Mines Physique 2 PC 2000

Thème de l'épreuve Principe d'un détecteur de pluie pour les essuie-glace
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électronique, optique géométrique, mécanique

Corrigé

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' A 00 PHYS. II , , ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2000 SECONDE ÉPREUVE de PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours ENSTIM, INT, TPE-EIPV Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE Il - PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 7 pages. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à pren- dre. . Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ESSUIE-VITRE À DETECTEUR DE PLUIE Ce problème, composé de trois parties indépendantes, se propose d'étudier le principe du détecteur de pluie que l'on trouve actuellement sur certaines voitures et le fonctionnement de ! 'essuie-vitre qu 'il commande. La partie A évalue quelques ordres de grandeur relatifs à la chute de pluie sur le pare--brise. La partie B décrit le principe de fonctionnement d'un détecteur de pluie, situé sur la partie supérieure du pare-brise de la voiture, hors de la zone balayée par les balais d 'essuie-vitre. La partie C décrit le fonctionnement mécanique des essuie-vitres. Les trois parties sont indépendantes ; toutefois, certaines données numériques précisées par l'énoncé sont communes à plusieurs parties. Dans tout le problème, l'accélération de la pesanteur sera prise égale à g = 9,81m.s'2. On rappelle quelques formules d'analyse vectorielle : rot mt U =grad div U --AU En coordonnées cartésiennes : AU=AUXeX +AU},ey +AUzez pour U=U,ex +Uyey +Uzel si les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz d'une base orthonormée sont notés e,, ey et el. PARTIE A : CHUTE DE LA PLUIE SUR LE PARE--BRISE Le pare-brise du véhicule étudié est assi- milé à une surface plane, d'airc supérieure à Detecteur de plu1 . 1 m2, inclinée d'un angle [3 = 35° par rap- Par EUR-bTÏSC port au plancher du véhicule. Le pare--brise comporte deux essuie-vitres dont les balais ont des longueurs différen- tes, lc = 60 cm pour celui du conducteur et l,, = 50 cm pour celui du passager. Les ba-- Page 1/7 Tournez la page S.V.P. D , t t lais des essuie--vitres sont reliés à un bras 6 . . . , . . e ec ur --* :) par une lrarson fixe srtuee au milieu, MC et Mp respecti- 8 vement, de là...--\"? chacun d'eux. En 0EUR et OP sont situés les axes de rotation, perpendiculaires au pare-brise. OcMc = de = 60 cm et O,,Mp = d,, = 50 cm. Chaque essuie--vitre par- court un angle total égal à 1c/2. L'axe Zone essuyée par les balais des deux essuie--vitres 0 . . . dp ° Oz, perpendiculaire à la figure, pornte vers l'extérieur du véhicule. On ne tien- Fig 2 : pare--brise, vu del'extérieur dra pas compte du caractère coudé du bras, c'est-à-dire de l'angle £ représenté ci-dessus. Il pleut régulièrement et verticalement dans un air calme. Les précipitations au sol sont de 10 mm de pluie par heure. La pluie est supposée formée de petites gouttes d'eau sphériques de rayon re = 0,lmm qui tombent en ayant atteint leur vitesse limite. Les gouttes d'eau subissent la force exercée par l'air selon le modèle de Stokes fair : --6flflr,v, où la viscosité de l'air sera prise égale à n = 1,7 10"5 kg.m".s". La masse volumique de l'eau est [1 = 103 kg.m". 1. Déterminer la vitesse limite de chute de l'eau. 2. La voiture est arrêtée. Déterminer le nombre de gouttes et la masse d'eau évacués par les deux essuie-vitres pendant la durée T = 1,6 5 d'un aller-retour des essuie-vitres (fonctionnement à petite vitesse). On admettra que la surface du pare-brise commune aux deux balais représente 10 % de la surface totale balayée. 3. La voiture roule maintenant à 110 kilomètres par heure sur une autoroute horizontale et droite. Déterminer le nombre de gouttes et la masse d'eau évacuée par les deux essuie--vitres pendant la durée T = 1,0 5 d'un aller--retour des essuie--vitres (fonctionnement à grande vitesse). 4. Le délai de déclenchement de l'électronique de commande des essuie-vitres gérés par le détecteur de pluie est de l'ordre de 0,01 5. Toujours dans le cas décrit à la question 3, détermi- ner le nombre de gouttes qui, en moyenne, atteignent la surface utile du détecteur de pluie pendant le délai de déclenchement. L'aire de la surface utile du détecteur est évaluée à 5 cm2. PARTIE B : PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DU DETECTEUR DE PLUIE Le principe du détecteur de pluie repose sur le comportement différent d'une onde électromagnétique lorsqu'elle arrive sur un dioptre verre-air, séparant le verre (milieu d'entrée) et l'air (milieu de sortie) et lorsqu'elle arrive sur un Air (extérieur) dioptre verre--eau. 5. Calculer les valeurs des angles d'incidence au-delà des- quels il y a réflexion totale pour les dioptres verre-air, verre- eau, eau-air. Les indices de réfraction du verre et de l'eau \ : Air (intérieur) sont respectivement égaux a 1,50 et 1,33. Fig. 3 .' principe du détecteur de pluie Une diode électroluminescente Page 2/7 (DEL) émet une onde électromagnétique qui, grâce à des prismes de verre, est envoyée sur le dioptre verre-air constitué par le pare-brise du véhicule et l'air extérieur. Placé à la distance 1 = 4cm plus loin, un autre dispositif à prismes conduit l'onde électromagnétique vers une photodiode qui fonctionne en récepteur (REC). Le pare-brise sera localement assimilé à une lame de verre à faces parallèles d'épaisseur e = 1 cm (cf schéma de la figure 3). Fig. 4 : Le détecteur de pluie est placé au centre du pare-brise 6. Effectuer un tracé soigneux (sans qu'il soit nécessairement à l'échelle) de la marche d'un ra on lum1neux artant de 0 dans le are-buse avec la direction initiale u = -- e + e , sa-- y P P \/5 y z chant qu'en y = 3 cm et z = e est présente une petite goutte d'eau qu'on représentera de façon approximative. On expliquera le tracé sans qu'il soit nécessaire d'effectuer beaucoup de cal- culs. 7. En déduire une explication rapide du fonctionnement du détecteur de pluie. 8. En réalité, le faisceau lumineux envoyé à partir de O est assimilable à un cône d'angle au sommet 10°. Quel en est l'intérêt par rapport au cas du mince pinceau lumineux (assimilé à un rayon lumineux) envisagé àla question précédente ? La diode réceptrice présente une surface « active » de l'ordre de 1 m2. Quelle particularité, non représentée sur la figure 3, doit présenter le dispositif à prismes afin d'augmenter la sensi- bilité du détecteur ? Afin de préciser quantitativement les conditions de fonctionnement du détecteur de pluie, nous allons reprendre l'étude ci--dessus dans le cadre électromagnétique. Nous allons donc étudier la propagation d'une onde plane progressive dans un milieu diélectrique, linéaire, homogène, isotrope, non magnétique de permittivité relative en et d'indice de réfraction nl. Ce milieu ne comporte pas de charges volumiques ni de courants volumiques libres. On notera À la longueur d'onde que possède l'onde lorsqu'elle se propage dans le vide. On notera traditionnellement c la vitesse de la lumière dans le vide. 9. Établir l'équation de propagation suivante du champ électrique dans le milieu d'indice n], (ce 2 2 _n_1_ 8 E1 champ est noté E1 ) :AE1 = c2 8t2 On étudie la réfraction d'une onde plane progressive monochromatique sur un dioptre plan séparant deux milieux d'indices n; et riz réels, présentant les mêmes propriétés que celui qui a été défini précédemment. Le vecteur d'onde de l'onde incidente est noté ki = k,); ey + k,-z ez. Il fait un angle a] avec la normale au dioptre. Le champ électrique de cette onde est E,] = E01 exp j(at -- k,.r) au temps t et à la position r. Page 3/7 Tournez la page S.V.P-- 10. Le dioptre étant invariant par translation selon Oy, on se propose de rechercher l'onde réfracte'e sous la forme E,z=E,æ(z)[expj(oet--klyy)]er Établir l'équation différentielle à laquelle obéit Et2 (z) , en fonc- tion seulement des indices m et in des deux milieux, de la longueur d'onde À et de an. F ig. 5 : étude électromagnétique d'un dioptre 11. 12. 13. A quelle condition l'onde réfractée est-elle progressive sans amortissement ? On définira alors kt le vecteur d'onde de l'onde réfractée. Celui--ci fait un angle a; avec la normale au dioptre. Montrer alors que la forme imposée par l'énoncé pour Et2 à la question précédente permet de retrouver la loi de Descartes de la réfraction. A quelles conditions sur les indices de réfraction n, et n; et sur l'angle d'incidence a], l'onde réfractée est--elle amortie ? Définir alors, une épaisseur de peau que l'on notera & Établir une relation numérique entre 6 et une longueur caractéristique du problème dans le cas d'un dioptre verre--air où l'angle d'incidence est de 45°. A quelle situation de l'optique géométrique correspond le cas étudié dans cette question ? Savez-vous ce que l'on appelle, en physique, « effet tunnel >> ? En connaissez-vous une appli- cation pratique ? Comment pourrait-on mettre en évidence un « effet tunnel >> dans l'étude qui nous concerne ? Votre réponse sera effectuée en liaison avec la question 12. Y voyez-vous une difficulté prati- que ? Dans l'affirmative, proposer une mise en évidence de l' « effet tunnel » réalisable en salle de Travaux Pratiques de Lycée. Afin de comprendre si la présence d'eau sur le pare-brise entraîne des modifications importantes ou modestes sur le signal détecté par la diode de réception, nous nous proposons d'établir l'expression du coefficient de transmission t de l'amplitude du champ électrique lors d'une réfraction verre-eau avec une incidence a] = 45°. On considère une onde incidente plane progressive monochromatique, non amortie, dont le champ électrique est donné comme récédemment par E. = E ex ' cat --k..r . Elle donne naissance, au P n 01 p] 1 niveau du dioptre, à une onde réfléchie d'amplitude E,] et à une onde réfractée d'amplitude En : Erl : En [exp] (cat -- k,.r)]ex Etz : E,2 expj(al -- k,.r)]ex On notera az l'angle de réfraction. On définit les coefficients de réflexion r et de transmission ! par : E E rl et t = 12 il il r: Les amplitudes des champs étant a priori complexes, r et t le sont a priori aussi. 14. On suppose l'absence de toute charge surfacique libre et de tout courant surfacique libre sur la surface du dioptre verre-air situé en 2 = e. Quelles sont les conséquences de cette hypothèse sur la continuité des diverses composantes du champ électrique E et du champ B (induction électromagnétique) de part et d'autre de ce dioptre ? Page 4/7 15. 16. 17. 18. 19. 20. Fig. 7 : montage proposé pour la mesure du,/lux lumineux &? Établir deux relations faisant intervenir r et t. 200so:l sin oc2 sin(oq " %) s...(a, ...,) " ' = En déduire que tet r se mettent sous la forme :' t = _ . sm(oc1 + 062) Calculer numériquement t pour on = 45°. Commentaire. Dans ce problème de réfraction, on définit aussi un coefficient de transmission T et un coeffi- 2 tan oc1 tan 062 Expliquer, en quelques lignes et sans effectuer de calculs, comment on définit T et R. Nous savons que l'énergie est proportionnelle au carré de l'amplitude des champs. Il pourrait apparaître naturel d'obtenir les relations T = t2 et R = 72. Expliquer, toujours sans qu'il soit nécessaire d'effectuer des calculs, pourquoi T: t2 alors que R = r2. Les coefficients R et T doivent vérifier une relation importante. Quelle est--elle ? Quelle est sa signification physique ? et R =r2. cient de réflexion R pour le flux énergétique. On peut montrer que T = t Pour la même incidence qu'à la question 17, calculer numériquement R et T. Le calcul de T est--il suffisant pour répondre à la question suivante: « Dans le cas du fonctionnement du détecteur de pluie, pourrait-on se contenter d'une électronique de détection sommaire ? ». Discuter. L'élément sensible du récepteur est une photodiode, dont on indique ci-après (fig. 6) la carac- téristique courant-tension pour divers régimes d'éclairement (en présence de divers flux lumi- neux ci,--). L'intensité is est approximativement proportionnelle au flux lumineux @ reçu par la photo- diode. Les valeurs de 1°, sont de l'ordre du milliampère. Dans le montage électronique proposé à la fig. 7, proposez, en les justifiant, les valeurs numériques des grandeurs uo et R à choisir pour obtenir en sortie une tension de valeur raisonnable, proportionnelle au flux lumineux reçu. 21. Le signal enregistré par la diode de réception n'est pas utilisé tel quel. Il est comparé (par différence) au  

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 Mines Physique 2 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) ; il a été relu par Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) et Yannick Alméras (ENS Ulm). Le problème, constitué de trois parties indépendantes, étudie sous divers aspects le principe de fonctionnement des essuie-glace avec détecteur de pluie. Dans une première partie, on cherche à évaluer des ordres de grandeur relatifs à la chute de la pluie sur le pare-brise. Les questions de cette partie ne sont pas difficiles, mais elles demandent un certain courage au moment des applications numériques. La partie B s'attache à expliquer le principe de la détection. On a au préalable une étude d'optique géométrique puis, pour préciser les résultats, on utilise les lois de l'électromagnétisme pour bien comprendre le fonctionnement. Cette partie se termine par l'étude du montage électronique à la base de la détection. Enfin, la partie C étudie mécaniquement les essuie-glace pour évaluer la puissance électrique nécessaire à leur bon fonctionnement. Le problème en lui-même n'est pas difficile mais demande une connaissance solide du cours, notamment en électromagnétisme. Enfin, certaines questions assez calculatoires peuvent paraître rebutantes. Indications 2 Ne pas hésiter à calculer le nombre de gouttes qui tombent par unité de volume. Cette valeur sera utile pour les questions 3 et 4. Il faut aussi calculer l'aire balayée par les essuie-glace. 6 Comparer la valeur d'incidence du rayon lumineux 45 aux valeurs limites trouvées à la question 5. - - 10 Trouver l'équation différentielle à laquelle obéit Et2 et injecter la forme de Et2 proposée. Il reste à trouver une relation entre kiy , et 1 . - 11 Pour retrouver la loi de Descartes, remarquer que la composante de k selon - e t y vaut kiy . z 12 Rechercher des solutions sous la forme Ae- et chercher l'expression de . 13 Penser à une expérience utilisant des ondes centimétriques pour simuler l'effet tunnel en TP. - 15 Écrire les conditions trouvées à la question 14 ; il faut calculer B au préalable. 16 Il faut utiliser la relation de Descartes de la réfraction et la formule de trigonométrie sin (1 + 2 ) = sin 1 cos 2 + sin 2 cos 1 . 22 Considérer un tube d'air de section S dont les extrémités sont situées respectivement loin avant et loin après le déflecteur ; il faut alors calculer aux instants t et t + dt la quantité de mouvement de ce tube d'air. La force exercée sur celui-ci est trouvée grâce à la relation fondamentale de la dynamique. Z T2 24 Écrire que (t) dt = - . 2 0 25 Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un petit élément de chaque -- balai et trouver une relation entre F, F0 et la réaction normale kdRn k. Enfin la -- loi de Coulomb sur le frottement pour un objet en mouvement s'écrit : kdRt k = -- - f kdR k avec la condition dR .- v < 0. n t 27 La tension de batterie actuelle est de 12 V. Partie A Chute de la pluie sur le pare-brise 1 Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à une goutte d'eau : mg d- v = -6re - v + mg - g dt 4 µre3 désigne le volume d'une goutte. 3 En régime stationnaire, pour lequel la vitesse limite de chute vlim est atteinte : - d- v = 0 dt soit, en projetant sur l'axe Oz, où mg = 6re vlim = mg g vlim = 2 µre2 g 9 vlim = 1, 3 m.s-1 A.N. 2 Calculons la surface balayée par le balai côté conducteur. Bc Ac Cc Dc Oc lc dc 2 lc dc + . 4 2 2 lc L'aire du quart de disque Oc Ac Dc vaut dc - . 4 2 L'aire du quart de disque Oc Bc Cc vaut L'aire totale balayée par le grand balai est donc : Ac = 4 2 2 ! lc lc dc + - dc - = dc lc 2 2 2 Un calcul identique donne l'aire totale balayée par le petit balai : 2 2 ! lp lp dp + - dp - = dp lp Ap = 4 2 2 2 Il faut maintenant tenir compte de l'aire commune balayée par les deux balais pour calculer l'aire totale A de balayage : A = (Ap + Ac ) - 10 (Ap + Ac ) 100 9 (dp lp + dc lc ) 20 Pendant une durée T, les gouttes d'eau qui tombent sur le pare-brise sont à t = 0 à une distance inférieure à vlim T du pare-brise. La figure suivante montre en coupe le volume dans lequel sont les gouttes d'eau. Pour calculer ce volume, remarquons que l'on peut se ramener à un prisme droit : A= pluie v lim T v lim A T os pare-brise A Le volume occupé par les gouttes qui tombent entre 0 et T sur le pare-brise est donc : vlim TA cos Calculons le nombre n de gouttes de pluie qui tombent, par unité de volume. Pendant une heure, il tombe 10 mm de pluie par m2 soit un volume de 10-2 m3 . En 10-2 3 une seconde, il tombe donc un volume V = m par m2 soit 3600 V 4 3 r 3 e gouttes de pluie. Dans cet intervalle d'une seconde, les gouttes sont dans un cylindre de volume V0 = vlim × 1 s × 1 m2 . Il y a donc n= V 4 3 r V0 3 e gouttes de pluie qui tombent par m3 . On en déduit le nombre N1 de gouttes balayées par les balais d'essuie-glace :