Mines Physique 1 PC 2025

A2025 ­ PHYSIQUE I PC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2025
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2025 -- filière PC

La viscosité
En hydrodynamique, un fluide, qu'il soit gazeux ou liquide, est généralement 
représenté par
un milieu continu associé à un champ de vitesse solution de l'équation de 
Navier-Stokes. Pour
déterminer complètement ce champ au sein du fluide, il faut ajouter à cette 
équation des
conditions aux limites. Par exemple, si le fluide est en contact avec un 
solide, la condition
traduit le comportement du fluide sur la paroi de ce solide. La condition de 
non-glissement est
généralement adoptée.
Dans ce problème, on se propose tout d'abord dans la partie I, de retrouver 
l'expression de la
loi de Stokes décrivant la force exercée par un écoulement sur un solide dans 
le régime de nonglissement avec un nombre de Reynolds faible. Cette partie est 
complètement indépendante des
deux parties suivantes. On étudie ensuite dans la partie II les propriétés du 
champ de vitesse
dans un fluide avec une condition aux limites plus élaborée. On propose enfin, 
dans la partie
III, d'étudier le phénomène de viscosité par une approche microscopique.
Les quelques applications numériques demandées le sont avec un seul chiffre 
significatif.
Si on néglige la pesanteur, dans un fluide newtonien de masse volumique , de 
pression P et
de viscosité dynamique , le champ de vitesse ~v est solution de l'équation de 
Navier-Stokes :

@~v 
~
~ P +  ~ ~v

+ ~v · grad
~v = grad
(1)
@t

I

La formule de Stokes

On étudie l'écoulement incompressible d'un fluide de viscosité , autour d'une 
boule de rayon
a qui se déplace à vitesse constante ~v0 = v0~ez avec v0 > 0 dans un 
référentiel galiléen. On
ne prend pas en compte les effets du champ de pesanteur.

x
!

v0

'

M
r

µ

z

y
Figure 1 ­ Écoulement autour d'une boule et coordonnées sphériques.
On se propose d'obtenir l'expression de la force de Stokes résultant du 
mouvement relatif entre
la boule et le fluide et dirigée dans le sens opposé à ce mouvement. On se 
place dorénavant
dans le référentiel lié à la boule. L'écoulement du fluide est stationnaire et, 
loin de la boule, sa
vitesse est ~v0 = v0~ez et sa pression P1 . On note ~v la vitesse des 
particules de fluide autour de
la boule. Pour un nombre de Reynolds très inférieur à 1 on parle de régime de 
Stokes : la force
de trainée est celle de Stokes, pour une boule de rayon a elle s'écrit F~S = 6  
a ~v .
~ on donne
Pour tout vecteur A

~
~A
~ = grad
~
~
~ rot
~ A
divA
rot
Page 1/6

Physique I, année 2025 -- filière PC

On rappelle que si un vecteur ~v a pour coordonnées (vr , v , v ) dans la base 
orthonormée
sphérique {~er , ~e , ~e } alors

1
@(sin

v
)
@v
1
@v
1
@(r
v
)
1
@(r v ) @vr

r
~ v=
rot~
~er +
~e +
~e .
r sin 
@
@
r sin  @
r @r
r
@r
@
On donne enfin le gradient d'un scalaire f (r,, ) dans la base locale sphérique
@f
1 @f
1 @f
~
gradf
=
~er +
~e +
~e .
@r
r @
r sin  @
o ­ 1. Donner la définition du nombre de Reynolds, Re , associé à un écoulement 
de vitesse
typique v, de dimension typique L, de masse volumique  et de viscosité .
Préciser le rapport de deux termes de l'équation de Navier-Stokes (1) qu'il 
estime.
Interpréter physiquement chacun de ces deux termes.
o ­ 2. En se plaçant dans le plan P = (O,~ex , ~ez ), représenter 
qualitativement quelques lignes
de courant du fluide autour de la boule pour les deux situations, Re très grand 
(préciser)
et Re assez faible, et décrire dans chaque cas l'écoulement autour de la boule 
solide.
Pour Re  1, on précisera sur le schéma le vecteur vitesse ~v (M ) d'une 
particule de fluide
localisée en un point M 2 P voisin de la boule. Représenter aussi la distance 
r, l'angle
 et les vecteurs de base locaux ~er et ~e correspondants.
o ­ 3. Pour des nombres de Reynolds supérieur à 1000, comment la force de 
traînée subie par
une boule solide est-elle reliée à la vitesse de l'écoulement ?
Pour évaluer la force de traînée, F~ = Fz ~ez , subie par un solide se 
déplaçant à la vitesse ~v = v~ez
dans un fluide au repos, on introduit le coefficient de traînée Cz défini par :
|Fz |
 v2S
2

Cz = 1

où S est la surface projetée du solide dans un plan perpendiculaire à la 
direction de son déplacement.
On considère dans le reste de cette partie un écoulement de Stokes stationnaire 
autour d'une
boule de diamètre d = 2a.
o ­ 4. Déterminer l'expression du coefficient de traînée Cz en fonction du 
nombre de Reynolds
Re .
o ­ 5. Donner l'équation de Navier-Stokes simplifiée, correspondant au régime 
de l'écoulement
considéré et vérifiée par le champ de vitesse du fluide ~v en un point M situé 
à l'extérieur
de la boule.
On peut montrer (donc nous ne le ferons pas !) que pour un tel écoulement, la 
solution de
l'équation précédente s'écrit en coordonnées sphériques :

3a
a3
3a
a3
~v (r,) = v0 cos  1
+
~er v0 sin  1
~e
2r 2r3
4r 4r3
o ­ 6. Montrer que ce champ de vitesse vérifie bien la condition de 
non-glissement à la surface
de la boule.
Montrer qu'il vérifie également la condition aux limites loin de la boule.
~ v =  v0 a sin  ~e expression dans laquelle on précisera la valeur de la
o ­ 7. Montrer que rot~
r2
constante positive  2 Q.
Page 2/6

Physique I, année 2025 -- filière PC

o ­ 8. En déduire que la pression autour de la boule s'écrit sous la forme P (M 
) = P1
dans laquelle on précisera l'expression de en fonction de , a et v0 .
o ­ 9. Déterminer la résultante des forces de pression, notée F~p , sur la 
boule.

cos 
r2

On rappelle l'expression, en coordonnées sphériques, de la force élementaire de 
cisaillement
exercée par le fluide de viscosité  sur un élément de surface d'aire dS d'une 
boule de rayon a
dF~c = 

@(~v · ~e )
dS ~e
@r
r=a

o ­ 10. Déterminer la résultante des forces de cisaillement, notée F~c , 
exercée par le fluide sur
toute la boule.

o ­ 11. Déduire des deux résultats précédents la force de traînée exercée par 
le fluide sur la boule.

II

Glissement d'un gaz à la surface d'un solide

La condition de non-glissement d'un fluide à la surface d'une paroi solide 
(située en zp = 0, voir
Fig. 2) consiste à écrire que la vitesse relative des particules de fluide au 
contact de cette paroi
est nulle. Cette condition est généralement admise mais n'en demeure pas moins 
un postulat
de l'hydrodynamique qui a donné lieu à un débat historique. Navier (en 1823) 
puis Maxwell
(en 1879) ont proposé de la remplacer par la condition aux limites plus 
générale suivante :
vt = b

@vt
@z z=zp

(2)

Dans laquelle vt désigne la composante transverse (ou tangentielle) de la 
vitesse d'une particule
du fluide, i.e. localement parallèle à la paroi. On peut voir la condition (2) 
comme illustrant une
position effective de l'interface repoussée de la distance b et pour laquelle 
on aurait les propriétés
hydrodynamiques habituelles. Cette distance est ainsi appelée longueur 
d'extrapolation, elle est
souvent submicrométrique. Les différents cas envisagés sont représentés sur la 
figure 2.

z

Fluide

zp

b=0

b

Solide

b!1

Figure 2 ­ Différentes conditions aux limites : glissement nul (b = 0), partiel 
caractérisé par la
longueur de glissement b > 0, et total (b ! 1) qui correspond à une condition 
de cisaillement
nulle. Les flèches horizontales représentent le champ de vitesse dans le fluide.
On introduit le champ des vitesses moyen ~u = h~v i dans le fluide et v l'écart 
quadratique
moyen autour de cette vitesse moyenne, appelée aussi vitesse d'agitation 
thermique.
Le champ moyen ~u est toujours solution de l'équation de Navier Stokes rappelée 
en début
d'énoncé.
Le glissement des molécules de fluide à la surface de la paroi dépend de leurs 
interactions
moléculaires avec celles qui constituent cette paroi. Les conditions aux 
limites de type « nonglissement » sont adaptées aux équations de type fluide 
comme celle de Navier-Stokes. Par
contre, si le nombre de Knudsen, Kn = `/R, rapport entre le libre parcours 
moyen ` des
Page 3/6

Physique I, année 2025 -- filière PC

molécules dans le fluide et l'échelle typique spatiale R des gradients 
macroscopiques, devient
non négligeable, on entre dans un régime ballistique et il faut envisager 
d'autres conditions aux
limites.
Ce comportement ballistique des molécules fluides doit être pris en compte dès 
que Kn > 10 3 .
On doit alors considérer que certaines molécules peuvent glisser sur la paroi 
lors de leurs chocs
avec cette dernière.
Dans un modèle simple, Maxwell considère uniquement deux types de chocs :
· Le choc spéculaire : la molécule de fluide conserve sa vitesse tangentielle à 
la paroi après
le choc, la composante normale est simplement inversée au moment du choc.
· Le choc diffusif : la molécule est ré-émise dans le fluide après sa collision 
avec la paroi
avec la même vitesse que celle de la paroi.
Il note la proportion des molécules du fluide qui effectuent un choc diffusif 
et donc 1
la proportion de celles qui effectuent un choc spéculaire. Il suppose enfin que 
dans la couche
d'épaisseur ` et pendant la durée  = `/ v, seulement la moitié des molécules 
susceptibles
d'entrer en collision avec la paroi le font effectivement, les autres 
continuant en ligne droite à
la vitesse ui = u(`). La paroi est fixe et située en z = zp = 0.

o ­ 12. Déterminer, en fonction de ui et , la vitesse moyenne ur après 
collision avec la paroi. En
déduire la vitesse de glissement ug des molécules de cette couche pendant la 
durée  .
On considére que chaque molécule traverse en moyenne le libre parcours moyen ` 
entre chaque
collision.

o ­ 13. Exprimer, en fonction de ug , ` et @u
, la vitesse ui = u(`) comme un développement
@z z=0
de Taylor au premier ordre de u(z) au voisinage de la paroi.
En utilisant la condition aux limites (2) de Maxwell Navier pour vt = ug , 
exprimer la
longueur d'extrapolation b (aussi appelée longueur de glissement) en fonction 
de ` et .
On pourra poursuivre l'étude en admettant la pertinence de la condition aux 
limites (2) en
fonction du paramètre b qui sera alors supposé connu.
z
On considère un fluide (masse volumique  et viscosité dynamique ) qui
s'écoule de manière stationnaire et in- +h/2
!
u(z)
compressible avec une vitesse suivant
y
x
~ex , du fait d'un gradient de pression
O
constant, entre deux parois planes situées en z = ±h/2 (voir figure 3).
On note L la longueur du canal suivant ¡h/2
Pe Ps
@P
(Ox) et G =
=
, les granL
@x
deurs Pe et Ps étant respectivement les
pressions d'entrée et de sortie dans le Figure 3 ­ Écoulement de Poiseuille 
dans un canal
rectangulaire de largeur w
h selon (Oy).
canal.

o ­ 14. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par le champ de vitesse 
du fluide u(z).
On adopte une condition limite classique de non-glissement des particules de 
fluide au contact
des parois.

o ­ 15. Déterminer dans ces conditions l'expression du champ de vitesse ung (z) 
en fonction de G,
h, et .
Déterminer le débit volumique Qng en fonction de G, h, w et .
On tient désormais compte du glissement des molécules du gaz sur les parois 
dans le modèle de
Maxwell Navier. La longueur de glissement b est supposée identique sur les deux 
parois.
Page 4/6

Physique I, année 2025 -- filière PC

o ­ 16. Déterminer le champ de vitesse dans le fluide, ug (z), en fonction de 
G, h, b et .
Exprimer le débit volumique Qg en fonction de Qng et du taux de confinement  = 
b/h
du fluide. Commenter.

III

Approche microscopique de la viscosité

La viscosité est le phénomène de transport de quantité de mouvement en présence 
d'un gradient
de vitesse au sein du fluide. On se propose dans cette partie de déterminer le 
coefficient de
viscosité dynamique  d'un gaz, par une approche cinétique à l'échelle 
microscopique.
Le modèle adopté est celui d'un écoulement unidirectionnel dans une base 
cartésienne {~ex , ~ey , ~ez }.
Le fluide considéré est un gaz caractérisé par une température T , il est 
constitué de molécules de
masse m possédant une vitesse ~v . L'ensemble de ces vitesses forme un champ 
dont la moyenne
~u est selon le vecteur ~ex et ne dépend que de la variable z : ~u(z) = h~v i = 
u(z) ~ex .
On suppose que la fluctuation ~v (écart quadratique moyen) de la vitesse de 
chaque particule
autour de ce champ moyen est un vecteur aléatoire de norme constante v = k ~vk 
et dont
la direction est uniformément répartie sur les 6 vecteurs unitaires ±~ex , ±~ey 
et ±~ez . Cette
fluctuation est due aux collisions entre molécules.
On suppose enfin que le cisaillement moyen du
est constant (écoulement de Couette plan).
dz
Les particules constituant le fluide sont assimilées à des sphères dures de 
diamètre d, le nombre
moyen de ces sphères par unité de volume est appelé densité particulaire et 
noté n.
Le fluide considéré est par exemple l'air dont la masse molaire est Ma = 29 g 
·mol 1 , on rappelle
également les valeurs de la constante d'Avogadro NA = 6,01023 mol 1 et de celle 
de Boltzmann
kB = 1,4  10 23 J · K 1 .

o ­ 17. Déterminer l'expression de v en fonction de T , Ma , NA et kB .
Calculer sa valeur numérique dans des conditions usuelles.

On note ` le libre parcours moyen des molécules du fluide et  = `/ v la durée 
moyenne entre
deux collisions successives. On considère deux tranches de fluide : l'une 
située entre les cotes z `
et z (tranche a), et l'autre, juste au-dessus, entre z et z + ` (tranche b). La 
surface de contact
entre ces deux couches est S
`2 . On suppose que la moyenne de la vitesse des particules
dans la tranche a (resp. b) est ~ua = u(z `)~ex (resp. ~ub = u(z + `)~ex ), 
cette modélisation est
réprésentée sur la figure 4.
Les fluctuations de la vitesse des molécules font qu'une partie de celles qui 
se trouvent dans la
couche a montent dans la couche b : celles qui sont telles que ~v = v ~ez . De 
même, une partie
des particules qui se trouvent dans la couche b descendent dans la couche a : 
celles qui sont
telles que ~v =
v ~ez .

z

z

z +`
!

g
g

!

uB = u(z+`) e x

z
!

!

uA = u(z¡`) e x

z ¡`

y

Tranche B
Surface de contact
Tranche A

x

Figure 4 ­ Modélisation microscopique de l'écoulement de Couette plan.

Page 5/6

Physique I, année 2025 -- filière PC

o ­ 18. Déterminer, en fonction des données, la variation de quantité de 
mouvement dP~a de la
tranche a pendant la durée t =  , à travers la surface S.
o ­ 19. Déterminer réciproquement la variation de quantité de mouvement dP~b de 
la tranche b
pendant la même durée à travers la surface S.
En déduire la force exercée par la tranche b (resp. a) sur la tranche a(resp. 
b) pendant
t à travers la surface S. On interprètera physiquement les deux termes 
(tangentiel et
normal) présents dans ces forces.

o ­ 20. En écrivant un développement limité à l'ordre 1 pour u(z ± `), 
déterminer la viscosité
dynamique  du fluide en fonction de la masse m des molécules qui le compose, de 
leur
densité particulaire n, de ` et de v.
Calculer la viscosité de l'air sachant que dans les conditions usuelles, ` ' 60 
nm et
v ' 500 m · s 1 . L'ordre de grandeur vous paraît-il correct ?

o ­ 21. Rappeler le lien entre n, ` et le diamètre d des molécules du gaz. En 
déduire que dans
le cadre de ce modèle, la viscosité est indépendante de la pression du gaz. 
Commenter ce
résultat.
Donner la dépendance de la viscosité du gaz en fonction de la température.

o ­ 22. Des mesures de la viscosité de l'air, à différentes températures 
(élevées), ont donné la
figure 5 ci-dessous. La dépendance en température du modèle précédent vous 
paraît-elle
conforme à l'expérience ? On justifiera sa réponse.

ln(´/10 ¡6 Pa.s ¡1 )

4

3,9

3,8

3,7
1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

ln(T/280 K)
Figure 5 ­ Représentation graphique des mesures expérimentales de la viscosité 
de l'air pour
différentes températures.
FIN DE L'ÉPREUVE

Page 6/6