil, c'est-a-dire la hauteur du point d'attache de l'hamecon sous l'horizontale, a l'equilibre. y y `0 1 h x O 2 `2 `1 P F IGURE 3 ­ Mesure du module d'Young d'un fil - - 20 -- Etablir, a l'equilibre du fil, les expressions des modules F1 et F2 des forces F1 et F2 exercees par les deux brins de fil, de longueurs respectives 1 et 2 , sur le point d'attache de l'hamecon, en fonction de P, 1 et 2 . 21 -- Etablir les expressions de cos 1 et cos 2 en fonction de 0 , 1 et 2 . - 22 -- On suppose que la section s du fil reste constante pendant l'etirement et que les forces F1 - et F2 peuvent etre modelisees par la loi de Hooke decrite a la question 19. Montrer que la grandeur x = (Es)-1 est solution de l'equation 0 = 1 (1 + xF1 )-1 + 2 (1 + xF2 )-1 . Exprimer x en fonction des parametres 1 2 1 + 2 + F2 1 - et c = 1 - a = F1 F2 , b = F1 1 - 0 0 0 Pour chaque mesure, on note, en fonction du nombre n de plombs de peche attaches a l'hamecon, les valeurs de P, 1 et 2 (mesures), de 1 et 2 (calcules comme a la question 21), de F1 et F2 (calcules comme a la question 20) avant d'en deduire la valeur de Es (en resolvant l'equation du second degre proposee a la question 22). Le tableau propose ci-apres correspond a 0 = 3, 52 cm. n 1 3 4 5 6 7 P (mN) 0, 711 2, 07 2, 74 3, 42 4, 10 4, 77 1 (cm) 1, 84 1, 68 1, 45 1, 56 1, 62 2, 32 2 (cm) 1, 79 2, 01 2, 30 2, 24 2, 24 1, 56 1 ( ) 2 ( ) F1 (mN) F2 (mN) Es (mN) 13, 9 14, 3 1, 45 1, 46 46, 6 19, 2 15, 9 3, 46 3, 40 71, 1 26, 8 28, 8 20, 1 18, 3 20, 4 30, 7 4, 59 5, 08 5, 29 4, 31 4, 75 5, 78 55, 7 50, 6 53, 7 23 -- Completer la ligne manquante du tableau. 24 -- Le rayon du fil utilise est mesure au microscope : r0 = 5, 00 ± 0, 25 µm. En deduire une estimation du module d'Young du fil, et la precision de cette estimation. Quelle est la dimension ou l'unite de E ? Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Un soir d'ete II.B. -- Oscillations de la toile complete On etudie maintenant la toile complete, qui sera, dans la situation de repos, modelisee comme une structure circulaire horizontale comportant des fils radiaux disposes aux angles k = 2k /N, avec k = 0, 1, 2, . . . , N - 1 ; le nombre de rayons de la toile est donc N. Ces fils sont trames avec des fils circulaires disposes regulierement aux rayons r p = pa ou p = 0, 1, 2, . . ., le tout est represente sur la figure 4. Le bord circulaire (C ) de la toile est horizontal, rigidement fixe a la vegetation, de rayon R = 20 cm. z 2¼/N b z a m Position de l'insecte a F IGURE 4 ­ Modele de toile d'araignee au repos (a) ou deformee (b) On ne s'interesse qu'aux oscillations de la toile respectant la symetrie de revolution ; les fils de la toile sont tous au repos lorsque la toile est plane. Un insecte, pris au piege au centre de la toile, provoque la deformation de la toile ; on suppose qu'elle forme alors un cone d'axe vertical (Oz) et d'angle au sommet . On notera m la masse de l'insecte fixe au centre de la toile (donc au sommet du cone et on negligera la masse des fils de la toile. 25 -- Au cours du mouvement, comment evolue la longueur des fils circulaires (de longueur au repos 0,c = 2 r p ) ? Meme question pour les N fils radiaux (de longueur au repos egale au rayon de la toile : 0,r = R). Chacun des fils de la toile, de longueur au repos 0 , exerce sur chacune de ses extremites, lorsqu'il est etire a la longueur , une force de rappel de norme F = k( - 0 ) ou k = Es/0 ne depend que de la section constante s du fil et de son module d'Young E. 26 -- Montrer que la position z de l'insecte sur la toile verifie l'equation differentielle d2 z NEs f ( ) +g = 2 dt m ou on precisera la fonction f ( ). 27 -- Montrer que l'etude des petits mouvements de l'insecte autour de sa position d'equilibre, reperee par = 0 , conduit a l'equation differentielle d ln | f ( )| d2 g 2 - ) = sin ( ) )( ) avec h( = h( 0 0 dt 2 R d Pour 0 = 4 , on obtient h(0 ) = -2, 21 ; que peut-on en conclure ? La periode des petites oscillations depend-elle de la masse de l'insecte ? FIN DE LA PARTIE II Page 6/7 Physique II, annee 2012 -- filiere PC III. -- Le vol des papillons Attriste peut-etre par le sort de l'insecte piege au centre de la toile, notre physicien s'interesse enfin au vol des papillons. Ceux-ci, de taille et de forme variee, presentent, a l'oeil exerce du physicien (et entomologiste amateur) une propriete remarquable : plus ils sont petits, plus le battement de leurs ailes est rapide. Nous nous proposons de rendre compte de cette propriete dans le cadre d'une simple analyse de facteurs significatifs. Ainsi, l'etude d'une famille d'animaux de meme forme (homothetiques) mais de dimensions variables conduit a affirmer que la surface S des ailes est simplement proportionnelle au carre de leur dimension caracteristique , ce qu'on ecrira S 2 ; cette notation signifie que S = k2 , ou k est une certaine constante (fonction par exemple de la forme des ailes) qu'on ne cherche pas a determiner. L'etude des facteurs significatifs peut etre menee par une etude de diagrammes logarithmiques, a partir par exemple du tableau de donnees experimentales ci-apres qui donne, pour differentes especes, des mesures de l'envergure R des ailes (plus grande distance de l'aile au point milieu de l'abdomen), de la longueur L du corps (de la tete a la queue) et de la frequence fb du battement des ailes en vol (mesuree par des cameras rapides). 28 -- Par une etude precise (le trace d'un diagramme logarithmique par exemple), montrer l'exisEspece R [mm] L [mm] fb [Hz] Photo tence d'un exposant a decrivant, Troides pour l'ensemble des especes citees 65 46 9 radamantus dans ce tableau, une relation entre dimensions, sous la forme R La . Papilio 61 35 10 Commenter la valeur de a ainsi rumanzovia determinee. Pachliopta 29 -- Le papillon en vol 44 27 13 hector equilibre les forces de volume Fv (pesanteur, poussee d'Archimede) Graphium et les forces de surface (forces de 39 25 16 sarpedon contact des pattes avec les supports) par une force de poussee hydrodyPrecis 33 21 19 namique. Les forces de surface Fs iphita suivent bien une loi d'echelle avec pour facteur significatif L, dont on Calospila 15 11 32 admettra qu'on peut l'ecrire Fs idmon L2 . Justifier l'existence d'une relation du type Fv Lc et preciser la valeur de c. 30 -- La force de poussee hydrodynamique due aux battements des ailes ne depend que de la masse volumique a de l'air, de la surface S des ailes et de la frequence fb du battement des ailes. En admettant une expression du type ap Sq fbr , determiner les entiers p, q et r par analyse dimensionnelle. 31 -- Le vol (stationnaire) du papillon est regi par une loi mecanique du type = Fv + Fs , ou l'un des deux termes (de surface Fs ou de volume Fv ) est preponderant. En supposant que fb Lk , determiner les valeurs de k correspondant au fait que Fv ou Fs soit preponderant. 32 -- A partir des donnees experimentales determiner celui des deux termes Fv ou Fs qui est effectivement preponderant. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre Fleury (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet, composé de trois parties indépendantes, traite de phénomènes naturels que l'on peut rencontrer dans la vie de tous les jours. · La première partie est divisée en deux sous-parties. La première étudie la propagation d'une onde sonore dans l'eau puis à l'interface entre deux milieux ; c'est une application directe du cours sur les ondes acoustiques dans les fluides. Dans la seconde sous-partie, on cherche à comprendre l'existence du clapotis à la surface de l'eau ; il s'agit d'applications du cours de mécanique des fluides. · La deuxième partie s'intéresse à la résistance d'une toile d'araignée. Dans un premier temps, on étudie un modèle simple d'élasticité d'un fil, motivé par des considérations microscopiques. Puis on considère une méthode expérimentale de détermination du module d'Young de ce fil. Dans un second temps, on étudie mécaniquement l'oscillation de la toile d'araignée qui est créée par la présence d'un insecte pris à son piège. · Dans la dernière partie, on cherche à comprendre pourquoi les papillons les plus petits ont un battement d'aile plus rapide que les papillons plus grands. Cette partie ne demande aucune connaissance technique mais simplement une réflexion sur l'analyse dimensionnelle et les ordres de grandeur. Cette épreuve est de longueur raisonnable et fournit de nombreux résultats intermédiaires, ce qui souligne l'intérêt de commencer par une lecture du sujet pour choisir dans quelle partie on est le plus à l'aise. Les deux dernières parties peuvent être traitées dès la première année alors que la première aborde des thèmes qui ne sont vus qu'en deuxième année, comme la mécanique des fluides et la physique des ondes. Indications Partie I 1 Différentier la loi de Laplace liée à l'évolution adiabatique réversible, donc isentropique, d'un fluide. 2 Linéariser l'expression de s . 5 Utiliser la condition d'interférences constructives pour l'onde réfractée. 8 Écrire la définition de l'intensité acoustique vue dans le cours sur les ondes sonores et considérer que la vitesse du son et la masse volumique dans un liquide sont plus grandes que dans les gaz. 10 La constante d'intégration peut dépendre du temps. L'écrire sous la forme F(t) = dG(t) dt Que peut-on en déduire sur le potentiel et la vitesse ? 11 Utiliser la condition de non pénétration du fluide dans le fond de la piscine. 14 Recourir à l'approximation th x 1 pour x 1. Partie II 17 L'allongement total du ressort équivalent correspond à la somme de l'allongement de chaque ressort. 18 Écrire le principe fondamental de la dynamique et la condition d'équilibre. 19 Un solide correspond à une association en série et en parallèle de ressorts identiques. D'après les questions précédentes, de quoi dépend la raideur du ressort équivalent ? 27 Faire un développement limité de la fonction 7 f () autour de = 0 puis écrire la dépendance de z en fonction de (attention au signe). Partie III 29 Pourquoi parle-t-on de forces de volume ? Un soir d'été I. L'eau dans la piscine I.A Parler dans l'air, entendre dans l'eau ? 1 On définit la compressibilité comme la variation relative de volume (ou de la masse volumique) sous l'effet d'une pression appliquée, c'est-à-dire =- 1 V 1 = V P P avec la masse volumique. Par conséquent, est en Pa-1 . Pour une évolution isentropique, le gaz parfait diatomique suit la loi de Laplace PV = Cte . Lorsque l'on différentie cette équation, il vient dP = - 1 Cte P Cte dV = - × × dV = - dV +1 V V V V V V =- P P Finalement, d'où gp,2 = 1 = 7,14.10-6 Pa-1 P On constate que gp,2 e . En effet, un gaz est beaucoup plus compressible qu'un liquide, ce qui justifie l'inégalité ci-dessus. 2 L'équation d'Euler s'écrit " # -- -- - v - - - ( r , t) + ( v · grad ) v = - grad p(- r , t) + - g t - g = [e + e1 (- r , t) - g où -- - -- grad p( r , t) = -e g ebz + grad e De plus, la vitesse - v (- r , t) est un terme d'ordre 1 et l'accélération convective est d'ordre 2. L'équation d'Euler se réécrit donc à l'ordre 1, après avoir simplifié par , -- - ve = -g e1 (- r , t) ebz - grad e e t Remplaçons e1 grâce à l'expression de e , qui se linéarise de la façon suivante 1 1 e1 e = × P e e et d'où e -- - ve = -g e e e ebz - grad e t Pour négliger le terme de pesanteur devant le gradient de la pression, il faut e e e g e 1 ce qui équivaut à e e g Dans cette approximation, on obtient l'équation simplifiée Si 0 , alors avec e 0 = -- - ve - grad e t 1 = 2,22.105 m e e g Les longueurs d'onde susceptibles de se développer dans une piscine sont largement inférieures à 0 . On peut en déduire que les effets de compression liés à la pesanteur sont négligés. 3 La loi locale de conservation de la masse s'écrit + div ( - ve ) = 0 t À l'ordre 1, e1 + e div - ve = 0 t Dérivons cette équation par rapport au temps, et utilisons l'équation d'Euler linéarisée obtenue à la question 2. Il vient alors, - ve 2 e1 2 e1 + e div = - e = 0 2 t t t2 où désigne le laplacien. En réutilisant l'expression linéarisée de e = e1 /(e e ), on obtient l'équation de propagation 2 e - ce 2 e = 0 t2 avec ce = 1 = 1,47.103 m.s-1 e e 4 Si l'onde acoustique est une onde plane monochromatique, l'expression complexe de la pression est - - a (- r , t) = a e i(t- ka · r ) en choisissant une phase nulle à l'origine des temps et des distances. Cette onde vérifiant l'équation de ebz d'Alembert, la relation de dispersion est ca = /k a . air Par ailleurs, d'après le schéma suivant, et avec ebx = 2f , le vecteur d'onde est égal à eau 2f - k = (sin ebx - cos ebz ) ca L'expression complexe s'écrit finalement h x sin - z cos i a (- r , t) = a exp 2i f t - ca