Mines Physique 1 PC 2019

Thème de l'épreuve Physique en arctique
Principaux outils utilisés magnétostatique, mécanique, diffusion thermique, mécanique des fluides
Mots clefs couche d'Ekman, changement d'état, champ géomagnétique, lois de Coulomb

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A2019 --- PHYSIQUE I PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH,
CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVEP.

CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Physique I, année 2019 -- filière PC

Physique en arctique

Ce sujet aborde différentes questions relatives aux propriétés physiques 
particulières aux régions
polaires. Les notations, valeurs des constantes fondamentales et les autres 
données numériques
nécessaires à la résolution du problème ainsi qu'un formulaire sont regroupés à 
la fin de l'énoncé.

Les exemples seront tous traités dans le cas des régions polaires nord 
(également appelées
arctiques ou boréales). Les notations géographiques usuelles sont également 
rappelées en fin
d'énoncé. Les applications numériques comporteront au plus 2 chiffres 
significatifs.

Les trois parties sont indépendantes.

I. -- Pôles géographiques et magnétiques

Les pôles géographiques sont assez proches des pôles magnétiques; dans tout ce 
qui suit,
on pourra confondre les deux axes reliant les pôles opposés de chaque type. La 
recherche
des pôles magnétiques s'est d'abord appuyée sur la mesure du champ magnétique 
terrestre
(ou champ géomagnétique), et en particulier de sa direction. L'intensité 
croissante du champ
géomagnétique à l'approche des pôles contribue enfin à expliquer un phénomène 
optique spec-
taculaire : les aurores polaires.

Une boussole est formée d'un

aimant permanent, solide en (A)
forme d'aiguille équivalente à
un petit dipôle magnétique
m de norme constante m, la
direction du vecteur m étant
supposée indiquer le nord. =
Cette aiguille aimantée peut

librement tourner autour d'un

axe vertical (A) dirigé par le

vecteur EUR, local et formant un pivot à faible frottement (cf. fig. 1).

FIGURE 1 --- Boussole de navigation

J 1 -- Pourquoi la boussole à l'équilibre indique-t-elle le nord ? Cet 
équilibre est-il stable ?

On note 1 le moment d'inertie de l'aiguille aimantée relativement à son axe de 
rotation (A):
légèrement écartée de sa position d'équilibre (cf. fig. 1), l'aiguille aimantée 
oscille avec une
pseudo-période Tosc.

2 -- Montrer que la connaissance de m, T& et Î permet de déterminer une des 
composantes
du champ géomagnétique. Laquelle ?

On étudie un modèle de champ géomagnétique créé par un dipôle magnétique M = 
Me, disposé
au centre © de la Terre (assimilée à une sphère de rayon Àr), l'axe (Oz) étant 
l'axe polaire
géographique dirigé du pôle sud de cet axe vers son pôle nord (cf. fig. 5). On 
rappelle d'une part
qu'un point de la surface est caractérisé par ses coordonnées géographiques & 
(longitude) et
À = 5 --0 (latitude) et d'autre part qu'à l'équateur le champ magnétique 
terrestre est horizontal,
dirigé vers le pôle nord géographique et y a pour intensité B%.

J 3 -- Exprimer, en un point de la surface de la Terre et en coordonnées 
sphériques, le champ
géomagnétique en fonction de 49 (perméabilité du vide), M et Rr.

1 4 -- Préciser le signe de M, puis estimer sa valeur numérique. Quelles sont 
la direction et
l'intensité du champ géomagnétique aux pôles magnétiques nord et sud ?

En un point P de la surface terrestre, on appelle nord magnétique local la 
direction ex du
champ géomagnétique B , projeté dans le plan horizontal, et déclinaison 
magnétique l'angle D
formé par B avec le nord magnétique local: la déclinaison magnétique est 
positive si B est
dirigé vers le haut (vers le ciel) et négative s'il est dirigé vers le bas 
(vers le sol).

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Physique I, année 2019 -- filière PC

J 5 -- Dans l'hémisphère nord, quel est le signe de D? Calculer tan(D) en 
fonction de la
latitude À puis tracer l'allure de la courbe donnant D en fonction de À pour 
toutes les valeurs de
À du pôle sud au pôle nord. Pourquoi lisait-on parfois que les boussoles < s'affolent à proximité des pôles > ? Peut-on déterminer, au moyen d'une boussole, si on se trouve dans 
l'hémisphère
nord ou dans l'hémisphère sud ?

IT. -- La glace de la banquise

L'existence de couverts de glace de grande épaisseur au-dessus des océans 
polaires est bien
sûr une caractéristique remarquable des régions polaires. On étudie ici deux 
propriétés de ces
couverts de glace :

-- quelques propriétés mécaniques d'un traîneau glissant sur sa surface (partie 
ITA):

-- un modèle simple de croissance de l'épaisseur de la glace en hiver (partie 
IL.B).

IT. A. -- Un traîneau sur la glace

Un traineau à chiens est un dispositif de masse totale M (le pilote, ou musher, 
est compris
dans cette masse) qui peut glisser sur la surface de la glace avec des 
coefficients de glissement
statique (avant le démarrage) 4, et dynamique (en mouvement) Lg.

JH 6 -- Les chiens sont reliés au traîneau par des éléments de corde tendus, de 
masse négligeable
et inextensibles. Montrer qu'un tel élément de corde transmet les tensions et 
que celles-ci sont
colinéaires à la corde.

J 7 -- Le trajet se fait soit à l'horizontale, soit sur une faible pente 
ascendante caractérisée
par l'angle & avec l'horizontale. Montrer que, dans ce dernier cas, tout se 
passe comme dans
un mouvement horizontal sous réserve de remplacer 44 par y}, que l'on exprimera.

L'intensité de la force de traction totale F exercée par l'ensemble des chiens 
dépend de leur
vitesse v et on adoptera le modèle F = F -- Gv où Fi et 5 sont des constantes 
positives. On
prendra les valeurs M = 5,0 x 10° kg, à = 0, ua = 5,0 x 10° et u, = 8,0 x 107%.

1 8 -- Déterminer la valeur minimale de F permet-
tant le démarrage du traineau.

1 9 -- La vitesse du traîneau en régime stationnaire ! 2

est vo -- 3m:8" 1, atteinte à 5% près au bout d'un temps 1

t1 = 5s. Exprimer d'une part £ en fonction de M et {, et | 0
d'autre part F\ en fonction de 5, vo, a, M et g. Calculer | °C

leurs valeurs respectives. |

Toujours à vitesse constante vo, le traîneau aborde une
courbe à plat qu'on assimilera à un cercle de centre O
et de rayon R (cf. fig. 2). Les chiens (modélisés ici en
un seul point C) doivent donc tirer vers l'intérieur du
cercle.

FIGURE 2 - Trajectoire circulaire du
traineau

1 10 -- Déterminer en fonction des données la tension
T' de la corde et l'angle ÿ entre la force de traction et la
trajectoire.

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Physique I, année 2019 -- filière PC

ITI.B. -- Croissance hivernale de l'épaisseur de glace

Pour étudier la croissance de la couche de glace en hiver, on modélise l'océan 
sous la banquise
en formation de la manière suivante (cf. fig. 3) : en profondeur, la 
température de l'eau est
maintenue constante à 1, -- 4°C par les courants océaniques. Sur une hauteur 
constante EUR
sous la banquise, l'eau se refroidit progressivement jusqu'à atteindre 7, -- 
O°C à l'altitude
z = 0 de formation de la glace (on néglige tout effet de salinité de l'eau). La 
couche de glace
a une épaisseur croissante z(t) qu'il s'agit de déterminer ; au-dessus de 
celle-ci, l'air est à la
température constante 72 -- --40°C. On notera À, et À, les conductivités 
thermiques et & et &
les capacités thermiques massiques de l'eau liquide et de la glace, p, et {; la 
masse volumique
et l'enthalpie massique de fusion de la glace ; toutes ces grandeurs sont des 
constantes.

= --
_ _
_

_
= 7

Air froid à 7 = --40 C

Glace

TS
Ch
7
| I
ke
©
X !

« Formation de glace à T5 = 0 EUR

Eau refroidie par la glace

Eau « chaude » à T1 = 4 C

2
__-- _--_--

_ _
TT 7

FIGURE 3 -- L'océan sous la banquise en formation

L'épaisseur de glace z,(t) augmente régulièrement du fait de la cristallisation 
de l'eau refroidie
à T0 = DUC à la base de la couche de glace. Toutes les études pourront être 
faites pour un
système défini par un cylindre vertical de surface S'unité (cf. fig. 3) au sein 
duquel les transferts
thermiques unidimensionnels sont régis par la loi de Fourier.

11 -- Par une étude des échanges thermiques de l'épaisseur 0z prise à 
l'intérieur de la
glace, établir une équation aux dérivées partielles vérifiée par la température 
T,(2,t) au sein de
la glace.

12 -- Déterminer une expression donnant l'ordre de grandeur de la durée At de 
la diffusion
thermique au sein de la glace sur une hauteur Az. Quelle durée doit-on attendre 
afin de pouvoir
considérer que, pour des évolutions assez lentes, la température 7, ne dépend 
pratiquement plus
du temps ? Préciser ce que l'on entend par < assez lentes >.

On se place dans ce cas dans toute la suite : dans l'eau comme dans la glace, 
les répartitions
de température seront supposées quasi-staliques.

J 13 -- Définir et exprimer les résistances thermiques À, et À, pour une aire 
donnée 5', des
couches de glace et d'eau refroidie sous la glace.

Les transferts thermiques à travers la surface supérieure de la banquise sont 
décrits par la loi
de Newton des transferts pariétaux (radiatifs et convecto-conductifs) : la 
puissance échangée
par unité d'aire de cette surface vérifie [P,,| = AIT, -- Ti] où T,, est la 
température au sommet
de la couche de glace; le coefficient À > 0 de la loi de Newton est supposé 
connu et constant.

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Physique I, année 2019 -- filière PC

J 14 -- Exprimer la résistance thermique À, pour une aire $, de l'interface 
entre l'air et la
glace.
J 15 -- Montrer que le régime quasi-permanent de croissance de la couche de 
glace peut être

décrit par le schéma électrique équivalent de la figure 4 et préciser 
l'expression du < courant > ®
du < générateur de courant > en fonction notamment de {r, p, et de la vitesse 
de croissance

Ve -- Le de la couche de glace.
©
Re Re BR
O0' mm |
Ti=40 IC D T; = --40 C
a To = 0° C
JL
FIGURE 4 -- Circuit électrique équivalent à la croissance de la couche de glace
1 16 -- En électricité, connaissez-vous un dispositif D permettant d'assurer 
une différence

de potentiel nulle sans appel de courant ? Si oui, comment faut-il le brancher 
? En thermody-
namique, pour quelle raison la différence de température aux bornes de D 
est-elle maintenue
nulle ?

1 17 -- Établir l'équation différentielle vérifiée par z(t). On suppose que 
pour toutes les
valeurs de { considérées on a = > SE + F en déduire la loi d'évolution de 
l'épaisseur de la
e 8

couche de glace sous la forme 74 [l24(4) + 22()] = 2EUR où l'exprimera les 
grandeurs 7, et {, en
fonction des paramètres du modèle. L'instant t = 0 correspond au début de la 
formation de la

banquise.

J 18 -- Tracer et commenter l'allure de la courbe donnant Ze en fonction de t. 
On montrera
notamment l'existence de deux régimes successifs.

III. -- La spirale d'Ekman

Lors de diverses expéditions en direction du pôle nord, on a pu constater que 
les navires pris
dans les glaces du pack arctique dérivent systématiquement à droite de la 
direction du vent.

On interprète ces résultats par la différence de direction d'écoulement du vent 
(qui entraîne la
surface de l'eau) et de l'eau profonde (qui entraîne les glaces dérivantes du 
pack) du fait de la
rotation propre de la Terre autour de l'axe polaire (on parle ici d'effet 
Coriolis). L'entrainement
des couches de plus en plus profondes de l'océan est dû aux effets de viscosité 
de l'eau.

Ce changement graduel de direction en fonction de la profondeur possède une 
forme de spirale.
Elle prend le nom de l'océanographe suédois Vagn Walfrid Ekman qui l'expliqua 
dans sa thèse
en 1907.

1 19 -- La viscosité de l'eau liquide à basse température (sous les glaces du 
pack arctique)
est-elle, à votre avis, plus ou moins élevée qu'à température ambiante ?

Page 4/6 Tournez la page S.V.P.
Physique I, année 2019 -- filière PC

L'étude qui suit est réalisée dans un référentiel terrestre (Oxyz) dans lequel 
(Oz) est vertical
ascendant, (Ox) dirigé dans la direction du vent. L'océan occupe toute la 
région z < 0; on le modélise comme un écoulement incompressible, visqueux, de pression P. Le champ de vitesse v de cet écoulement est stationnaire horizontal (v, = 0), il ne dépend que de la profondeur OU OÙ À : oz ue A (e = ) et il est entièrement situé à proximité du pôle nord (latitude À = x/2). La TL y pression atmosphérique est uniforme et notée PF. 1 20 -- Expliciter les forces de pesanteur et des pseudo-forces d'inertie exercées par unité de masse d'eau en fonction de v,, v,, go (accélération de la pesanteur polaire) et de T; (durée du jour). Que dire des forces d'inertie d'entraînement ? 1 21 -- Écrire l'équation locale qui traduit le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule mésoscopique d'eau (Equation de Navier-Stokes). Montrer que la pression P ne dépend que de z et déterminer son expression. 1 22 -- Montrer que les fonctions v,(z) et v,(2) sont reliées par deux équations différentielles couplées du second ordre, que l'on établira et qui feront apparaître un paramètre commun noté Ô, homogène à une longueur, que l'on exprimera en fonction de 7%, T6 et Pe. 1 23 -- On note Vo = voe, la vitesse de surface de l'eau océanique située en z = 0. Déterminer vx(2) et v,(z) en supposant que le fond de l'océan correspond à la limite z -- --0o. 24 -- Ces résultats sont-ils compatibles avec l'observation expérimentale suivante : la vitesse de dérive des navires pris dans la banquise est de l'ordre de 2% de celle du vent avec une dérive de 20° à 40° à droite de ce dernier ? Données et formulaire utiles pour l'ensemble du sujet Données numériques et constantes fondamentales Champ magnétique terrestre à l'équateur Br = 3.0 x 10 °T Charge élémentaire e = 1.6 x 10 {EUR Durée du jour solaire moyen To = 24h = 8,6 x 10*s Intensité du champ de pesanteur Jo = 9.8m:s ?À Masse volumique de l'eau liquide à 4C Pe = 1,0 x 10° kg - m * Perméabilité magnétique du vide uo = 47 X107'H-m ! Rayon terrestre Rr = 6,4 x 10° km Viscosité dynamique de l'eau liquide à 4C  #% = 1,6 x 10 *kg:m ls"! Logarithme népérien du nombre 20 In(20) = 3,0 Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, année 2019 -- filière PC Données et formules relatives aux dipôles magnétiques Le champ magnétique créé par un dipôle de moment dipolaire M placé à l'origine © des coordonnées est donné au point P par : SAC -R) - RM -- U \ -- -- B(P) = -- où R=OP ct R=|hR (P) = À L À Les interactions d'un dipôle magnétique rigide de moment dipolaire m soumis à un champ magnétique extérieur B sont décrites par l'énergie potentielle E,, = --m: B et par le couple des actions électromagnétiques L'= mA B. Coordonnées sphériques et géographiques On notera (Ozxyz) les axes cartésiens associés à la base orthonormée et directe (EUR,,EUR,,e,). Les coordonnées sphériques d'un point P sont notées (r, 0,4) avec la base locale associée (e,., 69, EUR), cf. fig. 5 à gauche. On note aussi & (longitude) et À la latitude d'un point P de la surface terrestre ; le point À est situé sur l'équateur dans le méridien origine (4 = 0) ; celui-ci passe par l'observatoire de Greenwich G, cf. fig. 5 à droite. Pôle Nord géographique Équateur ! Pôle Sud T géographique FIGURE 5 -- Coordonnées sphériques et géographiques FIN DE L'ÉPREUVE Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Physique 1 PC 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Arthur Alexandre (ENS Paris-Saclay) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet est l'association de plusieurs exercices dont le fil conducteur est 
l'étude
de phénomènes physiques observables en arctique.
· La première partie porte sur la description du champ magnétique terrestre.
On exploite les informations qui peuvent être extraites qualitativement, puis
quantitativement, de l'observation du mouvement de l'aiguille d'une boussole.
Un modèle dipolaire est ensuite proposé pour modéliser ce champ. On cherche
à calculer le moment magnétique de la Terre et à exprimer, en un point de sa
surface, l'angle entre le vecteur champ magnétique et le méridien local.
· C'est l'étude du mouvement d'un traîneau tracté par un attelage sur la 
banquise qui ouvre la partie suivante. On s'intéresse plus particulièrement à 
l'effet
du frottement solide entre la neige et le traîneau lors de sa mise en mouvement,
pour gravir une faible pente, accélérer sur une surface horizontale ou encore
négocier un virage. Cette partie se poursuit par l'étude de la croissance de
l'épaisseur de la banquise. L'approche choisie est originale : on ramène l'étude
à une association de résistances et d'une source de courant thermiques. 
L'équation différentielle donnant l'évolution de l'épaisseur de glace est 
obtenue en
appliquant la loi des noeuds en terme de températures. Sa résolution fait appel
à la méthode de séparation des variables.
· La troisième partie cherche à expliquer un curieux phénomène : les eaux de
surface de l'océan arctique s'écoulent selon une direction différente de celle 
du
vent. C'est une conséquence du caractère non galiléen du référentiel terrestre.
À partir de l'équation de Navier-Stokes, on aboutit aux équations 
différentielles
couplées qui régissent les composantes des vitesses d'écoulement des eaux 
océaniques au pôle Nord. Leur résolution soulève un questionnement sur le modèle
choisi.
De difficulté modérée, cet énoncé balaie de larges parties du programme.
Il est proche du cours et peu calculatoire. Avec un minimum d'entraînement, les
quelques applications numériques sont aisément réalisables sans calculatrice.

Indications
Partie I
2 Invoquer le théorème scalaire du moment cinétique. Reconnaître une équation
d'oscillateur harmonique dans la limite des petits angles. Relier la pulsation 
propre
intervenant dans l'équation à la période des oscillations.

3 Utiliser le formulaire. Décomposer le vecteur -
ez sur les vecteurs -
er et -
e .

-
4 Que vaut  (ou ) à l'équateur ? à chaque pôle ? Exprimer la norme de B aux
pôles en fonction de celle à l'équateur.

-
5 Sur un schéma, placer un point sur chaque hémisphère, les vecteurs B et -
e
N en

-

-
ces points. Les lignes de champ de B sont orientées dans le même sens que M.

-

Relier -
e et -
e , puis exprimer tan D à l'aide des projections de B sur -
e et -
e .
N

r

Partie II
6 Considérer un élément de corde situé entre x et x + 2dx. Lister les actions 
mécaniques et appliquer le principe fondamental de la dynamique.
7 Projeter le théorème de la résultante dynamique sur l'axe dirigeant le 
mouvement
et l'axe perpendiculaire au sol. Utiliser la loi de Coulomb pour le glissement 
et
chercher à exprimer la réaction tangentielle sous la forme µd Mg.
8 Procéder de manière analogue à la question précédente. Cette fois, c'est la 
loi de
Coulomb pour l'adhérence qui permet de répondre.
9 Le théorème de la résultante dynamique permet d'obtenir une équation 
différentielle linéaire, du premier ordre, à coefficients constants, en v, 
qu'il faut intégrer.
À l'instant t1 , v(t1 ) = 0,95 v0 . Remarquer que 5% = 1/20.
10 Pour un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète et 
s'exprime
en fonction de la vitesse et du rayon du cercle. Exprimer tan  et exploiter la
relation sin2  + cos2  = 1.
14 Attention, P u est une puissance surfacique.
15 Procéder en deux temps : commencer par établir le schéma équivalent en 
l'absence
de changement d'état. Ajouter alors les source et dipôle permettant de modéliser
ce changement d'état. L'expression de  s'obtient en raisonnant sur une masse
élémentaire d'eau qui change d'état durant dt et libère l'enthalpie de 
changement
d'état associée.
16 Cette question fait appel à un composant appelé ALI ou amplificateur 
opérationnel qui a pu être rencontré en TP mais qui n'est pas étudié en PC.
17 Utiliser la loi des noeuds en terme de températures (prendre garde aux 
signes).
Éliminer un des termes pour traduire la différence d'ordre de grandeur. La 
méthode de séparation des variables permet de démontrer la relation entre z g 
et t.
18 Approximer la relation obtenue à la question précédente pour z g  g et z g  
g .
Partie III
21 Montrer que le membre de gauche de l'équation de Navier-Stokes est nul.
Projeter cette équation sur l'axe Oz. Intégrer l'équation obtenue. La continuité
de la pression en z = 0 permet de prouver que P ne dépend que de z.
22 Projeter l'équation de Navier-Stokes sur les axes Ox et Oy. Remarquer que le
gradient de P n'apporte aucune contribution à ces équations.
23 Poser u = vx + ivy . Il est utile de se souvenir que i = (e i /4 )2 .

Physique en Arctique
I. Pôles géographiques et magnétiques
-
1 Assimilons l'aiguille aimantée à un dipôle magnétique de moment 
m. D'après le

-
formulaire, son énergie potentielle dans le champ magnétique terrestre B est

-

Ep = --
m·B
Ainsi, l'aiguille aimantée tend à s'aligner dans le même sens que les lignes de 
champ

-
du champ B terrestre, ce qui minimise l'énergie potentielle de la boussole.

-
Comme les lignes de champ du champ magnétique terrestre B sont orientées du
pôle Sud géographique vers le pôle Nord géographique, à l'équilibre, le moment
magnétique de la boussole s'oriente selon la direction Nord-Sud 
perpendiculairement à l'axe () en pointant vers le Nord géographique. Cette
position est une position d'équilibre stable puisqu'elle correspond à un minimum
d'énergie potentielle.
On peut aussi justifier la stabilité en remarquant que si on écarte l'aiguille
de sa position d'équilibre, le couple magnétique l'y ramène, ce qui caractérise
une position d'équilibre stable.
2 Appliquons le théorème scalaire du moment cinétique à l'aiguille de la 
boussole en rotation autour de l'axe () orienté par

le vecteur -
er , dans le référentiel du sol, supposé galiléen :
 
-

I = -
m B ·-
er

-

m

-
BN
-

er

\
-
 -
-
-

avec  = BN ; 
m où BN est la composante de B normale à
l'axe (). Il vient
I = -mBN sin 

soit encore

 +

mBN
sin  = 0
I

À la limite des petits angles, sin    et l'équation précédente conduit à une 
équation
d'oscillateur harmonique dont la période  osc vérifie

2
2
mBN
=
I
 osc
d'où

BN =

4 2 I
m  osc 2

La connaissance de I, m et  osc permet de déterminer la composante du champ
magnétique normale à l'axe () de rotation de l'aiguille.
L'énoncé désigne  osc comme la « pseudo-période » et indique que le frottement 
au niveau de la liaison pivot est « faible ». Cela peut suggérer de
prendre en compte le moment de la liaison sous la forme -h (frottement
visqueux). Dans ce cas, l'équation différentielle des petites oscillations 
s'écrit
h
mBN
 +  +
=0
I
I
En régime faiblement amorti, les solutions sont de la forme

(t) = 0 e -ht/(2I) cos(t + )

avec  =

s

mBN
-
I

h
2I

2

Pour un amortissement suffisamment faible (h  mBN ),
r
2
mBN
=
 osc
I
et on retrouve la même expression de  osc que dans le modèle sans frottement.
3 D'après le formulaire, le champ géomagnétique au sol s'écrit

-

-

-

-

-
µ0 3 RT er M0 ez · RT er - RT 2 M0 ez
B =
4
RT 5
h
i
 -
µ0 M0

-

-

-

=
3
e
e
·
e
-
e
r
z
r
z
4 RT 3

-

D'après la figure 5,
e = cos  -
e - sin  -
e
z

r

-

ez 
-

er
P

-

e

O
-

-
Injectons cette décomposition de 
ez dans l'expression de B :
i
-

µ0 M0 h

-

-
B =
2
cos

e
+
sin

e
r

4 RT 3

-

4 À l'équateur,  = /2 et 
e = --
ez , d'où

-
µ0 M0 -

ez
BE = -
4 RT 3
-
-
Puisque BE est orienté du pôle Sud géographique vers le pôle Nord géographique, 
BE

et -
ez sont de même sens. Cela impose
M0 < 0 Ce résultat traduit que le pôle Nord géographique correspond au pôle Sud géomagnétique. On devait s'attendre à ce résultat, car l'aiguille de la boussole présente spontanément son pôle Nord magnétique au pôle Sud géomagnétique, qui est donc situé au pôle Nord géographique. - D'après l'expression de BE , M0 = - 4 RT 3 BE (6.106)3 × 3.10-5 =- = -8.1022 A.m2 µ0 10-7 Cette valeur est énorme (en valeur absolue). À titre de comparaison, l'aiguille aimantée d'une boussole possède typiquement un moment magnétique de 1 A.m2 et le moment d'un atome est de l'ordre de 10-23 A.m2 .