Mines Physique 1 PC 2012

Thème de l'épreuve Propagation de la lumière
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, optique géométrique, ondes électromagnétiques
Mots clefs vecteur de Poynting, lois de Snell-Descartes, photon, masse du photon

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2012 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. PROPAGATION DE LA LUMIERE L'objectif de ce probleme est d'etudier differents aspects de la propagation de la lumiere. Dans une premiere partie on etudiera le modele geometrique de la lumiere. Dans une deuxieme partie, on modelisera la lumiere par une onde ce qui permettra d'introduire une particule appelee photon. On evoquera finalement la possibilite d'une eventuelle masse pour ce photon et on essaiera d'en tirer les consequences. La valeur des constantes fondamentales utilisees ainsi qu'un formulaire d'analyse vectorielle sont fournis en fin d'epreuve. Hormis le nombre j tel que j2 = -1, les nombres complexes seront soulignes, et leurs complexes conjugues seront notes par le symbole en exposant : si a et b sont deux reels et si z = a + jb alors z = a - jb. Les vecteurs seront surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires ou d'une fleche dans le cas general. I. -- Propagation geometrique de la lumiere Dans le modele geometrique de la lumiere, on represente la trajectoire de l'energie lumineuse dans un milieu d'indice de refraction n(M) au point M, par une courbe geometrique C nommee rayon lumineux. L'objectif de cette partie est l'obtention d'une equation differentielle dont la solution admet cette courbe pour graphe. 1 -- Definir la notion de milieu lineaire, homogene, transparent et isotrope. Quelle est la trajectoire d'un rayon lumineux dans un tel milieu ? 2 -- Rappeler les lois de Descartes et faire un dessin pour les illustrer. Au cours de quel siecle ces lois ont-elles ete proposees ? Propagation de la lumiere 3 -- On considere un dioptre delimitant deux milieux d'indice constants n1 et n2 . Expliquer la notion de reflexion totale ; Demontrer qu'il existe un angle d'incidence limite lim pour la refraction. On exprimera lim en fonction de n1 et n2 . ... ... ... ... ... ... y ... ... On etudie maintenant la trajectoire d'un rayon lumineux dans un milieu non homogene le long d'une direction. On considere pour cela dans un premier temps, le milieu stratifie represente sur la figure 1 : chaque couche horizontale est reperee par un entier i, toutes les couches ont la meme epaisseur et l'indice ni de la couche i est constant. On suppose finalement que l'indice decroit avec i : pour deux entiers i et j si i < j alors ni > n j . On note i l'angle entre le rayon qui se propage dans la couche d'indice ni et le vecteur ebx . 4 -- Relier les couples (ni , i ) et n j , j pour i 6= j. Reproduire le schema sur la copie et dessiner la trajectoire du rayon lumineux. n0 y ... ... ni x 0 O F IGURE 1 ­ Milieu inhomogene stratifie suivant Oy Afin de determiner l'equation differentielle de la trajectoire du rayon lumineux, on rend la stratification infiniment fine : on tend vers un milieu continu. A l'ordonnee y, l'indice de refraction est n(y) et l'angle entre le rayon et le vecteur ebx est note (y). Le point M(x, y) decrit la trajectoire du rayon lumineux, on note s son abscisse curviligne, c'est-a-dire la longueur de la trajectoire OM, et ebs le vecteur unitaire tangent a la trajectoire. Ainsi en tout point M de la trajectoire, on a ds ebs = dx ebx +dy eby avec ebs = cos [ (y)] ebx + sin [ (y)] eby . 5 -- Determiner une quantite C0 constante en tout point M de la trajectoire en fonction de n(y) et (y) puis exprimer n(y) en fonction de C0 , ds et dx. 6 -- Montrer que la courbe C correspond a la solution de l'equation 2 d n d2 y =- - 2 2 dx dy ou l'on exprimera en fonction de C0 . Quelle analogie mecanique peut-on envisager ? En utilisant cette analogie, retrouver le resultat de la question 1. 7 -- L'indice du milieu s'ecrit sous la forme n2 (y) = n20 + ky2 ou n0 et k sont deux constantes reelles. Determiner, selon le signe de k, l'expression de la trajectoire y = y (x) passant par l'origine O de coordonnees x = 0 et y = 0. On exprimera y (x) en fonction de x, 0 , k et n0 . Quel est le signe de k dans le cas d'un mirage et dans le cas d'une fibre optique. FIN DE LA PARTIE I Page 2/6 Physique I, annee 2012 -- filiere PC II. -- Nature ondulatoire de la lumiere La lumiere est a present modelisee par une onde electromagnetique plane de pulsation et de vecteur - d'onde k . On associe a cette onde une particule, appelee photon, d'energie E = h et de quantite de - - mouvement p = h k ou h est la constante de Planck. On suppose que ces expressions sont toujours valables, quel que soit le milieu dans lequel se propage l'onde et independamment de l'eventuelle masse du photon. On utilisera les notations suivantes : - ­ Champ electrique au point M a l'instant t : E (M,t), - ­ Champ magnetique au point M a l'instant t : B (M,t), - - - ­ Champ de Riemann-Silberstein au point M et a l'instant t : (M,t) = E (M,t) + jc B (M,t) ; ­ Potentiel scalaire au point M a l'instant t : V (M,t) ; - ­ Potentiel vectoriel au point M a l'instant t : A (M,t) ; - ­ Vecteur de Poynting au point M a l'instant t : (M,t) ; ­ Densite volumique d'energie electromagnetique au point M a l'instant t : uem (M,t) ; ­ Densite volumique de charge en M a l'instant t : (M,t) ; - ­ Densite de courant en M a l'instant t : j (M,t). - On pourra utiliser le vecteur represente dans la base cartesienne B = (ebx , eby , ebz ) par le triplet x , y , z . Dans le referentiel galileen {O, B}, on repere le point M par le vecteur - -r = - OM = xebx + yeby + zebz . II.A. -- Propagation dans le vide - 8 -- Ecrire les equations de Maxwell dans le vide. Donner l'expression de et de uem en fonction - - - de E et B ainsi que des constantes utiles. En quelles unites s'expriment et uem ? 9 -- Enoncer l'equation locale de conservation de l'energie dans le vide, appelee aussi equation locale de Poynting. Par analogie avec une ou plusieurs equations de bilan local dans d'autres domaines - de la physique que l'on precisera, donner l'interpretation physique de et uem ainsi que celle du flux - de a travers une surface fermee arbitraire. - - 10 -- Retrouver en les justifiant les expressions de E (M,t) et B (M,t) en fonction des potentiels - - - V (M,t) et A (M,t). En deduire l'expression de (M,t) en fonction des potentiels V (M,t) et A (M,t). - - Montrer que les quatre equations de Maxwell en E (M,t) et B (M,t) se reduisent a deux equations - aux derivees partielles ne faisant intervenir que (M,t) et c. - - - - 11 -- Relier chacune des deux grandeurs (M,t)· (M,t) et (M,t) (M,t) a une grandeur physique connue. - 12 -- Determiner l'equation de propagation du champ (M,t). Nommer cette equation et en deduire les equations de propagation du champ electrique et magnetique. Dans le cas etudie, le champ - - - - electrique s'ecrit sous forme complexe E (M,t) = E 0 e j( t- k . r ) . En deduire la relation de dis - persion reliant la norme du vecteur d'onde k = k k k et la pulsation . Determiner l'expression de - l'energie du photon E en fonction de sa quantite de mouvement p . Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Propagation de la lumiere On souhaite determiner la vitesse moyenne de deplacement dans le vide de l'energie electromagnetique associee a une onde plane monochromatique de pulsation et de vecteur d'onde ~k = kebz . On considere le cylindre elementaire de longueur d et de section dS incluse dans le plan d'onde de cote z represente sur la figure 2. Afin de simplifier le modele, on suppose que l'onde etudiee est polarisee rectilignement, la representation complexe du champ electrique as - socie s'ecrit donc E (M,t) = E0 e j( t-kz) ebx . F IGURE 2 elementaire ­ Cylindre D -E - 13 -- Exprimer et huem i, valeurs moyennes temporelles (sur une periode) respectives de et uem , en fonction de E0 et des constantes utiles. Determiner les deux energies moyennes temporelles sur une periode, celle contenue dans le cylindre elementaire et celle traversant l'element de surface dS pendant le temps dt. En supposant que l'energie electromagnetique se deplace dans le vide a la vitesse moyenne ve =d/dt , deduire des expressions precedemment obtenues dans cette question, la valeur de ve . II.B. -- Propagation dans un dielectrique On suppose maintenant que la lumiere se propage dans un dielectrique d'indice de refraction constant n. Cela signifie que les equations de Maxwell sont modifiees en remplacant la permittivite du vide 0 par une permittivite n2 0 . 14 -- Quelle est la nouvelle relation de dispersion ? Quelle est la vitesse de phase de l'onde ? 15 -- On considere l'interface plane entre deux dielectriques d'indice n1 et n2 representee sur la figure 3 . L'interface est dans le plan Oxy, sa taille suivant l'axe Oy est supposee tres grande devant sa longueur L suivant l'axe Ox. Une onde plane de pulsation arrive avec un angle d'incidence sur l'interface. On modelise l'interface comme une pupille de diffraction suivant l'axe Ox. Calculer l'eclairement I( ) dans la direction . Dans quelle direction trouve-t-on le maximum de diffraction ? Conclure. On notera I0 F IGURE 3 ­ Interface entre les deux dielectriques l'eclairement maximum. II.C. -- Propagation de l'onde lumineuse avec une masse de photon non nulle On suppose a present et jusqu'a la fin du probleme que le photon possede une masse m non nulle. Dans ce cas, son energie, sa quantite de mouvement et sa masse doivent verifier la relation : E2 = p2 c2 + m2 c4 . (1) ou E et p representent toujours l'energie et l'impulsion du photon donnees en introduction de la partie II. 16 -- Quelle est la dimension de la constante = h ? m c Page 4/6 Physique I, annee 2012 -- filiere PC 17 -- Determiner la nouvelle relation de dispersion entre , k, c et . En deduire l'equation aux derivees partielles dont les solutions sont les formulations complexes des champs electrique - - - - - - - - et magnetique E (M,t) = E 0 e j( t- k . r ) et B (M,t) = B 0 e j( t- k . r ) . Cette equation est appelee equation de Klein-Gordon . On souhaite generaliser les equations de Maxwell de maniere a ce qu'elles permettent de retrouver l'equation de Klein-Gordon. Pour conserver la linearite de ces equations, on effectue deux hypotheses : ­ H1 Les densites de charge et de courant sont modifiees de facon additive par l'existence d'une masse pour le photon (M,t) est remplace par (M,t) + f (M,t) - - - j (M,t) est remplace par j (M,t) + F (M,t) - ou f (M,t) et F (M,t) sont des champs scalaires et vectoriels. - - - ­ H2 L'expression des champs E (M,t) et B (M,t) en fonction des potentiels V (M,t) et A (M,t) n'est pas modifiee par l'introduction de la masse du photon. 18 -- Reecrire les equations de Maxwell dans le vide sous l'hypothese H1 . Montrer que l'hypothese H2 n'est pas en contradiction avec ces equations. En ecrivant les nouvelles equations de propagation, montrer que l'on peut fixer des conditions dites de jauge pour lesquelles - - A = 1 F et f = 2V ou l'on determinera 1 et 2 en fonction de et µ0 ou 0 . On conservera ces conditions dans la suite du probleme. 19 -- Demontrer que V - = div( A ). t ou l'on determinera en fonction de c. On supposera que cette relation est toujours valable dans tout le reste du probleme. - 20 -- Determiner les deux equations de Maxwell verifiees par le champ (M,t). En deduire que - - (M,t), V (M,t) et A (M,t) sont aussi solutions de l'equation de Klein-Gordon. Une source emet une onde plane progressive se propageant le long de l'axe Oz. Elle est decrite par le potentiel vecteur complexe ~A(M,t) = ~A0 e j( t-kz) et le potentiel scalaire complexe V (M,t) = V0 e j( t-kz) . On decompose ~A0 = ~A|| + ~A ou ~A|| est la projection de ~A0 sur l'axe de propagation et ~A est la projection de ~A0 dans le plan perpendiculaire a l'axe de propagation. Le vecteur d'onde s'ecrit ~k = kebz . 21 -- Montrer que la relation de dispersion associee a la propagation de cette onde s'ecrit sous la forme k2 c2 = 2 - p2 ou p est une pulsation de coupure que l'on determinera. 22 -- Determiner l'expression des vecteurs ~E 0 et ~B0 tels que ~E = ~E 0 e j( t-kz) et ~B = ~B0 e j( t-kz) . On exprimera ~B0 en fonction ~k, ~A|| et/ou ~A puis ~E 0 en fonction en fonction de , p , ~A|| et/ou ~A . Qu'en deduire de la nature transverse du champ electromagnetique si la masse du photon est non nulle ? 23 -- Etudier en fonction de la position de par rapport a p , l'existence d'une onde progressive. Calculer dans ce cas la vitesse de phase et en deduire l'evolution d'un paquet d'onde. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Propagation de la lumiere De nombreuses experiences ont ete effectuees pour determiner l'eventuelle masse du photon. Nous allons en decrire deux. Un interferometre de Michelson, regle en lame d'air, est eclaire par une onde monochromatique de pulsation . On place une lentille convergente en sortie de l'interferometre. L'axe optique de cette lentille coincide avec l'axe du bras de sortie de l'interferometre. 24 -- A quel endroit du dispositif doit-on disposer un ecran pour observer des franges d'interference ? Caracteriser ces franges. Comment ces franges evoluent-elles lorsque l'on translate le miroir mobile de l'interferometre (on justifiera sa reponse) ? Un capteur d'intensite est place au centre de la figure d'interference. Il detecte N maxima d'intensite lorsque le miroir est translate de e. Etablir la relation entre N, e, m , et les constantes utiles. En deduire une methode de mesure de m . Qu'est-ce qui limite la precision de cette mesure ? On peut egalement envisager une experience d'astrophysique. On etudie la lumiere emise par une etoile distante de D = 1000 annees-lumiere et recue par la terre. Les pulsations rouge r = 8 1014 rad.s-1 et bleue b = 16 1014 rad.s-1 de cette lumiere peuvent etre associees a deux photons l'un dit rouge et l'autre bleu. L'existence d'une masse pour le photon induit un decalage temporel t separant les arrivees de ces deux photons sur le detecteur terrestre. L'experience montre que t 10-3 s. On suppose que r , b p . 25 -- Determiner la masse du photon en fonction de t et des donnees du probleme. En deduire une limite superieure m l pour la masse du photon. FIN DE LA PARTIE II Constantes fondamentales 1 -9 F.m-1 , 36 10 = 4 .10-7 H.m-1 , · Permittivite dielectrique du vide : 0 = · Permeabilite magnetique du vide : µ0 · Celerite de la lumiere : c = 3.108 m.s-1 , · Constante de Planck : h = 6, 62.10-34 J.s et h = h = 1, 05.10-34 J.s 2 Formulaire d'analyse vectorielle. h i -- - - - - - · rot rot ( u ) = grad [div ( u )] - u, -- - - - - - · Si g est un champ scalaire, rot (g u ) = g rot ( u ) + grad (g) u, - - - - - - - - · div [ u v ] = - u · rot ( v ) + v · rot ( u ), h i h i -- - -- - -- - - - - - -v - - · grad ( u .-v ) = u rot ( v ) + rot ( u ) + u · grad v + -v · grad u, - -v - - - -v - ( - -v ) - · u ( w ) = ( u · w ) u . w, FIN DE L'EPREUVE Page 6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Mines Physique 1 PC 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet, composé de deux parties indépendantes, aborde la propagation de la lumière du point de vue de l'optique géométrique et de l'optique ondulatoire. · Après quelques rappels sur les lois de l'optique géométrique, la première partie établit l'équation d'un rayon lumineux dans un milieu stratifié, typiquement une fibre optique à gradient d'indice ou l'air à proximité d'un sol chaud. Ces raisonnements, courants dans les sujets de ces dernières années, font intervenir les méthodes de calcul liées à l'abscisse curviligne. · La seconde partie propose une approche ondulatoire de la propagation de la lumière. On commence par rappeler des formules du cours, puis l'introduction du vecteur de Riemann-Silberstein conduit à une réécriture des équations de Maxwell dans le vide et à l'obtention de l'équation de d'Alembert. On introduit alors une masse pour le photon. Cela conduit à modifier les équations de Maxwell et l'équation de propagation qui est, dans ce cas, l'équation de Klein-Gordon. Des conditions de jauge sont introduites. Il apparaît qu'une masse non nulle pour le photon entraîne une relation de dispersion non linéaire pour les ondes électromagnétiques dans le vide. Les ondes électromagnétiques dans le vide ne seraient également plus transverses. S'ensuit l'étude de deux expériences visant à déterminer la masse du photon, à l'aide d'un interféromètre de Michelson puis par une mesure de retard entre la réception de deux ondes de longueurs d'onde différentes. Si la fin de la seconde partie, liée à la relativité, est originale, le reste du sujet est en revanche très classique et présente peu de difficultés si les cours sur l'optique géométrique et sur les ondes électromagnétiques sont bien compris. Indications Partie I 5 Utiliser la loi de Descartes pour la réfraction et traduire de proche en proche, que C0 = n(y) cos[(y)] 6 Écrire cos en fonction de dx et ds. Comme dx et ds sont reliés par s 2 dy ds = dx 1 + dx élever au carré et dériver par rapport à x. Partie II - - - 10 Calculer div et rot . - - - - - 11 Montrer que · uem et que . 12 Multiplier k = /c par ~ pour relier E à p . 13 On peut calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting à l'aide des champs en complexe ; en effet, - - - EB hi = 2 µ0 15 Quelle est l'expression de l'amplitude diffractée par une fente infinie selon Oy et de largeur L selon Ox, séparant un milieu d'indice n du vide ? 17 Utiliser ~ 2 2 = ~ 2 k 2 c2 + m 2 c4 pour remonter à l'équation de propagation. 18 À partir des « nouvelles » équations de Maxwell dans le vide, établir l'équation - de propagation pour E . Par comparaison avec l'équation de propagation obtenue - - à la question précédente, en déduire les relations entre A et F et entre V et f . 19 Repartir de l'équation de conservation de la charge. - - - 20 Calculer div et rot . 25 Un photon se déplace à la vitesse de groupe de l'onde. Propagation de la lumière I. Propagation géométrique de la lumière 1 Un milieu est linéaire, homogène, transparent et isotrope si son indice optique est un nombre réel, indépendant de l'onde et des coordonnées d'espace. Dans un tel milieu, La lumière se propage en ligne droite. Rappelons qu'un milieu est : · linéaire si sa matrice de permittivité diélectrique [] et sa matrice de - - perméabilité magnétique [µ] sont indépendantes des champs E et B auxquels le milieu est soumis ; · homogène si ses propriétés sont les mêmes en tout point, alors [](- r , t) - - et [µ]( r , t) sont indépendantes de r ; · transparent s'il n'atténue pas les ondes électromagnétiques lors de leur propagation dans ce milieu. Dans ce cas, [] et [µ] sont réelles ; · isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions de l'espace. Dans ce cas, le milieu ne possède pas de direction privilégiée et dans toute base, et [] = [I] [µ] = µ [I] où [I] est la matrice identité. Un milieu possédant simultanément ces quatre propriétés possède donc un indice optique n réel et uniforme. 2 Les lois de Snell-Descartes sont : · le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence et l'angle de réflexion r est relié à l'angle d'incidence i par i = r ; · le rayon réfracté est dans le plan d'incidence et l'angle de réfraction i2 est relié à l'angle d'incidence i1 par n1 sin i1 = n2 sin i2 , où n1 et n2 sont les indices optiques des milieux 1 et 2 (voir schéma). i1 r n1 n2 i2 Les lois de Snell-Descartes ont été énoncées au xviie siècle. En réalité, ces lois étaient connues des Perses depuis le mathématicien Ibn Sahl, au xe siècle. 3 Dans certains cas, on n'observe pas de rayon réfracté à la traversée de l'interface. Cela peut se produire lorsque n2 < n1 et que le rayon voyage du milieu 1 vers le milieu 2. Dans ce cas, puisque n1 sin i1 = n2 sin i2 , i2 > i1 . Ainsi, si l'on part d'une situation où i1 0 et si l'on fait croître progressivement i1 , on constate que le rayon s'écarte fortement de la normale jusqu'à atteindre /2 pour i1 = lim . Si l'on continue à faire croître i1 , on n'observe plus de rayon réfracté, mais seulement un rayon réfléchi : c'est le phénomène de réflexion totale. L'angle de réfraction limite est n2 sin lim = n1 n2 lim = Arcsin donc n1 4 Écrivons la loi de Snell-Descartes à l'interface entre les couches i et i + 1, ni sin - i = ni+1 sin - i+1 2 2 ni cos i = ni+1 cos i+1 En réitérant ce raisonnement entre les couches i + 1 et i + 2, on constate que ni cos i = ni+1 cos i+1 = ni+2 cos i+2 et de proche en proche, ni cos i = nj cos j Comme l'indice optique décroît lorsque y croît, le rayon s'incline de plus en plus fortement par rapport aux normales aux dioptres successifs. Les angles i diminuent lorsque i augmente, si bien que le rayon a l'allure présentée sur la figure suivante : y n2 2 n1 1 n0 0 x O 5 D'après la question précédente, la quantité C0 = n(y) cos (y) est une constante en tout point de la trajectoire. Mais cos = dx , il vient ds n(y) = C0 ds dx cos = dx/ds se retrouve en raisonnant sur un triangle rectangle élémentaire : ds est l'hypoténuse donc ds dy dx cos = ds dx