Mines Physique 2 PC 2004

Thème de l'épreuve Un indice de réfraction négatif?
Principaux outils utilisés électromagnétisme dans les milieux matériels, dispersion, optique géométrique
Mots clefs indice négatif

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC ' (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique Il --- Filière PC L 'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à pren-- dre. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée et est noté ua . UN INDICE DE RÉFRACTION NÉGATIF ? Nous nous proposons d'examiner quelques implications d'un indice négatif, phéno- mène dont on a spéculé l'existence dès 1964 et revendiqué l'observation en 2001, dans des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à celle qui est dictée par les lois ordinaires de l'optique (Fig. 1) ! La même année, une réfutation , détaillée des_théories et des expériences de quarante ans de travaux était publiée. Cette réfutation n'a pas été, à ce jour, contredite. Seule la dernière ques-- tion de ce problème évoque rapidement un élément de réfutation, i (a) Fig. la : rayon lumineux dans un milieu d'indice positif 1° argument principal Fig. lb : rayon lumineux dans un milieu d'indice négatif étant (a POSÎ3fÏOÏÎ) sim-- ple, mais nettement hors programmes. Les deux premières parties, assez proches du cours, concernent la propa-- gation des ondes planes dans un matériau homogène et le passage de la lumière du vide dans un milieu homogène. Un paradoxe énergétique apparaîtra, qui sera levé dans les deux dernières parties. ]. Ondes planes dans un matériau homogène L'espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, linéaire et homo-- gène de perrnittivité diélectrique 8 = 808, et de perméabilité magnétique ,u : ,u0ur, l'une et l'autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette onde, polari-- sée selon la direction de vecteur unitaire u,, s'écrit E= EO u,. exp j(w t-- kz) , ce qui définit le vecteur de propagation k : ku__ et l'amplitude vectorielle, EO, de ce champ ; EO est réel. Quelques relations d 'électromagnétisme et d'analyse vectorielle sont indiquées dans l'annexe, en fin de problème. E] 1 --- Déduire des équations de Maxwell l'expression du champ _B_ de cette onde et celle de la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting, (S)! . Préciser l'orientation de ces deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa direction et son sens à ceux du vecteur de propagation k. El 2 -- L'indice de réfraction d'une onde dans un milieu, noté n, est généralement défini comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide, 6, par la vitesse de la lumière dans ce milieu, 1). Établir l'équation de propagation du champ électrommagnnétique (équa-- tion de d'Alembert) et en déduire l'expression de n =c/ 1) en fonction de EUR, et de u,. Cet indice est, à l'évidence, une quantité positive. Cl 3 -- Supposons maintenant que, par un artifice quelconque, on ait pu obtenir simultané- ment 8 < 0 et ,a < 0. Reprendre l'étude des questions [1] et [2]. Comment définir, dans ces conditions, le sens de propagation de l'onde (selon k ou selon le vecteur de Poynting S)? 2. Passage de la lumière du vide dans un matériau homogène Onde réfléchie Fig. 2 : Notations et conventions de signe pour les lois de Descartes Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à l'orientation des angles. Le plan d'équation z = 0 sépare l'espace en deux régions ; la région 2 < 0 contient de l'air, dont les propriétés éleCtro magnétiques sont celles du vide, la région 2 > 0 contient un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, « ordinaire » : 8 > 0 et [.L > O. L'onde incidente, provenant de la région 2 < 0, est monochromatique plane, de fréquence angulaire w ; son vecteur d'onde, noté k0 et situé dans le plan sz, fait un angle 6 > 0 avec la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est noté _E, ; la notation _I_E_,- : A,-expi wt+ kox sin(9)--kozcos(9) : A,--uy exp i[cot+koxsin(G)--kozcos(ô)] ! précise la structure du champ et les notations : seule la composante A,}. de l'amplitude A,-- n'est pas nulle ; le vecteur d'onde incident est ko : --k0 sin (6) uX + ko cos (O) uZ . E] 4 --- Quelle relation géométrique doit--on avoir entre ko et A,-- '? Cl 5 ---- L'onde incidente engendre d'une part une onde réfléchie, de champ électrique & , d'amplitude A, de vecteur d'onde k, : k,xu, +kÔ,uy + k,=u: et de fréquence angulaire a), , d'autre part une onde transmise de champ électrique E , , d'amplitude A, de vecteur d'onde k , : k,,ux + k,_,.u,. + k,:u: et de fréquence angulaire co, . En considérant, pour toute valeur de x et de y, et à chaque instant, les relations de continuité en 2 = 0 des composantes appropriées des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l'annexe), établir que tous les champs ont la même fréquence angulaire a) ; établir aussi les relations * k,x : k,x : --kosin (6), ko), : k,}, = k,}, :O. E] 6 -- Montrer que l'on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la réfraction et la réflexion. Cl 7 -- On considère maintenant le Cas où 8< 0 et # < 0, tel qu'envisagé à la question [3]. Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu est négatif. On convient que, dans la région 2 > 0, la direction de propagation de l'onde transmise est dans le sens des z croissant. Exprimer alors le vecteur k ,. On illustrera ce résultat par un schéma, en imposant 0 > 0, c'est--à--dire kOX < 0 et kOZ > 0. On représentera" les vecteurs d'onde des ondes incidente et transmise, et l'on indiquera leurs directions respectives de propagation par des vecteurs unitaires si et s,. Peut--on dire, au sens de la question [2], c'est--à--dire en termes de rapport de vitesses, que l'indice du milieu est négatif ? sin(9) sin (B") direction de propagation de l'énergie. Quel est, en ce sens, le signe de n ? Cl 8 ----- On définit maintenant l'indice de réfraction par n = , 9 et 9' ' se référant à la Cl 9 -- Et voici qu'une difficulté surgit : quel serait le signe de la densité volumique d'énergie dans un tel milieu, si on la calculait en appliquant la formule classique de l'électromagnétisme '? Qu'impliquerait ce résultat, sachant que l'évolution spontanée d'un système se fait toujours vers une diminution de son énergie ? Il est donc nécessaire, si les milieux négatifs existent, de considérer avec soin la notion de densité volumique moyenne d'énergie dans un diélectrique. Les parties suivantes esquissent une approche simplifiée de ce problème délicat. 3. Densité de l'énergie dans les diélectriques sans pertes Un diélectrique linéaire isotrope homogène et de perméabilité .-- r --)Ç magnétique [10 est considéré ici comme une assemblée de Nélec-- Méq M trons par unité de volume, répartis uniformément dans l'espace (N est constant). On note Méq la position d'équilibre d'un électron repré- sentatif en l'absence de champ électrique et M la position de cet électron dans le cas général ; cela définit le vecteur r, représenté sur la figure ci-contre. Les électrons sont reliés élastiquement à leurs positions d'équilibre respectives par la force de rappel f=--Ar , où A est une constante positive. Leur pulsation propre est donc , A . . . . . 600 = --- , où m est la masse électronique. Une autre pulsation caractéristique, la pulsation m Nq2 m80 de plasma, cop, est définie par 60% = , où 80 la permittivité diélectrique du vide et q la charge électronique (q = ---e : ---1,6x 10"19 C ) . Régime statique On suppose qu'existe dans un tel milieu un champ électrostatique uniforme, EO. On note rEo , , . 2 le déplacement permanent des electrons sous l action de ce champ et eo : 580"E0" . Cl 10 ---- Exprimer la densité volumique d'énergie potentielle up(,, : u p...< g(oe, cao, oep)x cosz(ço), où g . . . . 60 est une fonction dont on donnera l'expressmn. Exprimer g en fonction de x, et x = --- . w 0 E] 13 ---- Etablir que la densité volumique d'énergie cinétique qu , associée à la vitesse 2 ' ' a) . V(t,z), peut s'ecr1re sous la forme u... (a)): eo ><----2->< g(oe, cao, a)p)x sm2((p). Cl) 0 Cl 14 -- Déterminer la puissance volumique cédée par l'onde au milieu. En déduire que la densité volumique de travail reçu par les électrons, w(oe), s'écrit (sous l'hypothèse que 2 (£) w(oe) =O lorsque Eocos(cp)= 0, c'est-à--dire lorsque (p = %) : w(oe) =eOÎÙ_2-äî COSZ('P)- 0 _ S Une écriture équivalente de ce résultat est w(oe) : eo 1 2 cosz(ço) . -- x D 15 ---- Contrairement à la situation correspondant à une excitation statique du milieu, le travail volumique des forces électriques w(æ) et la densité d'énergie potentielle Lipot (ca) ne sont maintenant plus identiques. Définissant uSÀ (ca) par "pot (G)) : uÊ2, (oe)+ w(oe), montrer que la somme um : uc," (au) + uso), ((D) est interprétable comme une densité uniforme d'énergie mécanique « immobile », c'est--à--dire non propagative. Cl 16 -- En s'inspirant notamment de la question 10 et compte-tenu des résultats de la ques-- . . . . , . , . 1 2 tron 14, définir une den51té totale d'energie electr1que par u,, =5808,(0)) "E" , avec \_V___J =Eâcosz((p) 8,(æ)= l+ xe(w ) , introduisant ainsi la permittivité diélectrique relative, 8, et la susceptibi-- 2 COO ___--Xs-- lité électrique dynamique, 355, du milieu. Montrer que Xe(CÛ) : 2 2 wo --w E] 17 ---- Justifier que, en notation complexe, la relation de Maxwell-Ampère dans le milieu . - . , , , . a) N ! ' 1 . d1électrrque con51dere s'ecr1ve kAB=--2 ( 61 --_E) , ou c : est la vrtesse du 80 \i£0#0 c rayonnement électromagnétique dans le vide. Déterminer la relation de dispersion du milieu sous la forme k2 : F(oe2). Cl 18 -- Tracer sommairement la courbe représentative de la relation k2 : F(oe2) et en déduire celle de la relation w(k) pour k> O et (r) >O. On introduira la pulsation longitudi- nale ca,, : wâ +(0Ê (xÊ :] + x,). Quel est le comportement du milieu pour 600 S a) S a)L ? Cl 19 -- Établir que la vitesse de phase Uq, est v,,, = . Etablir, entre v,, et la vitesse [a(wfi 1 ca d 1+ de groupe vg,la relation v,,,= l+-- le n,: g 21+xe dw 1+xe ) vg ( ){e est défini à la question 16). En déduire l'inégalité Uq, 2 v,, . E] 20 ---- Montrer que la densité d'énergie magnétique ub et la densité d'énergie électrique ue sont égales. Exprimer, en fonction de eo et de 25EUR, la moyenne temporelle de la densité d'énergie électromagnétique uem : ue+ ub. Cl 21 -- Exprimer le vecteur de Poynting S en fonctionn de c, k &) , 80, E... ça et du vecteur unitaire uk de la direction k. Exprimer la moyenne temporelle de (S)! en fonction de eo et de £, . Exprimer la moyenne temporelle de la densité totale d'énergie, ut : um + um en fonc- tion de eo et de g(w, wo , cop). /\ _: \/ C @ Cl 22 -- Vérifier la relation : --. À quelle vitesse se propage  ? À quelle vitesse /\ & m 5 \/ @ Oq se propage uem '? D 23 -- Proposer une interprétation des résultats obtenus dans cette partie, en remarquant que seule une partie de tt, se propage véritablement. 4. Densité de l'énergie dans les diélectriques faiblement absorbants Réponse linéaire causale Le vecteur excitation électrique D(z') est défini par D(t) : SOE(Z)+ P(l), où P(t) désigne le vecteur polarisation. Dans un milieu linéaire et isotrope, P(t) : 80]: h(u) E(t -- u)d _u , où h, dite réponse percussionnelle, est une fonction réelle du temps, déterminée par les propriétés du milieu. Cette relation montre que la polarisation à l'instant test due au champ électrique à tous les instants antérieurs à l'instant [ considéré (c'est une expression de la causalité). Cl 24 --- Quelle est la dimension de la fonction il ? Établir que, pour le champ électrique sinusoïdal _Ew (t) : EO (w )exp(--joe t) et pour un milieu linéaire et isotrope caractérisé par sa réponse percussionnelle h, on peut écrire1 Qo(w)=s(w)Eo (æ)=80[1+ & (a) )] Eo(w) : =e (co) exprimer la permittivité complexe ;(e (G)) en fonction d'une intégrale faisant intervenir h. D _ wp Y" - \ 1 25 ---- On donne h(u)- --;-- ex ----2---- sm(vou). Les parametres cop, }! et VO ont tous a 0 dimension de l'inverse d'un temps. Tracer l'allure de h(u). Calculer 5,(w) ; l'intégration exp(jvou)--exp(--jvou) 2j 2 forme familière, en fonction de a) p , y et (03 : vâ + _y_. 4 est facilitée si l'on ose sin v u = . On trouvera our 8 a) une p 0 p r Onde monochromatique Le champ électrique d'une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation wo s'écrit, en notant g * le complexe conjugué d'une grandeur g, vectorielle ou scalaire : . 1 . * . E(t) : 9î[EO exp(-- 1600 t)] : î[_E_O exp(----;ù)0 :) + EO exp( ]w0 t)] . En termes de la permittivité complexe 8((0) = e'(co)+ je"(w), ä=[8'(wo)+ Ï8"(w0)lE2 et P_Ê=s*(oeo)Êg. L'identité div(S) == div(E A H) = --( E.% + H.%£Î--] , déduite des équations de Maxwell, pour un milieu dénué de courants libres, fait intervenir la quantité we ( t) : E.%It)-- , densité volumique de puissance dissipée dans ce milieu diélectrique. 1 La transformée de Fourier de X(t) est notée X(w) ; le symbole de la grandeur est conservé, seul a changé la variable dont cette dernière dépend : temps, ou pulsation. Aucune confusion n'est possible. D 26 -- Montrer que la moyenne temporelle de W, (t) sur une période T0 est ' TO : â--woe"(w0)llEâ". Onde quasi monochromatique Un champ vectoriel réel quelconque, V(t), estnoté 9î[X(t)] : V(t) : â[X(t)+_ÿ *(t)]. Les composantes de Fourier de _Y(t), dites encore composantes spectrales sont définies par la relation, que l'on admettra, Y_(t)= JW y_0(w)exp(--jwt)dw : c'est l'analyse de Fourier vectorielle de X( t) . On nomme onde quasi-monochromatique de pulsation fondamentale (00, et l'on note _X(t) , le produit par exp(----jco0 t) d'une fonction vectorielle complexe _Xo(t) lentement variable à l'échelle de la période 7}, : 21EUR. La fonction vectorielle X0(t) se nomme enveloppe (voir un 600 exemple en annexe). On a donc _X(t) : XO (t)exp(-- jco0 t) et réciproquement _X_O(t) : X( t)exp( jw0t) . Par analyse de Fourier de _X(t) , on a aussi Xo(t) : JW _Xo(w)exp[ j(w0 -- oe)t]dw. --oo Cl 27 -- On considère le champ électrique E(t)= E0(t)exp(--jw0 t) d'une onde électroma-- gnétique quasi-monochromatique de pulsation fondamentale (00. Montrer que la moyenne temporelle de E 2(t) sur une période T0 est r : %<_lää>Ï : -â--Eâ(t). E] 28 -- L'hypothèse d'enveloppe lentement variable entraîne la relation, que l'on admettra',  : lOE{F(wO)EO.EË -- j(dF *) EO. aâ° }, avec F(co) : --jws(w). ôt To' 2 do) _1_ d[wg(æ)] 8T0 2 dm ôt ' ôt , . . BD Demontrer alors que, dans un m1heu non absorbant, =â{diaË)w)l + d[a)££w)]

}. d[we(æ)] dco sant un résultat de la question 20, que les champs mono chromatiques E(t) : E0 exp(-- jco0 t) et fl(t) : H0 exp(---jco0 t) vérifient cette théorie dans le milieu diélectrique négatif de per-- Il n'est plus nécessaire dès lors d'avoir 8 > 0, il suffit que > 0. Montrer, en utili-- 1 On a utilisé, pour l'établissement de cette relation, le fait que les composantes spectrales EO(CU) sont négligeables pour des pulsations a) ne vérifiant pas la) -- 600 |<< wo). méabilité ma néti ue : de la troisième artie, c'est-à-dire, en d'autres termes, ue, si 0 C02 £r(oe) : l+ ------î--E----î, on a bien (u,) : e0(1+ g), où l'expression de g a été établie à la ques- tion 12. Réfutation ! La théorie et la mise en évidence des matériaux d'indice négatif ont été réfutées en 2001, après une quarantaine d'année d'efforts soutenus sur le sujet. Voici un élément de réfutation tel que proposé par Valanju : Le matériau négatif est à droite. Supposons que BA représente un front d'onde de signal (et pas de phase), perpendiculaire aux rayons (B est situé sur l'interface) et supposons que le signal continue de se pr0pager de la gauche vers la droite ; cela signifierait que le point A passe instantanément en C sur l'interface puis en D. E] 30 -- Quelles sont les implications de cette affirmation ? ANNEXE A) Un exemple a' 'enveloppe lentement variable Le trait plein représente la fonction ÏÎÎÎÏ'ÏÙÎÎÎÎÜÜÎÎÎ lllll I'll Illl'llll I'll I'll. Ill! "Ill ' MMM!!! mun- """-- ""I- ...un--_-- .1 0.15 0.2 0.5 exp[-- %} >< sin(2nt) : Æ, ( !) >< sin(27zt). Les pointillés représentent l'enveloppe iÆZ,(t), avec 0' = 8. La composante de Fourier de E:, (t), soit Æ;oeexpl--â 0 ; la figure en pointillés représente a) Æè (G)). 20 15 10 B) Équations de Maxwell rot(E) = --%l--Î- rot(H)= j+ %?- div(D)= p div(B)= () C) Relations de continuité (Dz--DI).nlz =0' (132--131).n12 =0 js=nle(H2--Hl) n12A(E2--El)= 0 D) Ondes planes BX Si X=XO exp[ j(k.1'--æt)], div(X)= /k.X, rot(X)=/kAX et "à?="/wX' FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 2 PC 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet est consacré à des matériaux dont l'indice de réfraction serait négatif. L'étude de ces matériaux est l'objet des deux premières parties, qui ne constituent que le tiers de l'épreuve, et qui sont finalement assez proches du cours. Les deux parties suivantes sont consacrées aux aspects énergétiques de l'électromagnétisme dans les milieux matériels. · La première partie du sujet s'intéresse à la propagation d'ondes électromagnétiques dans les milieux matériels. Il s'agit là d'un retour aux sources de l'optique, car la lumière est une onde électromagnétique dont on peut étudier toutes les propriétés à partir des lois de l'électromagnétisme dans les milieux. On y regarde les différences de propagation dans des milieux où les permittivité et perméabilité relatives sont positives, puis négatives. · La deuxième partie consiste en l'étude de la réflexion et de la réfraction d'une onde électromagnétique plane sur un dioptre plan séparant un milieu ordinaire (où les permittivité et perméabilité relatives sont positives) et un milieu où les permittivité et perméabilité relatives sont négatives. On y établit que le rayon réfracté émerge du même côté de la normale que le rayon incident ce qui, via la deuxième loi de Descartes de la réfraction, justifie la notion d'indice négatif. Cette partie s'achève sur des considérations énergétiques ; on y constate notamment que l'expression « naïve » de la densité d'énergie électromagnétique n'est pas valable dans un milieu où la permittivité et la perméabilité sont négatives. · L'objet de la troisième partie est d'établir une expression pour la densité d'énergie dans un diélectrique non absorbant. Cette étude détaillée conduit à une expression positive de la densité d'énergie, ainsi qu'à diverses considérations sur les notions de propagation, de vitesse de phase et de vitesse de groupe. · L'objet de la quatrième partie est d'établir dans un cadre plus général l'expression de la densité d'énergie dans un milieu dispersif. Pour atteindre cet objectif, l'énoncé fournit un certain nombre de relations qu'on ne peut pas établir avec les connaissances du programme d'électromagnétisme. Cette partie se termine sur une question consacrée aux milieux d'indice négatif, en proposant un élément de réfutation de l'existence de ces milieux. Ce sujet est très ambitieux, très intéressant, même si l'on peut regretter qu'il faille admettre certains résultats fournis par l'énoncé : c'est le prix à payer pour établir des résultats dont la démonstration complète dépasse largement le cadre du programme. On peut aussi regretter la présence de quelques erreurs d'énoncé qui ne facilitent pas la résolution d'un sujet déjà difficile ; il en est de même pour les fluctuations de notations, ainsi que la donnée d'explications ou de relations qui ne sont ni justifiées, ni utiles à la compréhension et à la résolution du problème. Indications 1 En utilisant les champs réels, le vecteur de Poynting s'écrit - - - S = EH 2 Pour établir les équations de propagation des champs électrique et magnétique, - - -- il faut faire usage de l'identité rot rot = grad div -. 3 La notion de « direction de propagation de l'onde » n'est pas forcément très claire : on pourra distinguer la direction de propagation de la phase et la direction du flux d'énergie. 7 Quand l'énoncé annonce que « la direction de propagation de l'onde transmise est dans le sens des z croissants », il faut comprendre que la composante suivant l'axe (Oz) du vecteur de Poynting de l'onde transmise est positive. 1 10 L'énergie potentielle d'un ressort de raideur A et d'allongement - r vaut A r2 . 2 12 On montrera l'expression suivante pour g : g(, 0 , p ) = p 2 2 2 (0 - 2 2) = s 2 (1 - x2 ) 15 On montrera que la densité d'énergie um est stationnaire et uniforme. 17 Il y a une erreur de signe dans l'énoncé : l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit - - - Nq- r k B = 2 - -E c 0 19 On rappelle que vg = d/dk. Son expression s'obtient simplement en différentiant la relation k 2 = r 2 /c2 . 21 On rappelle la formule du double produit vectoriel : - - - - a (b - c ) = (- a ·- c ) b - (- a · b )- c 25 L'expression recherchée pour r est celle donnée par le modèle de l'électron élastiquement lié. 26 Il y a une erreur dans l'énoncé : il faut lire - - D0 = () E0 au lieu de - - D0 = () E0 27 Dans le cas d'un signal quasi-monochromatique, on utilisera le fait que hX(t)iT0 = hX0 (t) exp(-j 0 t)iT0 0 29 Dans le cas considéré, les densités d'énergie électrique et magnétique ne sont plus égales. 1. Ondes planes dans un matériau homogène 1 Les champs électrique et magnétique (complexes) s'écrivent - - - - - - E = E0 exp j( t - k · - r) et B = B0 exp j( t - k · - r) Avec cette convention de signe, on a = j t et - - = -j k - - B - rot E = - t - - - devient -j k E0 = -j B0 - On en déduit l'expression de B0 : - k ) = - k E - B0 = - uz (E0 - u y 0 ux - et par conséquent celle de B : L'équation de Maxwell-Faraday - - - k B = - E0 - u x exp j( t - k · r ) Comme E0 et k sont réels, B0 l'est aussi, et les champs électrique et magnétique réels s'écrivent - - - - k cos( t - - E = E0 - u k · r) et B = - E0 - ux cos( t - k · - r) y ce qui donne pour le vecteur de Poynting - - - - - k E0 2 - EB - 2 S = =- (u u y x ) cos ( t - k · r ) µ0 µr µ0 µr - - - De plus, hcos2 ( t - k · - r )it = 1/2, et - u y ux = -uz , ce qui implique pour la valeur moyenne du vecteur de Poynting - h S it = - k E0 2 - E0 2 k uz = 2 µ0 µr 2 µ0 µr Notons que l'on obtient la même expression pour la valeur moyenne du vecteur de Poynting si l'on travaille (correctement !) avec les champs complexes. En effet, on obtient directement la valeur moyenne du vecteur de Poynting à partir des champs complexes : - - - 1 h S it = Re ( E H ) 2 où le facteur 1/2 a pour origine la valeur moyenne de cos2 t. Ainsi, le champ magnétique est dirigé suivant -- ux . Quant au vecteur de Poynting, qui s'interprète comme le vecteur densité surfacique de puissance électromagnétique : il a donc la direction et le sens de - et il est dirigé selon - u k . L'énergie se propage z donc dans la même direction et dans le même sens que la phase de l'onde. 2 Pour établir l'équation de d'Alembert, on prend d'abord le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday - - - B rot B - - - - - rot E = - soit rot rot E = - t t -- - - et on utilise l'identité rot rot = grad div - pour obtenir - - -- - - rot B - E + grad (div E ) = - t Il faut ensuite faire usage des équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère, qui en l'absence de charge et de courant libres se réduisent à - - D - - div D = 0 et rot H = t Comme le matériau est linéaire et homogène, - - - - D = 0 r E et B = µ0 µr H les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday deviennent - - E - - div E = 0 et rot B = r µr 0 µ0 t où 0 µ0 c2 = 1. On obtient - r µr 2 E - E = 2 c t2 qui constitue l'équation de propagation du champ électrique. Montrons maintenant que le champ magnétique satisfait la même équation de propagation. Pour cela, commençons par prendre le rotationnel de l'équation de Maxwell-Ampère : - - -- - rot D - rot D - - - rot rot H = soit grad (div H ) - H = t t - - En fonction de E et B , cette équation s'écrit - -- - - rot E grad (div B ) - B = r µr 0 µ0 t - L'équation de Maxwell du flux magnétique, div B = 0, et l'équation de MaxwellFaraday conduisent à l'équation de propagation du champ magnétique - r µr 2 B - B = 2 c t2 - - 1 2 X Or, l'équation de d'Alembert X - 2 =0 v t2 - décrit un champ X se propageant à la vitesse de phase v. Par identification, la vitesse de phase des ondes électromagnétiques dans un milieu caractérisé par r et µr est donc c v= avec n = r µr n - Notons qu'une onde proportionnelle à exp j( t - k · - r ) satisfait l'équation de d'Alembert obtenue précédemment si et seulement si 2 k 2 = n2 2 c