Mines Physique 1 PC 2014

Thème de l'épreuve Interactions microscopiques: gaz et liquides
Principaux outils utilisés électrostatique, thermodynamique
Mots clefs dipôles électrostatiques, polarisabilité, interactions intermoléculaires, miscibilité, tension de surface

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT--ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP) ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2014 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorisé Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ] -- PO. L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages. -- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura été amené à prendre. -- Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. INTERACTIONS MICROSCOPIQUES Ce problème se propose de modéliser à l'échelle microscopique les interactions intermoléculaires dans un fluide, puis d'en examiner quelques conséquences à l'échelle macroscopique, concer-- nant en particulier les surfaces de contact entre deux fluides non miscibles. Les vecteurs sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires (fig) ou d'une flèche dans le cas général (5). Les constantes utiles pour les applications numériques sont regroupées a la fin du sujet. Les appli-- cations numériques seront proposées avec 3 chiffres significatifs. I. -- Étude microscopique I.A. -- La vapeur d'eau L'eau pure, maintenue à une température T1 : 373 K et sous une pression P1 = 1,0 bar, est à l'équilibre liquide--vapeur : dans ces conditions, l'eau peut exister sous forme de liquide ou sous forme de vapeur. Ü 1 -- Sous les conditions (T 1,P1), on peut en première approximation assimiler la vapeur d'eau a un gaz parfait. Déterminer, dans cette vapeur et sous ces conditions, la densité parti-- culaire nv. En déduire dans ces mêmes conditions, une estimation de la distance moyenne dv entre deux molécules d'eau voisines. Ü 2 -- Quelles sont les hypothèses considérées, a propos des interactions intermoléculaires, pour établir l'équation d'état du gaz parfait moléculaire? Comment varie le volume d'un gaz parfait moléculaire lorsqu'on le refroidit à pression constante ? Interactions microscopiques I.B. -- Un modèle atomique simple (Thomson, 1904) Ce modèle est postérieur a la découverte de l'électron, en 1897 par Thom-- son, mais antérieur a la découverte du noyau par Rutherford en 1911. Il postule qu'un atome d'hydrogène est constitué d'un électron ponctuel noté N, de masse m et de charge (... = --e évoluant dans nuage sphérique, de centre P, de rayon & = 5,00 - 10_11 m, et dont la charge totale qP : +e est répartie dans cette sphère avec une densité volumique de charge p uniforme. On suppose que l'électron peut se mouvoir sans frottement a FIGURE 1 -- l'intérieur du nuage. La masse M de ce nuage étant très supérieure a MOdèlEUR de Thom-- celle de l'électron, on pourra supposer P fixe dans le référentiel galiléen SOÏ1 de l'atome d'observation; N est mobile et repéré par son vecteur position 77 : PN. Ü 3 -- Déterminer le champ électrostatique Ê+(N ) créé par le nuage positif au niveau de l'électron, en fonction de e, a, 50 (permittivité du vide) et 77 : PN. On suppose que l'électron reste a l'intérieur du nuage. Ü 4 -- Montrer que le mouvement de l'électron dans ce champ est associé a une fréquence fo que l'on exprimera en fonction de m, e, a et 50. Déterminer la valeur numérique de la longueur d'onde )... de la radiation électromagnétique ayant cette fréquence f0 . Dans quel domaine ce rayonnement est--il prévu par le modèle ? I.C. -- Notion de polarisabilité On applique un champ extérieur uniforme Ê0 au système de la section 1.13 constitué par le nuage et l'électron. Ü 5 -- Déterminer la position d'équilibre f'eq : PîVeq de l'électron sous les effets des champs Ê0 et Ê+(N ), en déduire le moment dipolaire électrique ;? de l'atome qu'induit l'application de Ê0. De manière générale, la polarisabilité oz d'un atome est définie par la relation }? : ozeoÊo. Relier oz au volume V du nuage. Le coefficient numérique trouvé dans la relation entre oz et V de la question 5 (imposé par le modèle de Thomson) n'est pas exactement conforme a la réalité. Cependant, a ce coefficient numérique près, la relation se vérifie pour les atomes polyélectroniques et les molécules. Ü 6 -- Comparer la polarisabilité du lithium (Z = 3) et celle du néon (Z = 10). Le fluor et l'iode sont deux halogènes situés sur la même colonne de la table périodique, sur la seconde ligne pour le fluor et la cinquième pour l'iode. Comparer la polarisabilité d'une molécule de difluor et celle d'une molécule de diiode. FIN DE LA PARTIE I ?: up 11. -- Interactions intermoléculaires M ûgO Dans le cadre de l'approximation dipolaire, on rappelle qu'un % dipôle électrostatique }? : pÜZ placé en O crée, en un point A % A . , . "9 M tel que OM : ru, (vo1r figure 2), le champ electrostat1que y Ê : E,Îi, + E9'Û9 avec 2 E,= ]? cos9 et Eg= sin9 47T807°3 47T807°3 FIGURE 2 -- Dipôle On rappelle également que l'énergie potentielle EUR,, d' un dipôle rigide p placé dans un champ Ê est telle que e,,= --}Î - E . Page 2/7 Physique [, année 2014 -- filière PC II.A. -- Interaction entre deux molécules polaires Deux molécules fixes M1 et M2 de moments dipolaires respectifs @ et 132 sont respectivement placées aux points 01 et 02. tels que 0102 : dû (voir figure 3). Lorsque deux molécules sont en interaction, la situation étant symétrique, on appellera énergie potentielle d'interaction du couple l'énergie potentielle d'une molécule dans le champ électrique de l'autre. A priori, ]ÎÎ et 175 peuvent tourner dans tous les sens a cause de l'agitation thermique, l'énergie po-- tentielle d'interaction e...- du couple n'est donc pas constante. Les modules respectifs de fil et 172 sont supposées constantes. Ü 7 -- Comment doit être orienté E' pour que . . le module du champ électrique Ê1702 créé par la FIGURE 3 _ Deux dipoles en interaction molécule M1 en 02 soit maximal? En déduire la valeur minimale emin et maximale en... de e...- et l'écart Ac : emaX -- cm.... Représenter sur un schéma les positions relatives des deux dipôles dans ces deux états extrêmes. Ü 8 -- Pour deux molécules d'eau p : H]ÎÏH : H}ÎËH : 6,2 - 10--30C -m et d = 3,7 - 10_9 m. Déterminer les valeurs numériques de cm..., emaX et A6 ; Comparer les valeurs de A6 et EUR... : kT pour la température T1 : 373 K. On rappelle que 6... est une évaluation de l'énergie cinétique moyenne d'agitation thermique. Les deux configurations d'énergie potentielle extrêmes de ce système sont--elles accessibles ? Pour évaluer la valeur moyenne de l'énergie potentielle d'interaction, on suppose que les seules valeurs de 91 et 92 possibles sont celles correspondant a l'un ou l'autre des deux états d'énergie potentielle extrêmes emin et emaX. Dans la statistique de Boltzmann, chacun de ces états est associé a une probabilité P (e,-) = A exp(--,Ï--%) où A est une constante de normalisation, choisie pour que la somme des probabilités soit égale a l. Ü 9 -- Déterminer la valeur de la constante A en fonction de emaX, k et T. En déduire l'énergie potentielle d'interaction moyenne entre ces molécules polaires, que l'on notera el. On pourra simplifier l'expression obtenue en utilisant la relation d'ordre trouvée a la question 8 entre A6 et e.... Effectuer alors l'application numérique pour el, avec les valeurs précédentes, en prenant T = 373 K. II.B. -- Interaction entre une molécule polaire et une molécule pola- risable On étudie maintenant la situation dans laquelle la molécule M1 est la même que celle étudiée dans la partie précédente, toujours située en 01, par contre la molécule M2 située en 02 est a présent non polaire, mais polarisable avec une polarisabilité 04. On pose toujours 0102 = d @ et on suppose que 171 est dirigé selon @. Conformément aux résultats de la partie l.C, la molécule M2 acquiert un moment dipolaire induit @ : ozeoÊ1702. L'énergie potentielle d'interaction moyenne du couple est alors dans ce 1 --» "' cas 62 = _5 p2-E1702. Ü 10 -- Déterminer l'expression de 62 en fonction de 04, 50, d et 191 : H}ÎÏH. Calculer sa valeur numérique avec toujours pl : 6,2 - 10--30 Cm, d = 3,7 - 10_9 m et oz : 1,6.10_29 m3. Page 3 / 7 Tournez la page S.V.P. Interactions microscopiques ILO. -- Interactions entre molécules non polaires Si une molécule est non polaire, son moment dipolaire est nul en moyenne, mais pas en va-- leur instantanée. Une interaction entre deux molécules non polaires est donc possible par le mécanisme décrit dans la partie HB. Un calcul un peu élaboré conduit a une énergie poten-- tielle moyenne d'interaction e3 entre deux molécules semblables, qui a pour expression _ 1 6?th 2 d6 63: Ici, h est la constante de Planck, oz la polarisabilité des molécules, d la distance qui les sépare et fo la fréquence de résonance électronique de la molécule dont on a pu se faire une représentation a la question 4. Ü 11 -- Quelle théorie de la physique permet--elle d'obtenir l'expression de 63 ? En conservant les valeurs précédentes pour d et oz puis en prenant fo : 8,81014 Hz, calculer la valeur numérique de e3. II.D. -- Synthèse En réalité, les trois effets évoqués dans les parties précédentes s'ajoutent : une molécule déjà polaire est aussi polarisable... Les valeurs numériques utilisées se rapportent a la vapeur d'eau a T = 373 K. Ü 12 -- Comparer les valeurs de el, e2 et e3. Justifier que, lorsqu'elles ne sont pas en contact, la force d'interaction entre deux molécules peut s'écrire D6A _,__ 2 __ F- (Cd+T)d7u où C et D sont des constantes que l'on explicitera en fonction des données du problème et "Ü un vecteur unitaire que l'on précisera. Quelle est la valeur de D pour des molécules non polaires ? Quel nom donne--t--on généralement a cette force ? ILE. -- Conséquences pour un gaz réel On considère un gaz réel formé de N molécules supposées ici non polaires, a la température T et réparties uniformément dans un volume V. Ü 13 -- On considère une molécule M de ce gaz supposée sphérique et de rayon &. Quel est le nombre dN de molécules dont la distance a M est comprise entre r et r + dr ? En considérant que r peut varier de 2e a l'infini et en reprenant les résultats de la question 12, déterminer l'énergie potentielle d'interaction totale moyenne E...- entre la molécule M et toutes les autres. Ü 14 -- En déduire que, selon ce modèle, l'énergie interne du gaz peut s'écrire 7TNCOd2 U TV : N C T -- _ < , > læ< > M,} où eC(T ) représente l'énergie cinétique moyenne d'une molécule. En déduire que dans ce modèle, 2 ii l'énergie interne de ri moles d'un gaz réel monoatomique s'écrit U (T ,V) : nxT -- ?. On précisera les expressions de EUR et x, proposer un nom pour la grandeur x. Cette relation reste-- t--elle valable pour un gaz réel polyatomique ? FIN DE LA PARTIE II Page 4/7 rn. -- Étude des liquides III.A. -- Le liquide pur On a rassemblé ci--dessous les hypothèses permettant de modéliser simplement un liquide $A formé de molécules de type A. Dans toute cette partie on se place a une température nettement inférieure à la température critique de $A. -- L'énergie cinétique moyenne des molécules d'un liquide, notée ec est comparable à celle des molécules d'un gaz de même température. -- Les molécules sont supposées sphériques, de rayon a. -- Il existe une interaction entre les molécules du liquide, que l'on suppose limitée aux molécules en contact. On note --eAA l'énergie potentielle d'interaction pour un couple de molécules en contact, avec eAA > 0. On suppose que cette grandeur est indépendante de la température, de la pression. -- On suppose qu'au sein du liquide, une molécule est toujours en contact avec ses 6 molécules voisines. -- Bien que le liquide soit désordonné, on pourra raisonner comme si les molécules étaient (en moyenne) rangées dans un réseau cubique simple d'arête 2a. Les mailles peuvent néanmoins glisser les unes sur les autres, pour assurer la fluidité du liquide. -- Le liquide est supposé incompressible et indilatable. FIGURE 4 -- Modèle du liquide pur Ü 15 La compacité observée pour des liquides usuels est de l'ordre de 0,6. Quelle est la compacité du liquide dans le modèle proposé? Ce modèle est-il pertinent? On considère un volume V de ce liquide, formé de N molécules. Quelle est la relation entre N, V et a? En déduire la valeur de a pour l'eau liquide dans ce modèle. Ü 16 -- L'énergie interne du liquide peut toujours s'écrire sous la forme U (N ,T) = N eC--l--U ,,-, la quantité U... désignant l'énergie potentielle d'interaction totale au sein du liquide. Combien existe--t-il de couples de molécules en contact dans ce liquide si l'on néglige les effets de bord ? En déduire, dans le modèle proposé, l'expression de U ),-- en fonction de N et eAA. Interactions microscopiques Ü 17 -- À la température T1 : 373 K, et a la pression P1 = 1,00 bar , on donne la chaleur latente molaire (ou enthalpie molaire) de vaporisation de l'eau L.,)... : 41,0kJ - mol--1. On assimile la vapeur d'eau a un gaz parfait, déterminer la variation d'énergie interne AU"... associée a la vaporisation d'une mole d'eau a cette température, on fera l'application numérique. On rappelle que sous les hypothèses du modèle, la valeur de eC est la même dans l'eau liquide et dans l'eau vapeur; en déduire une estimation de eAA et comparer sa valeur a celle de eth : kT , qui est une estimation de ec. Commenter le résultat. III.B. -- Liquides miscibles, non miscibles On observe que certains liquides sont miscibles en toutes proportions (eau / éthanol), d'autres partiellement miscibles (eau / propanone), d'autres totalement non miscibles (eau / benzène). Nous allons tenter dans cette partie de déterminer un critère de miscibilité. On envisage ici la mise en solution de N B molécules d'un liquide 33 formé de molécules B, dans N A molécules d'un liquide $A formé de molécules A. On se place sous les hypothèses idéalisées suivantes : -- dans le mélange, l'espèce A est majoritaire, c'est--à--dire N B << N A; -- le mélange est réalisé de façon isotherme et isobare, et on suppose les volumes additifs : le volume de la solution obtenue est égal a la somme des volumes initiaux de 3,4 et de JB ; -- le mélange ne change pas l'énergie cinétique moyenne des molécules, toujours égale a eC pour les molécules A ou B ; -- les molécules A et B possèdent une taille caractéristique comparable notée &; -- dans le mélange, les molécules B sont tellement minoritaires qu'elles sont toujours entourées de 6 molécules de type A. Les énergies potentielles d'interaction entre couples de molécules sont notées --eAA pour (A,/l), --eBB pour (B,B) et --eAB pour les couples (A,B). Toutes ces énergies sont négatives. Ü 18 -- Dans la cadre du modèle proposé, déterminer la variation d'énergie interne AUmel due au mélange de 3,4 et 33 en fonction de NB, eAA, 61313 et eAB. Justifier le fait que, dans le modèle proposé, la variation d'énergie interne AU,... corresponde a la variation d'enthalpie AHmel. On montre que si la solution de 33 dans 3,4 est diluée, la variation d'entropie accompagnant le mélange est donnée par la relation ASmel : --NBk ln(a:B), où 9133 représente la fraction molaire de B dans le mélange et k la constante de Boltzmann. Ü 19 -- Que peut--on dire de la variation d'enthalpie libre AG d'un système qui évolue spon-- tanément de façon isotherme et isobare? Déterminer la variation d'enthalpie libre AG,... au cours du mélange. Deux liquides sont dit miscibles s'ils se mélangent spontanément. En déduire une condition de miscibilité de 33 dans 3,4 reliant les paramètres 333, k, T, eAA, 61313 et eAB. III.C. -- Énergie de surface On se place désormais dans le cas où les deux fluides sont non miscibles. On étudie le cas dans lequel la surface de contact entre ces deux liquides est plane. Dans le cadre du modèle considéré, si une molécule A(resp. B) se trouve dans l'interface, elle est en contact avec une molécule B (resp. A) et 5 molécules A(resp. B) ; l'interface fAB est donc la couche d'épaisseur bimoléculaire formée par les couples (A,B ) en contact. Ü 20 -- Combien de couples de molécules (A,B) forment l'interface d'aire E ? Page 6/7 Physique [, année 2014 -- filière PC On envisage une transformation du système formé par l'ensemble (EA + 33 + JAB) a T et V maintenus constants au cours de laquelle l'aire de la surface de contact varie de dE. Ü 21 -- En supposant que l'énergie cinétique moyenne d'une molécule ne dépend pas du fait qu'elle se trouve ou non dans l'interface, déterminer la variation d'énergie interne de ce système lors de cette transformation. On l'écrira sous la forme dU : FABdE , où l'on exprimera l'énergie surfacique I'AB de l'interface fAB en fonction de eAA, eBB, eAB et &. III.D. -- Tension superficielle Considérons le système fermé &" formé des molécules de l'interface JAB et des molécules de 3,4 et de 33 qui sont susceptibles de passer dans l'interface si la surface varie de E a E + dE. Les paramètres d'état de .5" sont 2 et T. On rappelle que le volume de .5" ne varie pas, et que la pression n'influe pas. On note U,- l'énergie interne de .5" , S,- son entropie et E- = U,- -- T S,- son énergie libre. On suppose que cette transformation est réversible, et que, pour opérer cette transformation, il faut fournir a .5" un travail 5W : AABdE. La grandeur AAB est appelée tension superficielle de l'interface JAB. On constate expérimentalement que cette grandeur est toujours positive et qu'elle ne dépend que de T et pas de E. 3F: Ü 22 -- Montrer que AAB = -- . 82 T Ü 23 -- On considère une goutte de 313, de volume supposé invariable VB, en suspension dans le fluide 3,4. La température T est fixée. Montrer que la forme de la goutte, initialement quelconque, va évoluer vers une forme d'équilibre sphérique. FIN DE LA PARTIE III Oonstantes fondamentales utiles -- Nombre d'Avogadro : ./l@ = 6,02 - 1023 mole--'L -- Masse molaire de l'eau : MH20 : 18,0 - 10_3 kg - mole--1 -- Masse volumique de l'eau liquide : ,uH20 : 103 kg - m--3 -- Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J - K_1 - mole--1 -- Masse de l'électron : m = 9,11 - 10_31 kg Charge de l'électron : e = 1,60 - 104L9 C Constante de Boltzmann : k = 1,38 - 10_23 J - K_1 Constante de Planck : h = 6,62 - 10--34J - s -- Permittivité électrique du vide : 50 : È - 10_9 81 77 -- Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 - 108 m - s_'L FIN DE L'ÉPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 1 PC 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Bruot (ENS Cachan) ; il a été relu par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). Ce problème traite des interactions entre molécules et fait un lien entre les interactions microscopiques et certains phénomènes à l'échelle macroscopique. Il est organisé en trois parties qui peuvent être traitées indépendamment. · Après une courte introduction sur le gaz parfait, la première partie étudie le phénomène de polarisabilité d'un atome ou d'une molécule. · La deuxième partie propose de calculer l'interaction de Van der Waals entre deux particules et traite séparément les cas d'interaction entre deux dipôles, entre un dipôle et une molécule polarisable et entre deux molécules polarisables. · La dernière partie se base sur un modèle simplifié d'un liquide incluant des interactions attractives. L'énergie potentielle d'interaction entre deux molécules est reliée à la chaleur latente. Un critère de miscibilité est calculé pour un mélange entre deux liquides, et la tension de surface entre deux liquides non miscibles est introduite à la fin du problème. Les deux premières parties reposent largement sur le cours d'électrostatique. L'obtention de la force de Van der Waals, somme des interactions de Keesom, Debye et London, est particulièrement intéressante, car seule l'origine de ces interactions est habituellement mentionnée en cours. La fin de la deuxième partie et la troisième partie utilisent le cours de thermodynamique et permettent de s'entraîner à manipuler les potentiels thermodynamiques. Indications Partie I 3 Utiliser le théorème de Gauss. 4 Montrer que - r est solution d'une équation d'oscillateur harmonique. 6 La taille du nuage électronique d'un élément dépend du nombre de couches électroniques remplies par les électrons et de la charge effective vue par les électrons de valence. Partie II 8 Pour répondre à la dernière partie de la question, penser à l'effet de l'ajout de fluctuations thermiques sur un système à l'équilibre dans un puits de potentiel. Z + 13 Écrire que Ep,i = dEp,i 2a où dEp,i est dN fois l'énergie potentielle entre M et une molécule à une distance r de M. 14 Attention à ne pas compter deux fois l'interaction entre une molécule m et une molécule n. Partie III 17 Utiliser la relation H = U + P1 V comme point de départ. Négliger le volume de liquide initial par rapport au volume de gaz final. Pour estimer eAA , réécrire Uv,m en utilisant le résultat de la question 14. 18 Pour calculer l'énergie interne du système à l'état mélangé, on pourra considérer un système de NA + NB molécules de type A dont on remplace NB molécules A par B. Dans la variation d'énergie interne de mélange, tous les termes d'énergie cinétique doivent se simplifier. 19 Montrer que G est un potentiel thermodynamique pour l'évolution considérée. 22 Écrire la différentielle dFi puis utiliser les premier et second principes de la thermodynamique en incluant les hypothèses de l'énoncé. Interactions microscopiques I. Étude microscopique 1 Pour un gaz de N molécules et occupant un volume V, la densité particulaire s'écrit N V L'équation d'état d'un gaz parfait permet de relier V à P1 et T1 : N kT1 R V= avec k= P1 NA nv = On obtient ainsi : nv = P1 = 1,94.1025 m-3 kT1 Une estimation de la distance moyenne entre molécules voisines peut être obtenue en supposant que les molécules sont ordonnées sur un réseau cubique et espacées de dv . Le volume disponible par molécule est alors 1/nv dv 3 , donc kT1 dv = 3,72 nm P1 2 Dans un gaz parfait, on suppose que les molécules n'interagissent que lors des collisions qui sont supposées élastiques. Il n'y a pas de forces à distance entre les molécules. De plus, les particules sont supposées infiniment petites. Un gaz parfait refroidi à pression constante P voit son volume diminuer de manière proportionnelle à la température : V= N kT T P Ce sont les interactions attractives entre molécules qui font qu'en dessous d'une certaine température, le système ne se comporte plus comme un gaz parfait, car des agrégats de molécules se forment à partir de molécules proches les unes des autres et peuvent potentiellement conduire à la condensation macroscopique du gaz. 3 Tout plan contenant le point N est plan de symétrie pour la distribution de charge. - - Comme E+ est un vecteur polaire, E+ (N) est selon l'intersection de tous ces plans. - . De plus, par symétrie sphérique, son amplitude Par conséquent, E (N) est selon - u r + ne dépend que de r donc - E+ (N) = E+ (r) - u r - , on applique le théorème de Gauss en prenant Pour trouver E+ (N) = E+ (r) - u r comme surface de Gauss S la sphère centrée en P et de rayon r : ZZ - - Q(r) E+ · d S = 0 S où Q(r) désigne la charge dans le volume défini par S, et vaut : r 3 4 r3 /3 q = e Q(r) = P 4 a3 /3 a (pour r 6 a) En poursuivant le calcul de l'intégrale, on trouve : r 3 e 4 r2 E+ (r) = a 0 donc E+ (r) = ou, sous forme vectorielle : - E+ (N) = re 4 0 a3 e - r 4 0 a3 4 La seule force ressentie par l'électron est l'interaction électrostatique due au nuage chargé positivement. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron dans le référentiel galiléen d'observation s'écrit - d2 - r m = -e E+(N) 2 dt c'est-à-dire m d2 - r e2 - = - r dt2 4 0 a3 On reconnaît une équation d'oscillateur harmonique pour chaque direction de l'espace dont la pulsation est s e2 0 = 4 0 a3 m La fréquence d'oscillation de l'électron sur son orbite est donc : s 0 e2 f0 = = 2 16 3 0 a3 m La longueur d'onde associée à cette fréquence est : r 16 3 0 a3 m c =c = 41,9 nm 0 = f0 e2 C'est une radiation dans l'ultraviolet lointain. 5 La force électrostatique totale perçue par un électron à une position N est - - - F (N) = -e E+ (N) + E0 On suppose que le champ appliqué ne déforme pas le nuage de charge positive. À la position d'équilibre Neq , la force totale est nulle et on a ainsi : - - E+ (Neq ) = -E0