Mines Physique 1 PC 2017

Thème de l'épreuve Les memristors
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrocinétique, mécanique des fluides
Mots clefs caractéristique, memristor

Corrigé

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A2017 ­ PHYSIQUE I PC ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH. Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP. CONCOURS 2017 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Durée de l'épreuve : 3 heures L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Physique I, annee 2017 -- filiere PC LES MEMRISTORS En 1971, le professeur Leon Chua - qui exerca a l'Universite de Berkeley - predit l'existence d'un dipole passif nouveau capable de servir de memoire 1 . Ce dipole venant completer la liste des trois dipoles fondamentaux de l'electricite a savoir le resistor, la bobine et le condensateur. Le terme de memristor qu'il inventa resulte de la contraction des deux termes memory et resistor. En 2008, des chercheurs 2 des HP Labs ont puc blie un article 3 dans la revue Nature! intitule The missing memristor is found, dans lequel ils annoncent avoir mis au point un memristor presentant les proprietes prevues par Leon Chua en 1971. La photographie de la figure 1 montre un ensemble de ces memristors. En 2015, HP! et SanDisk! se sont associes pour developper la technologie des memoires a base de memristors. Les atouts esperes de ce type de memoires peuvent laisser reveur : 1 000 fois plus rapides que les memoires flashs actuelles, 1 000 fois plus de cycles lecture-ecriture qu'actuellement et, 1 memristor pour couronner le tout, une densite inegalee au point Figure 1 ­ Un ensemble de memristors de pouvoir doter un smartphone d'une memoire de (echelle nanometrique) ! c HP Labs 100 To en 2020 ! Le probleme propose comporte 3 parties largement independantes qui abordent differents aspects des memristors. A toutes fins utiles un formulaire est fourni a la fin du sujet. $ I. -- Generalites sur les memristors 5 2 I.A. -- Le quatrieme dipole ! 1 4 ? Les quatre grandeurs fondamentales de l'electrocinetique sont la # 3 " charge q, le courant i, le flux propre magnetique a travers le circuit et la tension u. Elles sont en general dependantes du temps t. On considere Figure 2 ­ Carre les trois dipoles classiques que sont le resistor de resistance R, la bobine fondamental d'inductance L et le condensateur de capacite C. Ces trois dipoles seront supposes parfaits. Il est possible de representer les quatre grandeurs fondamentales de l'electrocinetique au sommet d'un graphe ­ carre en l'occurrence ­ ou les aretes representent des relations fondamentales ou des relations fonctionnelles des dipoles. Ce carre est represente sur la figure 2. Avant 1971, on connaissait cinq relations entre les sommets de ce graphe et une etait manquante. On se placera systematiquement en convention recepteur pour tout dipole etudie dans la suite du probleme. 1 -- Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalite caracterisant les trois dipoles parfaits classiques. Ces relations correspondent aux aretes 1 , 2 et 3 du carre fondamental de la figure 2. On precisera l'unite usuelle de chaque coefficient de proportionnalite. 2 -- Rappeler la relation fondamentale liant q, i et t. A partir d'une equation de Maxwell, justifier que u = d . dt 1. IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. CT-18, N 5, September, 1971. 2. Dmitri Strukov, Gregory Snider, Duncan Stewart et Stanley Williams 3. Nature, Vol 453-- 1 May 2008-- doi :10.1038/nature06932 Page 1/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere PC 3 -- Deduire des deux questions precedentes une ecriture de chaque relation 1 a 5 du carre fondamental de la figure 2 sous la forme dx = ydz. 4 -- Dans son article de 1971, Leon Chua predit l'existence d'une relation f (,q) = 0 que l'on peut soit expliciter sous la forme = (q), on dit que l'on a un memristor controle par la charge ; soit sous la forme q = q(), on dit alors que l'on a un memristor controle par le flux. La sixieme relation differentielle est posee sous la forme d = M (q) dq ou M (q) est la memristance. Quelle unite rencontree frequemment en electricite est aussi celle de la memristance ? On justifiera precisement sa reponse. 5 -- On associe deux memristors de memristances M1 et M2 en serie. Quelle est la memristance M du dipole equivalent ? On justifiera sa reponse. Meme question si on associe M1 et M2 en parallele. Afin de concretiser la notion de memristor, on propose de le modeliser par la relation (q) = q + 3 q 3 ou et sont des coefficients reels positifs. On impose dans le memristor une intensite i(t) = i0 sin t pour t 0 et on suppose que pour t < 0, i = 0. Enfin, on considere qu'a la date t = 0, on a q(t = 0) = 0. "(!) 0 6 -- Determiner l'expression de q(t) et tracer sur un meme graphique les courbes representatives de i(t) et q(t). #/$ 2#/$ 3#/$ Figure 3 ­ Graphe de (t) ! 7 -- On donne sur la figure 3 la courbe representative de (t). Reproduire cette courbe en y rajoutant sans calcul l'allure de la courbe representative de u(t). $ 8 -- En analysant la courbe u(i) du memristor precedent representee sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simplifiant un peu, que le memristor etudie presente deux regimes de fonctionnement : l'un dans lequel il laisse passer le courant et l'autre dans lequel ce n'est pas le cas ? 0 9 -- La courbe u(i) de la figure 4 presente donc un " phenomene particulier. De quoi depend la resistance du memristor ? Expliquer la possibilite d'utiliser le memristor pour memoriser une information. 10 -- Leon Chua qualifia le memristor de non volatile memory, c'est-a-dire de memoire permanente. Quel element sur le graphique de la figure 4 permet de dire que Figure 4 ­ Courbe u(i) du memle memristor est une telle memoire ? ristor propose I.B. -- Conductivite On considere un milieu conducteur ou les porteurs de charge possedent chacun une charge q et une masse m. Ils sont presents dans le milieu conducteur suppose homogene et isotrope a raison d'une densite volumique n en m-3 . Ces porteurs sont soumis a un champ electrique qui va les mettre en mouvement pour creer un courant. Lorsqu'elles se deplacent, ces charges interagissent avec d'autres porteurs en mouvement mais aussi avec leur environnement fixe constitue par le reseau cristallin du conducteur. Elles subissent alors des interactions que l'on m peut assimiler a des chocs. Il resulte de l'ensemble des interactions une force de type - &v ou &v est la vitesse des porteurs mobiles et la duree moyenne qui separe deux chocs successifs subis par une charge q. Cette duree est de l'ordre de 10-12 s. Le poids des charges sera neglige. Page 2/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere PC On etudie un conducteur cylindrique de section S, de rayon a et de longueur constitue du milieu conducteur defini ci-dessus. Ce conducteur est soumis a une difference de potentiel U0 & 0 uniforme et independant du temps. independante du temps qui impose un champ electrique E 11 -- Etablir l'equation differentielle a laquelle satisfait la vitesse des porteurs de charge. Donner la solution &v (t) sans se preoccuper de determiner la constante d'integration. Quelle est l'expression de la vitesse en regime permanent ? Sauf precision contraire, on considere que l'on est en regime permanent. Cette hypothese est-elle contraignante ? 12 -- La mobilite µ des porteurs de charge est definie de telle sorte que &v = µE&0 . Donner l'expression de la mobilite d'une charge q. Apres avoir rappele la definition de la densite volumique de courant &j0 , etablir l'expression de la conductivite electrique 0 du conducteur definie par la loi &j0 = 0 E&0 . Quel est le nom de la loi precedente ? 13 -- Determiner l'expression de la resistance electrique R0 du cylindre conducteur en fonction de 0 , et S. 14 -- Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la resistance etait un dipole memory less 4 car le signal associe a la tension suivait instantanement les evolutions du signal associe au courant. Justifier cette affirmation. & 0 mais un champ 15 -- On impose maintenant au dipole non plus le champ electrique E & 1 toujours uniforme mais dependant du temps selon E &1 = E & 1m cos t. Montrer que electrique E le dipole peut etre decrit au moyen d'une impedance complexe Z correspondant a l'association de deux dipoles et que la tension ne suit plus instantanement les evolutions de l'intensite. On exprimera Z en fonction, entre autres, de R0 . A quelle condition retrouve-t-on la situation ou le dipole est un resistor de resistance R0 ? Qualifier le comportement du conducteur et l'interpreter. & 0 impose est independant du temps. On On revient a la situation ou le champ electrique E etudie a nouveau la situation du regime permanent. & 0 ? Quelle 16 -- Quelle est la puissance transferee a la charge q par le champ electrique E est la puissance volumique associee a ce transfert d'energie ? 17 -- En considerant l'ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la puissance qu'il recoit est p = u i. Cette expression peut etre generalisee aux regimes lentement variables puisque la puissance instantanee p(t) est alors donnee par : p(t) = u(t) i(t). 18 -- Dans le cas ou le dipole est un memristor, exprimer la puissance qu'il recoit en fonction de sa memristance et de l'intensite du courant. FIN DE LA PARTIE I II. -- A memristor is a pipe whose diameter varies Leon Chua a decrit le memristor comme un tuyau dans lequel s'ecoulerait un fluide, tuyau dont le diametre varierait en fonction de la valeur du debit du fluide et du sens dans lequel le fluide le traverserait. Dans cette partie du probleme, on etudie l'ecoulement lent d'un liquide incompressible de viscosite dynamique dans un tuyau cylindrique de section circulaire S, de rayon a et de longueur . On considere que le tuyau est horizontal. L'ecoulement est la consequence d'un ecart de pression entre l'entree, ou la pression est Pe , et la sortie, ou la pression est Ps < Pe . Ces pressions sont supposees maintenues au cours du temps. L'objectif est de determiner l'expression de la resistance hydraulique correspondant a l'ecoulement dans le tuyau et de voir qu'en modifiant le diametre du tuyau, on a bien une evolution de la resistance hydraulique 4. sans memoire Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere PC permettant de faire l'analogie proposee par Leon Chua pour le memristor en electricite et sa resistance electrique. Afin d'avoir une approche relativement realiste de l'ecoulement, on prend en compte le fait que le champ des vitesses dans le fluide n'est pas uniforme dans une section donnee de l'ecoulement. II.A. -- Modelisation d'un ecoulement 19 -- Formuler des hypotheses raisonnables pour decrire l'ecoulement du fluide dans le tuyau. 20 -- En deduire deux equations locales qui sont la consequence des hypotheses precedentes. 21 -- Determiner l'expression du champ des vitesses au sein de l'ecoulement. 22 -- En deduire le debit volumique Dvol du fluide qui traverse le tuyau. II.B. -- Resistance hydraulique Pe - Ps . Dvol 23 -- Montrer qu'il existe une analogie entre la definition de la resistance hydraulique et celle de la resistance electrique, on precisera soigneusement les differents termes de cette analogie. Connaissez-vous, dans un autre domaine de la Physique, une autre resistance ? Y a-t-il une analogie possible avec les deux precedentes ? 24 -- Determiner l'expression de la resistance hydraulique Rhyd dans le cadre du modele d'ecoulement utilise. 25 -- L'image, proposee par Leon Chua, du memristor comme un tuyau dont le diametre varie est-elle appropriee ? La resistance hydraulique est definie par la formule Rhyd = FIN DE LA PARTIE II III. -- Le memristor des HP Labs Le memristor mis au point aux HP Labs est constitue par un mince film de dioxyde de titane de 5 nm d'epaisseur et de longueur = 10 nm. A chaque extremite de ce dipole, le contact electrique est assure par 2 electrodes de platine. La particularite de ce memristor est que le dioxyde de titane presente dans une zone des lacunes en oxygene, la formule brute du dioxyde de titane etant alors TiO2-x si x represente les lacunes. On admet que cette situation est equivalente a celle d'un milieu dope dans lequel les charges mobiles portent deux charges elementaires positives q = +2e. Dans le reste du film, on trouve du dioxyde de titane sans lacune de formule TiO2 . Si le film est totalement dope, sa resistance electrique est faible et vaut Ron 1 k. Au contraire, si le film n'est pas dope du tout alors sa resistance electrique est elevee : Roff 100 Ron . Supposons que la frontiere entre la zone dopee et la zone non dopee soit situee a l'abscisse z, voir le schema de la figure 5. 26 -- Donner l'expression de la resistance electrique du memristor lorsque la frontiere entre la zone dopee et la zone non dopee se situe a l'abscisse z0 , on notera cette resistance Rmemo . La particularite du film de dioxyde de titane est que la position de la frontiere evolue au cours du temps en fonction de l'intensite du courant qui est passee mais aussi en fonction du sens de ce courant. C'est cela qui en fait un memristor. On peut donc passer d'un dispositif bon conducteur a un autre presque isolant. On note dorenavant z(t) la position de la frontiere entre la zone dopee et la zone non dopee. Pour le deplacement de la frontiere, on reprend le modele lineaire de la mobilite etudie a la question 12 ou l'on note toujours µ la mobilite des charges mobiles. On propose alors d'ecrire Page 4/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere PC dopée non dopée ! ! ! ! ! ! Pt ! ! ! ! ! ! !! ! " TiO2¡% Pt TiO2 % 0 & % Figure 5 ­ Representation schematique du memristor des HP Labs la relation dz = µ Roni(t) dans laquelle le courant i(t) est algebrique et son sens conventionnel dt precise sur la figure 5. 27 -- Interpreter la relation precedente. 28 -- On suppose que i(t < 0) = 0, puis que i(t 0) %= 0 et enfin qu'a la date t = 0, la frontiere +4 ' [mA] est situee en z = z0 . Etablir l'expression de z(t) en fonction, entre autres, de la charge q(t) qui a circule depuis la date t = 0. Quelle est la charge minimale +2 Qmin necessaire, dans le cas le plus defavorable, pour que le memristor soit dans l'etat le plus conducteur 0 possible ? Pt 29 -- Etablir l'expression de la memristance M (q) TiO2 en fonction, entre autres, de Rmemo . Expliquer pour- +2 quoi le memristor a ete realise pour la premiere fois Pt avec un systeme nanometrique. +4 & [V] 30 -- Pour simplifier les calculs, on considere que Roff Ron , z0 = 0 et (t = 0) = 0. On impose dans 0 +1 +1 le memristor, a partir de la date t = 0, un courant Figure 6 ­ Courbe i(u) experimentale d'intensite i(t) = i0 sin t. Etablir les expressions de du film de TiO2 q(t), (t) et u(t). 31 -- Dans leur article de 2008, les chercheurs 5 des HP Labs ont obtenu experimentalement la courbe i(u) de la figure 6. Commenter cette courbe. FIN DE LA PARTIE III Formulaire Analyse vectorielle en coordonnees polaires Dans le systeme des coordonnees cylindro­polaires (r,,z) de base associee (&er ,&e ,&ez ), on rappelle quelques formules d'analyse vectorielle. Soit f une fonction scalaire telle que f = f (r,,z,t), le gradient de cette fonction est : gradf = 1 f f f &er + &e + &ez r r z 5. D. Strukov, G. Snider, D. Stewart & S. Williams The missing memristor is found Nature Vol 453-- 1 May 2008-- doi :10.1038/nature06932 Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Physique I, annee 2017 -- filiere PC ~ un vecteur fonction des coordonnees cylindriques, l'expression la plus generale du vecteur Soit A est : ~ = Ar (r,,z,t)~er + A (r,,z,t)~e + Az (r,,z,t)~ez A ~ est : La divergence du vecteur A ~ = 1 (rAr ) + 1 A + Az div A r r r z ~ est : Le rotationnel du vecteur A Ar Az 1 (rA ) Ar 1 Az A ~ - - - ~er + ~e + ~ez rot A = r z z r r r Quelques regles sur les operateurs : rot grad f = ~0 ~ = grad div A ~- ~A ~ rot rot A et ~=0 div rot A ~ = f rot A ~ + grad f A ~ rot (f A) ~ · grad f ~ = f div A ~+ A div (f A) et Soit S une surface fermee entourant un volume . Le flux d'un vecteur sur la surface S orientee vers l'exterieur est egal a l'integrale de la divergence de ce vecteur sur tout le volume : { y ~ · dS ~= ~ d Theoreme de Green - Ostrogradski A div A S /S Soit C une courbe fermee sur laquelle s'appuie une surface . La circulation d'un vecteur le long de C est egale au flux du rotationnel de ce vecteur a travers orientee selon la regle du tire-bouchon. I x ~ · d~ = ~ · d ~ Theoreme de Stokes A rot A C /C Mecanique des fluides On rappelle l'equation de la Dynamique des fluides telle qu'elle est frequemment utilisee ou est la masse volumique du fluide, la viscosite dynamique, p la pression et ~g le champ de pesanteur : ~v ~ ~v + (~v · grad ) ~v = -grad p + ~g + t 2 avec (~v · grad ) ~v = grad v2 + rot ~v ~v FIN DE L'EPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 1 PC 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (professeur en CPGE) ; il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Ce sujet porte sur un nouveau composant qui pourrait prochainement révolutionner les capacités de stockage de l'information : le memristor, sorte de résistance à effet mémoire. · La première partie s'intéresse d'abord aux propriétés des memristors du point de vue de l'électrocinétique : quelle est l'unité d'une memristance ? comment s'exprime la memristance d'une association série ou parallèle de memristors ? Le candidat est ensuite invité à se pencher sur la caractéristique de ce dipôle pour expliquer l'effet de mémoire permanente. Si les premières questions de cette partie sont assez faciles, il n'en va pas de même pour les dernières, qui reposent sur l'analyse d'une caractéristique non linéaire. · La deuxième partie porte sur l'étude d'un écoulement visqueux en régime laminaire, en géométrie cylindrique. L'idée est de retrouver la loi de Poiseuille dans un tuyau et d'en déduire l'expression de la résistance hydraulique. S'ensuivent des questions sur des systèmes décrits par des formules analogues dans d'autres domaines de la physique (la thermodynamique et l'électrocinétique). Ces analogies permettent d'interpréter une propriété des memristors. Les premières questions sont peu guidées mais restent proches du cours. · C'est l'étude de l'équation du mouvement des porteurs mobiles dans un conducteur qui ouvre la troisième partie. En s'appuyant sur le modèle de Drude, on analyse successivement leur comportement vis-à-vis d'une tension continue, puis sinusoïdale. Cette approche débouche naturellement sur une analyse des transferts énergétiques de la source de tension vers les porteurs mobiles. L'effet mémoire du memristor étant dû à la migration de lacunes, qui peut également être décrite par le modèle de Drude, on s'appuie sur les résultats précédents pour interpréter le comportement du memristor. Cette partie est très classique, bien que quelques questions demandent de l'intuition. Alternant des questions faciles, très classiques, et d'autres beaucoup plus délicates par leur formulation ou par les capacités d'analyse qu'elles requièrent, ce sujet est déroutant dès les premières questions. Il faut savoir surmonter la première impression et ne pas se laisser déstabiliser pour pouvoir progresser. Une bonne maîtrise du cours suffit en réalité à réussir l'essentiel de l'épreuve. Indications Partie I 5 Considérer l'association série de deux memristors. Exprimer la memristance du memristor équivalent en utilisant l'additivité des tensions. Procéder de manière analogue pour l'association parallèle (cette fois, en utilisant la loi des noeuds). 6 Ne pas oublier la condition initiale : en t = 0, q = 0. 8 Pour une même valeur de i, deux valeurs de u peuvent être observées. Chacune correspond à un régime de fonctionnement. Pour trouver lequel est plutôt bloqué, comparer les pentes en chaque valeur, qui renseignent sur la résistance. 10 Pour répondre à cette question, il faut se rappeler que M dépend de q. Une fois i coupé, M(q) conserve la même valeur qu'avant coupure. 13 Utiliser E0 = u et j0 S = i. 15 Montrer que Z = R0 (1+j ). Quelle est l'association de deux composants simples qui conduit à la même impédance ? 16 La puissance exercée par la force de Lorentz électrique sur une particule est égale au produit scalaire entre la vitesse de cette particule et la force. Pour trouver la puissance volumique, il faut prendre en compte le nombre de porteurs mobiles par unité de volume, qui est lié à n. 17 Utiliser E0 = u et j0 S = i. Partie II 25 Sur la caractéristique, la pente de la courbe u(i) change, cela signifie que la résistance change également. Partie III 26 Le film d'oxyde de titane peut être vu comme l'association en série de deux résistances, l'une modélisant la zone dopée et l'autre, la zone non dopée. - 27 Pour l'interprétation, utiliser l'analogie avec la formule - v = µE . 0 28 Remarquer que Qmin correspond à z0 0 et z . 29 La memristance est la résistance du film. Les memristors I. Généralités sur les memristors 1 Rassemblons les relations demandées dans un tableau, où la résistance R s'exprime en ohms, la capacité C en farads, l'inductance L en henrys : lien (1) résistor × (2) u = Ri (3) × condensateur q = Cu du i=C dt × bobine × di u=L dt = Li 2 Comme l'intensité i du courant électrique est un débit de charges, i= dq dt L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit - - B - rot E = - t Appliquons le théorème de Stokes sur le contour orienté C défini par la portion de circuit électrique aux bornes de laquelle u est appliqué. Alors, I ZZ - - - - B · dS E · d = - t C SC où SC est une surface s'appuyant sur C . Permutons la dérivation sur le temps et l'intégration sur l'espace : ZZ I - - - - d E · d = - B · dS dt C SC Le membre de gauche est égal à -u (en convention récepteur). L'intégrale dans le membre de droite est égale au flux du champ magnétique à travers le circuit. Ainsi, u= d dt 3 Différentions les réponses de la question 1 : lien formule (1) dq = C du (2) du = R di (3) d = L di Les deux autres relations sont obtenues à l'aide des réponses de la question 2, lien formule (4) dq = i dt (5) d = u dt 4 D'après la définition proposée, d u dt [M] = = dq i dt Comme u = [R], i M s'exprime en ohms. 5 La configuration série est décrite par le schéma électrique ci-contre. Par additivité des tensions, u = u1 + u2 u i M1 M2 u1 u2 D'après la relation (5), on en déduit que d d1 d2 = + dt dt dt donc M Comme il s'ensuit que dq dq1 dq2 = M1 + M2 dt dt dt dq1 dq2 dq = = i= dt dt dt Pour une association série, M = M1 + M2 . La configuration parallèle est décrite par le schéma électrique ci-contre. D'après la loi des noeuds, i = i1 + i2 d'où Comme il vient M1 i dq dq1 dq2 = + dt dt dt 1 d1 1 d2 1 d = + M dt M1 dt M2 dt d1 d2 d u= = = dt dt dt soit i1 Pour une association parallèle, i2 M2 u 1 1 1 = + . M M1 M2 6 Puisqu'on connaît i(t) et que dq = i dt, intégrons pour obtenir q(t) : t Z q(t) Z t i0 dq = i( )d = - cos q(0) 0 =0 D'après les données, q(0) = 0, si bien que q(t) = i0 (1 - cos t) La charge q(t) oscille sinusoïdalement autour de la valeur moyenne i0 / avec l'amplitude i0 /. La fonction q(t) a même pulsation que i(t), atteint sa valeur moyenne chaque fois que i(t) est extrémale et est extrémale chaque fois que i(t) s'annule. On obtient le graphe suivant : 2i0 i0 0 q(t) i(t) q(t) i0 i(t) 2 3 t -i0