Mines Physique 2 PC 2002

Thème de l'épreuve Le ressaut hydraulique
Principaux outils utilisés fluides parfait et visqueux, théorème de Bernoulli, bilans de quantité de mouvement et d'énergie, analyse dimensionnelle
Mots clefs viscosité

Corrigé

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J. 2076 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :' Physique Il -- Filière PC L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de lafilière PC, comporte 6 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même S'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. . Les vecteurs sont notés en gras. LE RESSAUT HYDRAULIQUE Le ressaut hydraulique est un phéno-- mène que la plupart d'entre nous a observé dans un évier de cuisine: l'eau du jet qui frappe verticalement l'évier s'étale d'abord radialement en une mince nappe circulaire, de vitesse élevée. Pour une certaine valeur R de la distance au jet, l'épaisseur de la nappe augmente brutalement et sa vitesse _ _ diminue. La zone de discontinuité est ce ... .. __ _ '_ qu'on appelle le ressaut hydraulique. Ce problème de mécanique des fluides avec des conditions aux limites libres inclut plusieurs aspects : le profil du flot dans la région laminaire et dans la région turbulente, le méca- nisme du ressaut, la dissipation d'énergie dans son voisinage et la dépendance de R avec, par exemple, la vitesse d'impact et le débit volumique du jet, la densité et la viscosité du fluide. On considère dans ce problème quelques aspects simplifiés de cette dernière ques-- tion : la position R du ressaut. Page 1/6 Tournez la page S.V.P. Physique Il ---- Filière PC - 2002 1 x On modélise le système comme indiqué sur la fig. 1. Un point du fluide est repéré en coor- données cylindriques d'axe vertical Ox. On note h(r) la hauteur de la nappe fluide et g l'accélération de la pesanteur. Le phéno- mène, de symétrie cylindrique, est caractérisé par une discontinuité de la hauteur du fluide en r= R, position du ressaut. Pour 8> 0, on note h,= h(R --8) et 112 = h(R+£) les hau- _ ,_ _ teurs immédiatement avant et immédiate-- Flg- 1:M0delzsaüon ment après la discontinuité. L'ensemble est dans l'air, à la pression atmosphérique. Première modélisation : écoulement parfait Dans un premier temps, le ressaut est étudié sous l'hypothèse de l'écoulement par- fait d'un liquide incompressible de masse volumique p. Le jet, vertical, est caractérisé par sa vitesse uniforme u0 et son rayon et au voisinage de la nappe horizontale, avant qu'il ne soit perturbé par cette nappe. En l'absence de forces de viscosité, le champ de vitesses sera considéré comme radial et indépendant de la hauteur x: u= u(r)e où er est le vecteur unitaire associé à la ,»9 coordonnée radiale. On note u1 : u(R-- EUR) et u2 = u(R + EUR) les vitesses immédiatement avant et après la discontinuité. Cl 1 ---- Montrer qu'une analyse dimensionnelle permet d'affirmer que le rayon R de res-- z \ u r - r ' 0 ' ' \ saut s'ecr1t sous la forme generale R= af ---- ou fest une fonction, inconnue a ce ag 2 . . , U stade, de la grandeur non dmensronnee F = --Q- , avec % = "no". ag Cl 2 ---- Soit q le débit volumique ; en appliquant le théorème de Bernoulli << a la surface » (donc sur une ligne de courant), montrer que la hauteur h(r) du fluide avant le ressaut et à une distance r suffisante du centre du jet vérifie 2 q __ oe__ 8n2r2h2(r)+gh(r)--C ""K-- El 3 -- Considérer les valeurs numériques typiques suivantes : le débit est de deux litres par minute, l'épaisseur de la couche liquidejuste avant le ressaut est de 0,5 mm, a = 2 mm et R = 3 cm pourjustifier que l'un des termes de la relation donnée à la question 2 est petit devant l'autre, et que l'on peut donc le négliger (on prendra g= lg"= 9,81m.s_2). Cette approximation reste-t-elle valable plus près du centre du jet '? Cl 4 --Déduire de cette remarque l'expression de la constante K de la question 2 et la manière dont la vitesse varie avec r. Montrer, en revenant sur le théorème de Bernoulli, Page 2/6 Physique Il --- Filière PC -- 2002 8h . . que l'inégalité -8-- << 1 est équivalente à l'inégalité entre termes établie à la question 3. r Démontrer enfin la relation 2 a C] h r = -- = . 1 ( ) 2r 27m... [ ] E] 5 -- On effectue maintenant un bilan de quantité de mouvement sur l'élément de fluide compris à un instant t dans le volume limité par les surfaces élé- mentaires de largeur angulaire dB et de hauteurhl immédiatement avant et h2 immédiatement après le ressaut (fig. 2). Déterminer la variation de la quantité de mouvement de cet élément de fluide entre les instants t et t+dt. La hauteur 112 étant nettement supérieure à h], la conservation du débit massique élémentaire dDm = pRhluld9 implique que la vitesse "2-- est nettement inférieure à "1- 0 , 5\ _ Simplifier dans ces conditions l'expression obtenue. Fi2-- 2 -' Un élément defluide Cl 6 -- Considérant le même élément de fluide, mon-- trer que la variation de la pression P(x) suivant x est la même qu'en statique. Calculer la résultante des forces de pression sur cet élément et, appliquant le théorème d'Euler, en déduire la relation 2 h1 uÎ == ghË. Cl 7 -- Déterminer l'expression du rayon R en fonction de a, u... g et h2. d2EC dtd6 temps et d'angle, en fonction des vitesses et du débit massique élémentaire. Cl 8 -- Exprimer , variation de l'énergie cinétique de cet élément par unité de E] 9 -- Déterminer la puissance des forces de pression s'exerçant sur le ressaut. Comparer C cette puissance à la puissance ---- déduite de la question 8. Simplifier le résultat obtenu dt lorsque u2 << "1- El 10 -- Qu'est devenue l'énergie cinétique manquante '? Avec quelle hypothèse ce résultat est--il incompatible '? Il faut donc raffiner ce premier modèle. Seconde modélisation : écoulement d'un fluide visqueux Jusqu'ici, nous ne sommes pas parvenus à déterminer la position du ressaut en fonc- tion des données, la hauteur h2 subsistant dans le résultat. Considérons que la viscosité joue un rôle essentiel dans la position du ressaut. On note 17 la viscosité dynamique du fluide et v : .Û. sa viscosité cinématique. p Page 3/6 _ Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière PC - 2002 Considérations qualitatives approchées Cl 11 -- Expliquer en quelques mots la signification et l'intérêt de la notion de couche limite. Cl 12 -- On admet que, lorsque le fluide est emporté vers la périphérie, l'épaisseur 5 de la I' couche limite le long de la plaque augmente selon la loi 5= k'il'cv, où tc=-- est le "0 temps typique de convection du fluide jusqu'à la distance r. La valeur précise de la cons- tante k dépend de la structure de la couche limite. En tout état de cause, k est de l'ordre de l'unité. Déterminer sa dimension. Cl 13 --Connaissez--vous d'autres phénomènes pour lesquels on observe une relation du type précédent(ô °C J?) entre distance 5 et temps t '? Comment les nomme-t-on '? [:| 14 -- On suppose que la gravité ne joue pas de rôle dans la position du ressaut. Montrer qu'une analyse dimensionnelle permet d'écrire R = aw(Re), où l// est une fonction incon-- _ , u et nue de la quantite Re = --î--;-- . Un traitement élémentaire L'étude détaillée de l'écoulement est difficile. Nous utiliserons donc quelques idées physi- ques pour en appréhender les aspects essentiels. Nous conviendrons (modèle de GODWIN) que le ressaut hydraulique apparaît pour une épaisseur de la couche limite égale à l'épais- '] 27ïu0R seur prévue par le modèle du fluide parfait, soit hl= . La viscosité envahissant alors tout l'écoulement, elle n'est plus négligeable. Cl 15 -- Déterminer le rayon R du ressaut en utilisant la relation donnée à la question 4 pour un fluide parfait. Le résultat suggère la loi d'échelle R3 oc q2 uO--lv_1 Remarque : Les données expérimentales de BRECHET et NÉDA de l'INPG (1998) suggèrent que, pour un liquide, un robinet et une hauteur de chute donnés, les paramètres les plus importants sont le , . . . . , . , . 0,703 --0,295 debut volumique q et la vnsc051te cmematuque v: R °C q V . E] 16 -- Comment s'exprime la fonction W(Re) de la question 14 ? . . , , . --1 Cl 17 -- Vorc1 quelques resultats exper1mentaux obtenus avec a=0,5 cm, % = 80 cm.s et trois liquides de viscosités cinématiques variées. Liquide Huile Glycérine Viscosité cin. (cm2/s) ] 10 5 Rayon mesuré (cm) _ 1 0,5 Montrer que ces résultats sont compatibles avec la relation précédente. Déterminer l'or- dre de grandeur de la constante k. Page 4/6 Physique Il -- Filière PC - 2002 Un traitement moins élémentaire On souhaite approcher le problème de manière un peu plus précise, en déterminant le champ de vitesses et la hauteur quand la viscosité a envahi l'ensemble de l'écoulement. On modélise le champ de vitesses pratiquement horizontal avant le ressaut par u = u(x,r) er. On note us(r) la vitesse à la surface du fluide. Des considérations, hors de propos ici, conduisent à donner à la fonction u(x,r) la forme u(x,r) = us(r)(p h--)(C--) , du où donc (p(1) =]. Les conditions aux limites sont u(O,r) :O et ('à--] :O ; cette x x=h(r) dernière condition signifie que la force de frottement sur l'air à la surface libre est nulle. On adopte pour ça la fonction le plus simple compatible avec ces conditions aux limites : un polynôme du second degré. D 18-- Exprimer u(x,r) en fonction de us(r), x et h(r) ; exprimer alors us(r) en fonction de q, r, et h(r) . Expliciter enfin u(x,r) en fonction de x, r, h(r) , a et u0. Cl 19 -- Montrer (Fig. 3) que, entre les instants [ et t+dt, la variation de quantité de mouvement P de la tranche de fluide contenue à l'instant t dans le volume de largeur angulaire d9, de hauteur h(r) et de largeur dr est ' d 1 d3P : ÇP(ÙZ"°)ZÊ rh(r) où C1 est une constante numérique que l'on déterminera, sachant que d9drdlev r+dr F ig. 3 : Pour un autre bilan élémentaire J:(4h2x2 -- 4hx3 + x4 )dx =Î8g h5 . Cl 20 -- On néglige les forces de pesanteur. La seule force agissant sur la tranche est la force de viscosité, agissant sur la base, et qui s'écrit d2Fr = --nr d 9dr (%LOe,. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par h(r) est où C2 est une constante que l'on déterminera. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière PC - 2002 , . . , . , , 1 C . Cl 21 -- Etablir que la solution de l'equatnon precedente est h(r) :? br2 +--3-- ou C3 est une r V constante non connue et b= C2 2 a % Cl 22 -- La distance r est supposée être assez grande pour que, dans la solution précédente, ! ° , C3 ' A ! ' r ' ° le terme non determine en -- puisse etre negl1ge devant le terme en r2. Ecr1re alors r qu'en r=R, position du ressaut, la hauteur h(R) calculée pour le fluide avec viscosité coïncide avec la hauteur h(R) calculée avec le R de la question 7. En déduire l'expression de R. Comparer au résultat de la question 15. Une approche énergétique La dissipation d'énergie dans une tranche d'épaisseur dx du volume élémentaire considéré Fig. 3 peut s'exprimer comme une dissipation d'énergie due à la viscosité ou comme la divergence du vecteur flux d'énergie cinétique. Soit encore une fois 7]: pv le coefficient de viscosité dynamique ; la puissance élémentaire dissipée, H, vérifie dH 8 du x,r d(3)=(2fl1")773; u(x,r)---%ÿ-Ç--2 dx. Le flux d'énergie cinétique Jtraversant la tranche d'épaisseur dx par unité de temps est dJ(X,F) _ 1 2 de _{2nprîu (X,Ï)dX}u(xvr)' El 23 -- Donner les idées générales permettant d'arriver aux expressions fournies ci--des-- sus pour la dissipation par viscosité et pour le flux énergétique. dJ dfl El 24 -- Exprimer la relation différentielle entre -- et ---- qui traduit le bilan énergéti-- dr dr que. Pourquoi le modèle de Godwin donne-t-il de si bons résultats ? Un inconvénient des approches précédentes est qu'elles utilisent toutes une conjec-- ture non prouvée sur les conditions d'apparition du ressaut. Les principes de base de l'hydrodynamique permettent cependant d'établir des lois d'échelle sur R sans faire appel à cette conjecture. Admettons seulement que le ressaut se produit lorsque la couche limite . . . . 1 2 (:3 . atteint la surface libre et que le profil de vrtesse h(r) = - br +-- sont acceptable. Impo- 3 r sons alors à la couche limite en R une évolution douce : les fonctions h(r) et 5(r) (ques- tion l2, où l'on prendra k = l) et leurs dérivées se raccordent en r = R. Cl 25 -- Trouver la dépendance de R en fonction de V, a et 240. Comparer au résultat de la question 14. Fin du problème Page 6/6

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 Mines Physique 2 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Cette épreuve de mécanique des fluides étudie quelques aspects du ressaut hydraulique. Chacun a pu observer ce phénomène au fond d'un évier : autour du jet du robinet, il se forme une mince couche de fluide en écoulement laminaire et, à quelques centimètres du centre du jet, on trouve un « bourrelet » de fluide. C'est cette variation brutale de hauteur de fluide qui fait l'objet de ce sujet. · La première partie traite de la modélisation de ce phénomène par un écoulement de fluide parfait, ce qui est l'hypothèse la plus simple. Si, grâce au théorème de Bernoulli, on parvient à proposer une formule pour le rayon du ressaut, on aboutit cependant à une contradiction puisque l'écoulement perd de l'énergie. · Dans une seconde partie, plus longue, on essaie donc d'affiner la première description en prenant en compte la viscosité avec un modèle simple, le modèle de Godwin. Ce sujet est d'une longueur raisonnable mais il n'est cependant pas facile à traiter car il demande un certain recul sur le programme de mécanique des fluides. Le théorème de Bernoulli constitue le point central de la première partie, mais il n'est pas exploité de manière tout à fait classique. Seules les questions 18 à 21 sont réellement calculatoires. Ce sujet est globalement intéressant et il permet d'établir quelques résultats non triviaux. On ne peut que regretter cependant les erreurs de l'énoncé : à la question 6 où il est fait référence à un théorème hors programme (et inutile) et à la question 23 où s'est glissée une coquille. Indications Première partie 4 Montrer que, en négligeant un terme dans l'équation obtenue à la question 3, la vitesse u(r) est en fait constante. Réécrire alors le théorème de Bernoulli avec la vitesse et dériver l'expression obtenue par rapport à r. Le dernier résultat de cette question est la traduction directe de la conservation du débit volumique entre le jet et l'écoulement radial avant le ressaut. 5 Pour cette question et la suivante, l'élément de masse correspondant à l'élément de volume décrit par l'énoncé est le système qu'il s'agit de suivre et dont on cherche à caractériser l'évolution. Remarquer que ce système se déforme lors du passage du ressaut mais est fermé (il n'y a pas d'échange de matière). 6 Le théorème d'Euler est non seulement hors programme mais surtout inutile puisque le système est fermé : appliquer simplement le principe fondamental de la dynamique au système défini à la question 5. 9 Pour calculer la puissance des forces de pression, il faut bien séparer les deux contributions de chaque « face » (du côté où la hauteur est h1 et la vitesse u1 et du côté où la hauteur est h2 et la vitesse u2 ). Attention, on ne peut pas utiliser la résultante calculée à la question 6. . . Pour vérifier la conservation de l'énergie cinétique, faire tout de suite l'hypothèse h2 h1 . Pour interpréter la conclusion, remarquer que la variation d'énergie cinétique comme la puissance des forces de pression sont négatives. Deuxième partie 15 Exprimer h1 de deux façons différentes : avec la relation (1) et avec l'hypothèse que la couche limite a une épaisseur = h1 . 18 Pour calculer us (r), il suffit de calculer le débit volumique q sur un cylindre de rayon r et de hauteur h(r) en faisant attention au fait que la vitesse dépend maintenant de x. 19 Il faut être bien soigneux dans le calcul : le volume d défini par l'énoncé constitue un système fermé déformable qui passe, entre t et t + dt de la position r à la position r + dr. Commencer par calculer la quantité de mouvement de l'élément d à l'instant t. 20 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l'élément de fluide de masse d . 23 Pour démontrer l'expression de la puissance des forces de viscosité, revenir à la définition de la force de frottement qu'exerce une couche de fluide sur le fluide placé en dessous de lui (c'est cette action qui permet de définir la viscosité dynamique). Une coquille s'est glissée dans l'expression du flux d'énergie cinétique puisque le résultat proposé n'est pas homogène : il faut supprimer l'élément dx du membre de gauche. 24 Appliquer le théorème de l'énergie cinétique et dériver la relation obtenue par rapport à r. I. Première modélisation : écoulement parfait 1 Le problème fait apparaître différentes échelles caractéristiques indépendantes : · une échelle de longueur a ; · une échelle de vitesse u0 ; · une échelle d'accélération g ; On suppose que l'ensemble de ces trois échelles forme un système complet. Toutes les autres grandeurs du problème peuvent s'exprimer en fonction de ces échelles. R est homogène à une longueur. On peut donc exprimer R comme le produit d'une longueur particulière du problème, ici a, par une fonction qui dépend uniquement de nombres sans dimension caractéristiques du problème. À partir des échelles indépendantes du problème, on cherche donc à construire un nombre sans dimension. Pour cela, on cherche des entiers , et tels que [a] [u0 ] [g] = 1 Il convient de préciser ce que l'on entend par « échelle indépendante ». Cela signifie que l'on peut choisir de modifier la valeur d'une seule de ces grandeurs sans que les deux autres ne soient modifiées. C'est pourquoi R n'est pas une échelle indépendante : il est clair que sa valeur dépend du système choisi donc en particulier des choix de a, u0 et g. On utilise des notations conventionnelles que l'on rappelle brièvement ici : les crochets désignent « la dimension de » et les dimensions fondamentales longueur, masse, temps sont notées respectivement L, M, T. En remplaçant les dimensions des échelles caractéristiques, on obtient (L) L T-1 L T-2 = 1 d'où L++ T-(+2 ) = 1 Cette égalité ne peut être réalisée que si les exposants de L et T sont nuls ce qui implique ++ = 0 +2 = 0 On a un système de deux équations à trois inconnues : on peut choisir de tout exprimer en fonction de par exemple. On obtient = -2 = Sans restreindre la généralité de cette démonstration, on peut choisir n'importe quelle valeur non nulle pour . Si l'on prend par exemple = -1, on a le paramètre sans dimension u0 2 /a g. On obtient donc 2 u0 R = af avec f fonction indéterminée ag 2 On a un écoulement permanent de fluide parfait. On peut appliquer le théorème de Bernoulli sur une ligne de courant. Choisissons une ligne de courant à la surface de l'écoulement. Si P désigne la pression et u la vitesse, on a P u2 + + g h(r) = Cte 2 La ligne de courant choisie est soumise à la pression atmosphérique P0 donc le terme de pression peut être incorporé à la constante. Il reste donc u2 + g h(r) = Cte 2 Par hypothèse, u ne dépend que de r. Le débit volumique qui traverse un cylindre de base le cercle de rayon r et de hauteur h(r) s'écrit donc simplement q = 2 r h(r) u(r) En remplaçant u(r) dans l'équation de Bernoulli, on obtient finalement q2 + g h(r) = Cte = K 8 2 r2 h2 (r) 3 Évaluons, compte tenu des valeurs typiques fournies par l'énoncé, le rapport des deux termes de l'équation précédente en r = R : q2 13 8 g 2 R2 h1 3 On se place maintenant en r = a. Puisque la vitesse est continue, on peut supposer que la vitesse radiale est à peu près u0 à cet endroit. La conservation du débit volumique implique q = u0 a2 = 2 u0 a h(a) a d'où h(a) 2 On peut alors à nouveau calculer le rapport q2 360 g 2 a5 On constate donc que le premier terme est au moins d'un ordre de grandeur supérieur au second entre r = a et r = R. On choisit donc de négliger le second terme. Plus on s'approche du centre, tout en restant en dehors du jet, meilleure est l'approximation. Cependant, si l'on pénètre dans le jet, elle n'est plus valable car on ne suit plus une même ligne de courant : le théorème de Bernoulli ne s'applique plus et la hauteur h n'est plus définie. 4 On déduit de la question précédente K= q2 8 2 R2 h1 2 Or, on a vu à la question 2, lors de l'application du théorème de Bernoulli que u2 (r) q2 = 2 8 2 r2 h2 (r) On a donc u2 (r) =K 2 La vitesse u(r) est constante avant le ressaut.