Mines Physique 1 PC 2011

Thème de l'épreuve Un peu d'aviation, beaucoup de physique....
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, électronique
Mots clefs aviation, portance, traînée, aile d'avion, bilan de quantité de mouvement, polaire d'une aile, turboréacteur, altimètre, filtre passe-bas, fréquence instantanée, écholocation

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ECOLE DES PONTS PARISTECH SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP) ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2011 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE­EIVP Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. UN PEU D'AVIATION, BEAUCOUP DE PHYSIQUE... Le sujet comporte trois partie independantes. Les vecteurs sont surmontes d'un chapeau s'ils sont unitaires (ebx ) ou d'une fleche dans le cas general (~V ). Pour les applications numeriques on utilisera 3 chiffres significatifs. L'aviation vit le jour a la fin du siecle dernier avec des moyens pratiquement nuls, que ce soit dans le domaine de la theorie, celui de la technique ou encore celui des materiaux. Mais tres vite, des les premiers vols, l'aviation beneficia des resultats d'un grand nombre de chercheurs et connut des progres acceleres dans tous les domaines... I. -- Les premiers avions, quelques connaissances de base Les premiers pionniers de l'aviation (Clement Ader, les freres Wright, Santos-Dumont ) ont effectue des essais avec des gros planeurs a la structure legere mais suffisamment robuste pour supporter sans dommage le poids et les vibrations d'un moteur actionnant une helice. Quelle que soit sa forme, un avion est toujours constitue par un ensemble d'elements correspondant a diverses fonctions : on retiendra principalement les ailes destinees a soutenir 1'appareil et l'organe de propulsion qui lui donne la vitesse necessaire a la sustentation et a la translation. La figure 1 represente un schema elementaire du profil d'une aile d'avion Le segment de droite qui joint le bord d'attaque au bord de fuite est appele corde de profil. L'angle entre ce segment et la direction que suit l'avion est appele incidence. L'air immobile attaque par une aile se deplacant a la vitesse ~V se separe en deux parties : l'une longe l'extrados, l'autre l'intrados. Dans le cas d'un mouvement rectiligne et uniforme de l'aile, on peut se placer dans le referentiel de l'aile et considerer que c'est l'air qui se deplace autour de celle-ci. Un peu d'aviation, beaucoup de physique... F IG . 1 ­ Profil d'une aile d'avion L'etude dynamique d'une aile d'avion montre que celle-ci est soumise a deux forces d'origine aerodynamique : ­ la trainee ~Ft , dirigee en sens inverse de la vitesse ~V . En vol sous incidence nulle ( = 0), cette force doit etre equilibree par la force de traction de l'helice ou des reacteurs ; ­ la portance ~Fp qui equilibre le poids de l'avion. L'air sera suppose incompressible. 1 -- La portance est due au fait que le debit d'air est plus important au voisinage de l'extrados qu'au voisinage de l'intrados. Justifier le fait que cette portance s'oppose a l'effet du poids. Des experiences effectuees notamment en soufflerie, montrent que les modules respectifs Ft et Fp de la trainee et de la portance peuvent se mettre sous la forme : Ft = CT ( ) µV 2 µV 2 S et Fp = CP ( ) S 2 2 La quantite S represente la surface de la projection des ailes sur le plan perpendiculaire a la corde. Les coefficients de trainee CT ( ) et de portance CP ( ) dependent de l'angle d'incidence et µ = 1, 20 kg.m-3 represente la masse volumique de 1'air. On considere un avion de masse m = 1, 80 · 104 kg, en vol sous incidence nulle la projection de ses ailes represente une surface S = 50, 0 m2 . Le moteur de cet avion developpe une puissance P = 2, 70 MW qui lui permet de se deplacer avec une vitesse de module V = 300 km.h-1 . Le champ de gravitation terrestre a pour module g = 9, 80 m.s-2 dans toutes les regions considerees. 2 -- Determiner l'expression du coefficient de portance en vol sous incidence nulle CP (0). Calculer sa valeur numerique. 3 -- Determiner, toujours en vol sous incidence nulle, l'expression de la trainee Ft due aux ailes sachant que la trainee totale de l'avion est due pour les deux tiers aux ailes. En deduire la valeur numerique du coefficient CT (0) associe. On se propose maintenant de calculer les expressions de CT ( ) et CP ( ) dans le cas d'une aile rectangulaire qui se deplace a la vitesse constante ~V = -V ebx . On travaillera dans le referentiel R, suppose galileen, associe au repere (O, ebx , eby , ebz ) lie a l'aile et represente sur la figure 2 ; dans celui-ci l'air semble provenir de l'infini avec la vitesse ~V = V ebx . La largeur de l'aile est notee , sa longueur, etendue selon ebz est notee L, son epaisseur est supposee negligeable. On adoptera les hypotheses simplificatrices suivantes : ­ le fluide est devie de maniere uniforme sur une hauteur h . Apres la deviation, il presente une vitesse uniforme ~V parallele a 1'aile ; ­ on neglige les frottements, c'est-a-dire que la force de contact exercee par l'aile sur l'air est normale a sa surface ; Page 2/6 Physique I, annee 2011 -- filiere PC ­ dans les divers bilans, on utilisera le volume de controle dont les sections d'entree S et de sortie S sont des rectangles de largeur L et de hauteurs respectives h et h . Ces deux sections sont representees en trait pointille sur la figure 2 ; ­ on se place en regime stationnaire. Ce modele est tres simplifie mais il permet de rendre compte des grandeurs etudiees dans ce probleme. Les donnees proposees ne sont cependant pas suffisantes pour utiliser le theoreme de Bernoulli. y S h y z Aile V x O V ` h S F IG . 2 ­ Vue de profil de la modelisation de l'ecoulement 4 -- Determiner le debit massique Dm de fluide devie par l'aile. On pourra faire le calcul en entree de l'aile ou le champ des vitesses est connu. 5 -- En ecrivant la conservation du debit massique entre l'entree et la sortie de l'aile, exprimer V = ~V en fonction de V et . 6 -- En effectuant un bilan de quantite de mouvement, calculer la force ~Fa/e exercee par l'aile sur l'ecoulement. 7 -- On admet que la force ~Fe/a exercee par l'ecoulement sur l'aile est de la forme 2 ~Fe/a = µ LV (Cx ebx +Cy eby ) 2 Deduire de la question 6 les expressions de Cx et Cy en fonction de et = h/. 8 -- On appelle polaire de l'aile la courbe representant Cy en fonction de Cx . Determiner une relation entre Cx , Cy et . En deduire la representation de la polaire de cette aile rectangulaire. Des essais en soufflerie illustrent deux proprietes importantes des ailes en aeronautique : ­ pour des angles petits correspondant a des incidences faibles, le coefficient de portance est une fonction lineaire de ; ­ au dessus d'une certaine incidence critique c , la portance est decroissante et provoque un decrochage aerodynamique. 9 -- Retrouver ces deux proprietes a partir des expressions de Cx et Cy obtenues a la question 7. On determinera en particulier la valeur de c . 10 -- Dans quels domaines d'incidences (proches de c ou petites devant c ) doit-on operer si l'on veut optimiser la portance tout en reduisant la trainee afin que les ailes ne soient pas soumises a une trop forte resistance de l'air ? 11 -- Pour proceder a l'atterrissage l'avion doit perdre de l'altitude. Quels parametres permettent au pilote de controler cette operation ? Justifier votre reponse. FIN DE LA PARTIE I Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Un peu d'aviation, beaucoup de physique... II. -- La propulsion des avions contemporains L'une des prouesses techniques du 20e siecle a ete la mise au point du turbo-reacteur qui permet aux avions d'etre propulses a des vitesses considerables (soniques ou meme supersoniques) ; le turboreacteur est utilise par l'aviation civile (A380, B757) ainsi que par l'aviation militaire (Rafale, F16). Bien qu'il existe plusieurs types de turbo-reacteur, le principe general de ceux-ci est le meme ; ils sont notamment composes de plusieurs parties : ­ une entree d'air (air inlet) ; ­ une zone de compression comprenant une premiere roue, de grande taille appelee soufflante (fan) puis de plusieurs etages de compresseurs axiaux (compressors) ; ­ une chambre de combustion (combustion chamber) ou air et carburant sont melanges en presence d'une flamme permanente dont le role est d'augmenter la temperature des gaz ; ­ une zone de detente des gaz, composee d'une turbine montee sur l'arbre tournant de la zone de compression ; son role est de recuperer une partie du travail des gaz apres la combustion pour faire tourner les roues du compresseur situe a l'avant du turbo-reacteur ; ­ une tuyere d'ejection (exhaust nozzle) qui par sa forme continue la detente et transforme l'energie de pression en energie cinetique avant d'ejecter le flux d'air . L'ensemble du systeme est represente sur la figure 3. Chambre de combustion Dans toute cette partie, on assimile l'air a un gaz parfait diatomique de capacite thermique massique a pression Compresseur constante c p = 1, 00 · 103 J.kg-1 .K-1 et d'exposant adiabatique = 1, 4. Toutes les transformations subies par les gaz sont supposees quasi-statiques et reversibles. Enfin, Tuyère dans toute cette partie la temperature est representee par la lettre quand sa valeur est exprimee en C et par la lettre T quand sa valeur est exprimee en K. Turbine L'air se trouve initialement a la pression atmospherique P0 = 105 Pa et a temperature ambiante = 20 C. Il F IG . 3 ­ Schema de principe d'un turboentre, avec un debit massique Dm = 65 kg.s-1 , dans le reacteur compresseur qui le porte a la pression P1 = 5 · 105 Pa. Une fois dans la chambre de combustion, l'air comprime est melange au carburant, ce melange est alors brule sous pression constante ; cette combustion s'effectue avec un exces d'air suffisant qui permet d'admettre qu'il n'y a pas de modification de la nature et du nombre de moles de gaz (hypothese de conservation). Les gaz se detendent ensuite dans la turbine puis dans la tuyere jusqu'a la pression atmospherique P0 . On notera respectivement T2 et T3 les temperatures en entree et en sortie de la turbine et T4 la temperature en sortie de la tuyere. On fera l'hypothese que chaque section de l'ecoulement est homogene (« hypothese des tranches »). 12 -- Representer les diagrammes pression-volume, puis temperature-entropie de l'ensemble des transformations subies par le gaz lors de son passage dans le turbo-reacteur. 13 -- Determiner la valeur de la temperature T1 de l'air au niveau de la sortie du compresseur ainsi que la puissance Pc absorbee par celui-ci. Pour sa bonne tenue aux basses temperatures, le carburant utilise est a base de kerosene, son pouvoir calorifique moyen est q = 43, 1 MJ.kg-1 . En regime permanent, un systeme de controle permet de fixer la temperature en entree de la turbine a la valeur 2 = 860 C. 14 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la quantite de carburant injectee par seconde en regime permanent. On verifiera que ce debit est bien compatible avec l'hypothese de conservation. La turbine et le compresseur sont mecaniquement relies au meme arbre. On peut donc supposer que la turbine fournit exactement la puissance necessaire au fonctionnement du compresseur. On se place en regime permanent. Page 4/6 Physique I, annee 2011 -- filiere PC 15 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la temperature T3 de l'air a la sortie de la turbine. En deduire la pression P3 correspondante. 16 -- Determiner l'expression et la valeur numerique de la temperature T4 de l'air a la sortie de la tuyere. On note respectivement ve,t et vs,t le module de la vitesse des gaz en entree et en sortie de la tuyere dans le referentiel du turbo-reacteur. On admettra que vs,t ve,t . 17 -- Determiner l'expression de vs,t en fonction de c p , T3 et T4 puis la valeur numerique de la poussee du turbo-reacteur. FIN DE LA PARTIE II III. -- Le guidage des avions, un instrument essentiel : l'altimetre. Le principe general d'un altimetre est tres simple. Il est decrit sur la figure 4. Un oscillateur embarque dans l'avion emet un signal sinusoidal s(t) module en frequence. Ce signal se propage verticalement a la vitesse c = 3, 00 · 108 m.s-1 . Il ne sera pas tenu compte du dephasage du a la reflexion ni egalement de 1'effet Doppler. Une antenne fixee sur l'avion permet a l'altimetre de mesurer son altitude z a partir du temps mis par l'onde radioelectrique pour effectuer l'aller-retour entre le sol et l'avion. La frequence fs (t) du signal s(t) emis par l'oscillateur de l'altimetre varie periodiquement au cours du temps selon le graphe represente sur la figure 5. F IG . 4 ­ Principe de l'altimetre 18 -- A partir du graphe de la figure 5, etablir la loi de variation de la frequence fs (t) sur une periode, en fonction de t, f0 , f et t0 . La quantite fs (t) est en fait la frequence instantanee du signal s(t) emis par l'altimetre. Cela signifie ici que s(t) = A cos( (t)) avec fs (t) = 1 d (t) . 2 dt 19 -- Sachant que s(0) = A, determiner l'expression de s(t) en fonction de A, t, 0 = 2 f0 et 1 = f /(2 f0t0 ). Tracer l'allure du graphe de s(t) sur une periode. On admet que le signal reflechi par le sol puis capte par l'antenne de l'altimetre peut se mettre sous la F IG . 5 ­ Frequence du signal emis par forme r(t) = a × s(t - ) ou le parametre est positif l'avion et homogene a un temps. 20 -- Apres avoir donne la signification physique des parametres a et , determiner l'expression de en fonction de l'altitude z de l'avion et de la vitesse de propagation c de l'onde radioelectrique qu'il emet. Quelle est la valeur numerique de si l'altitude de l'avion est z = 3000 m. Page 5/6 Tournez la page S.V.P. Un peu d'aviation, beaucoup de physique... Le schema bloc decrivant le fonctionnement de l'altimetre est decrit sur la figure 6. On admet que f f0 et t0 . F IG . 6 ­ Schema de principe de l'altimetre 21 -- Montrer que le signal de sortie du multiplieur n(t) peut s'ecrire comme la somme de deux signaux sinusoidaux dont l'un possede une frequence instantanee f1 qui ne depend pas de t et l'autre une frequence instantanee f2 (t) qui varie avec t. On donnera l'expression de ces deux frequences en fonction de , f et t0 dans le cas de f1 et t, , f , t0 et f0 dans le cas de f2 . 22 -- Pour les avions standards on a toujours 100 µ s. Quel type de filtre doit on utiliser et comment calibrer ce dernier pour pouvoir obtenir un signal de sortie u(t) qui permette de determiner facilement la valeur de l'altitude z de l'avion. On justifiera la reponse et on pourra proposer un moyen effectif pour obtenir cette valeur. 23 -- Parmi les filtres dont les schemas sont representes sur la figure 7, quel est celui qui vous parait le plus adapte a l'application d'altimetrie etudiee precedemment ? On justifiera sa reponse en commentant les caracteristiques de chacun d'entre eux. F IG . 7 ­ Differents filtres FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 6/6

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 Mines Physique 1 PC 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été relu par Michel Fruchart (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet, composé de trois parties indépendantes, s'intéresse à la physique de l'aviation. Aucune connaissance en aéronautique n'est cependant requise. · La première partie définit les notions de portance et de traînée d'une aile puis étudie une aile rectangulaire de faible épaisseur. L'essentiel de cette partie de mécanique des fluides consiste à déterminer des expressions pour les coefficients de portance et de traînée en fonction de l'angle d'incidence de l'écoulement sur l'aile. Le point central de cette partie est un bilan de quantité de mouvement permettant de déterminer la force exercée par l'écoulement sur l'aile. · La deuxième partie aborde la description thermodynamique de l'air traversant un turboréacteur. Elle débute par la constitution des diagrammes pressionvolume et température-entropie de l'air en question, ce qui nécessite une analyse préalable complète du fonctionnement du turboréacteur. Une fois ce travail de compréhension effectué, la suite consiste à préciser cette description par le calcul de la température et de la pression de l'air aux différents endroits du turboréacteur. Il s'agit souvent de réaliser un bilan de puissance. Les connaissances nécessaires sont peu nombreuses, mais un certain recul est indispensable pour traiter efficacement cette partie. · La dernière partie étudie le principe d'un altimètre à modulation de fréquence. Une fois de plus, quasiment aucune connaissance spécifique n'est nécessaire, mise à part celle des différents filtres présentés à la dernière question. Il faut alors être capable d'établir rapidement une fonction de transfert et surtout de l'interpréter pour savoir quel type de filtre est réalisé. Cette épreuve est réalisable dans le temps imparti à condition d'aller droit au but. Sa difficulté ne réside pas dans les quelques connaissances mobilisées, ni dans les calculs, qui restent sommaires, mais dans les raisonnements. Il faut prendre le temps, au début de chaque partie (spécialement la deuxième), de comprendre le fonctionnement global du système étudié et de lire en diagonale l'énoncé jusqu'au bout pour savoir où l'on va. Sans cette prise de recul préalable, de nombreuses erreurs se répercutant tout au long de la partie sont à craindre. Indications Partie I 1 Penser à utiliser la relation de Bernoulli sur une ligne de courant. 5 Utiliser le fait que S = S cos . 6 Effectuer le bilan de quantité de mouvement pour un système fermé entre les instants t et t + dt. Le volume de contrôle défini dans l'énoncé sera le volume commun à ces deux instants pour le système considéré. 8 Faire émerger cos 2 et sin 2 et utiliser le fait que la somme de leurs carrés vaut 1. Partie II 12 Il faut supposer que les échanges de chaleur se produisent uniquement lors de la combustion à pression constante dans la chambre de combustion et que les autres transformations sont adiabatiques et réversibles, donc isentropiques. 13 Utiliser la relation de Laplace P1- T = Cte pour une transformation isentropique. Utiliser également la relation (ec + h) = w + q dans cette question et les suivantes. 14 Établir un lien entre le débit massique de carburant multiplié par q et la puissance thermique reçue par le gaz lors du passage de T1 à T2 . 15 Utiliser à nouveau la relation de Laplace. 17 Qu'est devenue la puissance thermique perdue par le gaz à son passage dans la tuyère ? Pour déterminer la poussée, s'inspirer de la question 6. Partie III 19 Intégrer f s (t) pour obtenir (t). Est-il possible de représenter l'allure de s(t) ? 1 21 Se souvenir que cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a - b)). 2 22 Calculer les ordres de grandeurs des fréquences f1 et f2 . 23 Déterminer rapidement les expressions des fonctions de transfert de chaque filtre, puis identifier leur rôle. Un peu d'aviation, beaucoup de physique... I. Les premiers avions, quelques connaissances de base 1 L'air est supposé incompressible ; on peut appliquer la loi de Bernoulli qui s'écrit, avec les notations usuelles : v2 µ + µ g z + P est une constante le long d'une ligne de courant. 2 Considérons deux lignes de courant voisines, tangentes avant l'aile et se séparant, l'une au-dessus de l'aile, l'autre en dessous. En amont de l'aile, pression, vitesse et altitude sont les mêmes sur les deux lignes de courant, donc la constante est la même. En supposant l'épaisseur de l'aile négligeable, on peut donc dire que la grandeur P + µ v 2 /2 est la même sur l'intrados et l'extrados. D'après l'énoncé, le débit de l'air étant plus grand au voisinage de l'extrados qu'au voisinage de l'intrados, la vitesse de l'air juste au-dessus de l'aile est donc plus grande que la vitesse de l'air juste en dessous. Par conséquent, la pression au niveau de l'intrados est supérieure à la pression au niveau de l'extrados. Ainsi, la force résultante est verticale ascendante. La portance s'oppose à l'effet du poids. 2 D'après l'expression de la portance, l'égalité entre portance et poids s'écrit, pour une incidence nulle, µ V2 S m g = CP (0) 2 ce qui donne 2mg = 0,847 S µ V2 CP (0) = 3 Les deux tiers de la puissance développée par le moteur servent à compenser la puissance dissipée par la traînée due aux ailes, ce qui s'écrit 2 Ft V = P 3 2 µ V2 SV = P ou encore CT (0) 2 3 d'où l'on déduit CT (0) = 4P = 0,104 3 V3 µ S 4 Le débit volumique de l'air dévié est S V, donc le débit massique de fluide dévié par l'aile est Dm = µ S V 5 L'expression du débit massique sortant du volume de contrôle est µ S V . La conservation du débit massique entre l'entrée et la sortie de ce volume de contrôle impose Dm = µ S V , qui se traduit par S V = S V . En outre, S = h L et S = h L d'une part, et d'autre part h = h cos . On en déduit que S = S cos et il vient V = V S = V cos S 6 Considérons un système fermé de fluide, constitué par le fluide contenu à l'instant t dans le volume de contrôle, ainsi que d'une tranche de fluide située à l'entrée du volume de contrôle, de sorte que le fluide contenu dans cette tranche soit entré dans le volume de contrôle à l'instant t + dt. Système à t - V Tranche dm Volume de contrôle La masse de cette tranche de fluide est dm = Dm dt et sa quantité de mouvement est - - dm V = Dm dt V . La quantité de mouvement du fluide contenu dans le volume de contrôle est notée - p (t). La quantité de mouvement du système fermé ainsi constitué est, à l'instant t, - - p (t) = - p (t) + D dt V m À l'instant t + dt, la tranche de fluide de masse dm est entrée à l'intérieur du volume de contrôle. Une autre tranche de fluide est en revanche sortie de ce volume : sa masse est également Dm dt d'après la conservation du débit massique ; sa quantité de - mouvement est par conséquent Dm dt V . Système à t + dt Tranche dm Volume de contrôle - V La quantité de mouvement du système fermé à l'instant t + dt est - - p (t + dt) = - p (t + dt) + Dm dt V Comme l'écoulement est stationnaire, - p (t) = - p (t + dt). Ainsi, la variation de la quantité de mouvement du système fermé considéré est - - d- p =- p (t + dt) - - p (t) = Dm dt (V - V ) - La seule force qu'il subit est la force exercée par l'aile sur l'écoulement, F a/e . Le principe fondamental de la dynamique s'écrit ainsi - d- p F a/e = dt L'expression de la force exercée par l'aile sur l'écoulement est par conséquent - - - F a/e = Dm (V - V )