A2022 --- PHYSIQUE I PC
Cm
Concours commun
Mines-Ponts
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).
CONCOURS 2022
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il est
amené à prendre.
Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun
Mines Ponts.
Physique I, année 2022 -- filière PC
Mesures optiques de propriétés mécaniques
Ce sujet comporte deux parties indépendantes présentant des méthodes de mesures
fines utili-
sant divers dispositifs optiques. La partie I décrit une structure courante de
l'univers, les étoiles
binaires, avant de présenter une méthode interférométrique pour mesurer leur
écart angulaire.
La partie IT s'intéresse à la structure fine des raies d'émission de l'atome
d'hydrogène et à
leur mesure interférométrique. Les deux méthodes optiques présentées ici ont en
commun leur
premier auteur, le physicien américain ALBERT MICHELSON.
Pour toutes les applications numériques, on se contentera de deux chiffres
significatifs. Les
données nécessaires, accompagnées d'un formulaire utile à la simplification des
relations trigo-
nométriques, sont regroupées en fin d'énoncé.
I Les étoiles binaires et leur mesure
Cette partie comporte deux problèmes I.A et I.B, qui sont totalement
indépendants.
En astronomie, on parle d'étoile double pour une paire d'étoiles qui
apparaissent comme proches
l'une de l'autre dans le ciel lorsqu'on les observe depuis la Terre. Dans
certains cas il s'agit d'un
système binaire d'étoiles en orbite mutuelle : elles tournent toutes les deux
autour de leur
barycentre commun sous la seule action des forces gravitationnelles. Dans
d'autres cas, leur
alignement est simplement fortuit et ce cas ne nous concerne pas dans ce qui
suit.
LA Structure gravitationnelle d'une étoile binaire
I.A.1 Un premier modèle très simple
On étudie le système formé de deux étoiles assimilées à deux points matériels À
et B, de même
masse M, toutes les deux en orbite circulaire de rayon r autour de leur
barycentre commun ©,
lui-même immobile dans le référentiel galiléen d'étude (Oxy2) (figure 1). On
note G la constante
de la gravitation universelle.
à U Cp
Le . ' \ &.
Es | NA
: Ve
D #0 7
10
AC
FIGURE 1 -- Étoile binaire symétrique en mouvement circulaire
D -- 1. Exprimer les forces F et FA exercées au sein du système en fonction
notamment de M
et 7.
Donner l'expression de l'énergie potentielle E,(r) associée à ces forces.
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Physique I, année 2022 -- filière PC
LD -- 2. Exprimer la période T; du mouvement des deux composantes de l'étoile
binaire en fonction
de r, M et G.
Application Numérique : Le système est formé de deux étoiles de même masse que
le
Soleil, distantes l'une de l'autre de la même distance que la distance moyenne
Terre-
Soleil (dite unité astronomique UA). Calculer la valeur de la période T}
associée que l'on
exprimera en années terrestres.
LD -- 3. Exprimer, en fonction de G, M et r, l'énergie mécanique totale du
système.
Commenter brièvement le signe de l'expression obtenue.
I.A.2 Généralisation partielle du modèle
On étudie maintenant, relativement au référentiel galiléen (Qxyz), le mouvement
du système
binaire formé de deux étoiles ponctuelles À et B de masses m1 > mg. On notera R
-- A leur
position relative et R = |[R]|. Le vecteur À est a priori variable (figure 2) ;
le barycentre des
deux étoiles, noté Gr, est donc aussi mobile.
FIGURE 2 - Étoile binaire quelconque en mouvement arbitraire.
J -- 4. Exprimer en fonction de m1, mg, G et À les forces F B et F 1 exercées
sur les deux étoiles.
Ces forces dépendent-elles du référentiel d'étude ?
D -- 5. Montrer que le référentiel (Gxyz) est également galiléen. Toute la
suite de l'étude sera
menée relativement à ce nouveau référentiel.
> NT -- -- NT --
U -- 6. Établir les relations GÉ A RH GA = TE
MA + MB MA +MmB
2 R
En déduire la relation ae À = --K En et expliciter les constantes À et n.
L -- 7. Si l'étoile binaire forme un système lié, justifier que son mouvement
est périodique et
déterminer l'expression de la période 7; du mouvement en fonction notament des
deux
masses et d'une longueur que l'on précisera.
I.B Mesure de l'écartement angulaire des étoiles doubles
Lorsque les deux étoiles sont très proches, elles peuvent être difficiles à
distinguer. L'étude menée
ici sera faite dans le domaine visible et on prendra pour longueur d'onde A9 =
550 nm d'un
éclairage supposé ici monochromatique, avec un télescope constitué d'un miroir
parabolique
(dont on admettra qu'il est équivalent à une lentille mince, unique et
convergente) de distance
focale f" -- 33m et de diamètre d'ouverture d -- 5m. On rappelle l'expression
sin0 = À5/d
reliant l'échelle angulaire du phénomène de diffraction et la taille
caractéristique de l'ouverture
diffractante.
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Physique I, année 2022 -- filière PC
D -- 8. En déduire la valeur du pouvoir séparateur (ou résolution angulaire) du
télescope utilisé.
Montrer qu'un système binaire formé de deux étoiles distantes d'une unité
astronomique
ne peut pas être séparé s'il est, par rapport à l'observateur, distant de L >
Lx.
Déterminer la valeur de LL en années-lumière.
Lorsque la distance à laquelle se trouve le système double est trop élevée pour
pouvoir en offrir
une image bien séparée, on peut utiliser un dispositif interférométrique comme
celui installé en
1920 par MICHELSON et PEASE devant le télescope américain Hooker (figure 3).
à NUE és
4 |
>
nn. (10% se Er o ee RL. LA
1 à
"NES me
a
FIGURE 3 -- Le dispositif interférométrique réel.
Le schéma décrivant le dispositif est proposé figure 4. On y remarquera que
l'axe du télescope y
est représenté horizontal pour plus de lisibilité et que ce dernier à été
remplacé par une lentille
équivalente.
BP = ail
A NM Î
D» RTL mm à
NS A
11 --- LA |
se :
M Re
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= b a CeP
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Lun
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.
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TT | lle éaui |
A > À LE Lentille équivalente f' }
M, au télescopeÿ
FIGURE 4 -- Le schéma équivalent au dispositif interférentiel.
Le faisceau parallèle issu de l'étoile À parvient dans la direction de l'axe
optique sur le système,
avant d'être réfléchi et diffracté par les miroirs M, et M. Les miroirs
auxiliaires M et M,
renvoient ces faisceaux vers le télescope avant de converger dans son plan
focal image, au point
F" pour le faisceau non diffracté et en d'autres points P pour le faisceau
diffracté.
1 -- 9. Rappeler l'énoncé du théorème de MALUS (ou de MALUS et DUPIN).
En déduire l'expression de la différence de marche 04 = (AMP) -- (AMP) en
fonction
de la géométrie du dispositif et d'une coordonnée cartésienne de P.
Application Numérique : On donne a = 2,50 m. Calculer et commenter
l'interfrange 1.
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Physique I, année 2022 -- filière PC
Qi -- 10. Exprimer l'intensité lumineuse (ou éclairement) /4(P) observée au
point P en fonction
de bo, a, f', x et de Jo4 qui désigne l' intensité totale issue de À et
parvenant sur l'un des
miroirs M. ou M.
On prend en compte maintenant la lumière provenant de l'étoile B, à la même
longueur d'onde
)o mais décalée d'un angle ÿ. On note 1,8 l'intensité totale issue de B. Sur la
figure 4 ci-dessus
on supposera 0 > (0.
LU -- 11. Les sources À et B sont-elles cohérentes entre elles ?
Calculer 08 = (BMP) -- (BM,P) en fonction de 01, 0 et b.
D -- 12. Exprimer l'intensité lumineuse totale 7(P) en utilisant la formule
géométrique affirmée
en annexe pour l'exprimer sous la forme :
I(P)=K : + cos (ar =) v(0)
L
dans laquelle on explicitera uniquement les constantes À et Ax ainsi que la
fonction V (4)
en fonction des données du problème.
D -- 13. Quelles sont les significations physiques de x0 et Ax? Expliquez
comment l'étude des
franges permet de mesurer l'écartement angulaire des deux composantes d'une
étoile
double à l'instant de l'observation. Comment, à votre avis, peut-on ainsi
distinguer un
vrai système binaire d'une étoile double par alignement fortuit ?
D -- 14. Quelle valeur faut-il donner à la largeur commune { des miroirs
auxiliaires M et M;
pour pouvoir observer en tout au moins une dizaine de franges de part et
d'autre de la
frange centrale ?
IT La raie rouge de l'hydrogène
Cette partie comporte deux problèmes IT.A et IL.B qui sont très largement
indépendants.
II.A Les raies d'émission de l'atome d'hydrogène
II.A.1 Le modèle de Bohr et les raies de Balmer
En 1913, le physicien danois NIELS BOHR propose un modèle semi-classique
permettant d'esti-
mer l'énergie de l'électron (masse m., charge --e) au sein de l'atome formé
d'un proton (charge
+e fixe à l'origine © des coordonnées). Dans un modèle classique et non
relativiste, la seule
force prise en compte est la force d'attraction électrique entre les deux
charges. On notera EUR
la permittivité diélectrique du vide.
D -- 15. Montrer que dans ce modèle le mouvement de l'électron est plan. On
notera r la distance
dr
de l'électron à O, -- = 7 et © l'amplitude du moment cinétique de l'électron.
dt
- 1
1 -- 16. Etablir l'équation de conservation Mer + Usg(r) = cte et exprimer
l'énergie potentielle
effective Uy(r) en fonction de e, £o, me et ©.
J -- 17. Quelle est la signification physique d'un minimum de l'énergie
potentielle effective ? En
déduire le rayon r et l'énergie E d'une trajectoire circulaire en fonction de
&, m., &pete.
La raie rouge de l'hydrogène correspond à un rayonnement visible (A9 -- 656 nm)
émis lors de
la désexcitation de l'électron depuis la trajectoire circulaire de niveau o =
3h vers le niveau
o = 2h où h = h/27, h étant la constante de Planck.
QU -- 18. Expliciter l'écart AE d'énergie entre ces deux niveaux puis À en
fonction de h, c (célérité
de la lumière dans le vide), e, m. et EUR.
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Physique I, année 2022 -- filière PC
II.A.2 Une correction relativiste
L'expression établie ci-dessus constitue une première approximation qui doit
être corrigée si on
veut rendre compte des valeurs exactes des longueurs d'onde d'émission par une
lampe à vapeur
d'hydrogène atomique. Une de ces corrections est de nature relativiste. Nous
allons seulement
en chercher un ordre de grandeur.
e? e?
D -- 19. On appelle constante de structure fine la grandeur a -- -- . Préciser
sa
ArEohc 2Eohc
dimension puis estimer son ordre de grandeur.
Dans le cadre relativiste, l'énergie mécanique totale d'une particule de masse
m et de vitesse v
a pour expression :
Qi -- 20. Exprimer le développement limité de E à l'ordre 4 en v/c sous la
forme E = E5 + Kv° +
uv* + o(v*/c*) en précisant les expressions de # et 1.
Proposer une interprétation simple des deux premiers termes Æ et Kv*.
M -- 21. La correction relativiste à l'énergie AE d'une transition entre
niveaux d'énergie s'écrit
À Exelat -- ÀE
AE
r a. Déduire de ce qui précède l'entier p puis conclure,
sous la forme
numériquement.
IIB Spectrométrie interférentielle
II.B.1 La méthode de Michelson
L'appareil utilisé est constitué (voir la figure 5) d'une lame séparatrice S'
semi-réfléchissante
et d'une lame dite compensatrice C', parallèle à la précédente, de même
épaisseur et de même
indice optique. Ces deux lames sont toutes deux parallèles au plan (Ouz) où
l'axe (Ou) est la
première bissectrice des axes (Oy) et (Ox) qui sont orthogonaux aux miroirs
plans M}, (fixe)
et M (mobile le long de (Ox) à la vitesse Ü = ve,).
| SS &
CJ
Î
&
OURS
FIGURE 5 -- L'interféromètre de Michelson
QU -- 22. Expliquez, au moyen d'un schéma, le rôle de la lame (C'). Précisez en
particulier, dans le
cas de la figure 5, si la face réfléchissante de la lame (S) est la face
supérieure (1) ou la
face inférieure (2).
LD -- 23. L'appareil est éclairé par une source de lumière étendue. Quelle est
la nature des franges ?
Où peut-on les observer ?
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Physique I, année 2022 -- filière PC
D -- 24. On utilise une source monochromatique de longueur d'onde À5. On
choisit l'instant { = 0
au moment du contact optique et on note 1, l'intensité lumineuse totale en
sortie de
l'appareil sur l'axe (Oy) lorsqu'un des deux miroirs est obstrué. Exprimer, en
fonction de
T5, Ào, v et t, l'intensité 7(t) observée sur cet axe lorsque les deux miroirs
sont éclairés.
En 1892, MICHELSON installe, au bureau international des poids et mesures
(BIPM) de Sèvres,
un interféromètre identique à celui décrit ci-dessus pour rechercher parmi les
lampes spectrales
connues (hydrogène, cadmium, etc.), celle qui présenterait la meilleure
monochromaticité et
établir ainsi un étalon de longueur optique.
II.B.2 La mesure de la structure fine de la raie rouge
On éclaire maintenant l'appareil décrit ci-dessus au moyen d'une source
bichromatique émettant
deux raies de longueurs d'onde voisines, de longueurs d'onde À = Ào et À -- À0
+ AA et
d'intensités 1, et L < Ï:.
Qi -- 25. En admettant que [AA] & À, montrer que l'expression du contraste des
franges s'écrit
de la manière suivante :
Al A)
= 1-2 rut 2
C(t) | + sin TU =)
puis calculer les contrastes maximal et minimal en fonction de L et J:.
DJ -- 26. Réalisant la mesure du spectre de cette raie, MICHELSON a observé, en
déplaçant le
miroir mobile d'une longueur Ax = 8,5 mm depuis le contact optique, une
diminution
progressive du contraste qui atteint alors sa valeur minimale Ch © 15%. En
déduire
L/1; puis la valeur de AA/X, puis commenter l'ordre de grandeur obtenu au
regard des
développements mécaniques qui précèdent.
La structure fine ainsi observée n'a pu être expliquée qu'avec le développement
ultérieur de
la mécanique quantique pour le calcul du spectre détaillé des niveaux d'énergie
de l'atome
d'hydrogène.
Données numériques
Année-lumière 1 AL -- 9,46.10© m
Célérité de la lumière dans le vide c = 3,00-10° ms!
Charge élémentaire e -- 1,60-107C
Constante de Planck h = 6,63-107% J-Hz !
Constante de la gravitation universelle G -- 6.,67-10 1 m°-kg ls?
Distance Terre-Soleil (unité astronomique) d = 1 UA = 1,49-10!!m
Masse de l'électron me = 9,11-10 71 kg
Masse du Soleil M = 1,99-10* kg
Période du mouvement de la Terre (année) 75 = 365,25 j = 3,16-10°$
Permittivité diélectrique du vide Eo = 8.85-107 Fm !
1
V2 = 1,41, -- 0,71
V2
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Physique I, année 2022 -- filière PC
Formulaire
Pour tous a > 0,a2 >0, 4 ERet@ ER, on peut écrire :
Ü +0
1 +6) |
&1 COS Ü1 + G2 COS D -- a COS |
avec respectivement :
0, -- 0 2,/a1a
a = (a + an) 1 -- mé sin 8 et m-- -- ,
tandis que © EUR KR est donné par :
di -- Q2 O1 -- 0
tan
tan © --
P da + & 2
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