Mines Physique 2 PC 2006

Thème de l'épreuve La météorologie radar
Principaux outils utilisés électromagnétisme, optique géométrique, mécanique des fluides

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage de la calculette est autorisé Sujet mis à disposition des concours : EN STIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE 11 -PC L'énoncé de cette. épreuve comporte 12 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même S'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie Notations : vecteur ---> A (gras) ; norme du vecteur V ----> V (italique) ; vecteur unitaire --> â. LA METEOROLOGIE RADAR Le Radar (Radio Detection And Ranging) est un système opérationnel d'émission et de réception d'ondes élecüomagnétiques qui a un grand nombre d'applications de nos jours. Ce problème s'intéresse à l'une d'entre elles : l'utilisation d'un Radar en météorologie pour détecter et caractériser les nuages et les précipitations. La détection électromagnétique active exploite le domaine des hautes et très hautes fréquences, comprises entre 10 MHz et 100 GHz. Dans l'ensemble du rayonnement reçu, le récepteur doit discerner l'existence d'un signal traduisant la présence d'un objet dans du bruit. Il faut traiter le signal pour : / détecter la présence d'informations utiles dans les Signaux reçus et tirer de ces informations l'existence d'« objets », / localiser chaque objet détecté et déterminer éventuellement sa vitesse, / mettre en évidence des caractéristiques propres à chaque objet et permettant ultérieurement d'identifier les objets présents. Les trois premières parties du présent problème sont globalement indépendantes. PARTIE I : Principe de la télémétrîe radar Un Radar se compose d'un certain nombre d'éléments indépendants (figure 1) qui se regroupent en éléments d'électronique (G générateur très haute fréquence, R récepteur à gain élevé, C commutateur), et d'une antenne A. Le commutateur (C) est un élément d'électronique permettant de sélectionner le trajet des signaux électriques soit dans le sens générateur--antenne, soit dans le sens antenne--récepteur. Il permet donc d'utiliser l'antenne en mode « réception » dès lors que le générateur n'émet pas de signal et c'est grâce à lui qu'un Radar peut être utilisé à la fois pour émettre et pour recevoir une onde élecüomagnétique. Le générateur (G) est capable de produire un signal électrique monochromatique de fréquence fo (et de longueur d'onde À) sur Figure 1 : Pfindpe du Radar une durée 1: à la fois brève dans l'absolu -- _ et suffisamment grande vis à vis de la période (t>>l/fo) : il est alors d'usage de parler d'impulsion (impulsion signal). Cette impulsion arrive à l'antenne qui va transformer ce signal électrique en onde élecüomagnétique se propageant dans le milieu ambiant. Cette onde est donc monochromatique de durée brève et, là aussi, il est d'usage de parler d'impulsion (impulsion onde). On désignera par I l'impulsion émise. Lorsque l'onde (impulsion I) rencontre un obstacle, une partie de l'onde est rétro diffusée vers l'antenne: on désignera par I' cette impulsion rétrodiffusée. L'antenne va alors transformer ce champ élecüomagnétique en signal électrique. Grâce au commutateur, le récepteur R permet alors d'enregistrer, à des fins de traitement, un signal lié à l'impulsion I'. 1.1 Directivité de l'antenne et du faisceau émis L'antenne A est le siège d'un phénomène de diffraction. Dans une première étape d'analyse, elle sera modélisée par une ouverture plane rectangulaire de centre O, telle que l'axe Oz lui soit perpendiculaire : il est alors d'usage de dire que l'antenne pointe selon l'axe Oz. Cette ouverture est de largeur a suivant la direction Ox ( avec a >> k) et de très grande dimension suivant la direction Oy (figure 2). On supposera que le champ élecüomagnétique, monochromatique, est identique (en amplitude et en phase) en tout point de cette ouverture. On suppose tout d'abord que le milieu ambiant est le vide : on connaît alors la relation liant fa la fréquence et ?. la longueur d'onde. On s'intéresse aux caractéristiques de l'onde en tout point de l'espace tel que 2 > O, et on se restreindra à l'étude du champ électrique E. D 1 -- Justifier comment le présent système se réduit en pratique à un problème en deux dimensions (décrit dans le plan Oxz). Dans ce cadre bidimensionnel, on se propose de déterminer le diagramme de rayonnement de l'antenne qui caractérise l'énergie reçue dans le plan Oxz. En se plaçant suffisamment loin de l'antenne, cette caractérisation ne dépend que de l'angle on, angle que fait la direction dans laquelle on effectue l'analyse avec l'axe Oz. Le principe proposé ici consiste à rechercher et à déterminer les valeurs de cet angle qui correspondent soit à des maxima locaux de l'énergie reçue, soit à une annulation de l'énergie reçue. On commence par rechercher la première valeur de ou, notée on et nommée « premier zéro » pour laquelle aucune énergie n'est reçue. E] 2 -- On considère tout d'abord deux sources ponctuelles identiques situées sur l'antenne, l'une au centre O = (0,0,0) de l'ouverture, l'autre au point P = (x,0,0), et on analyse l'onde résultante, somme des ondes émises par ces deux sources. Donner l'expression du déphasage à l'infini dans la direction a entre les deux rayons issus de ces deux sources. En déduire l'amplitude complexe A(u) de l'onde résultante dans la direction (1, puis son intensité I(a). Montrer que la valeur de a la plus proche de 0 annulant cette amplitude s'exprime comme ax = Arcsin[--â--) . x En considérant maintenant les deux sources élémentaires situées sur l'antenne au point 2 le déphasage de toutes les paires de rayons issus des points P1 = (X ,0,0) et P2 = [X --£,0,0) avec X EUR lÏO,%J . P1 : (£,0,0) et au point P2 = (0,0,0), calculer cette valeur, que l'on notera ou. Analyser 2 Rappeler le principe de Huygens-Fresnel. Montrer que l'on peut remplacer la somme des contributions des sources secondaires sur l'ouverture par une association de paires de points que l'on précisera. En déduire que la contribution totale de l'antenne dans la direction ou, appelée « premier zéro » de l'antenne, se réduit à une onde d'amplitude nulle. La plus grande partie de l'énergie émise par l'antenne est reçue entre les directions -Ot1 et ou : il est d'usage d'appeler ce secteur angulaire le « lobe principal » de l'antenne. Pour justifier cette affirmation, on analyse à présent le comportement de l'antenne pour des directions supérieures à ou. Cl 3 -- En adoptant la démarche de la question précédente et en l'appliquant à deux sous a antennes identiques juxtaposées et de largeur -- , montrer que la seconde valeur de l'angle . 27\. . . , ' on annulant l'amplitude reçue vérifie 0c2 : Arcsm(----). La directlon az sera appele le a « second zéro » de l'antenne. Entre les directions ou; et (12, l'amplitude passe par un extremum qu'il est d'usage d'appeler « premier lobe secondaire » : montrer qu'une valeur 37» raisonnable de la direction de cet extremum est BI = Arcsin(----). Pour justifier ce choix, 2a calculer la dimension d'une nouvelle antenne virtuelle telle que cette direction [31 soit son premier zéro. Comparer cette dimension avec celle de l'antenne initiale. Montrer que tout se passe comme si l'antenne initiale, de largeur a, pouvait se décomposer en deux sous _ 2a . . antennes 5uxtaposées : l'une de largeur --5-- , dont la contnbutmn est nulle, et l'autre de a , . . . , . . ,, . largeur 5-- dont on prec1sera la contrrbutmn. Proposer alors une borne super1eure a l energ1e émise dans la direction [31 en fonction de I(O), intensité reçue pour a=0. Au lieu de mener des calculs analytiques complets (calcul des phases et des amplitudes en tout point du plan Oxz), on généralise la démarche précédente pour caractériser l'intensité reçue dans une direction ou quelconque. Cl 4 ---- Montrer que si l'on découpe virtuellement l'antenne initiale en 2m sous antennes identiques juxtaposées, l'intensité reçue est nulle dans une direction ou... que l'on déterminera. Montrer de même que si l'on découpe l'antenne initiale en 2m+1 sous antennes identiques juxtaposées, l'intensité reçue passe par un maximum local dans une - direction B... que l'on déterminera. Proposer alors une borne supérieure à l'intensité reçue dans la direction Bm en fonction de m et de I(0). En déduire qu'il existe des directions B... telles que l'intensité reçue passe par une valeur que l'on pourra considérer comme un maximum local, et des directions ou... telles que l'intensité reçue soit nulle. Donner l'allure de l'intensité reçue en fonction de ou. Montrer que le résultat ainsi obtenu est cohérent avec la formule utilisée par les radaristes .(naa)2 8111 À ?» Expliquer alors pourquoi il est légitime de raisonner uniquement sur le lobe principal de l'antenne. On définit maintenant l'ouverture angulaire Au du faisceauémis par l'antenne par l'angle entre l'axe Oz et la direction choisie à l'intérieur du lobe principal telle que l'intensité soit la moitié de l'intensité maximale I(0). Donner une valeur approchée de Au. ' C] 5 -- En réalité, l'antenne a la forme d'un disque de diamètre a. Le faisceau émis a alors une symétrie de révolution par rapport à Oz et on admettra que l'ouverture angulaire Aa a ?» la même symétrie de révolution et s'exprime comme AOL = 0,61-- . Donner la valeur a numérique de Au pour X=3 cm et a=4 m. En déduire la localisation des points Q(x,y,R) illuminés par l'antenne pour R=10 km. On admettra, dans la suite du problème, que l'antenne A est circulaire de diamètre a, rayonne uniformément dans un cône de révolution de sommet O, d'axe Oz et de largeur %. angulaire AOL = 0,61-- , et que la puissance rayonnée est nulle à l'extérieur de ce cône. La a zone ainsi définie sera appelée « lobe d'antenne ». On admettra que la surface interceptée à une distance R par un lobe d'antenne de largeur angulaire Aa (Aae [O,n]) s'exprime comme S(Aa) = 21cR2 (1 - cos(Aa)) = R2Q(Aa) et on appellera la grandeur Q(Aa) l'angle solide d'ouverture Aa. 1.2 Puissance reçue Lorsqu'un objet est illuminé par une onde électromagnétique, il peut rétrodiffuser une partie de l'énergie de cette onde. Les radaristes ne s'intéressent pas à la géométrie exacte des objets, mais uniquement à leur pouvoir de rétrodiffuser l'onde en direction de l'antenne émettrice. Pour cela, ils associent à chaque objet une cible idéale recevant l'onde élecüomagnétique de vecteur d'onde k comme si elle avait une surface s perpendiculaire à k et rétrodiffusant cette onde de manière omnidirectionnelle. On appelle alors s la « surface équivalente » de l'objet (pour les radaristes, il est d'usage de parler de SER: Surface Equivalente Radar). ' D 6 -- Connaissant la longueur d'onde X et le diamètre a de l'antenne A, quelle est la valeur de la surface S illuminée par le faisceau radar à la distance R '? Simplifier l'expression obtenue en supposant Aa suffisamment petit. Cl 7 -- Soit un radar tel que la puissance qu'il rayonne à une distance d'un mètre soit ÿemis. Soit un objet détectable par le radar, situé à une distance R et de surface équivalente s. En assimilant le milieu de propagation au vide, quelle est, en fonction de R et de ÿemis la ? reçue 93 emis puissance ÿoeçue reçue par cette cible? Calculer le rapport pour R=10 km et une surface équivalente de la cible s= 100 m'. On suppose que cette cible réémet totalement la puissance reçue et que cette réémission s'effectue de manière isotrope : la cible se comporte alors comme une antenne de largeur angulaire AOL = n. En admettant que l'antenne A en réception a une surface équivalente égale à sa surface, quelle est, en fonction de ÿ'emis, R, s, À et a la puissance .9"' reçue par l'antenne A ? D 8 --- En tenant compte de l'expression de Au en fonction de k et de a, établir l'«équation du radar » suivante : ÿ' _ K 3 a4 93 . 731%" cm où K est une constante que l'on déterminera. En supposant que la puissance minimale détectable est ÿ' =10'9 W, calculer la portée théorique Rmax d'un radar de puissance ÿemis =50 kW, de fréquence f0=10 GHz (et de longueur d'onde dans le vide À=3 cm) et dont l'antenne a un diamètre a=4 m, pour une cible de surface équivalente s=100 m'. Quel(s) paramètre(s) peut--on modifier de manière réaliste pour augmenter la portée '? En pratique, cette portée est beaucoup plus faible. Donner plusieurs raisons pour expliquer ce fait. I.3 Étude des échos Le radar météorologique étudié est ce qu'on appelle un « radar à impulsions », c'est--à--dire un radar qui émet régulièrement des impulsions telles qu'elles ont été décrites précédemment (signal monochromatique émis sur une durée 't courte). Son principe d'émiSsion peut être déduit du chronogramme d'émission (figure 3) et on décrira son fonctionnement à l'aide des paramètres suivants: 0 1: la durée d'une impulsion . fR = 1/ T R la fréquence de répétition des impulsions, avec T R >> 12 On prendra dans la suite de ce problème les valeurs suivantes : r=2 us, fi;= 1 kHz Figure 3 : chronogramme des émissions (puissance émise par le Radar en fonction du temps, PC représente la « puissance crête ») E] 9 ---- On suppose qu'une seule cible est présente dans le lobe d'antenne. Comment peut--on connaître la distance R du radar à la cible ? Expliciter le principe en établissant le chronogramme de réception et en y superposant le chronogramme d'émission. Montrer que si T R est trop faible, il peut y avoir ambiguïté sur la mesure de la distance R. Comment faut-il choisir la valeur de la fréquence de répétition fR pour lever cette ambiguïté? Effectuer les applications numériques en prenant pour R la portée théorique maximale Rmax calculée à la question 8. La valeur numérique de la fréquence de répétition semble--t--elle judicieusement choisie '? On s'intéresse maintenant à la résolution spatiale du radar dans la direction d'émission- réception (résolution dite « radiale »), ainsi qu'à la résolution selon l'angle d'émission (résolution dite « azimutale »). Cl 10 -- On considère d'abord deux cibles immobiles situées sur l'axe d'émission--réception et séparées dans l'espace d'une distance AR. Connaissant la durée du signal "C, proposer un critère pour déterminer la plus petite valeur de AR telle que l'on on puisse observer l'existence de deux cibles distinctes sur le signal reçu. On appellera AR la résolution axiale. E] 11 -- On considère ensuite deux cibles immobiles dans le plan Oxz, à la même distance R du Radar et séparées d'un angle d'azimut w (q; est un angle de rotation autour de l'axe Oy). Pour mesurer un azimut, il est possible de faire tourner l'antenne autour de l'axe Oy. Connaissant l'ouverture angulaire du faisceau radar Aa (telle qu'elle a été définie àla question 5 ), et sachant que l'on a fait l'hypothèse qu'il n'y a pas d'énergie émise en dehors du lobe d'antenne, proposer un critère pour déterminer quelle est la plus petite valeur de l'angle w telle que, en faisant tourner l'antenne de cet angle w, on puisse observer l'existence de deux cibles distinctes '? On appellera \p la résolution azimutale. CI 12 -- Quel est le volume dans lequel deux cibles ne sont pas séparables '? On fera une application numérique pour R = 1 km et R = 10 km dans le cas de l'antenne de la question 8. lllustrer les différences entre résolution azimutale et résolution radiale. Ce volume est adapté à des analyses de formations nuageuses '? I.4 Cible mobile et effet Doppler Lorsque la cible est mobile, la fréquence f, de l'onde réfléchie par la cible mobile est différente de la fréquence fo de l'onde sinuso'1'dale émise par l'antenne. On se limite au déplacement radial de la cible avec une vitesse v (de valeur très inférieure à celle de la célérité c de la lumière). _ Cl 13 ---- Déterminer l'intervalle de temps séparant l'instant d'arrivée, sur la cible en mouvement, de deux crêtes successives d'une sinusoïde de fréquence fo émise par l'antenne et en déduire f0', fréquence de la sinuso'1'de reçue par la cible. ' On suppose que la cible (en mouvement) émette une sinuso'1'de de fréquence f0'. Déterminer l'intervalle de temps séparant l'instant d'arrivée sur l'antenne de deux crêtes successives de cette sinusoïde de fréquence f0' émise par la cible et en déduire f, fréquence de la sinusoïde ' reçue par l'antenne. En déduire l'expression de la fréquence f, en fonction de fo, v et 0. Montrer qu'au premier ordre on obtient la relation : _ 2v f r = (l _ Î)f0 Effectuer l'application numérique en prenant v = 20 ms"1 , c = 3.108 m.s'1 et fo = 10 GHz. On notera fD la différence entre fréquence émise et fréquence reçue : cette différence s'appelle le décalage Doppler. Cette valeur semble--t--elle aisée à analyser ? FIN DE LA PREMIERE PARTIE PARTIE II : Trajet du faisceau électromagnétique On s'intéresse au trajet l'onde émise par le radar. On sait que, dans le cas d'une atmosphère homogène, le trajet est rectiligne. Or l'atmosphère terrestre n'est pas homogène et ses caractéristiques (température, pression et donc indice de réfraction) varient localement. Dans un premier temps on néglige la rotondité de la Terre, et on suppose que l'indice ne dépend que de l'altitude. On verra dans un deuxième temps qu'il n'est pas possible de négliger la rotondité de la Terre. Ü14 ---- On considère des ondes émises par une antenne définissant l'origine O, placée sur le sol et pointant selon une direction faisant un angle 6 avec l'horizontale, définie par l'axe OZ, la verticale étant définie par l'axe OY (figure 4). L'altitude Figure 4 : Géométrie d'un radar météorologique. L'antenne est placée à une certaine hauteur du sol . L'origine des altitudes sera néanmoins l'antenne. H est comptée à partir de 0 sur l'axe OY. On modélise l'atmosphère par M couches de même épaisseur h, telles que la couche comprise entre les altitudes (q-1).h et q.h soit indicée par q (avec qe [1,M) et que l'indice de réfraction de la couche q vaille nq (figure 5). Montrer que la trajectoire est plane et déterminer, pour une couche p, la relation que vérifie l'angle Gp, défini par la direction de l'onde avec l'horizontale dans la couche p, en fonction des indices de réfraction nq, qe [1,p] et de l'angle Elf--' 6. Interpréter la simplicité du résultat. Ü lS--Pour modéliser un milieu dans lequel l'indice de réfraction varie continûment, on considère des couches infiniment minces, d'épaisseur dH. En supposant que dans les couches basses de l'atmosphère, l'indice varie suivant la loi: n(H) : 1 + 0,289 10--3 exp(--O,l36 H) où l'altitude H est exprimée en km, calculer l'angle GH que fait le rayon par rapport à l'horizontale quand ce rayon atteint l'altitude H = 10 km, dans le cas d'une antenne pointant selon une direction 9=10°. Ecrire les relations donnant l'expression de l'abscisse Z du rayon en fonction de H (on ne cherchera pas à résoudre le système obtenu). CI 16 -- On prend maintenant en compte la rotondité de la Terre, qui sera supposée parfaitement sphérique, de rayon RF64OO km (l'origine O placée sur l'antenne est à altitude nulle). Les couches étudiées précédemment dans la question 14 sont alors concentriques. Pour traiter la réfraction entre deux couches, il suffit de remplacer la loi de la réfraction de , Descartes par la loi de Bouguer : nq rq sm(zq)= rzq+1 rq+l sln(zq+l) où rq et n... sont respectivement les rayons des sphères d'indice q et q+ 1, où nq et m... sont les indices de réfraction des couches q et q+1, et où iq et 1}... sont les angles réfractés (figure 6). Etablir la loi de Bouguer à partir de la loi de Descartes. Calculer dans ce cadre l'angle 9'H que fait le rayon par rapport à l'horizontale locale de l'antenne, quand ce rayon atteint l'altitude H = 10 km dans le cas d'une antenne pointant dans une direction 9=10° et d'un indice variant en fonction de l'altitude suivant la loi exponentielle donnée à la question 15. En comparant avec le résultat de la question 15, analyser les effets Figure 6 : stratification de l'atmosphère terrestre (cas simplifié à 2 couches) de la rotondité de la Terre. Un calcul plus poussé donne, par un développement au premier ordre, la distance au sol ZH entre le radar et un observateur au sol placé à la verticale du point où l'onde radar atteint une altitude donnée H : ZH _ H _ 1 (n H Que se passerait-il si l'indice vérifiait la relation ---- + --- = O '? Expliquer "(O) RT pourquoi on parle parfois de « radar transh0rizon ». FIN DE LA SECONDE PARTIE PARTIE III : Détection de formations pluvieuses Pour étudier les formations nuageuses, diverses applications de radarmétéorologie peuvent être utilisées selon le type de « météores » rencontrés : brouillard, nuage de pluie, nuage de glace, Dans ce problème, seule sera étudiée l'application du radar à l'étude de nuages composés de gouttes d'eau que l'on supposera sphériques et de même rayon. On supposera que la fréquence de ce Radar est 13 = 10 GHz. On ne tiendra pas compte d'éventuels phénomènes de diffiision multiple et on supposera que la présence des gouttes d'eau n'a aucune influence sur la vitesse de propagation de l'onde. III.] Précipitation pluvieuse On étudie le mouvement vertical de la pluie, qui, dans ce problème, est composée de petites gouttes d'eau (de masse volumique po =lO3 kg.m'3 ) que l'on supposera sphériques et de rayon b inférieur à 40 pm (c'est en fait un brouillard). On considérera que la force gravitationnelle ne varie pas avec l'altitude, que l'accélération de la pesanteur g est égale à 9,81 m.s'2 et que l'on peut négliger la rotation de la Terre. L'atmosphère sera supposée homogène de masse volumique p,,= 1,293 kg.m'3, de viscosité constanten= 2.104 Pa.s . On admettra que les gouttes de pluie qui ont un rayon inférieur à 40 mn ont un nombre de Reynolds inférieur à 1, ainsi qu'un coefficient de traînée Cx supérieur à 1. Cl 17 -- L'écoulement de la pluie est-il turbulent ou laminaire '? Pourquoi peut--on décrire la force de traînée par l'expression F=67mv '? Ecrire alors l'équation fondamentale de la dynamique pour une goutte de pluie (on néglige toute interaction entre gouttes) et montrer que l'on peut négliger la poussée d'Archimède. Calculer alors la vitesse limite des gouttes d'eau et vérifier que l'hypothèse sur la nature de l'écoulement de la pluie est correcte. ' Tracer la courbe donnant la vitesse en fonction du rayon des gouttes de pluie (on prendra b < 40 um). D 18 -- On utilise une grandeur très largement utilisée en météorologie : l'« intensité de la pluie » Q, qui est définie comme la hauteur d'eau en millimètres qui tombe en une heure (la mesure s'effectue en général avec un simple pluviomètoe). Proposer une expression reliant N, le nombre de gouttes d'eau par unité de volume, à Q, l'intensité de la pluie, dans le cas où toutes les gouttes d'eau ont le même rayon b et la même vitesse v. III.2 Absorption et diffusion par la pluie On considère un champ électrique E, harmonique de fréquence fo, d'amplitude EO, que l'on assimilera dans ces questions à une onde plane polarisée rectilignement selon l'horizontale. Les gouttes d'eau sont assimilées à des sphères de rayon b, que l'on supposera immobiles dans les questions suivantes. Sous l'action de ce champ, une goutte d'eau acquiert un moment dipolaire p : a --l 8 + 2 où 80 représente la permittivité du vide, ets représente la permittivité relative de l'eau, que l'on supposera constante aux fréquences étudiées ici. CI 19 -- A quelle condition sur le rayon de la sphère et sur la fréquence du Radar peut--on considérer le champ de l'onde uniforme dans le volume de la goutte ? Cette condition est-- elle vérifiée ici ? On supposera dans la suite du problème que l'onde est effectivement uniforme dans une goutte de pluie. Pour calculer la puissance absorbée par la goutte d'eau, on introduit une permittivité diélectrique complexe e = s' + ia". Calculer la puissance cédée par le champ élecüomagnétique à une goutte d'eau en admettant que la densité de courant volumique Ôp correspondant à une goutte de pluie s'exprime comme j = -- . Si l'on connaît le nombre N ôt de gouttes d'eau par unité de volume, calculer, en fonction de N, la puissance cédée par le champ élecüomagnétique aux gouttes d'eau par unité de volume. Etablir 9" la valeur moyenne temporelle de cette grandeur et vérifier la relation de proportionnalité suivante : ÿ'oeNb6 fo- b3 p = ps E avec ps = 411280 Cl 20 -- Calculer le vecteur de Poynting du champ incident dans le vide, puis ÿ0 la moyenne temporelle de la puissance élecüomagnétique dans le vide. On définit alors aa la section efficace équivalente d'absorption, comme la surface telle que la moyenne temporelle de la puissance élecüomagnétique transportée dans le vide à travers cette surface soit égale à 9". Calculer cette section efficace par unité de volume. Comparer avec la surface qu'occuperaient les N gouttes d'eau. Commentez le résultat. Qu'observe--t--on donc lorsque les gouttes d'eau grossissent '? Cl 21 -- Donner l'expression des variations de la puissance électromagnétique en fonction de l'épaisseur z traversée lors de sa propagation dans un nuage contenant N gouttes d'eau de rayon b par unité de volume. On exprimera cette variation en fonction de la puissance incidente9% à l'entrée du nuage, de la distance parcourue z, de la quantité N et de la section efficace d'absorption aa. Comparer l'expression obtenue avec la loi de Beer--Lambert . . , . JO . . . . utlllsee en spectroscop1e : ln---- = 'YK, ou K est la concentratmn du m1]1eu absorbant, y une .] constante caractéristique du dispositif et .] l'intensité lumineuse. Placée dans ce champ électromagnétique, la goutte d'eau se comporte comme un dipôle oscillant situé en un point P et rayonne une onde élecüomagnétique de même fréquence fo. On admettra qu'en un point M situé à une distance R très grande vis--à--vis de la longueur d'onde À, le champ électrique créé par ce dipôle s'exprime comme : Ed : MO sm 9 (27'f0)2P(Î " 5) ûe 47tR c l'angle 0 étant celui formé par la direction du moment dipolaire p et le vecteur PM, ü9 étant le vecteur unitaire orthogonal à PM parallèle au sol, .... étant la perméabilité du vide. CI 22 -- Caractériser l'onde rayonnée par une goutte d'eau. Retrouver alors l'expression du champ magnétique Bd : _ sin0 R . B.="° (z...)æ(:-- ).... 41tR c ? ûq) étant un vecteur unitaire orthogonal à PM et à ûe . Calculer le vecteur de Poynting associé au point M. Montrer que la puissance diffusée dans 2 4 2 ' "OPS (27Çfb) EO 12nc indépendant de R ? Peut--on exprimer cet effet diffusif par une surface équivalente od appelée section efficace de diffusion ? tout l'espace vaut . Comment expliquez--vous que ce résultat soit D 23 -- On va considérer une pluie d'intensité Q=1 mm/h et une onde hertzienne de fréquence 10 GHz. On' a alors pour les gouttes de pluie a'=29 et e"=58. Comparer les absorptions et les diffusions dues d'une part à une pluie telle que le rayon des gouttes de pluie soit b1=30 nm et, d'autre part, à une pluie telle que le rayon des gouttes de pluie soit b2=3 um. Cl 24 -- On considère une formation nuageuse (par exemple un cumulonimbus) de type cylindrique, d'axe vertical et de rayon r=1 km : on supposera que le radar (dont les caractéristiques sont celles du radar de la première partie), positionné à une vingtaine de kilomètres, ne l'illumine que sur une tranche d'épaisseur 100 m et située à une altitude de 3500 m. On admet que toutes les gouttes ont le même rayon b, et on rappelle que N est le nombre de gouttes par unité de volume. Quelle proportion de la puissance radar est interceptée par un volume unité de gouttes illuminé par l'onde élecüomagnétique ? Quelle est la proportion de la puissance radar rétrodiffusée par la pluie et interceptée par l'antenne du radar '? ' Dans le cas de cette formation nuageuse, quelles informations concrètes intéressant les météorologues (Q, b, r, N, ...) peut-on alors déduire de la mesure de la puissance reçue '? FIN DE LA TROISIEME PARTIE PARTIE IV : Détermination de la vitesse de la cible On considère maintenant que les gouttes de pluie ont une vitesse v constante orientée selon l'axe vertical OY. L'onde émise par l'antenne est un signal sinusoïdal se(t) de fréquence fg . L'antenne radar est pointé avec un angle 0 (voir figure 4) et on supposera dans cette partie que les gouttes de pluie analysées sont dans le lobe d'antenne du Radar. CI 25 -- En utilisant les résultats de la question 13, calculer le décalage Doppler que l'on peut observer sur le signal reçu s,(t) en supposant que la vitesse des gouttes est de 0,1 m.s'l. Cl 26 -- On effectue le "tri" des vitesses v en envoyant le signal précédent dans un ensemble de L filtres passe--bande [F I,. . .F L], dans lequel chaque filtre a une largeur de bande 6 et est centré sur la fréquence fi;+(p--l) 6. (avec pe[l, L]) Quelle doit être la largeur de bande 5 pour estimer la vitesse de la question 25 avec 20% d'erreur ? Si, de surcroît, ce même système doit pouvoir mesurer des vitesses des gouttes jusqu'à 4 ms", combien doit--il y avoir de bandes ? Ces valeurs sont--elles réalistes '? FIN DE LA QUATRIEME PARTIE PARTIE V : Radarmétéorologie Cl 27 -- Au vu des divers volets de ce problème, pensez vous qu'il soit possible de connaître à 10 km de distance toutes les caractéristiques d'une formation pluvieuse (intensité de la pluie, rayon des gouttes d'eau, vitesse des gouttes d'eau,...) et son évolution spatiale dans les minutes qui vont suivre '? Préciser dans votre analyse quels sont les points essentiels, omis dans ce problème, qu'il faudrait approfondir pour construire effectivement un système de radarmétéorologîe. FIN DE LA CINQUIEME PARTIE FIN DE L'ÉPREUVE & ..... > : QR©I ...... ....-- =o...âoeää.... .æa 8Ë o...... 088 «... oËomu :o.Ëoea ...oÊÈOA & ... ou: ...Ëa 02--0on .: ao...üoe=v & oæoeæ  

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 Mines Physique 2 PC 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Dubuis (ENS Cachan) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur le radar et son utilisation pour détecter les nuages et analyser les formations pluvieuses (déplacement, intensité, évolution, etc.). Il couvre un nombre important de notions au programme de PCSI et de PC, telles que les phénomènes d'interférences et de diffraction, l'optique géométrique, la mécanique des fluides, l'électromagnétisme des milieux ou encore le rayonnement dipolaire. Les trois premières parties sont indépendantes mais de difficulté et de longueur inégales. Une lecture (rapide) de l'ensemble du sujet est ainsi nécessaire avant composition afin de repérer les points clés et comprendre comment ceux-ci s'articulent dans les parties IV et V. · Dans la première partie, on étudie le principe général d'émission-réception des ondes avec une antenne radar. L'émission est introduite par une résolution originale, mais assez déroutante, du phénomène de diffraction par une fente simple. La réception repose quant à elle sur l'étude du déphasage entre signaux émis et reçus ainsi que sur l'effet Doppler. · La deuxième partie, nettement plus courte, porte sur l'optique géométrique et la propagation de rayons dans des milieux à indices variables afin d'analyser la trajectoire des faisceaux radar dans l'atmosphère et l'influence de la rotondité de la Terre. On y redémontre entre autres la classique formule de Bouguer. · Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'interaction entre les ondes envoyées par le radar et les gouttes de pluies contenues dans un nuage. On utilise pour cela les bilans d'énergie électromagnétique dans les milieux ainsi que le rayonnement dipolaire pour expliquer la rétrodiffusion des gouttes. C'est la partie la plus calculatoire du problème. · Enfin, les deux dernières parties, courtes par leurs tailles mais longues par les développements qu'elles offrent, sont des applications des parties I et III à des phénomènes météorologiques. Une certaine vision d'ensemble du sujet, difficile dans une épreuve de quatre heures, est nécessaire pour les aborder. Le sujet est suffisamment long et varié pour permettre de traiter en priorité les thèmes que l'on affectionne le plus. Il est généralement préférable dans ce type de situation de traiter une ou plusieurs parties dans leur totalité plutôt que de « survoler » le sujet. Indications Partie I 2 L'énoncé ne proposant pas de notations précises, introduire l'amplitude com - plexe A associée au champ E sous la forme A = A0 ei et appliquer ensuite un raisonnement classique d'optique interférentielle. 3 Reprendre le raisonnement de la question 2 pour le calcul du premier zéro. Penser que si le champ est uniforme au niveau de la source, l'intensité est proportionnelle au carré de la largeur de la fente. 4 Pour les zéros, regrouper les 2m sous-antennes deux par deux afin de pouvoir calculer le premier zéro de m sous-antennes. Pour les maxima, considérer le me zéro d'une sous-antenne de largeur 2 m a/(2 m + 1). Où se trouve-t-il ? Quelle est la contribution de la sous-antenne restante dans cette direction ? 7 La mention « à une distance de 1 mètre » est superflue. Dans le vide la puissance est conservée et ne dépend donc pas de la distance. Penser que la puissance reçue par la cible est proportionnelle à sa surface s. Que vaudrait-elle si s était égale à S() ? 8 Calculer R lorsque P est égale au seuil de détection. 9 Déterminer le temps mis par l'onde pour aller jusqu'à la cible et revenir. 12 Évaluer le volume du faisceau compris entre R et R + R avec R 1. 13 La distance parcourue par la seconde crête lorsqu'elle atteint la cible est égale à la somme de la distance parcourue par la première crête et de la distance parcourue par la cible entre les deux réceptions. Partie II 14 Appliquer les lois de Snell-Descartes à l'interface entre deux couches successives b b b 16 Se rappeler que dans un triangle ABC on a sin A/BC = sin B/AC = sin C/AB. Partie III - - · - 19 Attention, la notation complexe de - · E n'est pas E . En revanche, la moyenne - - temporelle de - · E vaut 1/2 Re {- · E }. 20 On définit la puissance électromagnétique comme étant le flux du vecteur de Poynting à travers une surface S orthogonale à la direction de propagation. 22 À une distance R grande devant , l'onde a une structure plane transversale. 24 Comparer le diamètre du faisceau à la taille du nuage. Pour la puissance reçue, utiliser le résultat de la question 7 avec la section efficace de diffusion trouvée à la question 22. Partie IV 25 Ne pas oublier de projeter la vitesse de la goutte d'eau sur l'axe de propagation de l'onde. 26 L'incertitude relative sur la mesure d'une fréquence est identique à celle de la vitesse correspondante. La météorologie radar I. Principe de la télémétrie radar 1. Directivité de l'antenne et du faisceau émis 1 L'énoncé mentionne que l'ouverture est « de très grande dimension suivant Oy » et que « le champ électromagnétique est identique en tout point de l'ouverture ». Le dispositif est donc invariant par translation suivant Oy. Le système se réduit à un problème à deux dimensions décrit dans le plan Oxz. 2 Plutôt que de mener des calculs avec des champs électromagnétiques vectoriels, on peut se ramener à des scalaires en introduisant l'amplitude complexe A associée - au champ E définie comme A = A0 ei - où A0 désigne l'amplitude scalaire du champ E et la phase au point considéré. x Le déphasage à l'infini entre les rayons issus des sources situées en O et P peut être calculé dans P n'importe quel plan perpendiculaire à la direction de propagation. Choisissons le plan pasx sant par P. Le déphasage (x) s'écrit alors M 2 OM (x) = P - O = O z Or OM = x sin , donc (x) = 2 x sin L'amplitude complexe totale dans la direction est la somme des amplitudes complexes des ondes émises dans cette direction A() = AO () + AP () soit, en choisissant l'origine des phases en O (O = 0), A() = A0 (1 + ei(x) ) En factorisant ei(x)/2 et en utilisant le fait que cos u = (ei u + e-i u )/2, on obtient (x) 2 x sin i (x)/2 A() = 2 A0 e cos avec (x) = 2 L'intensité I() se définit comme la norme au carré de A() (x) I() = A() A() = 4 A0 2 cos2 2 qui, en introduisant I0 = A0 2 et en utilisant 2 cos2 u = 1 + cos 2u, s'écrit encore I() = 2 I0 (1 + cos (x)) avec (x) = 2 x sin On retrouve ainsi la formule générale d'interférence à deux ondes planes, isochrones et de même amplitude A0 2 2 I() = 2 A0 1 + cos où représente la différence de chemin optique entre les deux ondes au point où l'on considère l'interférence. L'intensité s'annule lorsque cos = -1, c'est-à-dire 2 x sin = (2 k + 1) La valeur de la plus proche de 0 est atteinte pour k = 0, c'est-à-dire 2 x sin x = x = Arcsin et donc 2x avec k Z Considérons deux sources situées aux points P1 = (a/2, 0, 0) et P2 = (0, 0, 0). La différence de phase (a/2) vaut a a sin() = 2 et ainsi 1 = Arcsin a Si l'on considère maintenant deux sources situées aux points P1 = (X, 0, 0) et P2 = (X - a/2, 0, 0), le déphasage dans la direction se calcule de manière analogue au cas où l'on considérait O et P, c'est-à-dire a sin() (X) = a (X) = (indépendant de X) et ainsi 2 Énonçons à présent le principe d'Huygens-Fresnel. · La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface qu'elle atteint se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dont l'amplitude est proportionnelle à cet élément de surface et à l'amplitude de l'onde incidente. · L'amplitude complexe de la vibration lumineuse en un point est la somme des amplitudes complexes des vibrations produites par toutes les sources secondaires. On dit que ces vibrations interfèrent pour former la vibration au point considéré. En associant à chaque source secondaire d'abscisse X positive une source secondaire d'abscisse négative X - a/2, on couvre l'ensemble de l'ouverture lorsque X décrit l'intervalle [ 0 ; a/2 ]. On peut ainsi remplacer l'ensemble des contributions secondaires sur l'ouverture par une association de paires de points d'abscisses respectives X et X - a/2 avec X [ 0 ; a/2 ]. Dans la direction 1 la différence de phase entre deux rayons issus de la paire de points (X, X - a/2) est telle que l'amplitude complexe de l'onde résultante est nulle dans cette direction et donc La contribution totale de l'antenne dans la direction 1 est nulle.