Mines Physique 2 PC 2009

Thème de l'épreuve Le rayon vert
Principaux outils utilisés thermodynamique, optique géométrique, rayonnement dipolaire
Mots clefs vert, Soleil, atmosphère, réfraction, indice optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                          

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L' AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2009 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE ' Filière PC (Durée de l'épreuve: 4 heureS) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international ' Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE 11 -------ÔPC. L'ênoncé de cette épreuve comporte 9 pages. --- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre. «----» Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous ' sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. LE RAYON VERT Le rayon vert est un phénomène lumineux qui se produit lors du coucher ou du lever du Soleil, lorsque certaines conditions atmosphériques sont réunies. S'il est aujourd'hui bien compris, ce phénomène naturel a alimenté au cours des âges les mythologieset inspiré la littérature. Selon les mythes scan---- dinaves par exemple, celui qui observe ce « rayon », acquiert la capacité de lire dans le coeur des v hommes. Jules Verne s'en est inspiré, dans un roman resté célèbre, paru en 1882 et intitulé tout sim--- plement : le rayon vert. , Au début du XX" siècle, les astronomes français André Danjon et Gilbert Rougier ont étudié le rayon vert et contribué à sa compréhension. Ils rapportent leurs propres observations, réalisées en 1920 du haut de la cathédrale de Strasbourg : « Le rayon vert frappe toujours l'observateur par son apparition brusque, de caractère nettement tranChê. Sitôt le disque du Soleil couché, on voit instantanément et sans transition un segment d'un vert très pur: [... ] Il n 'est pas rare de le voir durer jusqu 'à 2 s. » On se propose d'étudier les phénomènes physiques à l'origine de la manifestation la plus fréquente du rayOn vert. La propagation de la lumière dans un milieu non homogène fait l'objet d'une approche progressive qui s'appuie sur les fondamentaux relatifs aux milieux homogènes et aux lois de Des--- cartes. Dans tout le problème : ; ---- la Terre sera assimilée à une sphère de centre C, de rayon R:;-- 3 6370 km et de masse MT === 5, 97 >< 1024 kg que l'on supposera à répartition sphérique. ------- on négligera la variation de l'accélération due à la pesanteur go 3 9, 81 ms" avec l' altitude. ------- l'air sera assimilé à un gaz. parfait de masse molaire M ...«-----.... 28, 96 g.mol"'. On prendra pour valeur de la constante des gaz parfaits R 3,8, 3Ïlf-'1r I.mol""1 .K'"'. -----« on distinguera dans la notation des unités, les secondes (") et minutes (') d'angle respectivement égales à l/60 et 18600 de degré, des minutes (min) et secondes (s) d'heure. 2 avec la latitude et Les 4 parties du problème sont indépendantes. I. ------------- L'atmosphère terrestre La variation de la masse volumique de l'air avec l'altitude joue un rôle primordial dans la formation du rayon vert. Il est donc nécessaire de préciser quelques--unes des propriétés physiques de l'atmosphère dans le cadre de différents modèles. Pour les besoins de l'aéronautique, un modèle d'ahnosphêre standard a été défini en 1976. Il corres-- pond à un profil moyen de températures (Fig.l) sous 40° de latitude nord, dont les gradients verticaux sont 80 donnés pour différentes tranches d'altitudes dans le Mésosphèoe tableau ci«dessous. On supposera l'atmosphère stan-- ° dard en équilibre hydrostatique, la température et la 60 pression au sol valant respectivement To 3 288 K et ...... . 0 ... , ......-.....-.................................................... ................. 2 [km] 40 Altitude d T / dz Troposphère_ 20 Stratosphere 0 Mésosphère FIG. 1 ------- Atmosphère standard LA. --------- Atmosphère isentropiqué Le brassage convectif de l'air dans la troposphère provoque des transformations locales isentropiques réversibles. On note 7 x cp/cv le rapport des capacités thermiques massiques à pression constante cp et à volume constant C., Les constituants de l'air sont supposés être des molécules diatomiques rigides (cp ... 7R / 2 et cv ... 5R/2). L'équilibre hydrostatique est atteint Ü 1 ----------- Écrire la loi des gaz parfaits en fonction de la température T(z), de la pression p(z), de la masse volumique p(z), de la masse molaire M de l'air à une altitude z et de toute autre constante nécessaire. Calculer numériquement la masse volumique po de l'air au niveau du sol. Ü 2 ---------- En utilisant la loi de Laplace relative à une transformation isentropique réversible, écrire la relation entre d p / dz et d p / dz En écrivant la condition de équilibre hydrostatique déterminer d T / dz En déduire que la température varie avec l' altitude selon la loi affine T(z)m To(l ----------- z/HS) où HS est une constante que l'on déterminera. Calculer la valeur numérique de d T / dz: et de H 3. Interpréter l'écart obtenu avec le gradient vertical de température donné par le modéle d'atmosphêre standard. Ü 3 ------- Exprimer p(z) en fonction de po, HS et y. LB. --------- Atmosphère isotherme L' accroissement de température dans la stratosphère résulte de l'absorption du rayonnement ultra-- violet du Soleil par l'ozone qui atteint son maximum d'abondance dans cette région. La base de la stratosphère est supposée être à une température constante de valeur ?} m 216, 5 K. Ü 4 ----------- À quelle équation différentielle satisfait p (z) dans une région isotherme ? En déduire p (z) en fonction de p0 et Ht, l'échelle de hauteur sur laquelle p est divisée par e ...---------... exp 1. Comment varie la hauteur d'une atmosphère isotherme avec sa température ? Calculer numériquement H;. LC. ---- Atmosphère standard Dans le modèle _d'atmosphère standard (Fig. 1), la température varie continûment avec l'altitude selon des lois affines du type T(z) == Tk + sz où 'Tk et Gk sont des constantes dans une tranche k donnée d'altitudes. _ Ü 5 ... Montrer que p(z) satisfait à l'équation différentielle (Y)C + sz)%--% + Ckp :: 0 où Ck est une constante que l'on déterminera en fonction de Gk, M, R et go. À la base de la tranche k considérée, d'altitude Zk, on note pk === p(zk) la masse volumique de l'air. Résoudre cette équation différentielle et exprimer p(z) en fonction de ak x 1 +MgO/(RGk), pk, zk, Tk et G,. LD. --------- Inversion du prof l demasse volumique dans les premiers mètres Il arrive parfois que la surface de la Terre soit portée à une température suffisamment élevée pour provoquer une inversion du profil de masse volumique de l'air (changement de sens du gradient) dans les premiers mètres d'altitude. On suppose désormais que les variables d'état de l'air T, p et p dépendent aussi du temps et se développent selon : ' T(ZaÏ)/TO 31+ & f(t,z). p(z.r)/po x r+ a, f(t,z) avec f(...) a...) (......î ... î...) ptz,t)/pox 1+ôp f(t,z) %] << 1, r et L des ou ! désigne le temps, z l'altitude au dessus du sol et lôfl << 1, constantes. On suppose qu'il y a diffusion thermique à travers l'air, le long... de la seule direction verticale. On néglige l'influence de tout rayonnement électromagnétique. La conductivité thermique de l'air, &, ...----.--.---. 24 >< lO'"3 W.m"".K"1 est supposée uniforme. On rappelle l'expression de l'énergie interne volumique u m pc,,T. , Ü 6 ---------- Écrire la loi de Fourier relative à la conduction thermique, puis, en utilisant l'équation de conservation de l'énergie, établir l'équation dite de la chaleur. En déduire l'équation de diffusion thermique , . T 8 p }... ... =...-- ---- ... a To cvpoat Po où A désigne le laplacien scalaire. En déduire le rapport 5p/ 57 en fonction de À... c... ?, po et L. Ü 7 ------------ À l'aide de l'équation d'état de l'air, obtenir une relation entre 57, 5,3 et Ô}, en se limitant au premier ordre en chacun de ces tenues. Exprimer &, en fonction de À... c... po., L, "C et ("Sr. Calculer 5,5, pour L "..." l m, r x 1 h et 57 m 3 >< 10"3. Représenter l'allure de la courbe z(p/po) à l'instant l' m 0. FIN DE LA PARTIE 1 6,3) << 1, Il. ---------- La réfraction atmosphérique La réfraction afin03phé'rique est le changement de di-- rectioù de propagation de la lumière d'un astre lors--- qu'elle traverse l'atmosphère terrestre (Fig.2). L'air se comporte comme un milieu transparent d'indice de réfraction n(z) qui varie avec l'altitude z. L' at-- mosphère est donc un milieu non: homogène. On désigne par 110 m n(0) ...--:...-- l,0002773 l'indice de réfraction de l'air au niveau du sol à la longueur 'ËÎâîiâîä'ää d'onde Â0 m 575 nm dans le vide. ' * @ FIG. 2 ------- Réfraction atmosphérique À une altitude élevée, lorsque l'atmosphère est suffisamment raréfiée, l'indice de l'air décroît jusqu'à tendre vers la valeur limite n(oo) :: l. Le rayonnement incident de l'astre est supposé monochrome---- tique de longueur d'onde %. On rappelle que le zénith d'un lieu 0 d'observation est le point du ciel situé dans la direction de la verticale ascendante locale OZ. Dans le plande la figure 2, on repère une direction @ donnée, par l'angle appelé distance zénithale, que forme @ avec OZ. Ainsi, l'angle de réfraction atmosphérique défini par t;/, : 9,-- ----------- 60, est égal à la différence des distances zénithales G,; de la direction réelle de l'astre et 90 de la direction dans laquelle il est observé en O. Ü 8 ----------- Énoncer les lois de Descartes relatives à la réfraction d'un rayon lumineux à la traversée d'un dioptre plan qui sépare deux milieux homogènes d'indices de réfraction m et riz > 111 .' Tracer la marche d'un rayon lumineux traversant ce dioptre. Calculer en degrés, l'angle maximum de réfraction ,,i... d'un rayon qui traverse un dioptre plan séparant le vide, d'un verre d'indice 1,5 (angle entre le rayon réfracté et la normale au dioptre). II.A. --------- 'éfraction atmosphérique au voisinage du zénith On cherche à déterminer l'angle de réfraction atmosphérique de la , rîenräh & lumière d'un astre observé au voi-- YÂsfrre sinage du zénith. La direction de la lumière incidente étant, dans ce cas, proche de la verticale locale, on peut négliger l'influence de la cour--- bure de la Terre et considérer que l'atmosphère est constituée d'un Yäïfi@ ensemble de couches d'air planes d'indice n(z) empilées les unes sur les autres (Fig.3--a) . n__+dn @-- NFIG. 3 ----- Réfraction atmosphérique au voisinage du zénith L'altitude z d'une couche est identifiée à sa hauteur au dessus du sol. Le plan ($") normal à OZ et passant par un point A du rayon lumineux, est un dioptre qui sépare localement deux milieux d'indices n et n + du (Fig.3---b). L'angle ,6(z) est la distance zénithale de l'astre vue de A. E! 9 ----------- Montrer que le long de la trajectoire du rayon lumineux, n(z) sin [6(z)] est une constante, que l'on notera C1 et que l'on exprimera en fonction de ng et @@ Exprimer 1;I,-- en fonction de no et 90 % sin 90. En vérifiant la validité de l'expression que l'on utilisera, calculer, en seconde d'arc, l'angle de réfraction atmosphérique pour un astre observé à une distance zénithale de 10°. II.B. ---------- éfraction atmosphérique aux grands angles Pour les distances zénithales d'astres éloignés du zénith, il est nécessaire de tenir compte de la cour---- bure de la Terre. L'atmosphère est désormais assimilée à un ensemble de couches d'air sphériques de centre C d'indice n(z) empilées les unes sur les autres (Fig.4--a); l'altitude d'une couche de rayon r étant Z m ï ... R')". ' L'angle 6(z) s'identifie désormais à la distance zénithale de l'astre observé en un point B sur la trajectoire du rayon tel que CB : r. Sur la figure 4-b le plan (ÿ' ) tangent en B' à la sphère (Y ' ) de rayon r'+ dr est un dioptre qui sépare localement deux milieux d'indices n et n + dn. a. M Ë-ë & .... % i 2 l' % l 5 . â , , î] S'" E % EUR il ? % il â ," a; a rî QO-- F IG. 4 ---- Réfraction atmosphérique aux grands angles Ü 10 -------- En examinant le triangle BB' C, exprimer sind en fonction de Sin i, r et dr. Montrer que le long d'un rayon lumineux, la quantité nrsini est une constante, que l'on notera C2 et que l'on exprimera en fonction de no, R7 et 90. A Ü 11 -------- On admet qu'au premier ordre B'BB" ... 71." / 2 --------i En examinant le triangle BB'B", exprimer au premier ordre d (p en fonction de r, dr et i. Exprimer d n / n en fonction de :, di et d (p. Quelle relation existe t---- il entre (p, i et 9 ? En déduire d6 en fonction de n, dn et i. * "' Ü 12 ---------- Montrer que l'angle de réfraction atmosphérique 'P,æw ... 6 60"-- ... [: d 9 se met sous la forme Hg 2 ad nr n \1! ==] W ......1 ...-- r( 0) 1 ("ORTSIHGO) n où 0" est un facteur numérique que l'on déterminera. II.C. --------- Loi de Gladstone " .. Ü 13 ----------'--- L' indice de réfraction n de l'air est relié àla susceptibilité électrique 95 du milieu, supposée réelle, par la relation n2 m 1 + x. Sachant que x << 1 est proportionnelle à p, montrer que n et p sont approximativement en relation affine. Exprimer n en fonction de p, no et po la masse volumique à l'altitude z x 0. En déduire %. sous forme d'une intégrale sur la variable 2, en fonction de p (21), po, no, R7, 90. On précisera les homes d'intégration. II.D. --------- Aplatissement apparent du Soleil sur l'horizon suivante . Le calcul numérique de l'angle de réfraction à l'aide du profil [) (z) donné par le modèle d'atmosphère standard, montre une variation presque linéaire de 'l'" avec 60 juste au dessus de l'horizon. En expri-- mant les angles en minutes d'arc, la relation est la suivante : 'P, % 32, 9 ------- ÊS >< O, 177 où a; est l'angle de hauteur au dessus de l'horizon, c'est--à--dire, le complémentaire de 80 à l'angle droit. ' Û 14 -------- Sachant que la distance Terre--Soleil vaut drs ==-- 150 >< 106 km et que le rayon du Soleil est R5 m 0,70 >< 106 km, calculer en minutes d'arc le diamètre apparent [3,-- du Soleil c'est--à--dire l'angle sous lequel on voit depuis la Terre, un diamètre solaire, en l'absence de tout phénomène de réfraction. En remarquant que la réfraction n'agit que dans des plans verticaux, calculer l'aplatissement &-- :: Bv/flh du Soleil sur l'horizon, où BV désigne le diamètre apparent du Soleil mesuré dans un plan vertical et [3h le diamètre apparent du Soleil mesuré dans le plan horizontal. FIN DE LA PARTIE 11 III. ----------- Diffusion atmosphérique La diffusion du rayonnement solaire par les molécules de l'atmosphère terrestre, responsable notam-- ment de la couleur bleue du ciel, intervient dans la formation du rayon vert. ( HLA. ---------- Moment dipolaire induit. En l'absence d'onde électromagnétique, le barycentre A du cortège ou nuage électronique supposé indéformable, d'une molécule constituant l'air, coïncide avec le barycentre 0 des charges positives des noyaux (molécules non po-- laires). Dans le référentiel d'étude 9? que l'on supposera ga-- liléen et auquel on associe un repère cartésien (0, e,, ey, ez), le mouvement du nuage se réduit à celui du point matériel A, de masse m et de charge q < 0 respectivement égales àla somme des masses et des charges des électrons ducortège, On désigne par x, y et z les coordonnées de A dans le repère de la figure 5. On note r la distance radiale à l'origine 0, (p la longitude et 6 la co--latitude du systeme de coordonnées sphériques, dont la base locale est (e,... 69, e(p). FIG. 5 «-- Référentiel du dipole L'interaction de A avec le reste de la molécule est modélisée par une force élastique de rappel Fr :: ...mcuâr où r 3 re,, et par une force de frottement visqueux F,, x -----ocdr/dt ; 600 et 05 sont deux constantes. Le rayonnement solaire auquel est soumis A, est assimilé à une onde électromagnétique plane de longueur d'onde À dont lechamp électrique EO (z) x E... cos(oot)eZ est uniforme à l'échelle de la molécule. On suppose que E... et co : 275c/À sont indépendants du temps et de l'espace; (: désigne la vitesse de la lumière. Ü 15 ... Pourquoi le mouvement des noyaux des molécules est--il négligeable '? Pourquoi peut--on négliger la force magnétique ? Quelle condition faut--il réaliser sur la fréquence f de l'onde électro--« magnétique pour pouvoir supposer l'uniformité du champ EO à l'échelle de distance a de vibration de la molécule ? ' D 16 ---------- On se place dans le cadre des approximations de la question 15 Déterminer, en régime établi (id. permanent), l'amplitude complexe {g de la cote de A : z(t) x 9ie{äexp(joet)} où j2 :: ------------1. On définit le moment dipolaire de la molécule par p x qr. Calculer, en fonctionde 771, gr, wo, co, E... et re ::...-- m/05, l'amplitude complexe % de la composante de p sur l'axe Oez. III.B. --------- Champ rayonné par un dipôle On démontre qu'un dipôle oscillant de moment dipolaire complexe po rayonne une onde électro--- magnétique dont l'expression des champs, dans une région où l'approximation dipolaire est satisfaite, s'écrit en notation complexe et en choisissant convenablement l'origine des temps : E... == (ner --l--EaEUR9) eXp [flo (t -------- Ï--)l et 13---- ---"'" BaeeeXP lf'" (' "' £")l ... ... C ... avec: " ! E...2cos9 1 j'a) ! ! ___sin6 1 jeu 002 l ; ---------'--'--"" 47:80 r3 rzc 99-- --Êm4ïreo r3 r2EUR f6'2 £9" B ...u0sm6 ]CD 602 ! l ...... 471: 2 rc "EQ" 80 et #0 désignant respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique du vide. D 17 --------- Qu' est-- ---ce quel' approximation dipolaire. '7 On s'intéresse au rayonnement en champ lointain, c '------est -----à dire dans une région où r >>  Que deviennent les expressions précédentes du champ électro--- , magnétique en négligeant les termes du second ordre en À /r ? Montrer qu en champ lointain, la valeur moyenne du vecteur de Poynting R s'écrit: 4 0) sin2 9 ' (R) OECOMÛWlPOÏZÊr où C0 est une constante que l'on déterminera. D 18 --------- En déduire la puissance moyenne totale (P,) rayonnée à travers une sphère de rayon ro >> À centrée sur le dipôle. On exprimera (H) en fonction de co, [ml, 80 etc. II.C. ... P issance diffusée ans le visible Ü 19 ----------- Pour des fréquences situées dans le domaine du visible 60 << wo, on peut considérer de plus que ante >> 1. Exprimer la puissance moyenne totale diffusée par une molécule de l'atmosphère en fonction de (1), q, m, E..., (00, 80 etc. Ü 20 ... Expliquer pourquoi le Soleil prend une teinte rougeâtre sur l'h0rizon. FIN DE LA PARTIE III IV. ---------- For tion du rayon vert Dans les sections précédentes, on a pu établir que l'atmosphère terrestre : ----- diffuse la lumière d'autant plus efficacement que sa lon---- gueur d'onde À dans le vide est courte; 50 ë _ ---- réfracte de la lumière de telle sorte qu'un astre d'angle de iÊ 95 (Fig.6). Orientation \ Puisque l' indice de réfraction de l'air dépend de la lon---- des angles + gueur d'onde, la caractéristique de transfert angulaire de l' at-- mosphère, 9,-------- ... ga(60, À) est fonction de À On suppose que le « vert >> du spectre de la lumière blanche s'étend de À... .... FÏG-- 6 "" Réfraction atmosphérique 490 nm à À,', : 570 nm, les longueurs d'onde étant, dans toute cette partie, données dans le vide. On se place dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. IV.A. ---------- Durée du coucher de Soleil àla latitude À..., La direction du centre du disque solaire en l'absence de réfraction atmosphérique est repérée par le point S sur la figure 7--- a. Pour simplifier la configura--= tion, on suppose que le mou-- vement diurne du Soleil s'ef-- fectue dans le plan (935) in-- cliné sur l'horizon de ha,, à la période T5 r 24 h (configura-- tion d'équinoxe). On note SH la projection orthogonale de S dans le plan horizontal À l'instant du coucher, S est en SC. Lorsque le Soleil est proche de l'horizon, le déploiement de la sphère céleste dans le plan (9%) contenant S,; et normal à la droite OSC (Fig.7--b) permet d'exprimer les relations de proportionnalité A suivantes : @: "..." SHOS 3 C3 >< SHS et SOS} : C3 >< SS; où C3 est une constante. 13) Sc Trace du plan horizontal FIG. 7 ----- Mouvement du Soleil D 21 ----------- Calculer la vitesse angulaire Q5 du mouvement de rotation de la direction OS autour de 0, en minutes d'arc par seconde ( ' .s""'). En déduire, dans la même unité. d & / dt pour Âtaz m 45°. Ü 22 4---- Exprimer la vitesse angulaire instantanée du Soleil observé en présence de réfraction at-- mosphérique (dËB/ât),æ, en fonction de Qg, À... et (âga/ÔËB)À. Combien de temps faut--il au Soleil pour parcourir O, 50 au voisinage de l'horizon en supposant âga / 856 x l, 177 indépendant de 90 et de À ? La réfraction atmosphérique a--t--elle pour effet de prolonger ou de raccourcir la durée du coucher du Soleil ? Dans quelle proportion ? IV..B. ... Durée du rayon vert Puisque la réfraction dépend de la longueur d'onde À, l'image du 80-- EUR leil sur l'horizon se décompose en un ensemble de disques monochro-- matiques un peu aplatis, décalés les uns des autres et qui se super---- posent comme le montre la figure 8---- a. Les points A et A' sont solidaires des disques. La réfraction calculée à l'aide du modèle d'atmosphère ' standard permet de développer au voisinage de l'horizon la fonction ga ($, À) selon : FIG. 8 ---- Influence de la longueur d'onde ...... ... ....  ___. ...... &: x ga(60, À.) 3 ...32,9+ l, 177 @+ 1,58 (17 --------- l) avec 95 et 90 en minutes d'arc. ' v Sur la figure 8--b, on a représenté ga(ÔB, M) et ga(@B, ÀÇ) en fonction de Ë6 et placé les points A et A' correspondants à ceux présents sur l'image du Soleil (Fig.8--a). On suppose que le rayon vert débute lorsque A' est sur l'horizon et qu'il s'achève lorsque A passe en dessous de l'horizon. Ü 23 --------- Comment appelle--t--dn le phénomène de réfraction sélective, c'est--à--dire fonction de la longueur d'onde, de la lumière ? Qualitativement, ce phénomène opère--til vis--à--vis de la longueur d'onde comme le fait un prisme de verre? Pourqu0i l'influence des disques de longueurs d'onde inférieures à À..., peut--elle être négligée ? Ü 24 --------- Pour À... $ 45°, calculer la durée t'1 du rayon vert dans le cadre de ce modèle. Est--elle compatible avec les observations des astronomes Danjon et Rougier '? Calculer l'épaisseur angulaire EUR., du limbe vert du Soleil (Fig.8--a). L'observation du rayon vert montre que celui--ci n'est pas ponctuel mais possède une extension spatiale. Sachant que la résolution de l'oeil humain est de l'ordre d'une minute d'arc, le mécanisme qui vient d'être décrit peut--il expliquer le rayon vert ? IV..C. --------- Modèle avec inversion d'indice L' observateur est désormais placé en O' d'altitude H == 5 m au dessus de la surface terrestre. L' éléva-- tion du point d'observation amène à distinguer l'horizon astronomique (1) ou plan orthogonal 'à la verticale de l'observateur, l'horizon géométrique (2) ou cône de sommet O' et tangent à la sphère terrestre et l'horizon apparent (3) matérialisé par la ligne où le ciel Semble rejoindre la terre (Fig.9----a & 9--b). On suppose qu'il existe dans les premiers mètres d'altitude, entre la terre et l'observateur, une zone d'inversion du profil de masse volumique et donc d'indice de réfraction de l'air. Dans cette confi-- guration, les trajectoires des rayons lumineux sont représentées pour plusieurs valeurs de Ë5 sur la figure 9--b, avec des éChelles de distance horizontale et verticale différentes afin de mieux visualiser la courbure des rayons lumineux. îîÏ3...'î', "'æËÿ } H . .W"'""° onzo_n ;_..,............... MW...,,...« www.n-- ' ,;.W"""""""" _ .« -- :; W...æawfl"""' ,. ......., % } ' ... _ ......., , ...:'7, W...WM . " "°°... . i . v "FM" ww"...fi Æ ' : 2 . MHM _ 9 'M......"WW'W'M......""WWW"..."..."Iwm""""""'"'""""""'"»Wr--um«......... ) 0 ' ' ...,......«...M....«.........,_ ;, .......... . ,»; fa .......... , w"'"'"w :: if uw"""""'""'k"flu«... , " ...... " "? f' « . ...;mj,fi; ""'"Wæ...... ... «; M...,w "mv--"m..."... " " .... »,; ' ,{ ,} u,...fi ' , m....,,,tw... @ m , ;;" """/.; ...... ' ; « q , ; ° . ... «... m..."... ;... ... EUR '"a @, , "o.." ""'"m A , ...,...f ... : W... ' !} .... ; ? . % MM." É " kw "m m..., :..._ w....«vwwmwæmwwummW" "WM... Ww"mw...ä......"" "% " ,...»wmnfl W"""Mæ, M""""'"'fiw...... M m..._æ . m ' WMW"'% m'mmw "'"w...w ""'"WM @ .......... Ëä ? fi ...... ... ' _ "«..." .. , » ... m, ; TÔITÔ """"'"w.... """--« n MM «...... wu...% , , fl... ' '.IËîTQOE ... 'Ê;{î .. «... £ ' v,_ ËÏÆIY,I :? "tee F IG. 9 ------- Horizons astronomique(l), géométrique(2) et apparent(3) D 25 ... Pourquoi dit--on qu'il se produit un mirage dont l'étymologie provient de la contraction de miroir--image '? Exprimer ladistance d2 == 0' G de l'observateur à son horizon géométrique en négligeant les termes du premier ordre en H /RT. Calculer la valeur numérique de dz puis celle, en minutes d'arc. de l'angle de hauteur 62 < 0 de l'horizon géométrique en dessous de l'horizon astronomique (Fig.9--a). Comparer d2 à d3, distance de l'observateur à son hdrizon apparent, puis 62 à 93 < 0, angle de hauteur de l'horizon apparent en dessous e l'horizon astronomique. iin;ieen astrenemiqne «:|--nmüwaævnü-u apparent ,, PIG. 10 ------- Coucher du Soleil avec inversion d'indice E] 26 ----------- La figure 10 représente l'évolution du Soleil couchant, si--- ......ËËÊË'ÂËÎËËËËËËYÎOEQÏW mulée dans une atmosphère standard ,; ; possédant une zone d'inversion d'in-- ;ä;; dice. Quel est, sur cette figure, l'angle de hauteur â; < 0 sous l'horizon astronomique, du plan qui renverse l'image ? La figure ll--a représente ............ l'image du disque monochromatique ;; B b (%;) de longueur d'onde À; à l'instant . où disparaît en A' le disque de longueur PIG. ll ------ Influence de la longueur d'onde sur la réfraction avec d'onde Àf, Les points A1 et A2 sont inversion d'indice solidaires de (%;). La représentation graphique de la nouvelle caractéristique de transfert de l'atmosphère ga (ÔË, i_)__ est donnée sur la figure ll--b aux deux longueurs d'onde Â... et M Sachant que A2A1 m 2,1 ' et A' B x 0, 31 ', calculer la durée 12 de disparition de (%;). Conclure. FIN DE LA PARTIE IV ' wmv--raflme FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 2 PC 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Mehdi Nehmé (ENS Cachan) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet comporte quatre parties indépendantes d'égale longueur mais de difficulté variée. Les parties II et IV ainsi que le début de la partie I peuvent être traités avec les connaissances du programme de première année seulement ; au contraire, la partie III repose exclusivement sur le programme de deuxième année. · Dans la première partie, on étudie tour à tour différents modèles d'atmosphère (isentropique puis isotherme et enfin standard) et on propose une explication à l'inversion du gradient de densité de l'air près du sol. · Dans la deuxième partie, on analyse la réfraction atmosphérique, c'est-à-dire la déviation des rayons lumineux par l'atmosphère, en utilisant l'optique géométrique ; plus délicate que la précédente, cette partie teste manifestement la capacité du candidat à raisonner sur des angles et des longueurs élémentaires en géométrie. · La troisième partie reste très proche du cours sur le rayonnement dipolaire et ne pose pas de difficulté. · La quatrième partie étudie concrètement le rayon vert, sa durée d'existence et sa forme. C'est la partie la plus difficile, tant en raison de l'approche choisie que par le manque de clarté de l'énoncé ­ ce qui oblige à une lecture très attentive de chaque paragraphe et de chaque schéma. Cette partie évalue clairement les capacités d'analyse face à un sujet inconnu ; gageons qu'elle n'aura remporté qu'un maigre succès au concours. Ce sujet, qui peut être abordé par toutes les filières, se prête bien à un travail à différents niveaux durant les première et deuxième années : pour tester sa connaissance du cours sur le rayonnement dipolaire électrique, approfondir ­ ou réviser ­ les raisonnements de l'optique géométrique et de la thermodynamique ou encore se frotter à un sujet inconnu appelant une réflexion et une recherche personnelles. Indications Partie I 2 Écrire la loi de Laplace pour p et et la différentier logarithmiquement. Injecter la loi des gaz parfaits dans la loi de l'hydrostatique. 3 Utiliser la loi de Laplace pour T et . 4 La température dépend-elle de l'altitude z ? 5 Quelle est la solution de l'équation différentielle f (z) + a(z) f (z) = 0 ? 6 La masse volumique dépend-elle du temps ? Utiliser la loi des gaz parfaits pour faire apparaître p. 7 Différentier logarithmiquement la loi des gaz parfaits. Partie II 8 Sur le schéma, i2 est-il supérieur à i1 ? 9 Raisonner sur le dioptre entre les tranches en z et z + dz. 10 Utiliser la formule des sinus dans le triangle BB C. - i . Différentier logarithmiquement le produit n r sin i. Relier 11 Exprimer sin 2 les angles dans le triangle BIC. 12 Réécrire tan i en fonction de sin i uniquement. 13 Effectuer un développement limité de n à l'ordre un. 14 Comparer les angles d'incidence dans un plan horizontal et dans un plan vertical. Relier s et h . Exprimer v en fonction des angles de réfraction atmosphérique des points extrêmes en haut et en bas du disque solaire et de h . Partie III 15 Comparer la masse du nuage électronique à celle du noyau. Comparer la force électrique et la force magnétique de Lorentz. À quelle condition peut-on négliger le retard à la propagation de l'onde entre les électrons et le noyau ? 16 Injecter l'expression z 0 exp jt dans le théorème de la résultante dynamique. 17 Éliminer les termes en 1/r2 et 1/r3 . 18 La puissance moyenne totale est égale au flux du vecteur de Poynting à travers la sphère de rayon r0 . Partie IV [c et i . Relier SSc et SSH . 21 Dériver les expressions de SOS 22 Dériver i = g a (0 , ) par rapport au temps. 23 Quelle est l'effet de l'atmosphère sur les longueurs d'onde < v ? 24 Comment varie i quand le rayon vert est visible ? 25 Remarquer sur la figure 9-b que deux rayons ayant le même i conduisent à des rayons ayant des 0 différents. À l'aide d'un schéma inspiré de cette figure, montrer que d2 > d3 . 26 Comment varie i quand le rayon vert est visible ? Utiliser la question 21. I. L'atmosphère terrestre 1 Isolons par la pensée un petit volume V d'air de masse m, situé à l'altitude z. La loi des gaz parfaits s'écrit m p(z) V(z) = R T(z) M alors p(z) = (z) donc (z) = Application numérique : R T(z) M M p(z) R T(z) 0 = 1,23 kg.m-3 2 Différentions logarithmiquement la loi de Laplace p - = Cte Pour ce faire, composons par la fonction logarithme ln p - ln = Cte puis dérivons cette expression par rapport à z d 1 dp = p dz dz (1) Par ailleurs, la condition d'équilibre hydrostatique s'écrit dp = - g0 dz Éliminons p à l'aide de la loi des gaz parfaits R T d R dT + = - g0 M dz M dz Utilisons l'équation (1) pour exprimer la dérivée de par rapport à z (2) R T dp R dT + = - g0 M p dz M dz La condition d'équilibre hydrostatique et la loi des gaz parfaits permettent alors dp d'éliminer , il vient dz 1 R dT - g0 + = - g0 M dz d'où dT M g0 1 - = = -9,76 K.km-1 dz R Intégrons cette expression par rapport à z ; il vient z R T0 T(z) = T0 1 - avec Hs = = 29,5 km Hs M g0 - 1 Dans ce modèle, la température décroît plus rapidement que dans le modèle standard. Cette différence provient de l'hypothèse d'adiabaticité qui est incorrecte. On peut invoquer deux mécanismes pour le justifier : d'une part, l'évaporation d'eau, au sol, contribue à refroidir les basses couches d'air alors que la condensation en altitude (qui conduit à la formation de nuages) contribue à réchauffer les couches d'air plus élevées, d'où une atténuation du gradient (en valeur absolue) ; d'autre part, le rayonnement solaire (« direct » et « réémis » par la Terre) apporte de l'énergie thermique à l'atmosphère. L'expression de dT/dz peut être obtenue plus rapidement en écrivant la loi de Laplace en variables p et T : p1- T = Cte . On différentie logarithmiquement cette relation, pour obtenir dT - 1 dp = p dz T dz On élimine alors la dérivée de p par rapport à z grâce à la condition d'équilibre hydrostatique 1- dT g0 = p T dz la loi des gaz parfaits conduit alors au résultat. Ce calcul ne répond, toutefois, pas complètement à la question puisqu'il ne fait pas intervenir (1). Le jury précise que cette « question a été rarement traitée jusqu'au bout, certaines copies contenant des pages de calcul faux (...). Beaucoup de candidats ont perdu du temps à cet endroit. » 3 La loi de Laplace peut encore s'écrire T 1- = T0 0 1- donc 1/(-1) z (z) = 0 1 - Hs 4 Une atmosphère isotherme est définie par dT =0 dz d M g0 + =0 dz RT z RT (z) = 0 exp - avec Ht = = 6,34 km Ht M g0 L'équation (2) devient alors d'où Ht croît linéairement avec la température. 5 Utilisons, de nouveau, l'équation (2) et remplaçons T par l'expression proposée R d R (Tk + z Gk ) + Gk = - g0 M dz M Ainsi, (Tk + z Gk ) d + Ck = 0 dz avec Ck = M g0 + Gk R