Mines Physique 2 PC 2008

Thème de l'épreuve Dispositifs magnétiques
Principaux outils utilisés magnétostatique, mécanique du point, mouvement des particules chargées, électrostatique
Mots clefs spin, Stern, Gerlach, Charpak, bobines d'Helmholtz, chambre à fils, chambre de dérive

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE­EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ce probleme, dont les differentes parties sont largement independantes, aborde quelques dispositifs utilises dans l'etude de certaines proprietes de particules fondamentales. Dans de tres nombreux cas les particules, chargees, sont en mouvement dans un champ magnetique permanent. Donnees : Constantes electromagnetiques du vide : µo = 4 × 10-7 H.m-1 , o = 1/(36 ) × 10-9 F.m-1 , masse de l'electron : m = 9, 11 × 10-31 kg, charge elementaire : e = 1, 60 × 10-19 C, Constante de B OLTZ MANN k = 1, 38 × 10-23 J.K-1 , Constante d'AVOGADRO N = 6, 02 × 1023 mol-1 . - - - er , e , ez ), pour tout champ scalaire Dans le systeme de coordonnees cylindriques (r, , z) de base ( - - - - V (r, , z) et pour tout champ de vecteur F = Fr er + F e + Fz ez , on donne : ----- V V 1 V 1 (rFr ) 1 F Fz - - - - er + ez div( F ) = + e + grad(V ) = + r r z r r r z - ---- Fr Fz (rF ) Fz 1 Fz F ez - - - rot( F ) = er + e + - - - r z z r z r I. -- Creation de champs magnetiques ayant des proprietes particulieres Deux structures de champs seront abordees : Le champ uniforme et le champ a variation lineaire. La region de l'espace dans laquelle regnent ces champs possede les memes proprietes electromagnetiques que le vide. DISPOSITIFS MAGNETIQUES I.A. -- Champ uniforme : solenoides et bobines de H ELMHOLTZ On considere un solenoide cylindrique de longueur comportant N spires jointives identiques, circulaires de rayon R. Ce solenoide est parcouru par un courant d'intensite I = cste. 1 -- On se place dans le cadre de l'approximation du solenoide infini. Etablir l'expression du -- champ magnetique Bsol cree par le solenoide a l'interieur de celui-ci. Une autre methode classique de production d'un champ magnetique uniforme est l'utilisation des bobines de H ELMHOLTZ. Les questions suivantes vont permettre d'expliciter leurs caracteristiques. On considere une spire circulaire C, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant d'intensite -- I = cste. L'axe Oz est perpendiculaire au plan de la spire. On appelle Bcoz (z) le champ magnetique cree par la spire en un point situe sur Oz a la cote z. -- -- -- 2 -- Exprimer Bcoz (0) en fonction de µo , R et I puis Bcoz en fonction de Bcoz (0) et de la variable sans dimension u = z/R. Figure 1 : Bobines de H ELMHOLTZ On considere le montage de la Figure 1 constitute de deux bobines plates d'epaisseur negligeable, composees chacune de N spires circulaires de rayon R, de meme axe de symetrie Oz. Ces deux bobines ont pour centres de symetrie respectifs O1 et O2 , elles sont parcourues par des courants identiques d'intensite I = cste. Les extremites de ces bobines sont separees d'une distance D = 2d. La configuration d'H ELMHOLTZ est obtenue - lorsque d = R/2 . On note Bh le champ cree par la configuration d'H ELMHOLTZ et (Bhr , Bh , Bhz ) les com- - - - posantes de Bh dans la base ( er , e , ez ) des coordonnees cylindriques (voir Figure 2). 3 -- On pose toujours u = z/R, determiner le champ -- magnetique Bhoz (u) cree par la configuration de la Figure 1 en un point situe sur l'axe Oz a la cote z. Representer sur un meme graphique les fonctions u - 7 ---- -- -- -- 7 Bhoz (u) / Bhoz (0) . Que Bcoz (u) / Bcoz (0) et u - constatez-vous lorsque u 0 ? -- 4 -- On note g(u) = Bhoz (u) . Justifiez physiquement le fait que la fonction g (u) est paire. Ecrire, en fonction de u et de la constante = 8N µo I/(5 5R), le developpement limite g(u) de g (u) a l'ordre 4 au voisinage de 0. On donne " #-3/2 32 3 144 4 6 8 1 2 4 1+ x± x +o x = 1 x± x - 2 5 25 125 5 5 Page 2/7 avec n 1, lim xn o (xn ) = 0 x0 Physique II, annee 2008 -- filiere PSI 5 -- Determiner l'amplitude de l'intervalle centre sur l'origine sur lequel la fonction g (u) ne varie pas de plus de 2% en erreur relative. 6 -- En considerant les symetries de la configuration montrer que Bhr = Bhr (r, z), Bhz = Bhz (r, z) et Bh = 0. - 7 -- On cherche une expression de Bh au voisinage de l'axe Oz. Un developpement limite permet dans ce voisinage, d'obtenir Bhz (r, z) = g (z) + r2 d 2 g + (r) dz2 ou est une constante et une fonction paire de la variable r. En utilisant les equations de M AXWELL determiner la valeur de et l'expression de (r) en fonction de , R et r. En deduire les expressions de Bhz et Bhr en fonction de , R, z et r. Figure 2 : Coordonnees cylindriques Un detecteur de particules chargees necessite la production d'un champ magnetique uniforme et permanent de norme B = 0, 5T dans un volume cylindrique de hauteur H = 4m et de diametre D = 4m. On veut comparer les deux sources decrites precedemment. Les spires sont realisees avec un materiau conducteur de section carree de 2mm de cote et l'intensite du courant I est limitee a 100A. 8 -- Dans le cas d'un solenoide de longueur = 8m, determiner le nombre de spires que l'on doit utiliser, eventuellement sur plusieurs couches, pour delivrer sur Oz un champ susceptible d'etre utilise pour detecter des particules chargees. En deduire la longueur totale de fil conducteur que l'on doit utiliser. 9 -- Pour l'utilisation des bobines de H ELMHOLTZ, on souhaite que le champ magnetique ne varie pas de plus de 2% le long de l'axe Oz sur toute la hauteur H. Determiner le rayon des spires a utiliser puis calculer le nombre N de spires pour chaque bobine. En deduire la longueur totale de fil conducteur que l'on doit utiliser. 10 -- Le fil conducteur utilise est du cuivre de conductivite = 6.107 S.m-1 . Apres avoir choisi la source de champ la plus economique en fil, calculer la puissance perdue par effet J OULE dans celle-ci. Commenter ce resultat. Dans la pratique quelle solution technologique doit-on utiliser pour r ealiser cette source ? I.B. -- Champ lineaire : bobines de M HOLTZHEL On reprend la configuration de H ELMHOLTZ mais avec deux courants de meme intensite circulant en sens contraire conformement a la Figure 3 avec maintenant d = 3R/2. Cette configuration inversee est appelee « bobines de M HOLTZHEL ». On s'interesse au champ -- magnetique Bmoz cree par ces bobines sur l'axe Oz au voisinage de O. 11 -- En utilisant toujours la variable reduite u = -- z/R, etablir l'expression du champ Bmoz (u) cree sur l'axe Oz en un point de cote z. Page 3/7 Figure 3 : Bobines de M HOLTZHEL Tournez la page S.V.P. DISPOSITIFS MAGNETIQUES 12 -- On donne maintenant la relation ! !2 -3/2 3 7 3 3 8 6 48 240 1056 1 + x ± = 1 x + x2 - x4 ± x5 + o x5 2 49 7 49 343 2401 Montrer que le champ magnetique cree par une bobine de M HOLTZHEL au voisinage de l'origine -- - est tres proche d'un champ lineaire de la forme Bmoz (z) = az e z . On exprimera la constante a en fonction de N, µo , I et R. -- 13 -- Determiner l'amplitude de l'intervalle contenu dans Oz et centre sur O sur lequel Bmoz (z) est approximable a moins de 2% d'erreur relative par un champ lineaire de pente a. 14 -- On souhaite realiser un champ lineaire de pente a = 10 T.m-1 en utilisant un courant permanent d'intensite I = 10 A et des bobines de M HOLTZHEL de 10 cm de rayon. Calculer le nombre de spires N a utiliser. FIN DE LA PARTIE I II. -- L'experience de Stern et Gerlach Dans une enceinte, ou regne une faible pression, est place un four contenant du lithium porte a la temperature T . Le lithium se vaporise et le gaz d'atomes obtenu se comporte comme un gaz parfait monoatomique a la temperature T . Un ensemble d'ouvertures pratiquees dans le four permet d'obtenir un jet d'atomes de lithium. On suppose que ce jet est monocinetique et donc que les atomes ont tous la meme energie cinetique Eco = 2 - m k vo k /2 ou m est la masse d'un atome de li- thium et vo la vitesse moyenne des atomes dans le - - Figure 4 four. On supposera qu'en sortie du four vo = v o ex . Le poids des atomes de lithium est negligeable dans toute cette experience. 15 -- On regle la temperature T de facon a obtenir Eco = 1, 6.10-20 J. Calculer la valeur numerique de T . En sortie du four, le jet d'atomes de lithium passe dans une region ou regne un champ magnetique - - B = B (z) ez tel que B (z) = az (voir Figure 4). On admet que cette region est de largeur et qu'en dehors de celle-ci le champ magnetique est negligeable. On constate que le jet est devie et que son impact sur un ecran situe a l'abcisse d = + D se situe a une cote zo non nulle. Cette deviation est - explicable par le fait que les atomes de lithium sont porteurs de moments dipolaires magn etiques M constants et que dans la zone ou regne le champ magnetique ils sont soumis a une force magnetique - - derivant de l'energie potentielle E p = -M . B - - 16 -- Apres avoir exprime cette force, etablir, en fonction de a, M = M . e , et E , la relation z z co entre z et x decrivant la trajectoire d'un atome dans la region ou regne le champ magnetique lineaire. 17 -- Exprimer la cote zo en fonction de D, , Eco , a et Mz . 18 -- On observe en fait sur l'ecran deux taches symetriques par rapport a Ox. Que peut-on en deduire ? 19 -- On choisit Eco = 1, 6.10-20 J, a = 10 T.m-1 , = 10 cm et D = 10 m et on observe z = ±3 mm. Calculer la composante Mz du moment magnetique des atomes de lithium. Page 4/7 Physique II, annee 2008 -- filiere PSI Cette experience realisee par les physiciens OTTO S TERN et WALTHER G ERLACH en 1921 a permis de mettre en evidence la quantification du moment cinetique de spin des atomes etudies (et a valu le prix Nobel de physique a OTTO S TERN en 1943). FIN DE LA PARTIE II III. -- Identification de particules dans une chambre a projection temporelle Dans l'experience D ELPHI du C ERN on realise des collisions a grande vitesse entre des electrons et des positrons (anti-electrons). Ces dernieres produisent des particules chargees, appelees particules filles, que l'on cherche a identifier. On tente pour cela de reconstituer leurs trajectoires dans une chambre dite a projection temporelle. Cette chambre comporte trois parties : la chambre de derive, la chambre proportionnelle et la chambre a fils. L'ensemble du detecteur comporte un axe z de symetrie de revolution. La trajectoire analysee est decrite dans le systeme de coordonnees cylindriques (r, , z) utilise dans la partie I et illustre par la Figure 2. A l'interieur de la chambre de derive, les collisions electrons-positrons ont lieu a proximite de l'axe z. Cette chambre est remplie d'argon sous faible pression. Le mouvement des particules filles Figure 5 : Chambre a projection temporelle dans l'enceinte gazeuse produit des electrons d'ionisation. Le mouvement d'un electron d'ionisation dans la chambre de derive et les signaux electriques qu'il produit dans la chambre a fils permettent de determiner les coordonnees du point ou l'ionisation a eu lieu. On peut ainsi obtenir toutes les informations cinematiques sur les particules filles et determiner leurs natures. Dans toute cette etude on utilisera la mecanique classique non relativiste et le poids des particules sera neglige. III.A. -- Mouvement d'un electron d'ionisation dans la chambre de derive On s'interesse au mouvement d'un electron d'ionisation, note ei , de masse me et de charge -e, a l'interieur de la chambre de derive. Dans cette enceinte, cylindrique de longueur L = 2, 1 m, regne - - - - un champ magnetique B = B ez et un champ electrique E = -E ez permanents et uniformes (voir Figure 5). Le champ electrique est obtenu en imposant une difference de potentiel U = 63 kV entre les deux extremites de la chambre. En plus de la force electromagnetique, le gaz contenu dans la chambre - - - de derive impose a l'electron une force de frottement fluide F = -µ v ou v represente sa vitesse - -20 -1 kg.s . On appelle ve la vitesse de ei au moment de son emission par ionisation et µ = 9, 6 × 10 - - - d'un atome du gaz. On se place en coordonnees cartesiennes (x, y, z) dans la base ( ex , ey , ez ) de telle - - maniere que ve . ey = 0. L'origine O du referentiel est le point d'emission de ei a l'instant t = 0. 20 -- En prenant comme parametres e, B, µ , U et L, etablir les trois equations differentielles - - - - - - regissant l'evolution des composantes vx = v . ex , v y = v . ey et vz = v . ez de la vitesse de ei dans la chambre de derive. Exprimer vz en fonction du temps t et determiner vlim = lim vz (t). On posera t = me / µ Page 5/7 Tournez la page S.V.P. DISPOSITIFS MAGNETIQUES - - 21 -- Calculer la valeur numerique de vlim . En negligeant ve . ez devant vlim , calculer le temps T qu'il faut attendre pour que t > T, |vz (t) - vlim | < 1% |vlim | 22 -- Ecrire l'equation differentielle verifiee par la fonction complexe u(t) = vx (t) + i vy (t). Deduire de la resolution de cette equation les expressions de vx (t) et de vy (t). On posera e = eB/me . 23 -- Apres une phase transitoire tres breve, quel type de mouvement adopte ei ? Montrer alors que la duree de ce mouvement permet d'obtenir la coordonnee z du point de la trajectoire de la particule fille ou s'est produite l'ionisation a l'origine de ei . III.B. -- Etude des chambres proportionnelle et a fils A la sortie de la chambre de derive, ei doit produire un signal sur un detecteur qui permet d'obtenir les deux autres coordonnees pour la reconstruction de la trajectoire de la particule fille. La charge d'un electron etant trop faible pour obtenir un signal detectable, on utilise une chambre dite proportionnelle pour produire un phenomene d'avalanche. Cette chambre est constituee de deux grilles perpendiculaires a l'axe z distantes de L = 1cm et entre lesquelles on applique une difference de potentiel U = 1500V. La chambre proportionelle est remplie du meme gaz que celui contenu dans la chambre de derive. 24 -- Sachant que l'energie molaire de premiere ionisation de l'argon vaut Ei = 1520 kJ.mol-1 , et en admettant que seulement 50% de l'energie fournie par la difference de potentiel U ne permette d'ioniser les atomes d'argon, quel est le nombre d'ionisations produites par un electron de derive ? Les electrons «produits» par ces ionisations, appeles electrons secondaires, provoquent eux aussi de nouvelles ionisations : il se produit une avalanche qui permet d'obtenir environ 10 5 electrons pour un electron de derive. La detection du signal est effectuee dans la chambre a fils. L'avalanche d'electrons arrive sur un fil metallique qui va influencer un autre fil metallique parallele au precedent. Cette charge permet de generer un signal electrique. On considere que chaque fil est un cylindre conducteur de rayon a et de longueur h a. - 25 -- Etablir l'expression du champ electrique E f cree a l'exterieur d'un fil metallique cylindrique infiniment long, portant une charge lineique uniforme = q/h. En deduire le potentiel electrique associe a ce champ. Figure 6 26 -- On considere a present deux fils identiques au precedent, d'axes paralleles et separes d'une distance d, mais portant des charges lineiques opposees + = +q/h et - = -q/h. Etablir l'expression du potentiel electrique en un point M exterieur aux fils en fonction des distances r1 et r2 entre ce point et chaque axe (voir Figure 6), et des quantites q, h et o . On prendra le potentiel nul lorsque r1 = r2 . Montrer que la capacite formee par une longueur h de ces deux fils est donnee par la relation o h C= ln d-a a Calculer la valeur de cette capacite pour h = 1, 0 × 10-3 m, d = 3, 0 × 10-6 m et a = 1, 0 × 10-6 m. Page 6/7 Physique II, annee 2008 -- filiere PSI On place les deux fils de la question 26 en influence dans le circuit de la Figure 7 comprenant une resistance R et un generateur de force electromotrice constante W = 1, 0 V. En l'absence d'avalanche, en regime permanent, on appelle qo la charge totale prise par l'armature positive. Lorsqu'une avalanche se produit, cette charge devient q1 et, par influence, l'autre armature acquiert, apres un temps caracteristique = 1, 0 × 10-12 s, une charge opposee. 27 -- Calculer les valeurs numeriques de qo et q1 puis etablir l'equation differentielle verifiee par la tension UR . Figure 7 Resoudre cette equation en choisissant t = 0 pour l'arrivee de l'avalanche sur l'armature positive. 28 -- Comment doit-on choisir R pour que le temps soit negligeable devant les temps caracteristiques des phenomenes etudies ? Expliquer la necessite de provoquer une avalanche a partir d'un electron de derive. Comment un tel dispositif permet-il d'identifer les coordonnees x et y de la particule fille au moment de l'ionisation de l'argon dans la chambre de derive ? Les chambres proportionnelles a fils ont ete inventees et mises au point a la fin des annees 1960 par le physicien francais G EORGES C HARPAK et lui valurent le prix N OBEL en 1992. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 2 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet traite de différents aspects de dispositifs magnétiques utilisés dans l'étude des propriétés des particules fondamentales. Il se compose de trois parties qui, hormis les notations, sont totalement indépendantes les unes des autres. · La première partie a trait à la production de champs magnétiques uniformes ou variant linéairement avec la distance. Pour les premiers, on étudie le solénoïde infini et les bobines d'Helmholtz. Pour les seconds, c'est une variante de la configuration d'Helmholtz qui est abordée. Cette partie, la plus longue de l'épreuve, n'est pas conceptuellement ardue mais elle demande des calculs (qui ne sont pas difficiles). Il faut être organisé pour réutiliser au mieux le travail déjà fait dans de nombreuses questions et ainsi gagner du temps. · La deuxième partie concerne l'expérience de Stern et Gerlach, qui a permis de mettre en évidence la quantification du moment cinétique de spin des atomes de lithium. Cette partie est la plus courte ; elle utilise principalement la mécanique du point matériel. · Dans la dernière partie, on s'intéresse à un dispositif expérimental utilisé pour l'étude des particules de hautes énergies. Il s'agit de l'association d'une chambre de dérive, où se produisent les collisions entre particules, d'une chambre proportionnelle qui amplifie le signal, et enfin d'une chambre à fils qui permet la détection effective. Rappelons que c'est la mise au point de la chambre à fils qui valut à Georges Charpak son prix Nobel en 1992. Cette partie traite principalement de différents mouvements de particules chargées et se termine par quelques questions d'électrocinétique des régimes transitoires. Dans l'ensemble, cette épreuve est d'une longueur tout à fait raisonnable. Signalons que, même si les raisonnements et calculs demandés sont très classiques, de nombreuses questions intermédiaires guident le candidat. Beaucoup d'applications numériques, qu'il convient de ne pas négliger, sont demandées. Une seule question, la 7 dans la première partie, se distingue par sa difficulté. C'est sans conteste la plus délicate de tout le sujet : elle nécessite plusieurs raisonnements et pas mal de calculs sur des dérivées partielles pour être correctement résolue. Elle est cependant indépendante du reste de l'épreuve : ne pas réussir à y répondre n'empêche nullement de poursuivre. En dehors de la question 7, qui fait intervenir les équations de Maxwell, cette épreuve n'utilise que le programme de première année. Qui plus est, elle aborde un pan du programme peu fréquent dans les épreuves écrites de concours, la magnétostatique, et, dans une moindre mesure, les mouvements des particules chargées. Notons qu'il est rare qu'une épreuve utilisant uniquement le programme de première année soit proposée dans cette filière (contrairement à la filière MP, où c'est plus fréquent). C'est l'occasion de rappeler que le programme des concours porte bien sur l'intégralité de la formation reçue durant les deux années de classes préparatoires. Indications Partie I - 1 Montrer par une analyse des symétries que B est porté par - ez et que sa norme ne dépend que de r. Le théorème d'Ampère permet ensuite de montrer que le champ est uniforme à l'intérieur du solénoïde et que sa valeur est celle obtenue par exemple sur l'axe. 3 Négliger l'épaisseur des bobines. Ainsi, tout se passe comme s'il y avait N spires identiques de mêmes caractéristiques. 7 Écrire la conservation du flux du champ magnétique et l'équation de MaxwellAmpère en l'absence de source et les simplifier en utilisant les symétries établies à la question 6. Dériver l'équation de Maxwell-Ampère par rapport à z et utiliser la conservation du flux pour obtenir une équation aux dérivées partielles qui ne fait intervenir que Bhz . Remplacer alors l'expression fournie par l'énoncé et identifier . Calculer ensuite la fonction (r). Partie II 15 Utiliser la définition de la température cinétique T à partir de l'énergie cinétique d'agitation des particules à l'équilibre. 16 La relation entre une force conservative et son énergie potentielle associée est -- - F = - grad Ep . Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un atome de lithium pour déterminer la trajectoire. Partie III - - 20 Le champ électrique E = -E ez uniforme est lié à la différence de potentiel U par E = U. Écrire ensuite le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron d'ionisation. Attention lors de l'intégration de la vitesse vz , la vitesse initiale vz (0) n'est pas nulle mais dépend de - ve . 24 Le texte de l'énoncé n'est pas très clair. En fait, on suppose que l'énergie supplémentaire acquise par l'électron dans la chambre proportionnelle sert pour moitié à ioniser des atomes d'argon. 26 Utiliser le principe de superposition. Rappelons que la charge d'une armature d'un condensateur est reliée à la différence de potentiel entre les deux armatures par Q = C V. Les armatures sont ici les limites du fil. 27 Considérer que 105 électrons sont captés par un fil pour déterminer q1 . Dispositifs magnétiques I. Création de champs magnétiques ayant des propriétés particulières I.A Champ uniforme : solénoïdes et bobines de Helmholtz 1 Considérons un solénoïde infini ayant n spires h par unité de longueur d'axe - ez , de rayon R et parcouru par un courant électrique d'intensité I. On traD C - vaille dans la base cylindrique (- er , - e , - ez ). Soit M un r2 ez - - point à l'intérieur du solénoïde. Le plan (M, er , e ) est r 1 I plan de symétrie de la distribution de courant donc, A B - comme B est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur), - c'est un plan d'antisymétrie du champ magnétique B . - Ainsi, B (M) est orthogonal au plan (M, - er , - e ), il est donc porté par - ez . De plus, la distribution de courants est invariante par rotation autour de l'axe - ez - et par translation selon ce même axe ; par conséquent, le champ B ne dépend que de la coordonnée r. On sait donc - B (M) = B(r) - e z Rappelons rapidement quelques notions pratiques sur l'utilisation des symétries pour calculer un champ électrique ou magnétique. Les symétries planes qui passent par le point où l'on calcule le champ permettent d'annuler des composantes a priori tandis que les symétries planes qui ne passent pas par ce point autorisent seulement à réduire le domaine où l'on doit calculer le champ (c'est donc inutile si l'on cherche le champ en un seul point par exemple). Pour un champ électrostatique (respectivement magnétostatique) qui est un vecteur polaire (resp. axial), un plan de symétrie des sources est un plan de symétrie (resp. d'antisymétrie) du champ. Appliquons le théorème d'Ampère à un contour rectangulaire de longueur h orienté plan (orthogonal à - e ) entièrement inclus dans le solénoïde (voir schéma ci-dessus, r1 et r2 sont quelconques). D'après l'étude des symétries et des invariances précédente, la circulation du champ magnétique est nulle sur les segments BC et DA. Comme il n'y a aucun courant enlacé, le théorème d'Ampère conduit à h B(r1 ) - h B(r2 ) = 0 d'où B(r1 ) = B(r2 ) Comme r1 et r2 sont choisis arbitrairement, cela montre que le champ est uniforme à l'intérieur du solénoïde. On choisit donc de le calculer en un point de l'axe. Avant de calculer le champ créé par le solénoïde entier, on détermine le champ créé par une spire circulaire simple de rayon R, de centre O en un point M de son axe. Tout plan contenant l'axe - ez est plan d'antisymétrie de la distribution de courant - - donc plan de symétrie du champ B . Ainsi, le champ B (M) est contenu dans l'inter section de tous ces plans ; il est donc porté par l'axe - ez de la spire. On note l'angle sous lequel on voit la spire depuis le point M ; on a alors tan = R z - - dB(M) La loi de Biot et Savart permet d'écrire, si P est un point ez courant de la spire, M -- - - µ0 I d PM - - - O I dBz (M) = dB(M) · ez = d - 3 · ez 4 k- P PMk - - - - Comme d = R d - e , kPMk2 = R2 + z 2 et (dB, - ez ) = - , on obtient 2 µ0 R I dBz (M) = sin d 4(R2 + z 2 ) L'intégration est immédiate et on obtient finalement - µ0 I R B (M) = sin - ez 2 2 R + z2 Or, on a R sin = 2 R + z2 - µ0 I B (M) = sin3 - ez 2R On considère maintenant le solénoïde constitué d'une infinité de spires identiques. Soit M un point de l'axe de cote zM . D'après la loi de Biot et Savart, les dN = n dz spires situées entre les cotes z et z + dz et repérées par l'angle (orienté dans le sens horaire) créent, en M, un champ d'où dz d - ez M - µ0 I dN dB(M) = sin3 - ez 2R R R d De zM - z = , on déduit dz = tan sin2 - µ0 n I dB(M) = - d(cos )- ez 2 Pour un solénoïde infini, il reste à intégrer sachant que l'angle varie entre 0 et . On en déduit l'expression du champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde infini Ainsi, - - B = µ0 n I ez Rédiger complètement et proprement cette première question ne présente pas de difficulté particulière mais est tout de même assez long. Il convient de savoir rester concis et efficace tout en étant complet. Il ne faut jamais perdre de vue que la première question est le premier contact avec votre correcteur : autant faire bonne impression !