Mines Physique 2 PC 2011

Thème de l'épreuve Fibre optique à saut d'indice
Principaux outils utilisés optique géométrique, électromagnétisme dans la matière
Mots clefs fibre optique à saut d'indice, réfraction, onde électromagnétique, relations de passage

Corrigé

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2011 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. FIBRE OPTIQUE A SAUT D'INDICE L'epreuve est constituee de trois parties independantes. La premiere partie concerne l'etude de la propagation de la lumiere dans une fibre optique dans le cadre de l'optique geometrique. La deuxieme partie complete la premiere en etudiant la structure transverse d'une onde electromagnetique dans la fibre, et les conditions d'obtention d'une fibre monomode. Enfin, la derniere partie traite des effets non lineaires dans la fibre, notamment de l'effet Kerr optique. Apres une modelisation microscopique de ce dernier, on s'interesse au phenomene d'auto-modulation de phase et a l'existence possible de solitons optiques. Les applications numeriques seront donnees avec 3 chiffres significatifs. Une fibre optique a saut d'indice, representee sur la figure 1 est formee d'un coeur cylindrique en verre d'axe (Ox), de diametre 2a et d'indice n entoure d'une gaine optique d'indice n1 legerement inferieur a n. Les deux milieux sont supposes homogenes, isotropes, transparents et non charges. Un rayon situe dans le plan (Oxy) entre dans la fibre au point O avec un angle d'incidence . Afin de ne pas confondre l'angle i d'incidence sur la gaine avec le nombre complexe imaginaire pur de module 1, on notera ce dernier j tel que j2 = -1. Quelques constantes sont donnees en fin d'epreuve. Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau, ubx , s'ils sont unitaires ou d'une fleche, ~E, dans le cas general. I. -- Approche geometrique de la propagation Dans cette partie, les rayons lumineux sont supposes issus d'une radiation monochromatique de frequence f , de pulsation et de longueur d'onde dans le milieu constituant le coeur. 1 -- Les differents angles utiles sont representes sur la figure 1. A quelle condition sur i, angle d'incidence a l'interface coeur/gaine, le rayon reste-t-il confine a l'interieur du coeur ? On note i l'angle d'incidence limite. Fibre optique a saut d'indice y gaine d'indice n1 (milieu 3) +a i air O indice 1,000 µ x r Coeur d'indice n (milieu 2) -a gaine d'indice n1 (milieu 1) F IG . 1 ­ Fibre optique en coupe 2 -- Montrer que la condition precedente est verifiee si l'angle d'incidence est inferieur a un angle limite dont on exprimera le sinus en fonction de n et i . En deduire l'expression de l'ouverture numerique ON = sin de la fibre en fonction de n et n1 uniquement. 3 -- Donner la valeur numerique de ON pour n = 1, 50 et n1 = 1, 47. On considere une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle d'incidence variable compris entre 0 et . On note c la vitesse de la lumiere dans le vide. 4 -- Pour quelle valeur de l'angle , le temps de parcours de la lumiere dans la fibre est-il minimal ? maximal ? Exprimer alors l'intervalle de temps t entre le temps de parcours minimal et maximal en fonction de L, c, n et n1 . 5 -- On pose 2 = 1 - (n1 /n)2 . On admet que pour les fibres optiques 1. Donner dans ce cas l'expression approchee de t en fonction de L, c, n et . On conservera cette expression de t pour la suite du probleme. On injecte a l'entree de la fibre une impulsion lumineuse d'une duree caracteristique t0 = t2 - t1 formee par un faisceau de rayons ayant un angle d'incidence compris entre 0 et . La figure 2 ci-contre represente l'allure de l'amplitude A du signal lumineux en fonction du temps t. 6 -- Reproduire la figure 2 en ajoutant a la suite l'allure du signal lumineux a la sortie de la fibre. Quelle est la duree caracteristique t0 de l'impulsion lumineuse en sortie de fibre ? Le codage binaire de l'information consiste a envoyer des impulsions lumineuses (appelees « bits ») periodiquement avec une frequence d'emission F. A t0 t t1 t2 F IG . 2 ­ Impulsion lumineuse 7 -- En supposant t0 negligeable devant t, quelle condition portant sur la frequence d'emission F exprime le non-recouvrement des impulsions a la sortie de la fibre optique ? Pour une frequence F donnee, on definit la longueur maximale Lmax de la fibre optique permettant d'eviter le phenomene de recouvrement des impulsions. On appelle bande passante de la fibre le produit B = Lmax · F. 8 -- Exprimer la bande passante B en fonction de c, n et . 9 -- Calculer la valeur numerique de et de la bande passante B (exprimee en MHz·km) avec les valeurs de n et n1 donnees dans la question 3. Pour un debit d'information de F = 100 Mbits.s-1 = 100 MHz, quelle longueur maximale de fibre optique peut-on utiliser pour transmettre le signal ? Commenter la valeur de Lmax obtenue. FIN DE LA PARTIE I Page 2/6 Physique II, annee 2011 -- filiere PC II. -- Approche ondulatoire de la propagation 10 -- A quelle condition sur et a l'etude geometrique de la fibre menee dans la partie precedente cesse-t-elle d'etre valable ? Dans ce cas, une approche ondulatoire de la propagation est necessaire. II.A. -- Etude de la structure transverse de l'onde En lumiere monochromatique, seules certaines formes d'ondes, appelees « modes », peuvent se propager dans la fibre. Chaque mode se propage a une vitesse differente, ce qui engendre l'etalement des impulsions lumineuses et donc reduit la bande passante. Pour ameliorer les performances, les fabricants de fibres optiques ont ete amenes a elaborer des fibres a saut d'indice dites « monomodes » : un seul mode peut s'y propager, ce qui a pour effet de diminuer considerablement l'etalement des impulsions. La bande passante des fibres monomodes est ainsi beaucoup plus elevee que celle calculee a la question 9. Cette partie se propose d'etudier les conditions d'obtention d'une fibre optique a saut d'indice monomode. On etudie donc la propagation d'un champ electromagnetique de pulsation dans la direction des x positifs. Pour simplifier, on se limite aux solutions pour lesquelles ~E est polarise suivant ubz , avec (b ux , uby , ubz ) triedre direct. On note y < -a d'indice n1 ~E1 le champ electrique dans le milieu 1 ~E2 le champ electrique dans le milieu 2 - a < y < a d'indice n ~ E3 le champ electrique dans le milieu 3 y>a d'indice n1 En notation complexe, et en simplifiant la geometrie du systeme, les champs sont recherches sous la forme : ~E s = es (y)e j( t-kx,s x) ubz avec kx,s reel et s = 1, 2 ou 3 11 -- En utilisant les relations de passage a la traversee d'un dioptre entre deux milieux dielectriques non charges, montrer que kx,1 = kx,2 = kx,3 = kx . 12 -- En utilisant l'equation de propagation du champ ~E dans un milieu dielectrique d'indice n, montrer que les fonctions es (y) sont solutions de l'equation differentielle d 2 es - µs es = 0 pour s = 1, 2 et 3 dy2 On donnera l'expression de µs pour chacune des trois regions en fonction de kx , , c et n ou n1 . Afin que la fibre optique soit effectivement un guide d'onde, on doit fixer les parametres µs de cette equation de telle maniere que ses solutions soient des ondes stationnaires suivant (Oy) dans le coeur, et evanescentes suivant (Oy) dans la gaine. Dans les trois regions considerees, les fonctions es (y) s'ecriront donc sous la forme y e1 (y) = Ae e2 (y) = B e j y + e- j y e (y) = Ae- y 3 ou et sont deux reels positifs. Les coefficients A et B sont fixes grace aux conditions aux limites du probleme et le parametre = ±1 permet d'obtenir les deux familles de solutions. On posera k = n /c et kx = k cos r ou l'angle r [0, /2] correspond a l'angle de reflexion represente sur la figure 1. 13 -- Exprimer en fonction de k et r, puis en fonction de k, r, n et n1 . 14 -- Pour n et n1 donnes, quelle est la valeur maximale r de r ? En deduire la valeur minimale i de i et commenter le resultat obtenu. Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Fibre optique a saut d'indice 15 -- A partir des equations de Maxwell, determiner l'expression de la representation complexe du champ magnetique dans chacun des trois milieux. 16 -- On pose = e a et = e j a . En utilisant les relations de continuite des champs en y = a, obtenir deux equations liant A, B, , , , et . 17 -- En deduire, dans chacun des cas = +1 ou = -1, la relation que doivent verifier , et a. Montrer que la reunion des deux cas se resume en la condition a + arctan( / ) = p /2 avec p Z. On rappelle que si > 0, alors arctan( ) = /2 - arctan( -1 ). Comme et sont des fonctions de r, on pose a+arctan( / ) = f (r). Pour a donne, on admet que la fonction r 7- f (r) est strictement croissante sur [0, r ]. Quand elle existe, la solution de l'equation f (r) = p /2 est donc unique. On souhaite realiser une fibre monomode, c'est-a-dire une fibre dans laquelle l'angle r ne puisse prendre qu'une seule valeur pour la radiation de longueur d'onde = 2 /k utilisee. Pour les applications numeriques, on prendra = 709 nm. 18 -- Determiner la valeur maximale fmax de f (r) sur l'intervalle [0, r ]. Montrer que si p = 1, la fibre est monomode quelles que soient les valeurs de a et . Montrer que si p 2, l'equation f (r) = p /2 n'a de solution que si a > a ou a est un rayon minimal que l'on exprimera en fonction de p, , n et n1 . 19 -- Dans la pratique, afin de realiser une fibre monomode, on prendra un rayon a < a et seul le mode associe a p = 1 se propagera dans la fibre. Calculer la valeur de a pour p = 2 et commenter le resultat obtenu. II.B. -- Dispersion intramodale Meme dans une fibre monomode, un autre phenomene provoque l'etalement des impulsions lumineuses. En effet, le coeur de silice est un milieu dispersif, c'est-a-dire que son indice optique depend de la frequence du rayonnement. Aux frequences optiques, les fibres optiques sont generalement le siege d'une dispersion dite « anomale », pour laquelle les composantes haute frequence se propagent plus vite que les composantes basse frequence. Or, la duree finie des paquets d'onde emis par les sources implique que l'onde qui se propage dans la fibre n'est E(0,t) jamais strictement monochromatique. Toutes les composantes frequentielles du paquet d'onde ne se propageant pas a la meme vitesse dans la fibre, un elargissement temporel de l'impulsion apparait au cours de la propagation. Ce phenomene est appele « dispersion intramodale » ou « dist persion chromatique ». 20 -- La figure 3 represente le profil temporel du champ electrique scalaire E(0,t) d'un paquet d'onde « gaussien » injecte a l'entree x = 0 de la fibre. L'origine des temps est choisie telle que le centre du paquet d'onde passe en x = 0 a t = 0. Representer l'allure du profil temporel du champ electrique scalaire E(xfixe ,t) du paquet d'onde apres propagation dans F IG . 3 ­ Paquet gaussien la fibre. FIN DE LA PARTIE II Page 4/6 Physique II, annee 2011 -- filiere PC III. -- Phenomene optique non lineaire : effet Kerr Quand l'amplitude du champ electrique de l'onde se propageant dans le coeur de la fibre n'est plus negligeable (i. e. 1%) devant le champ electrique intra-atomique assurant la cohesion de l'atome, des phenomenes optiques non lineaires peuvent apparaitre. 21 -- On rappelle que la puissance par unite de surface transportee dans un milieu d'indice n par une onde plane progressive d'amplitude E0 , aussi appelee intensite lumineuse, s'ecrit I = n0 cE02 /2. Determiner l'ordre de grandeur de l'intensite lumineuse au dela de laquelle la propagation peut donner lieu a des phenomenes optiques non lineaires ? Quelle invention du XXe siecle a-t-elle permis d'atteindre de telles puissances surfaciques ? III.A. -- Modelisation microscopique Dans cette partie, on propose une modelisation microscopique des interactions lumiere/matiere permettant d'expliquer l'effet Kerr optique, c'est-a-dire l'apparition d'une variation d'indice dans le milieu proportionnelle a l'intensite du faisceau lumineux qui s'y propage. Le modele microscopique de l'electron lie suffit ici a rendre compte des proprietes essentielles que l'on cherche a mettre en evidence. On note z(t) l'ecart a la position d'equilibre d'un electron de masse m et de charge -e. Sous l'action de la force exercee par un champ electrique ~E = E0 cos( t - kx)b uz de forte puissance polarise suivant Oz, on suppose que l'electron est, par reaction, soumis a une force de rappel comportant un terme harmonique et un terme de correction anharmonique : m2 03 3 ~F = -m02 z + z ubz h h ou 0 est la pulsation de resonance de l'atome et h = la constante de Planck reduite. Dans toute 2 cette partie, on suppose que la pulsation de l'onde incidente est differente de la pulsation de resonance du systeme mais suffisament proche de celle-ci soit 6= 0 mais 0 . On note egalement : · N le nombre d'atomes par unite de volume 2 2 2 = Ne la susceptibilite lineaire, avec 0 m 02 - 2 · nL = 1 + L l'indice du milieu « lineaire » · L = 03 (eE0 )2 · = 2 (0 - 2 )3 mh 22 -- Quelle est la dimension du coefficient traduisant l'importance du phenomene non lineaire ? 23 -- Etablir l'equation verifiee par la fonction z(t). Pour resoudre cette equation, on utilise un developpement perturbatif aux differentes puissances de . On pose alors z(t) = z0 (t) + z1 (t) avec z0 (t) solution de l'equation differentielle lineaire obtenue pour = 0, et z1 (t) perturbation obtenue en ne conservant dans l'equation differentielle que les termes du premier ordre en . 24 -- Determiner l'expression de z0 (t). 25 -- Determiner l'equation differentielle verifiee par z1 (t). On admettra que si est suffisament proche de 0 la solution de cette equation s'ecrit 3 eE0 1 z1 (t) - cos( t - kx) + 2 cos [3( t - kx)] 4 m 02 - 2 0 - 9 2 Quelle est l'origine mathematique du terme en cos(3( t - kx)) contenu dans cette solution ? Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Fibre optique a saut d'indice 26 -- On note la susceptibilite electrique du milieu et Pz la composante selon l'axe Oz du vecteur polarisation ~P. Determiner les expressions de Pz en fonction de N, e, z0 , et z1 d'une part, et 0 , et E0 cos( t - kx) d'autre part. On supposera le milieu isotrope et lineaire, cette approximation n'est pas en desaccord avec le developpement perturbatif etudie ici. 27 -- En ne conservant que le terme de pulsation dans z0 (t) et z1 (t), deduire de la question precedente l'expression de l'indice n du milieu en fonction de nL , L et . III.B. -- Auto-modulation de phase par effet Kerr Dans le visible ( 0 ), on peut supposer que les differents indices ne varient pas avec la frequence. Cette hypotheses revient a supposer que le milieu est non dispersif. La structure transverse de l'onde se propageant dans la fibre a ete etudiee dans la partie II. Dans cette partie on se propose d'etudier l'influence des non linearites optiques sur la structure longitudinale de l'onde. On suppose qu'en uz avec notation complexe le champ electrique dans la fibre peut se mettre sous la forme ~E = E(x,t)b E(x,t) = A(x,t - k0 x)e j(0t-k0 x) avec k0 = dk (0 ) d On admet que dans les conditions du probleme, l'enveloppe A(x,t) de l'impulsion est solution de l'equation A (x,t) = j|A(x,t)|2 A(x,t) x ou depend de l'indice du milieu de propagation mais pas du temps t. 28 -- Montrer que le module de A(x,t) ne depend pas de x. 29 -- On pose A(0,t) = a(t). On admettra que a(t) est reel. Donner les expressions de l'enveloppe A(x,t) puis du champ E(x,t). 30 -- On note E(x,t) = |E(x,t)|e j (x,t) . Pour un paquet d'onde gaussien centre sur t = 0 de profil 2 2 temporel a(t) = a0 e-t /20 , determiner l'expression de la pulsation instantanee (x,t) = (x,t) puis t tracer son allure en fonction du temps pour une valeur fixee non nulle de x. 31 -- La courbe tracee a la question precedente donne la distribution spectrale autour de la pulsation centrale 0 du paquet d'onde gaussien pour le front montant (t < 0) et descendant (t > 0) de ce paquet. En deduire comment est deforme un paquet d'onde gaussien (represente sur la figure 3) au cours de sa propagation dans un milieu presentant un effet Kerr optique. Ce phenomene est appele automodulation. III.C. -- Principe de propagation de solitons optiques 32 -- On considere que la fibre optique etudiee est a la fois le siege d'un phenomene de dispersion intramodale (cf. partie II.B) et d'un phenomene d'automodulation (cf. partie III.B). Montrer qualitativement qu'on peut envisager la propagation d'un paquet d'onde sans deformation. Un tel mode de propagation est appele soliton optique. FIN DE LA PARTIE III Donnees numeriques : ­ vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3, 00 · 108 m·s-1 ­ charge elementaire : e = 1, 60 · 10-19 C ­ permittivite du vide : 0 = 8, 85 · 10-12 F·m-1 FIN DE L'EPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 2 PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sandrine Ngo (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre Lacas (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet, divisé en trois parties indépendantes, aborde différents aspects de la propagation de la lumière dans une fibre optique à saut d'indice. · Dans la première partie, cette propagation est étudiée du point de vue de l'optique géométrique. On cherche à caractériser la fibre et ses performances (calcul de l'ouverture numérique, de la bande passante, etc.). · La seconde partie traite de l'aspect ondulatoire de la propagation par le calcul de la structure transverse de l'onde électromagnétique. On étudie aussi les conditions de réalisation d'une fibre monomode et on aborde le problème de la dispersion intramodale. · Dans la troisième partie, on réalise une modélisation microscopique de l'effet Kerr optique, un effet non linéaire qui peut apparaître sous certaines conditions dans la fibre. Cet effet a pour conséquence un phénomène d'automodulation de phase. Enfin, on envisage l'existence possible de solitons optiques. Le problème fait appel à des notions classiques d'optique géométrique et d'électromagnétisme dans les milieux diélectriques ; il constitue une bonne révision de ces chapitres. La résolution de certaines questions demande une très bonne maîtrise des formules et définitions du cours, notamment les équations de Maxwell dans les milieux et la définition de la susceptibilité électrique. Mais bien souvent, il suffit d'un peu de raisonnement et de bon sens pour répondre. Les calculs, sans être complexes, peuvent parfois être longs et demandent donc une attention particulière afin d'éviter erreurs et étourderies. Indications I. Approche géométrique de la propagation 2 Pour exprimer l'ouverture numérique en fonction des indices, penser à la relation trigonométrique cos2 i + sin2 i = 1. 4 Calculer d'abord les temps de parcours minimal et maximal. La lumière se propage dans un milieu d'indice n avec une célérité v = c/n. 5 Faire un développement limité au premier ordre en . 6 Considérer le fait que deux rayons qui pénètrent dans la fibre au même instant avec des angles d'incidence différents n'auront pas le même temps de parcours. 7 La période des impulsions doit être supérieure à leur largeur pour qu'il n'y ait pas de recouvrement. II. Approche ondulatoire de la propagation 12 Le champ électrique dans le milieu diélectrique vérifie l'équation de d'Alembert avec une célérité v = c/n 13 Injecter e2 dans l'équation de la question 12 pour déterminer . Faire de même avec e1 ou e3 afin de calculer . 14 Pour déterminer la valeur maximale de r, considérer l'expression de établie à la question précédente. 15 Dans chacun des trois milieux, relier les champs électrique et magnétique à l'aide - - - de la loi de Maxwell-Faraday rot E = - B /t 18 Pour déterminer la valeur maximale de f (r), considérer que f est strictement croissante sur [0, r ]. L'équation f (r) = y possède au moins une solution si min f (r) 6 y 6 max f (r). III. Phénomène optique non linéaire : effet Kerr 21 Évaluer le champ électrique intra-atomique en considérant que l'électron ressent le champ généré par une charge ponctuelle e à une distance r de l'ordre du rayon atomique. 22 La grandeur ~ est homogène à un moment cinétique. 23 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'électron soumis à une force - électrique et une force de rappel F . 24 z0 (t) vérifiant une équation du second ordre avec second membre, c'est la somme d'une solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation avec second membre à exprimer en régime sinusoïdal forcé. 25 z1 (t) vérifie une équation du second ordre avec un second membre en z0 3 (t). 26 Dans le premier cas, exprimer Pz en fonction du moment dipolaire de chaque atome. Dans le second cas, considérer la relation linéaire qui existe entre le vecteur polarisation et le champ électrique. |A|2 en utilisant l'équation vérifiée par A. 28 Calculer x 29 Résoudre l'équation du premier ordre à coefficients constants en x vérifiée par A. 30 Considérer deux cas selon le signe de . Fibre optique à saut d'indice I. Approche géométrique de la propagation 1 À l'interface entre le coeur et la gaine, si le rayon incident est réfracté et pénètre dans la gaine avec un angle réfracté i1 , la loi de Snell-Descartes impose que n sin i = n1 sin i1 Or l'angle i1 ne peut dépasser /2 dans le cas présent où n > n1 , donc la réfraction n'est possible que si n sin i < n1 . Dans le cas où n sin i > n1 , il n'existe pas de rayon réfracté correspondant à un chemin optique extrémal. On observe en revanche une réflexion totale du rayon incident. i < i i > i i1 n1 n n1 n i i i i Le rayon reste confiné si i > i avec sin i = h i n1 et i 0, . n 2 2 À l'interface entre l'air et le coeur, la loi de Snell-Descartes, à nouveau, indique sin = n sin r y gaine d'indice n1 i air O indice 1 x r coeur d'indice n gaine d'indice n1 Or la géométrie de la fibre donne r = /2 - i, donc et i sont reliés par sin = n sin - i = n cos i 2 Comme les fonctions sinus et cosinus sont respectivement strictement croissante et décroissante sur l'intervalle [0, /2], la condition i > i équivaut à < avec sin = n cos i En utilisant la relation trigonométrique cos2 i + sin2 i = 1 et en sachant que cos i > 0, on a ON = sin p = n 1 - sin2 i p = n 1 - (n1 /n)2 ON = n2 - n1 2 3 On calcule l'ouverture numérique à l'aide des données de l'énoncé p ON = 1,52 - 1,472 = 0,298 4 Le milieu dans lequel se propage la lumière est d'indice uniforme, donc tous les rayons ont la même vitesse. Le temps de parcours minimal (respectivement maximal) correspond alors au trajet le plus court (respectivement long). Or la longueur du trajet croît en fonction de l'angle d'incidence. Le temps de parcours est minimal si = 0. Il est maximal si = . On note tmin et tmax les temps de parcours minimal et maximal. tmin est le temps mis par le rayon pour parcourir une distance L à la vitesse c/n qui est la vitesse de la lumière dans la fibre, soit nL tmin = c Un rayon d'incidence parcourt dans la C fibre une distance égale à l'hypoténuse d'un triangle rectangle possédant un angle aigu i i et de côté opposé L. On peut le constater sur la figure ci-contre, où la trajectoire du D rayon lumineux, constituée des segments A i [AD], [DE] et [EB] a pour longueur [AC]. r B E Cela correspond à une distance parcourue L/ sin i , soit un temps de parcours L n L n2 L tmax = = c sin i n1 c nL n Donc t = tmax - tmin = -1 c n1 5 L'égalité de l'énoncé se réécrit n 1 = n1 1 - 2 En supposant que 1 on peut réaliser un développement limité de l'expression précédente à l'ordre 1 en n = 1 + + o() n1 Il suffit alors de reprendre l'expression de t pour obtenir t nL c