Mines Physique 2 PC 2003

Thème de l'épreuve Enregistrement et lecture d'hologrammes
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, diffusion thermique
Mots clefs holographie, diffraction par une fente, effet thermo-optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique Il -- Filière PC L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 6 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. . Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A, sa norme en italique (A = " A ") ; le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté ua. PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES L'addition cohérente de deux ondes optiques produit une figure d'interférence, dont l'enregistrement est nommé hologramme. L'holographie consiste en l'étude de la production et de l'utilisation d'hologrammeS ; elle diffère de l'étude classique d'interférences par la complexité des ondes qui interférent et celle du dispositif expérimental. Convenablement éclairé, un hologramme peut produire l'image tridimensionnelle d'un objet. L'utilisation d'hologrammes est largement répandue à des fins publicitaires, éducatives, techniques ou artistiques. Les deux parties de ce problème sont largement indépendantes ; la partie I, proche du cours dans son ensemble, concerne la production et la restitution d'un certain type d'hologrammes, dits minces ; la partie Il s'intéresse à une méthode thermo--optique d'enregistrement d'hologrammes. Toutes les longueurs d'onde dont il sera question sont les longueurs d'onde dans le vide. Partie I : Holagrammes minces Pour former l'hologramme d'un objet, on utilise (Fig. 1) une onde lumineuse plane monochromatique, de pulsation ca, de longueur d'onde À,éf, que l'on sépare en deux fais- ceaux. L'un des faisceaux sert d'onde de référence ; l'autre faisceau éclaire un objet, et subit simultanément réflexion, réfraction et diffusion. L'hologramme est produit en faisant interfé- rer sur une plaque photosensible l'onde de référence avec l'onde ayant éclairé l'objet. L'utilisation ultérieure d'un faisceau de lecture (Fig. 2) permettra d'obtenir, en transmission dans ce problème, une onde non plane, de pulsation a), caractéristique de l'objet. On note Q(M,t)=A0bj(M)exp[i(a}t--w(M)H l'amplitude complexe, au point M et à l'instant t, de l'onde issue de l'objet. Dans le trièdre orthonormé Oxyz, l'onde de référence d'amplitude Aréf, de phase nulle au point 0 et à l'instant !: 0 est caractérisée par son vec- teur d'onde k , : Æréf(u_r sin(p+uzcosça). On la note Aréf exp[i(æt--k,éf.0M)] et l'on r««"f suppose, dans tout le problème, l'amplitude A,éf de l'onde de référence très supérieure à - - A0bj celle de l'onde 1ssue de l'objet :8 = A , le | << 1. ' réf L'intensité [(M) au point M d'une onde d'amplitude complexe s_(M, 1) sera conventionnel- lement définie par [(M) : g(M,t) >< £ *(M,t) : | s(M,t) F. x Faisceau issu de l'objet >: ,. /Ü\ ? . Plaque Plaque photosensible, ' (p > photosensible après enregistrement Fig. ] Enregistrement d 'un hologramme mince Fig. 2 Lecture en transmission d 'un hologramme mince Cl 1 ---- Établir l'expression suivante de l'intensité lumineuse [(M) au point M de la plaque photosensible : [(M) : 1,,,(M)+ 1,,, + 2A,,,(M)A,,. cos[w(M)-- k,,f .0M] . E] 2 -- La plaque photosensible est une plaque photographique rectangulaire, d'épaisseur négligeable, placée dans le plan Oxy. Après développement, le coefficient de transmis- sion en amplitude (ou transparence) t(x,y,0) de cette plaque en un point M de coordon- nées (x, y, 0) ne dépend que du temps de pose et de l'intensité lumineuse ] en M au . . . 1 M "2' ' moment de l'exp051tmn, selon la 101 t(x,y,0)= t0( (1 >) , ou y et to sont des coeffi- O . cients positifs et 10 : [réf : Aîéf. Montrer que, en se limitant aux termes du premier ordre A . en 8 : ab] , A réf Aobj (M) A cos[tfl(x,y,0)-- kréfxsin((p)] }. t(x,y,O) = t0{ 1 ---- }! ref E] 3 -- Après développement, la plaque est replacée dans la position qu'elle avait lors de l'impression puis éclairée par une onde de lecture, que l'on suppose dans cette question identique à l'onde de référence (Fig. 2). Montrer que l'amplitude de l'onde transmise par la plaque holographique se compose de trois termes dont l'un est, à un coefficient multi- plicatif près, identique à l'onde issue de l'objet. On présentera chacun de ces termes sous la forme A,, exp[i(cut-- (p,, )], en explicitant An et (p,, , avec n EUR {1,2,3}. D' 4-- L'onde obtenue après traversée de l'hologramme résulte de la diffraction de l'onde de lecture par ce dernier. Il est possible ainsi de reconstituer l'onde 1ssue d' un objet éclairé par une lumière cohérente. On suppose dans toute la suite du problème que l'objet dont on forme l'hologramme est ponctuel et situé à l'infini sur l'axe Oz ; il produit alors une onde plane de vecteur d'onde kabj-- . ="Æräu 2, en phase avec l'onde de référence au point O. La phase de cette onde plane est maintenant explicite : l//(x,y,z) : kobj.OM. Établir dans ces conditions l'expression approchée suivante de l'intensité au point M : 1(M) = 10[1+ mcos(OM.Ak)}, [1] A0bj ' ' - A . Caracter1ser les figues réf d'intensité maximale et exprimer la distance entre deux de ces lignes successives en fonction de la longueur d'onde La et de (p. où Ak=kOÔj--krä. Exprimer m en fonction de E= Cl 5-- La plaque photographique permet d' enregistrer au plus N traits par unité de lon- gueur. À quelle condition sur N, Àréf et ça la photographie sera-t-elle une reproduction acceptable de la figure d'interférence '? Pour N= 500 mm"1 et ÂTéf= 500 nm, quelle est la valeur maximale de (p ? Cl 6 -- Exprimer t(x,y,0), coefficient de transmission de la plaque après déve10ppement, en se limitant au terme du premier ordre en 8. Cl 7 -- La plaque, de dimensions (centimétriques) a selon Ox et h selon Oy, est éclairée par une onde de lecture, dans le domaine du visible, d'amplitude A..., de longueur d'onde La et de vecteur d'onde (sin6 "" + cos9 u,) k,.éf, quelconque dans le plan Oxz. En utilisant le principe de Huygens--Fresnel, calculer l'amplitude complexe de l'onde dif- fractée par la plaque photographique dans la direction définie par le vecteur unitaire ud = Ola,u_r + Edu}, + yduz. On constatera que cette amplitude est la somme de trois ter- ? mes, que l on notera g d1 , gd2 et gd3. On rappelle la relation: Jâ âexp( 2i7z-- --)d x= u sinc( ï"). E] 8 -- On étudie séparément les intensités II, 12 et 13 associées respectivement aux amplitudes a , a et a . Montrer que les directions des maxima principaux _d, -d _d, 2 d'intensité sont situées dans le plan (zx) et expliciter Bd pour de tels maxima ; posant ud : ux sin(9d)+ u2 cos(9d ), donner les relations vérifiées par sin(9d) pour les direc- tions d'intensité maximale ; par analogie avec un réseau de fentes fines, donner les ordres auxquels correspondent ces maxima d'intensité. D 9 -- Déterminer, dans l'approximation des petits angles, les demi--largeurs angulaires des pics principaux de diffraction par rapport aux axes x et y. Calculer, en fonction de m et y, les valeurs relatives des maxima principaux d'intensité diffractée pour les compo-- santes dépendant de m par rapport au maximum de l'intensité diffractée par la compo- sante qui n'en dépend pas. Cl 10 -- À quelle condition sur (p, Àréf et a la distance angulaire entre les pics principaux de diffraction est--elle grande devant leurs largeurs angulaires '? Déterminer dans ce cas l'expression approchée de l'intensité diffractée. Représenter, pour & = 0, son allure en fonction de %. D 11 -- Déterminer, pour 9 = (0, la composante de l'amplitude diffractée qui permet de reconstituer l'image de l'objet. Quelle est l'influence d'une variation de 6 sur la direc-- tion de reconstitution de cette image ? Cl 12 -- Pour que la reconstitution avec 9 = (0 soit acceptable, l'intensité associée à la composante indépendante de m dans la direction de reconstitution de l'image doit être inférieure à une certaine fraction ]" de l'intensité maximale associée à l'image. En déduire l'ordre de grandeur de la valeur minimale à donner à l'angle (p (on majorera |sinc(x)l par l/lx| ). Application numérique : ym = 10--3, f = 10", a =l cm et Àréf= 500 nm. D 13 -- La plaque photographique est remplacée à partir de maintenant et dans toutes les questions qui suivent par une couche transparente de mêmes dimensions, orientée de manière identique et d'épaisseur e suffisamment faible pour qu'elle puisse être considé- rée comme une surface diffractante coïncidant avec le plan Oxy. Cette plaque est photo- sensible : la valeur en tout point M de son indice de réfraction n(M) reproduit celle de l'intensité incidente [(M) selon la loi n(M)=no+al(M). L'hologramme est ainsi obtenu sous la forme d'un réseau d'indice. Les angles des divers faisceaux avec l'axe Oz restent quasiment nuls. En phase de lecture, exprimer, pour tout point M, la différence de chemin optique 5 (M) entre un rayon traversant la couche photosensible sous inci- dence quasi-normale et un rayon se propageant dans le vide. 2715 M D 14 -- On note ;(M)=ex{--%--â la transparence de l'hologramme associée à ref/' al M 5(M). Montrer que si le terme --_À(--_)--e_ est suffisamment petit, la transparence de réf l'hologramme peut s'écrire sous la forme g(M)=ng+_ÇI(M)], où 10 et Q sont des constantes complexes, dont on donnera les expressions. En déduire que les caractéristi- ques géométriques de la figure de diffraction lors de la lecture sont identiques à celles obtenues avec une plaque photographique. D 15 -- On enregistre successivement deux hologrammes. Les ondes de référence sont de même intensité et de même longueur d'onde Àréf, leurs directions respectives sont carac- térisées par les angles ça} et gaz. Les objets restent ponctuels et situés sur l'axe Oz, les amplitudes des ondes objet sont A] et A2 (|All, |A2| << |Aréfl). Avec des notations analo-- gues à celles de la relation [1], les intensités lors des enregistrements sont : 11(M)= 10[1+ m1 cos(0M.Ak,)] et 1,(M)= 10[1+m,cos(0M.Ak,)]. La transparence après l'enregistrement est alors t(M) : Èg{ 1 + _Ç_'[ll(M)+ 12(M)] } . L'hologramme étant éclairé par l'onde de lecture sous l'angle d' incidence 9, caractéri- ser les positions, les tailles angulaires et les intensités relatives des pics principaux de diffraction. En déduire que l'on reconstitue simultanément les images des deux objets. CI 16 -- Les images des deux objets sont dites séparées si les taches principales de dif-- fraction qui leur sont associées ne se recouvrent pas (les limites des taches principales de diffraction sont ici les premières directions où l'intensité s'annule, de part et d'autre du maximum principal). En déduire l'expression et la valeur de l'écart minimal (AQ)... entre les directions des faisceaux de référence lors de l'enregistrement des hologrammes successifs. Quels facteurs peuvent contribuer à augmenter (Aç0)min? Partie II : Stockage d 'halogrammes Cette partie étudie une méthode thermo-optique d'enregistrement d'hologrammes. On se limite à des phénomènes unidimensionnels selon l'axe Ox. L'intensité lumineuse éclai- rant le support lors de l'enregistrement s'exprime par 1 (x) = 10[1 + mcos(kx)] , le terme de modulation [Om cos(kx) contenant l'information sur l'objet holographié. L'indice n _d_n dT l'établissement au cours du temps d'un champ de température T(x,t) dans un milieu du support dépend de la température : n(T)= no +( ) (T-- TO). On s'intéresse à T=T0 transparent soumis à l'intensité lumineuse I(x). Ce milieu est caractérisé par sa masse volumique p, sa capacité thermique massique c, sa conductivité thermique À... toutes grandeurs indépendantes de la température. Le volume dt entourant le point M d'abscisse x soumis à l'intensité lumineuse [(M) absorbe la puissance thermique dp... = Bl(M)dr. On néglige les effets de bord, ce qui permet de raisonner comme si le milieu était infini. Cl 17 -- Établir, en effectuant le bilan thermique d'une tranche d'épaisseur dx du milieu, l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de température T (x, t) : ar 82T -- = À ----+ 1 x . luc âî C ax2 B ( ) Cl 18 -- La température initiale est homogène, égale à T 0 ; l'intensité lumineuse [(x) est présente dans le milieu entre les instants 0 et Al. Sachant que T(x,t) est de la forme T(x,t) = Tm (t)+ AT(t)cos(kx), déterminer Tm (t) et AT(I) pour 0 < t < At. La solution obtenue n'est pas satisfaisante. Quels aspects du modèle vous semblent les plus critiquables ? Cl 19 -- Exprimer l'indice du milieu n (x,t) sous la forme n (x,t) = n (t)+ An(t)cos(kx). Quel est le temps caractéristique TO d'évolution de An(t) ? Cl 20 --- Exprimer le champ de température T (x, t) et l'amplitude de la modulation spa- tiale d'indice An(t) pour t > At. D 21 ---- Applications numériques : L'intensité lumineuse est confinée dans un cylindre d'axe Ox de section 0,8 mm2 et de longueur 3 m. L'énergie absorbée durant l'illumination est EO = 5,7)<10"5 J. m = l, gig--= 3 mn , At= 10 ns, A, = 0,17 W.m".K", (%) : --3,6><10'4 K", Mc : 1,9 >< 103 kJ.m"'.K'l . Déterminer le temps caractéristique 1:0 et la puissance moyenne absorbée par unité de volume, [310. Simplifier l'expression de An(At) et calculer sa valeur numérique. D 22 -- L'utilisation de l'effet thermo-optique pour la réalisation de mémoires hologra-- phiques durables est-elle commode '? FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 2 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Éric Armengaud (ENS Ulm) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et Vincent Fourmond (ENS Ulm). Ce problème traite du principe de l'holographie. Il s'agit d'une technique de production d'images en « trois dimensions », basée sur des phénomènes d'interférences et utilisant le laser. Il est composé de deux parties indépendantes et de longueurs inégales. · La première partie est la plus importante. Elle mobilise toutes les connaissances acquises en optique ondulatoire, des interférences à la diffraction. Bien que proche du cours, comme l'indique l'énoncé, elle nécessite une bonne maîtrise d'ensemble de cette partie du programme. Elle permettra une révision des outils indispensables à la résolution des exercices d'interférences et de diffraction : notation complexe, fonction sinus cardinal, différences de marche, etc. · La seconde partie permettra à ceux qui ne maîtrisent pas l'optique de se rattraper un minimum. Elle étudie essentiellement des équations de diffusion thermique. On pourra ainsi réviser la manière d'établir de telles équations, ainsi que des techniques pour les résoudre. La difficulté principale du problème réside dans les calculs de la première partie. Beaucoup sont simples techniquement mais nécessitent d'avoir une bonne compréhension physique des phénomènes étudiés, ce qui est parfois délicat en optique ondulatoire. De plus, certaines questions, en particulier la troisième, ne sont pas toujours formulées de façon très claire. Enfin, quelques questions menent à des résultats formels lourds. Le sujet n'est pas très long, aussi est-il important de justifier correctement ses calculs, surtout dans la première partie. Notons pour conclure que l'holographie est un sujet assez classique en optique, qui a déjà fait l'objet de problèmes de concours et que l'on retrouve dans de nombreux livres d'exercices. Indications Partie I 2 Dans l'expression I(M)/I0 , étudier l'ordre de grandeur (en fonction de ) de chaque terme avant de développer le facteur de transmission. 3 Il faut se restreindre au calcul du champ sortant de la plaque à son voisinage immédiat. Exprimer l'amplitude de l'onde transmise en fonction de l'onde incidente et du coefficient de transmission. Développer ensuite le cosinus du coefficient de transmission en exponentielles pour faire apparaître 3 termes. 5 Utiliser le résultat de la question 4 donnant la distance entre deux lignes d'intensité maximale. 6 Utiliser le résultat de la question 2. 7 Après avoir posé l'intégrale, intégrer séparément sur les variables x et y. Utiliser l'intégrale de l'énoncé en prenant garde aux notations. 9 Se souvenir de la définition : sinc(x) = sin(x)/x. 10 Quand les pics d'amplitude sont séparés, les intensités s'additionnent simplement. 13 L'intensité I(M) dont il est question dans l'énoncé est celle qui a été enregistrée à l'inscription, pas celle qui sert à la lecture. Le chemin optique d'un rayon lumineux s'écrit sous la forme = indice × distance. 15 S'inspirer de la question 7 en essayant de ne pas refaire tous les calculs. L'énoncé ne demande pas l'expression complète de l'intensité diffractée. Partie II 17 Raisonner comme pour un problème de diffusion thermique classique, en appliquant la loi de Fourier, mais rajouter dans le bilan d'énergie l'absorption de puissance due au faisceau lumineux. 18 Identifier les termes en cos(kx), comme pour une série de Fourier. 20 Pour résoudre l'équation aux dérivées partielles, utiliser la même décomposition du champ de température que celle proposée par l'énoncé à la question 18. 21 Pour calculer I0 , utiliser E0 et les dimensions du cylindre où est confinée l'intensité lumineuse. I. Hologrammes minces 1 L'onde issue de l'objet et l'onde de référence proviennent de la même source initiale, et sont donc cohérentes entre elles. Au point M, l'intensité lumineuse résulte ainsi de l'interférence entre ces deux ondes, d'amplitudes respectives : ( a(M, t) = Aobj (M) exp (i (t - (M))) - -- aréf (M, t) = Aréf exp (i (t - k réf · OM)) On a donc, en utilisant la définition de l'intensité donnée par l'énoncé I(M) = (a + aréf )(a + aréf ) = a a + aréf aréf + a aréf + a aréf = Iobj (M) + Iréf - - - - +Aobj (M) Aréf [e i (t--t+ k réf ·OM) + e-i (t--t+ k réf ·OM) ] - -- I(M) = Iobj (M) + Iréf + 2 Aobj (M) Aréf cos ((M) - k réf · OM) Ce calcul est le développement des interférences à deux ondes vu en cours. Il faut absolument savoir faire la distinction entre amplitude (grandeur complexe) et intensité. On additionne deux amplitudes lumineuses quand elles sont cohérentes, ce qui est le cas ici. L'intensité lumineuse est ensuite obtenue en prenant le module carré de l'amplitude ; c'est la grandeur physique mesurée par un détecteur. Si les deux ondes n'étaient pas cohérentes entre elles (par exemple issues de deux sources distinctes), il faudrait alors simplement additionner leurs intensités. 2 Développons le quotient - -- Iobj Aobj I(M) =1+ +2 cos((M) - k réf · OM) I0 Iréf Aréf Le deuxième terme est Iobj /Iréf (Aobj /Aréf)2 2 Le dernier terme est, lui, proportionnel à . Comme on se restreint à l'ordre 1 en , il vient - -- Aobj (M) t t0 [1 + 2 cos((M) - k réf · OM)]-/2 Aréf On développe cette expression en utilisant la formule (1 + )a 1 + a , valable - au premier ordre. On explicite ensuite M(x, y, 0) et k réf = k réf (sin , 0, cos ) et on effectue le produit scalaire : Aobj (M) t(x, y, 0) = t0 1 - cos ((x, y, 0) - k réf x sin ) Aréf 3 Le calcul complet du champ dans tout l'espace est très complexe et n'est pas attendu ici. En revanche, on peut faire le calcul dans un voisinage immédiat de la plaque sans difficulté. Il s'agit alors de calculer l'amplitude transmise en un point M(x, y, 0) de la plaque. En tenant compte du facteur multiplicatif t à la traversée de la plaque, il vient - - A(M) = t(x, y, 0) Aréf e i(t- k réf ·OM) Réécrivons l'expression de t(x, y, 0) grâce à la relation obtenue à la question précédente, en développant le cosinus en somme d'exponentielles et en utilisant le fait que - -- k réf x sin = k réf · OM. On obtient - - - Aobj i((x,y,0)-- k réf ·OM) i(t- k réf ·OM) e A(M) = t0 Aréf e × 1- 2 Aréf - Aobj -i((x,y,0)-- k réf ·OM) - e 2 Aréf On écrit A sous la forme d'une somme de trois termes A = a1 + a2 + a3 , avec an = An exp[i(t - n )]. En rassemblant les phases dans les exponentielles, il vient · Pour le premier terme A1 = t0 Aréf - -- et 1 = k réf · OM C'est l'onde issue directement du faisceau de lecture. · Pour le second terme - -- A2 = -t0 Aobj /2 et 2 = 2 k réf · OM - (M) Cette onde a une phase opposée à celle de l'objet à cause du signe « - » devant (M). · Pour le dernier terme A3 = -t0 Aobj /2 et 3 = (M) Il s'agit de l'onde semblable à celle issue de l'objet. La phase de l'objet est directement reproduite, mais l'amplitude est bien sûr modifiée. En fait, le raisonnement fait ici est heuristique. Ce calcul n'est valable que pour un point M au voisinage immédiat de la plaque ; au-delà les effets de propagation nécessiteraient un calcul compliqué, non demandé et de surcroît hors-programme. 4 Partons de l'expression obtenue pour I(M)/I0 à la question 2, après développement à l'ordre 1 en . - -- Aobj I(M) = I0 1 + 2 cos [(M) - k réf · OM] Aréf - - -- = I0 (1 + 2 cos [( k obj - k réf ) · OM] -- - I(M) = I0 [1 + m cos (OM · k)] où m = 2 et - - - k = k obj - k réf Pour étudier les lignes d'intensité maximale sur l'hologramme, on doit chercher les points M(x, y, 0) tels que -- - cos (OM · k) = 1 soit -- - OM · k = 2 n nZ