Mines Physique 2 PC 2007

Thème de l'épreuve Étude d'un milieu diélectrique et optique
Principaux outils utilisés mécanique du point, oscillateur harmonique, électromagnétisme dans les milieux, optique géométrique et ondulatoire
Mots clefs atome d'hydrogène, modèle de Bohr, susceptibilité diélectrique, milieu LHI, polarisation du champ, interféromètre de Michelson

Corrigé

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A 2007 PHYS. 11 PC ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2007 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis à disposition des concours : EN SAE (Statistique), EN STIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE Il -PC L'énonce' de cette épreuve comporte 7 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous sembleront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ; vecteur unitaire --> â. Notations : Vecteur --> A ; norme du vecteur A --> A (italique) ou "A Les différentes parties sont largement indépendantes entre elles. On trouvera page 6 le rappel de quelques nota-- tions standard et une banque de données utiles pour résoudre certaines questions. Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numé-- rique. PREMIÈRE PARTIE : ATOME HYDROGÉNOÏDE Le modèle d'atome d'hydrogène proposé par Niels BOHR s'appuie principalement sur les axiomes suivants : dans un référentiel galiléen, i) l'électron décrit une trajectoire circulaire de rayon r sur laquelle il ne rayonne pas, ii) l'électron échange de l'énergie avec l'extérieur lorsqu'il change de trajectoire circulaire, iii) axiome de quantification : mvr = nz-- = nñ, Où rn et v désignent respectivement la masse et le 72' module de la vitesse de l'électron, n un nombre entier naturel non nul et h "" A "_ la constante de Planck. À chaque valeur de l'entier n correspond une valeur du rayon r, de la vitesse v et de l'énergie, notées respectivement r... v,, et r [-- f, m} En. Ü On considère (Fig. 1) un atome d'hydrogène constitué d'un proton (charge . {fif-- -'... e, masse [% et d'un électron (charge --e , masse rn). Le proton, situé en un Fl1=L ; ; _.1,.;...Æ,rfi.F;...H;,--r....fi. point 0, est supposé immobile ; l'électron, en A, est repéré par le vecteur JE" '"f"f""f' "' Ï1'.1'fÜ'ÜËËHË- OA = rûï dans le repère polaire (ûï, ûa) utilisé dans cette partie. Physique Il - PC - 2007 D 1 -- Justifier l'unité de la constante h (J .s) qui figure dans le tableau de la page 7. D 2 -- Montrer que l'on peut négliger la force gravitationnelle devant la force électrostatique entre le \ proton et l'électron (la constante de la gravitation G peut s'estimer a partir de données, même approximativement connues). D 3 -- Etablir que pour le mouvement circulaire de l'électron, E p + 2Ec =(), où EC est l'énergie cinétique et E p l'énergie potentielle (Théorème du viriel). Exprimer EC de l'électron en fonction du rayon r de la trajectoire circulaire. Exprimer le rayon };1 en fonction de n et de "1 , correspondant a n = l . En utilisant l'axiome de quantification, exprimer Iî en fonction de 50 ,m,e et h. Calculer @. D 4 -- Calculer l'ordre de grandeur du champ électrique créé par le proton a la distance r = Iî. Comparer la valeur de ce champ électrique atomique a un champ électrique macroscopique, produit dans des conditions expérimentales que vous préciserez. D 5 -- En déduire l'énergie mécanique totale E de l'électron en fonction de n et des données 50 ,m, e et h. L'origine des énergies pour l'électron correspond à l'état où l'électron est au repos à une , E distance infinie du proton. Ecrire E sous la forme En = à en précisant l'expressron de El. Interpré- n ter le signe de En. On appelle << état fondamental >> de l'atome l'état d'énergie minimale. Montrer que cet état correspond a E1 . Calculer E1 en électron--volt. D 6 --Exprimer la vitesse V,, en fonction de n et de V1-- Exprimer V1° Calculer v1 Comparer sa valeur a celle de c, vitesse de la lumière dans le vide. Conclure. Texte introductif aux questions 7 à 10 Dans les questions suivantes, l'électron a une énergie totale minimale, ce qui correspond a l 'e'tat fondamental de l'atome. On assimile le mouvement de l'électron a une boucle de courant. D 7 -- L'électron en mouvement sur sa trajectoire circulaire peut être assimilé à un courant électrique. Exprimer ] l'intensité équivalente de la boucle de courant. Calculer ] . D 8 -- Calculer B (O) , valeur du << champ Ë >> créé au centre O de la trajectoire par le mouvement de l'électron. D 9 -- Donner l'ordre de grandeur des champs magnétiques les plus intenses actuellement réalisables. Comparer cet ordre de grandeur àla valeur numérique obtenue àla question 8. D 10 -- Si le modèle de Bohr a permis d'expliquer certaines caractéristiques des spectres de l'atome d'hydrogène, ce modèle, qui s'appuie sur la mécanique de Newton, n'a pu expliquer l'ensemble des propriétés des atomes. Ces dernières s'interprètent dans le cadre de la mécanique quantique. Rappeler en quelques mots les conditions de validité de la mécanique classique. DEUXIÈME PARTIE : ABSORPTION, DISPERSION Un milieu gazeux monoatomique peu dense, linéaire, homogène et isotrope, contenant N électrons par unité de volume est soumis a une onde électromagnétique plane progressive harmonique {dans le domaine IR-UV), décrite par les deux vecteurs champs électrique E et magnétique B --> E = EO exp{i(wt --kz)] et E = ËO exp{i(wt -- kz)] . Dans cette partie, le vecteur ? (= x, y, z) ne représente plus la position << instantanée >> de l'électron {pour autant que cette notion ait un sens), mais son élongation moyenne par rapport au noyau ; pour un atome au repos, la position moyenne de l'électron est ainsi confondue avec celle du proton et l'on a Physique Il - PC - 2007 f = 0. Le mouvement d'un électron représentatif est décrit par le modèle classique de l'électron élastiquement lié. En l'absence de rayonnement, l'équation du mouvement de cet électron est d2 ? Ï2 =-mwâî--e(Ë+ËAË)--Zma%. ... t t On suppose que les constantes a et Q)() sont identiques pour tous les électrons, avec 05 _ C _ -- = 5,0><10 6 et /10 =27z-- = 0,83x10 6m. 500 500 D 11 -- Quelle est la signification physique du terme --mwâf ? D 12 -- Quelles sont, dans ce modèle d'oscillateur, la dimension et la signification physique de a ? D 13 -- En les validant par des considérations d'ordre de grandeur, d'une part sur B, d'autre part sur exp(--ikz) , proposer deux simplifications de l'équation non linéaire [l]. La simplification relative au terme exp(--ikz) rend cette équation linéaire. D 14 -- Compte tenu des simplifications de la question précédente calculer en régime permanent l'amplitude complexe Ëo du vecteur Ï(t) et celle du dipôle induit Ê . Exprimer l'amplitude PO du vecteur polarisation Ê , et la susceptibilité diélectrique 1 , définie par P() (Q)) = 80 1 (Q)) E0 (Q)). _» -- -- -- en D 15 -- Dans l'équation de Maxwell relative à un milieu non magnétique r0t(B) = ,uOJ + ,u080 â_ , t --> J est le courant total, somme du courant de conduction et du courant de déplacement L = Ô--_. Éta- -- t . _ --» -- aË bhr alors que, en l'absence de courant de conduction, rot (B) = 80/10 (1 + ;{ ) = 80/10 ET _6_ . Cette _ _ t 5 équation définit la permittivité diélectrique relative 8, (Q)) = 8'(Q)) --i£"(Q)). Exprimer 8'(Q)) et . 2 2 8"(Q)) . Tracer sommairement les courbes correspondantes. On posera (Up = Ne /mEUR0 . D 16 -- Dans l'équation div (80Ë) = ,0 , p représente la densité volumique de charge totale, p : phboe + [Oué : plibre -- div (Y). Établir que, en l'absence de charges libres, div (50Ë + Î') : O . D 17 -- Le milieu considéré étant dépourvu de charges et de courants libres, déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ E dans le milieu1. Remarquer que, avec ce formalisme, k est com- plexe, k =k'+ik" et déterminer la relation de dispersion k(Q)). On suppose 8'(Q))--l<N1 ; justifier le nom d'inversion de population donné a cette situation. Que se passe-t-il lors de la propagation d'une onde électromagnétique dans ce milieu ? LASER est l'acronyme de la traduction anglaise de << Amplifica- tion de lumière par émission stimulée de radiation >> ; justifier cette appellation. D 21 -- Quelles caractéristiques présentent les lasers par rapport aux autres sources de lumière ? Citez des utilisations du laser autres que la réalisation d'expériences au lycée. TROISIÈME PARTIE : LAME POLARISANTE .u. .'r: ff Une lame diélectrique à faces planes et parallèles, d'épaisseur d, est placée dans l'air, assimilé ici au vide (Fig. 2). L'une des faces, représentée par le plan xOy, est abordée par une onde électromagnétique transversale dont le champ électrique L': _ , , c --> _ A A c , o \ .: & s ecrit E -- Ex (x, y, z,t) ux + Ey (x, y, z, t) uy . Le doelectrrque est homogene, __ ? linéaire, transparent, non magnétique, dépourvu de charges et de courants libres, "' '-Ë; - ' ":"mË mais il présente une anisotropie. Cette anisotropie se manifeste par une polarisation "'ËËËÜWËÜË du diélectrique différente suivant les axes x et y. En régime harmonique, cela se traduit par les relations suivantes entre les composantes du vecteur polarisation E et du vecteur champ électrique Ë : fix =50(5m --1)Ex et £y =50(5ry --1)Ey. On pose ci-dessous 81= 808 et EUR 2= 808 avec 8,y > 5rx . Il résulte de la question la question 15 rx ty ' _, __ 5 __ _, _ __ __ que r0t(fi) = ,u0 Ô--(SOE + I_') et il résulte de la question la question 16 que d1V (SDE + P) = O . t --> --> D 22 -- Établir une équation différentielle faisant intervenir les vecteurs E et P , et eux seulement ; attention, cette équation fait intervenir div (É) , qui n'est pas nul. Physique Il - PC - 2007 , âE ÛE D 23 -- Etablir la relation entre " et y , qui fait intervenir 81 et 82. En déduire que âx ây e 82E 82E l'équation de propagation vérifiée par Ex est AEX -- ----1 _; = ,L1081 --2x. 82 ôx ôt D 24 -- Écrire l'équation de propagation vérifiée par E y . Que devient cette équation si le diélectrique est isotrope ? D 25 -- On considère à partir d'ici que les composantes du champ électrique s'écrivent Ex(z,t)=äexp iw(t--£J et Ey (z,t)=Eoyexp iw(t--£J . _ Cl Cz Les amplitudes complexes E0x et E0y sont constantes. En utilisant les résultats de la question précé- dente, exprimer les constantes c1 et c2 en fonction des paramètres du milieu. Texte introductif aux questions 26 à 28 Une onde plane progressive harmonique polarisée rectilignement suivant la bissectrice intérieure des axes (Ox, Oy) aborde le diélectrique sur sa face z = 0, en incidence normale (Fig. 3 ). On néglige toute réflexion de l 'onde ; cette dernière est donc intégralement transmise. La valeur maximale de la norme du champ électrique de l'onde incidente est notée EO. Fig- 3 ." E.Ïif:iflp Élw-trimm rir:' ,r'..."gE. ,-....,-äfü....--H.H: H. E] 26 --Donner les expressrons des composantes Ex et Ey du champ dans le plan z = 0. D 27 -- Exprimer, pour z = d , le déphasage entre les composantes du champ dans le diélectrique. Quelle valeur minimale de d (notée dmin) faut-il utiliser si l'on veut obtenir une onde polarisée circulairement àla sortie du diélectrique ? 1 On pose c1 = co + (1/2)5c = c/n1 et c2 = co -- (l/2)5c = c/n2 (5c << CO) , avec n1 = n0 --îô'n l 2 et n2 =n0 +îô'n.Calculer ô'n/n0 pour dmin =5 mm et /i =£=5><10_6 111. Q) D 28 -- Citez des applications possibles d'un tel dispositif. QUATRIÈME PARTIE : INTERFÉROMÈTRE ... Un interféromètre de Michelson (fig. 4) est initialement réglé en différence de marche OM1 -- OM2 = e non nulle, e = 1,0 cm. Le _.';'.-'.;j _...,|- miroir M1 et l'image du miroir M2 a travers la séparatrice S Ü % Ë_b sont parallèles. La compensatrice C et la séparatrice sont " paralleles et a 450 de l'axe Ox. L'ecla1rement est monochromatr- " que de longueur d'onde % = 0,597 >< 10 m) . Fig- 5 .' .-Wr}rtirïgü modifié : le.? rieur mimiOE restent rartlmgmtmm. i.ttpüt'fifi' gt'isée E] 33 _ En considérant le modèle optique équivalent de J"ËÆ""ËWWWf'f"fr.wmbie.a'fi'jïm'mr'iffi' l'interféromètre de Michelson, représenter la marche d'un 4.""ÜJ'IIFÜ'IL'EHH'ÏEIÈ ("E--' . rayon lumineux, M D 34 -- Soit A un point de la droite définie par l'intersection de M1 et | .. __W de M' , image de M2 a travers CS (Fig. 6). Soit P un point du plan '"ulür _ .T __ _ ---- A _ _ _È__ __ ' p " b1ssecteur de M1 et de M'2, tel que AP = xux . Au pornt P, exprimer la "':'------._ M ? "'-« différence de marche 5 (x) entre les ondes réfléchies sous la forme ("3de \ . \ , -- inet.:iente 5 (x) -- xf £tan(a)] , ou f est une fonction a determiner. On rappelle qu'on associe un chemin optique négatif à un trajet virtuel opposé au Hg- 5 -' 5f'hfi'"...ffi""fÏ"£"... fifi" sens de propagation de la lumière. On pourra, éventuellement, avoir l 'iiitfit_'fËtïflfiiêfi"EUR {partiel}. 2 recours à l'identité 1+ cos(2a) = 1_ tan2 (oz) . D 35 -- Exprimer l'intensité I (x) de la lumière émergente en fonction des intensités Il et 12 de cha- que onde réfléchie et de l'abscisse x du point P. On ne demande pas de démontrer la formule générale des interférences a deux ondes. D 36 -- On souhaite photographier le phénomène ; comment doit-on placer et mettre au point un appa- reil photographique par rapport au dispositif ? On assimilera l'appareil photographique a une lentille convergente. Quelle (s) application (s) voyez-vous de l'expérience précédente ? Physique Il - PC - 2007 Données numériques (toutes ne sont pas données avec la même précision) Masse de l'électron m = 0,911 >< 10_30 kg Charge du proton @ = 1,602 >< 10_19 C Constante de Planck h = 6, 63 >< 10--3418 Constante de Boltzmann kB = 1, 38 >< 10--23] .K_1 Rapport des masses proton/électron % = 1836 Perméabilité magnétique du vide ,u0 = 1, 26 >< 10_6 H.nf1 Célérité de la lumière dans le vide c = 3,00 >< 108 rn.s_1 Permittivité diélectrique du vide 50 = 8, 85 >< 10"12 Fm"1 Champ électrique d'ionisation de l'air Edisruptif % 106 V.rn_1 FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 2 PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Arnaud Riegert (ENS Ulm) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde essentiellement l'électromagnétisme dans les milieux ; il part d'une analyse microscopique des phénomènes pour arriver à l'étude d'une lame polarisante. Une dernière partie, indépendante, propose un problème d'interférométrie en utilisant l'optique géométrique et l'optique ondulatoire. · La première partie est une étude semi-classique de l'atome d'hydrogène portant sur le modèle de Bohr, qui réunit la vision planétaire de Rutherford et une quantification du moment cinétique de l'électron. Elle permet de faire le point sur les ordres de grandeur intervenant à l'échelle atomique. · La deuxième partie abandonne le modèle de Bohr pour le modèle de l'électron élastiquement lié (modèle de Thomson) avec frottements. On considère la réponse de l'atome à un champ électromagnétique extérieur. Le système est alors modélisé par un oscillateur harmonique en régime forcé, ce qui permet d'établir les équations de Maxwell dans les milieux. Une brève introduction aux milieux amplificateurs dans les lasers est proposée à titre d'application. · La troisième partie met en pratique les résultats obtenus dans la deuxième pour analyser le fonctionnement d'une lame polarisante : en envoyant une onde plane monochromatique polarisée rectilignement sur une telle lame, on peut obtenir en sortie une polarisation différente. · La quatrième et dernière partie est constituée de deux exercices classiques sur l'interféromètre de Michelson : la lame d'air et le coin d'air (sous une forme un peu atypique pour le deuxième) avec une source quasi ponctuelle. Ce sujet ne présente pas de difficulté particulière, beaucoup de questions étant très proches du cours, quelques-unes pouvant même aller jusqu'à inquiéter par leur facilité. Les différentes parties sont très largement indépendantes, au point que le sujet devient parfois un peu décousu. Un élève rapide peut donc terminer l'épreuve dans le temps imparti. Pour se démarquer, il faut travailler vite et bien ! On peut utiliser ce sujet dans le cadre de révisions pour s'entraîner à effectuer efficacement des calculs simples et qu'il est bon de connaître. Il permet, de plus, de se familiariser avec la notion de susceptibilité diélectrique. Enfin, la dernière partie propose des montages d'interférométrie légèrement différents de ceux du cours et donne ainsi l'occasion de tester sa bonne compréhension du sujet. Indications I. Atome hydrogénoïde 3 Appliquer le PFD à l'électron pour en déduire sa vitesse et son énergie cinétique. L'équation relie rn et vn ; en combinant avec l'axiome de quantification, on obtient rn en fonction de n. 5 E = Ec + Ep = -Ec . Exprimer cette énergie en fonction de r1 et n. 7 La charge -e traverse le circuit à chaque période (temps nécessaire pour parcourir le cercle de rayon r1 à la vitesse v1 ). 8 Utiliser la loi de Biot et Savart. II. Absorption, dispersion 13 Comparer les ordres de grandeur de la force électrique et de la force magnétique en - - reliant les amplitudes de E et B d'une part, comparer la distance caractéristique de variation de l'exponentielle spatiale aux dimensions atomiques d'autre part. 17 Prendre le rotationnel de l'équation de Maxwell ­ Faraday. Pour obtenir k et k , développer le carré (k + ik )2 et identifier les parties réelles et imaginaires grâce à la relation de dispersion. Raisonner au premier ordre en = - 1 et . III. Lame polarisante 22 Prendre le rotationnel de l'équation de Maxwell ­ Faraday. - - - - 23 Exprimer P en fonction de E et injecter ce résultat dans div (0 E + P ). Projeter selon x l'équation trouvée à la question précédente et éliminer le terme en Ey grâce à la relation que l'on vient d'établir. 27 On obtient une onde polarisée circulairement si les deux composantes ont la même amplitude et si le déphasage vaut /2 modulo . Calculer n et non n/n0 puisque n0 n'est pas donné. IV. Interférométrie 30 Construire le montage optique équivalent pour en déduire la figure obtenue sur l'écran. Suivre le trajet d'un rayon partant d'un point quelconque de la source et passant par le centre de la lentille par exemple. Le rayon est séparé en deux puis les deux rayons se rejoignent, mais l'un a un retard de marche à calculer. 32 Deux champs de vecteurs orthogonaux n'interfèrent pas. Après passage dans le polariseur P2 , le champ électrique est la somme de deux composantes, l'une interférant avec le faisceau issu de M1 , l'autre lui étant orthogonale. 34 Représenter la marche d'un rayon passant par P après une réflexion sur M1 et celle d'un rayon réfléchi sur M2 semblant venir de P. Nommer tous les points caractéristiques du trajet et utiliser des relations dans les triangles. I. Atome hydrogénoïde 1 D'après l'axiome de quantification, h a la dimension d'un moment cinétique. Or [h] = [mvr] = [m][v][r] = [m][v][v] T = [mv 2 ] T = [Ec ] T car r est une longueur, donc une vitesse multipliée par un temps. On en conclut que h est homogène à une énergie multipliée par un temps, donc L'unité de h est bien le J.s. La dimension de h est la dimension d'une action, grandeur qui joue un rôle important en mécanique analytique. Une action peut être vue comme un moment cinétique, une impulsion multipliée par une longueur ou une énergie multipliée par un temps. 2 Les deux forces mises en jeu ont pour intensité |Fe | = de sorte que e2 40 r2 et |Fg | = GMm r2 |Fg | 40 GMm = = 4, 4 · 10-40 |Fe | e2 Il y a 40 ordres de grandeur de différence ! On peut donc négliger sans scrupule l'interaction gravitationnelle devant l'interaction électrostatique. L'énoncé indique que l'on peut retrouver la constante de gravitation G à GMT partir d'autres données connues approximativement : on a en effet g0 = RT 2 (où g0 , MT et RT désignent respectivement l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre, la masse et le rayon de la Terre) mais en général ces valeurs, notamment la masse, ne sont pas mieux retenues que la valeur numérique de la constante de gravitation universelle ! 3 Pour établir le théorème du viriel, appliquons à l'électron le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen lié au proton. L'accélération de l'électron = -v 2 /r- où est la pulsation de rotation. On a donc ici est - 2 r - u u r r v2 -e2 - -m - ur = u r r 40 r2 2 e d'où mv 2 = 40 r Le premier terme est le double de l'énergie cinétique ; le second est l'opposé de l'énergie potentielle d'interaction électrostatique : on définit en effet cette énergie (à une constante additive près) par -- - F = - grad Ep e2 dEp =- 40 r2 dr On a donc établi le théorème du viriel : soit ici - Ep + 2Ec = 0 Le théorème du viriel s'établit dans un cadre plus général lorsque l'énergie potentielle d'une collection de particules U({- ri }) est une fonction homogène des coordonnées : on dit que U est homogène de degré k si l'homothétie {- ri } {- ri } transforme U en k U. On peut alors montrer qu'en valeur moyenne temporelle, 2 hEc i = k hUi. On est ici dans le cas particulier k = -1. Le lecteur intéressé trouvera quelques illustrations de ce théorème dans le sujet 2006 de Physique 1 du Concours Communs Polytechniques, filière MP (disponible dans le tome MP Physique-Chimie 2006 de la collection Annales des Concours). Le théorème du viriel relie l'énergie cinétique au rayon de la trajectoire : Ec = e2 80 r Utilisons maintenant l'axiome de quantification mvn rn = n~ et exprimons vn en fonction de rn et des constantes, à l'aide du théorème du viriel s r r 2Ec -Ep e2 vn = = = m m 40 mrn s e2 rn = n~ 40 mrn On obtient donc m soit finalement rn = n2 avec r1 = 40 ~2 = n2 r1 me2 40 ~2 = 52, 9 pm me2 La distance r1 s'appelle le rayon de Bohr : elle est souvent notée a0 , et c'est la valeur typique que l'on utilise comme ordre de grandeur de la distance proton ­ électron. 4 La valeur du champ électrique créé par le proton à la distance r1 est E0 = e = 5, 1 · 1011 V.m-1 40 r1 2 Calculons pour comparer le champ électrique dans une solution aqueuse où l'on effectue un dosage conductimétrique. On utilise deux plaques distantes d'environ un millimètre entre lesquelles on impose une différence de potentiel de l'ordre de un volt. Le champ électrique est alors d'un volt par millimètre, soit 1 000 V.m-1 : il y a 8 ordres de grandeur de différence avec le champ électrique créé par le proton au niveau de l'électron. Pour obtenir un champ électrique équivalent au premier à échelle macroscopique, il faudrait appliquer une tension de quelques centaines de millions de volts entre deux points distants d'un millimètre. Un tel champ ne peut pas être réalisé dans l'air, car la tension appliquée serait suffisamment forte pour y provoquer un courant électrique