Mines Physique 2 PC 2010

Thème de l'épreuve Lutte contre les incendies de forêts
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point, thermodynamique
Mots clefs force pressante, centre de poussée, vidange, bilan d'énergie, portée d'un tir, bilan de quantité de mouvement, coefficient de portance, coefficient de traînée, aérodynamique, finesse d'une aile, nombre de Mach

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2010 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. LUTTE CONTRE LES INCENDIES DE FORETS 33 000 hectares de forets sont detruits par des incendies en moyenne chaque annee en France. Les departements les plus touches sont les 15 departements du Sud Est avec 25 600 hectares brules en moyenne par an (jusqu'a 62 000 hectares detruits en 2003 !). On y recense 2 450 departs de feu chaque annee en moyenne, mais heureusement, 60 % des feux ne depassent pas 1 ha de foret detruite. La prevention au sol avec des patrouilles de surveillance et les moyens aeriens permettent de limiter grandement les degats. On se propose dans ce probleme de decouvrir de facon simple deux moyens de lutte contre les incendies de foret. La premiere partie permet de mettre en evidence les possibilites des vehicules de patrouille tout terrain, armes pour intervenir sur les departs de feu. Ces vehicules sont parfois appeles vehicules Dangel. La deuxieme partie aborde de facon sommaire les possibilites des avions bombardiers d'eau de type Canadair. Dans tout le probleme, l'eau sera consideree comme un liquide non visqueux, homogene, incompressible, de masse volumique . L'air exterieur assimile a un gaz parfait de temperature T0 = 288 K de pression p0 = 1013 hPa et de masse volumique 0 . On prendra pour l'air, une composition molaire de 20 % en O2 et de 80% en N2 et = C p /Cv = 1, 4. On rappelle la valeur des masses molaires de l'oxygene MO = 16 × 10-3 kg.mol-1 et de l'azote MN = 14 × 10-3 kg.mol-1 ainsi que la valeur de la constante molaire des gaz parfaits Rgp = 8, 31 J.mol-1 .K-1 . L'acceleration de la pesanteur g sera prise egale a 9, 81 m.s-2 . I. -- La lutte au sol Les vehicules Dangel (voir figure 1) tout terrain sont un element important de prevention des incendies. Effectuant des rondes quotidiennes dans les massifs forestiers, ils permettent une vigilance renforcee des lieux sensibles et peuvent operer tres rapidement, mais cependant de facon limitee, sur des Lutte contre les incendies de forets departs de feu. Pour cela, ils sont equipes d'une citerne, reservoir d'eau suppose parallelepipedique a base carree, indeformable et pose sur le plateau arriere horizontal du vehicule. La hauteur de ce reservoir est H = 70 cm, la longueur du cote de sa base est L = 95 cm. I.A. -- Etude du reservoir Le remplissage du reservoir s'effectue grace a une ouverture large (diametre 30 cm) situee au sommet du reservoir, fermee par un bouchon a vis. Sur la face arriere, legerement au dessus du plateau, une ouverture permet plusieurs sorties : d'une part deux sorties auxiliaires avec vanne d'ouverture, d'autre part une sortie par l'intermediaire d'une motopompe fixee sur le plateau delivrant une puissance maximale Pmax de 1170 W (environ 1,6 chevaux) qui permet le branchement et l'actionnement d'une lance. Enfin, au fond du reservoir, est amenagee une sortie pour la vidange, de section s faible. F IG . 1 ­ Vehicule d'intervention Dangel Sauf cas particuliers explicites dans le texte, l'espace est rapporte a un systeme d'axes tels que l'axe Oz est ascendant vertical, l'axe Ox est horizontal, dirige de l'arriere du vehicule vers l'avant, le point origine O etant choisi sur le plateau au niveau de la paroi arriere du reservoir (voir figure 1). 1 -- Donner la definition d'une particule fluide, en precisant ses dimensions typiques. A quelle echelle d'etude se situe-t-elle ? Quel est son interet ? Qu'appelle-t-on en mecanique des fluides, un systeme ouvert, un systeme ferme ? Comment se nomment les representations associees ? Rappeler les conditions d'application de la relation de Bernoulli. 2 -- Le reservoir, initialement vide, toutes les sorties etant fermees, est partiellement rempli grace a une borne a incendie en 1 min 29 s avec un debit moyen estime a 6,6 litres par seconde. Determiner la hauteur h0 de l'eau dans le reservoir apres remplissage. On negligera le volume du tuyau de vidange. On se place dans ces conditions de remplissage prealable dans toute la suite du probleme. 3 -- Determiner la resultante des forces de pression qui s'exerce sur chaque flan vertical du reservoir. 4 -- Le centre de poussee est le point d'application de la resultante des forces de pression qui donnerait le meme moment par rapport a un point donne que le moment resultant des forces elementaires de pression par rapport a ce meme point. Determiner la hauteur du centre de poussee de cette resultante sur un flan vertical. Page 2/7 Physique II, annee 2010 -- filiere PC - 5 -- On suppose que le vehicule demarre avec une acceleration constante a = a ebx , sur une route horizontale d'axe Ox. Determiner les equations des surfaces isobares dans l'eau du reservoir. Calculer la valeur numerique de l'amplitude maximale de variation de hauteur de la surface libre lors d'une phase d'acceleration de 1 m.s-2 . En negligeant la contribution de la pression atmospherique p0 , determiner la resultante des forces exercees par l'eau sur le reservoir. I.B. -- Vidange du reservoir Le vehicule, a l'arret, est laisse en plein soleil en ete, durant un certain temps ; la temperature de l'air a l'interieur du reservoir s'eleve a T = 40 C. La hauteur initiale d'eau est h0 calculee a la question 2, on suppose que la temperature de l'air reste constante durant toutes les operations. L'air contenu dans le reservoir est assimile a un gaz parfait. On souhaite tout d'abord etudier le cas hypothetique d'une vidange pour laquelle on laisserait le bouchon de remplissage en place et dans laquelle le tuyau de vidange n'est pas mis en place. 6 -- Determiner la pression pi de l'air contenu dans le reservoir a l'instant ou la vidange debute. Montrer que le reservoir se vide partiellement et que la hauteur d'eau h restant alors dans le reservoir est regie par une equation du second degre. Determiner la valeur numerique de h, le volume d'eau ainsi vidange et la pression finale p f de l'air a l'interieur du reservoir. Que risque-t-il de se passer si l'on procede ainsi ? En pratique, on retire en fait le bouchon de remplissage et l'on branche un tuyau de vidange de section s faible dispose horizontalement, d'axe Ox, de longueur = 80cm ferme a son extremite par un robinet L'ensemble est represente sur la figure 2. On ouvre le robinet de vidange a t = 0, la hauteur d'eau dans le reservoir, au dessus du niveau du tuyau, etant de h0 . On etudie dans un premier temps le regime transitoire pendant lequel on admet que la hauteur d'eau dans le reservoir reste constante et egale a h0 . On s'interesse au champ de vitesse de l'eau --- dans le tuyau de vidange, note v(x,t) et suppose uniforme sur chaque section. --- 7 -- Montrer que v(x,t) = -v(t) ebx avec v(t) 0. 8 -- En utilisant l'equation d'Euler de la mecanique des fluides, montrer que, sous certaines hypotheses que l'on precisera, la fonction v(t) est solution de l'equation differentielle dv v2 + = k2 (1) dt 2 F IG . 2 ­ Vidange reservoir ou k2 est une constante que l'on exprimera en fonction de g et h0 . 9 -- Montrer que l'equation precedente admet une solution constante v0 . En posant, u = v + v0 1 puis w = resoudre l'equation (1). On exprimera v (t) en fonction des parametres v0 et = . u 2k Determiner la limite v1 de v lorsque t tend vers +. 10 -- Calculer la valeur de et du temps t0 au bout duquel la difference relative entre la vitesse v et sa valeur limite v1 devient inferieure a 1%. 11 -- En precisant les hypotheses utilisees, determiner le temps necessaire tv a la vidange totale du reservoir. Calculer tv sachant que le tuyau possede un diametre = 20 mm. Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Lutte contre les incendies de forets I.C. -- Fonctionnement de la lance a incendie On s'interesse maintenant au fonctionnement de la lance a incendie branchee sur la motopompe. La lance a une longueur de 50 m, son diametre interieur est d1 = 32 mm et elle se termine par un petit embout conique dont le diametre minimal interieur est d2 = 14 mm. On se place en regime permanent, le debit volumique de la motopompe est note Dv et on neglige toutes les pertes de charges. 12 -- A partir d'un bilan d'energie, montrer que la puissance P que doit fournir la motopompe s'ecrit dans le cas general : 2 ps - pe vs - v2e + g (zs - ze ) + P = Dv 2 ou les grandeurs indicees « s » correspondent aux grandeurs de sortie et celles indicees « e » aux grandeurs d'entree du systeme choisi. 13 -- L'embout de la lance est maintenu a 20 m au dessus du plateau du vehicule. Calculer le debit maximal Dvmax que pourra assurer la motopompe. En deduire la vitesse maximale de l'eau en sortie de lance. - 14 -- A partir d'un bilan de quantite de mouvement, determiner la force Fe exercee par l'eau sur l'embout conique de la lance lorsque cette derniere est horizontale. Calculer la valeur numerique du module de cette force pour le debit Dvmax obtenu a la question precedente. On se place dorenavant dans un referentiel R = (O , x , y , z ) represente sur la figure 3, suppose galileen, dans lequel l'extremite de la lance est inclinee d'un angle par rapport a l'horizontale et se situe a la cote z0 = 1m. On negligera la resistance de l'air et on fera l'hypothese que le jet dont on neglige la section reste coherent dans le plan O x z . 15 -- Determiner l'equation z = z (x ) de la trajectoire des particules d'eau. On utilisera les parametres g, tan , z0 et vs module de la vitesse initiale de ces particules. z' g ® z'0 Extrémité de la lance y' x' O' xmax 16 -- Determiner la portee maximale de la lance en fonc tion de vs , g et z0 . Calculer la valeur numerique de xmax et de l'angle F IG . 3 ­ Configuration de correspondant pour un debit Dv = 180 litres par minute. l'extremite de la lance. FIN DE LA PARTIE I II. -- La lutte aerienne Le bombardier d'eau CL 415, familierement appele Canadair, est l'element principal de la lutte aerienne contre les incendies. Il s'agit d'un hydravion amphibie a coque, monoplan, a ailes hautes, bimoteur. Sa masse est Mv = 12 834 kg a vide, et Mc = 19 848 kg en charge. Son envergure est 28, 63 m, sa longueur 19, 82 m, sa hauteur 8, 98 m et la surface totale de ses ailes ou surface alaire est Sa = 100, 5 m2 . Sa vitesse de croisiere maximale est de 365 km.h-1 la distance maximale qu'il peut franchir est de 2 426 km. Il est propulse par 2 moteurs Pratt & Whitney 123 AF de 1, 78 MW chacun. Il est equipe d'un kit bombardier d'eau qui comprend 2 ecopes, 2 soutes d'une capacite totale de 6 137 litres et une reserve de produit moussant d'une capacite de 320 litres. Page 4/7 II.A. -- Etude de l'ecopage F IG . 4 ­ Le bombardier d'eau CL 415 en phase d'ecopage Le bombardier d'eau CL 415 effectue ses remplissages (ou ecopages) en effleurant la surface de l'eau avec une vitesse de module V = 120 km.h-1 (voir figure 4). L'eau s'engouffre alors dans les soutes au moyen des deux ecopes de section rectangulaire sa = 11, 8 × 6, 5 cm2 . 17 -- Determiner le temps de remplissage tr des 2 soutes et la distance dr qu'il faut parcourir sur le plan d'eau pour les remplir. - F IG . 5 ­ Ecopage de l'avion a la vitesse V On modelise le remplissage au travers d'une ecope, par un auget oriente dans le sens de deplacement qui renvoie les veines d'eau dans le sens oppose a la direction incidente. La section droite du jet d'entree se est prise egale a la section d'une ecope. La hauteur de l'auget est de 50 cm. L'ensemble est represente sur la figure 5. 18 -- Montrer qu'en premiere approximation, la section du jet de sortie est la meme que celle d'entree. On suppose que l'auget est place dans un environnement a la pression atmospherique p0 . Calculer la force exercee par l'eau sur l'auget et la puissance qu'elle developpe. On commentera ce resultat en indiquant notamment la manoeuvre qui doit etre entreprise par le pilote durant le remplissage des soutes. Lutte contre les incendies de forets II.B. -- Aerodynamique du Canadair Les donnees relatives aux caracteristiques aerodynamiques d'un profil d'aile d'avion sont mentionnees sur la figure 6. On suppose que ce profil est invariant dans la direction y sur toute la largeur de l'aile. Les points A et B sont les points d'arret, il s'agit du premier et du dernier point du profil en contact avec le fluide. La distance AB est appelee la corde de l'aile. Dans le plan de section orthogonale a - la largeur de l'aile, la direction x est determinee par la vitesse relative du fluide V et la direction z - par la normale a x orientee vers l'extrados. Sur la figure (6), la force F est la resultante des forces - appliquees a l'aile. La composante Fz de F selon z est appelee la portance, et celle Fx selon x est appelee la trainee. On definit alors le coefficient de portance Cz et celui de trainee Cx par les relations Cz = 2Fz - 0 Sa V 2 , et Cx = 2Fx - 0 Sa V 2 . - Le fluide est l'air suppose immobile et c'est l'avion qui se deplace dans une direction opposee a V . L'angle i est appele angle d'incidence de l'aile. On definit aussi la finesse d'une aile comme le rapport f = Cz /Cx . 19 -- Quelles sont les dimensions de Cz et de Cx ? F IG . 6 ­ Profil d'une aile - 20 -- Quelle est l'origine physique de la force F ? Le bombardier d'eau est en vol horizontal a la vitesse constante de module V , dans un air immobile. Il est donc en equilibre. 21 -- Que se passe-t-il si le pilote augmente la puissance fournie aux moteurs en gardant un angle d'incidence constant ? 22 -- Exprimer la masse volumique 0 de l'air en fonction de p0 , T0 de sa masse molaire Ma et de la constante des gaz parfaits Rgp . Calculer la valeur numerique de 0 23 -- Pour un vol horizontal du bombardier d'eau a vitesse constante egale a la vitesse de croisiere maximum de l'avion en pleine charge, determiner Cz et Cx . Que vaut la finesse dans cette configuration ? Page 6/7 Physique II, annee 2010 -- filiere PC Les caracteristiques du fluide dans lequel se deplace une aile peuvent etre modelisees par le nombre de Reynolds NR et le nombre de Mach NM definis comme NR = VL NM = V Vs ou V est le module de la vitesse relative de l'aile, L represente la taille caracteristique du phenomene considere, est la viscosite cinematique du milieu (pour l'air a T0 et P0 , = 15, 6 · 10-6 m2 .s-1 ) et Vs la vitesse du son dans le fluide considere. Pour un type d'ecoulement donne caracterise par NR et NM , les coefficients Cz et Cx dependent en fait de l'angle d'incidence i. Grace a des essais en soufflerie, on peut tracer la polaire Cz = f (Cx ) d'une aile. Gustave Eiffel a ainsi nomme cette courbe car si l'on adopte la meme echelle sur les deux axes, l'angle polaire d'un point M de la courbe est celui forme entre la resultante des forces et la vitesse de l'ecoulement incident (angle de resultante). Le Canadair CL 415 a des ailes profilees selon le modele NACA 4418 de corde 3 562 mm. La polaire pour NR = 1, 5·107 et NM = 0, 155 ainsi que le profil de cette aile sont presentes sur la figure 7. F IG . 7 ­ Profil et polaire de l'aile du Canadair 24 -- La vitesse du son est une grandeur thermodynamique donnee par la relation Vs2 = p a entropie constante, ou p et sont respectivement la pression et la masse volumique du milieu dans lequel se propage le son. Determiner la vitesse du son dans l'air a la temperature T0 en fonction de , p0 et 0 . 25 -- Commenter les valeurs de NR et NM utilisees. Determiner graphiquement la valeur de la finesse maximum de cette aile dans cette configuration d'ecoulement. Que represente cette finesse ? II.C. -- Caracteristiques de la mission Le cycle d'une mission classique de lutte aerienne se decompose en trois phases : ­ l'approche du plan d'eau, l'ecopage a la vitesse de 120 km/h et le decollage, l'ensemble necessite une longueur d'environ 1500 m ; ­ les vols de transit a la vitesse de croisiere de 320 km/h ; ­ le survol de l'incendie et le largage de l'eau a la vitesse de 195 km/h, cette operation particuliere dure environ 1 minute et 30 secondes. 26 -- La distance moyenne des feux aux plans d'eau etant de 11 km. Estimer le nombre moyen de cycles qui peuvent etre effectues en 1 heure par un bombardier CL 415 et la masse d'eau deversee sur l'incendie. 27 -- Le largage s'effectue en general entre 30 m et 50 m de hauteur. Quels peuvent etre les criteres qui justifient les valeurs haute et basse de cette fourchette ? FIN DE LA PARTIE II FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 PC 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été relu par Alban Sauret (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet étudie des appareils utilisés dans la lutte contre les incendies de forêts : les camions de pompier et les avions Canadair. Il fait appel à la mécanique des fluides, ainsi qu'à quelques notions de mécanique du point et de thermodynamique. · La première partie est consacrée au réservoir d'eau d'un camion de pompier, en statique tout d'abord (forces pressantes, centre de poussée...), puis en écoulement avec une étude guidée de la vidange. Enfin, l'étude de la lance à incendie regroupe un bilan de puissance et de quantité de mouvement, constituant une bonne révision des bilans, puis un calcul de la portée du jet. · Divers aspects des avions Canadair sont traités dans la seconde partie. Dans un premier temps, on s'intéresse à l'eau qui remplit les soutes de l'avion et plus précisément aux forces exercées sur l'avion lors du remplissage. Viennent ensuite des questions d'aérodynamique concernant le profil de l'aile, la portance et la traînée, de manière bien guidée. Le sujet se termine par deux questions d'ordre général sur la lutte aérienne contre les incendies. Une difficulté de ce sujet est son hétérogénéité. En effet, il est composé de nombreuses petites sections autonomes, avec des questions souvent indépendantes les unes des autres et de difficulté très variable. Il y a des questions sur le cours et son application directe, des questions nécessitant une lecture précise de l'énoncé mais pas spécialement de connaissances, ainsi que des questions qui appellent une réflexion approfondie et une résolution détaillée. Avant de traiter une question, il faut donc se demander à quelle catégorie elle appartient et adapter en conséquence le niveau de détail de la réponse. Le rapport du jury regrette que les candidats n'aient pas mieux maîtrisé les bilans en mécanique des fluides (quantité de mouvement et énergie) et souligne que de très bonnes notes étaient à attendre pour les copies ayant répondu proprement aux questions qui en contenaient. Indications Partie I 3 Exprimer d'abord la pression p(z) dans l'eau. 4 Déterminer le moment des forces pressantes exercées sur une paroi par rapport au point de coordonnées (L/2; 0), en faisant tout d'abord une intégrale sur la surface des moments élémentaires, puis en utilisant le résultat de la question précédente. 5 Que vaut l'accélération du fluide dans le référentiel terrestre lorsqu'il est au repos - -- - dans le référentiel du véhicule ? Que vaut dr · grad p pour un déplacement dr sur une surface isobare ? 6 L'eau s'arrête de couler lorsque la pression de l'air qui la surmonte est égale à la pression à la surface de l'eau. 8 Appliquer l'équation d'Euler au fluide du tuyau. Pour calculer le gradient uniforme de pression, utiliser la relation de Bernoulli en considérant la surface de l'eau dans le réservoir comme immobile. 11 Si t0 est très petit, on peut considérer que v atteint instantanément sa limite. 12 Bien définir le système étudié. 13 Utiliser la relation obtenue à la question précédente en considérant que toute la puissance de la pompe est utile au fluide, et en choisissant comme grandeur d'entrée la surface de l'eau, la sortie étant au bout de la lance. 14 Définir correctement le système étudié. Utiliser la relation de Bernoulli pour déterminer la pression d'entrée. 16 Écrire l'équation donnant implicitement la portée du tir, puis la dériver par rapport à tan pour obtenir une expression de tan telle que la portée soit maximale ; réinjecter ensuite cette expression dans l'équation implicite de départ pour obtenir la portée maximale. Partie II 18 Utiliser la relation de Bernoulli pour déterminer la vitesse de sortie, puis la conservation du débit. Pour déterminer la force subie par l'auget, faire un bilan de quantité de mouvement. 23 Fz compense le poids de l'avion et la puissance développée par les moteurs est la puissance de Fx . 24 p/ est une constante lors d'une transformation isentropique d'un gaz parfait. 25 Interpréter graphiquement la notion de finesse. Lutte contre les incendies de forêts I. La lutte au sol I.A Étude du réservoir 1 Une particule fluide est une portion de fluide se situant à l'échelle mésoscopique : suffisamment grande devant la distance intermoléculaire pour que les grandeurs macroscopiques (température, pression...) soient définies, suffisamment petite devant les longueurs caractéristiques de l'écoulement de fluide considéré pour que ces grandeurs puissent être considérées comme homogènes au sein de la particule fluide. Sa taille dépend de l'écoulement considéré. Pour un gaz à pression et température normales, on considère par exemple des particules fluides de 10 µm. L'intérêt des particules fluides pour la description d'un fluide est d'éviter l'étude des molécules composant le fluide une par une : c'est l'approximation des milieux continus. Un système ouvert est contenu dans une surface délimitant un volume de fluide où les particules fluides peuvent entrer ou sortir. La représentation d'Euler considère des systèmes ouverts. Un système fermé est un ensemble de particules fluides suivies à chaque instant au cours de leur écoulement ; aucune de ces particules ne sort du système fermé. On étudie des systèmes fermés en représentation de Lagrange. La relation de Bernoulli s'applique pour un écoulement parfait, homogène et incompressible. Si l'écoulement est permanent, v2 p + + ep = Cte le long d'une ligne de courant 2 où - v est le champ des vitesses du fluide, p le champ de pression, la masse volumique du fluide et ep l'énergie potentielle dont dérivent les forces massiques subies par le fluide (ep = g z si seul le poids intervient). Si l'écoulement est également irrotationnel, alors la relation devient v2 p + + ep = Cte dans tout le fluide 2 Enfin, si l'écoulement est irrotationnel mais non permanent, il existe un potentiel -- des vitesses tel que - v = grad et la relation de Bernoulli s'écrit v 2 p + + + ep = f (t) dans tout l'écoulement t 2 Le rapport du jury mentionne des « surprises » et des « imprécisions » pour ces questions de cours. L'impression que donne une copie débutant ainsi est désastreuse : il faut donc connaître très précisément son cours, en particulier les conditions d'application des relations utilisées. 2 Le réservoir se remplit à un débit D1 = 6,6 . 10-3 m3 .s-1 en une durée t1 = 89 s, donc contient après remplissage un volume V1 = D1 t1 . La surface de la base du réservoir étant L2 , il y a dans le réservoir une hauteur d'eau D1 t1 = 65 cm L2 h0 = 3 La pression hydrostatique régnant dans le fluide à une altitude z est p(z) = g (h0 - z) + p0 Une tranche de paroi horizontale, d'épaisseur dz et de largeur L, subit de la part du fluide une force perpendiculaire à la paroi et dirigée vers l'extérieur du réservoir, de norme p(z) L dz. Par ailleurs, elle subit de la part de l'air extérieur une force de même direction, de sens opposé et de norme p0 L dz. La résultante des forces de pression s'exerçant sur cette portion de paroi est donc une force dirigée vers l'extérieur du réservoir, de norme (p(z) - p0) L dz. Une paroi entière du réservoir subit ainsi une force de pression résultante de norme Z h0 Z h0 h0 2 Fp = (p(z) - p0 ) L dz = g (h0 - z) L dz = L g h0 2 - 2 0 0 ou enfin Fp = g L h0 2 = 2,0 . 103 N 2 4 Soient P le centre de poussée de la paroi du réservoir contenue dans le plan (Oxz) et C le milieu de l'arête inférieure de cette paroi. La pression étant invariante selon (Ox), le centre de poussée P se situe à la verticale de C. Le moment par rapport - - - - à C de la force Fp exercée sur la paroi est M = CP Fp . En notant hP l'altitude du point P, il peut s'écrire - g L h0 2 - g L h0 2 - M = hP e z - ey = hP - ex 2 2 Ce moment est égal à l'intégrale sur toute la paroi du moment des forces pressantes élémentaires qu'elle subit. Une tranche de cette paroi d'épaisseur dz, de largeur L, située à la hauteur z, centrée sur un point M de la paroi, subit une force pressante - résultante dF = - g (h - z) L dz - e . Le moment s'écrit donc y 0 p - M= Z h0 -- - CM dFp = 0 - = g L ex Z h0 0 Z (z - ez ) - g (h0 - z) L dz - ey h0 z (h0 - z) dz = g L 0 h0 3 h0 3 - 2 3 - ex - g L h0 3 - M= ex 6 En identifiant les deux égalités ci-dessus, on obtient l'expression de la hauteur hP du centre de poussée sur cette paroi : hP = h0 3 Le rapport du jury précise que la définition du centre de poussée étant donnée dans l'énoncé, il fallait effectuer le calcul correctement et non se contenter de rappeler le résultat.