Mines Physique 1 PC 2008

Thème de l'épreuve Quelques oscillations
Principaux outils utilisés mécanique du solide, électrocinétique
Mots clefs oscillations, modes propres, analogie mécanique-électrocinétique, rail, sphère

Corrigé

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT­ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve : 3 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, Telecom SudParis (ex INT), TPE­EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE I -- PC. L'enonce de cette epreuve comporte 4 pages. ­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. ­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. QUELQUES OSCILLATIONS Dans tout ce probleme, les vecteurs sont surmontes d'un chapeau ab s'ils sont unitaires, d'une fleche - a dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulignes : z C. Lorsqu'une bille spherique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en un point, le couplage entre la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce probleme. Une sphere homogene, de centre C, de rayon r et de masse m, est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un rail PP , de masse M, que l'on modelise par une portion de cercle de centre O et de rayon R, dont l'axe de symetrie est vertical. Le moment d'inertie de la sphere par rapport a un axe passant par C est J = 2mr2 /5. Le fixe orthonorme direct Rg = referentiel O, bi, b j, b k ou bi est vertical dirige vers le Figure 1 : Sphere mobile sur un rail fixe bas est suppose galileen (voir Figure 1). On pourra egalement utiliser les vecteurs mob representes sur biles polaires unitaires b r et la Figure 1. Le mouvement de la sphere est repere par deux parametres : l'angle que - fait OC avec bi et l'angle de rotation autour de l'axe horizontal qui porte b k. A chaque instant t, on appelle I le point de contact de la sphere avec le rail. On note A le point du rail situe sur son axe de symetrie. L'acceleration - de la pesanteur est g = gbi. QUELQUES OSCILLATIONS I. -- Rail fixe - La sphere roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos et OC fait un angle o avec bi. Le systeme comprend deux degres de liberte cinematiques, et . 1 -- Ecrire la condition de roulement sans glissement de la sphere sur le rail sous la forme d'une relation lineaire liant r, R, = d /dt et = d /dt. Controler la pertinence de la relation obtenue, d'une part en comparant les signes respectifs de et de , et d'autre part en analysant la situation lorsque r = R. 2 -- Determiner l'expression de l'energie mecanique totale Et du systeme. En deduire l'equation differentielle verifiee par la fonction (t). 3 -- Determiner la periode Tpo des petites oscillations. On considere deux rails circulaires de meme rayon R. Sur chaque rail, on place a l'instant initial une sphere de rayon r, de masse m en des points reperes par le meme angle o (situation deja representee sur la Figure 1). Les spheres sont lachees au meme instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux rails sont de nature differente, de sorte que la premiere sphere roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler. 4 -- En utilisant des arguments energetiques qualitatifs, determiner quelle est la sphere qui arrive la premiere au point le plus bas A. Le resultat est-il modifie si les masses des spheres sont differentes ? 5 -- Etablir une expression integrale du temps mis par la sphere la plus rapide pour atteindre le point A. Comment peut-on, sans calcul supplementaire, obtenir le temps mis par la sphere la plus lente pour atteindre ce point ? Determiner le rapport / . FIN DE LA PARTIE I II. -- Rail suspendu Les points P et P sont attaches en O par des fils inextensibles de masse negligeable, ce qui permet au rail d'osciller autour de l'axe horizontal passant par O. La position du milieu A du rail est reperee par l'angle represente sur la Figure 2. Le centre de masse G du rail se trouve a chaque instant sur la droite OA a une distance de O. On note J = MR2 le moment d'inertie du rail par rapport a son axe de rotation. On appelle respectivement N et T les composantes de la force de reaction du rail sur la sphere au b . La sphere roule sans glispoint I selon b r et Figure 2 : Sphere mobile sur un rail suspendu ser sur le rail, qui est maintenant en forme de Les angles et sont mesures par rapport a la verticale quart de cercle, les grandeurs et sont les - et l'on note OG = memes que celles utilisees dans la partie I. II.A. -- Description du mouvement 6 -- Ecrire la condition de roulement sans glissement reliant , et = d /dt. - de la sphere en C et en deduire l'expression du 7 -- Exprimer dans Rg le moment cinetique 1C -- de la sphere en O. moment cinetique 1O -- du rail en O. 8 -- Exprimer dans Rg le moment cinetique 2O 9 -- Exprimer dans Rg , l'energie cinetique ECS de la sphere, l'energie cinetique ECR du rail et enfin l'energie cinetique ECT de l'ensemble rail-sphere. Page 2/4 Physique I, annee 2008 -- filiere MP 10 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en O a l'ensemble rail-sphere et en deduire une equation differentielle liant les fonctions (t) et (t). 11 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en C a la sphere seule et en deduire l'expression de T en fonction de = d 2 /dt 2 , puis, en utilisant le resultat de la question 6, en fonction de = d 2 /dt 2 et = d 2 /dt 2 . 12 -- Appliquer le theoreme du moment cinetique en O au rail seul et en deduire la relation differentielle A d2 d2 - B = -Mg sin dt 2 dt 2 (1) On exprimera la constante A en fonction de M, m et R et la constante B en fonction de m, r et R 13 -- Deduire des resultats precedents la relation A d2 d2 - B = -mg (R - r) sin dt 2 dt 2 (2) On exprimera la constante A en fonction de m, r et R. Verifier que l'equation (2) est en accord avec le resultat de la question 2. 14 -- Retrouvez les equations (1) et (2) a partir de considerations energetiques. Demontrer que AA > B2 . 15 -- Que traduit l'absence de termes en et dans les equations (1) et (2) ? II.B. -- Modes d'oscillation On considere dans cette sous-partie que les angles et sont l'un et l'autre voisins de zero, ce qui permet de lineariser les equations (1) et (2). On pose D = Mg et D = mg (R - r). On cherche les solutions du systeme linearise sous la forme (t) = Re o e i t i t et (t) = Re o e (3) ou o et o sont deux nombres complexes, i2 = -1. On appelle pulsation propre du systeme tout reel positif qui permet d'obtenir des solutions non nulles du systeme linearise sous la forme (3). 16 -- Determiner les pulsations propres 1 et 2 du systeme (1 > 2 ) en fonction de A, A , B, D et D . On considere dorenavant que les conditions initiales du systeme sont (t = 0) = o et (t = 0) = (t = 0) = (t = 0) = 0 (4) 17 -- Montrer que si o 6= 0, la solution du systeme linearise est une fonction de la forme (t) = [cos (1t) - cos (2t)]. On ne cherchera pas forcement a determiner la constante en fonction des parametres du systeme. Page 3/4 Tournez la page S.V.P. QUELQUES OSCILLATIONS On realise le montage experimental de la Figure 2 avec les parametres physiques suivants r = 1, 27 × 10-2 m, R = 19 × 10-2 m M = 90 × 10-3 kg, m = 67 × 10-3 kg = 17, 7 × 10-2 m, g = 9, 81 m.s-2 On dispose d'un systeme de mesure qui permet d'enregistrer la valeur de l'angle en fonction du temps. Pour des conditions initiales du type (4), avec o suffisamment faible, on obtient l'enregistrement represente sur la Figure 3. Figure 3 : Enregistrement de en radians en fonction de t en secondes 18 -- Determiner a partir de la Figure 3, une valeur approximative des pulsations propres du systeme experimental. Cette estimation est-elle compatible avec les valeurs theoriques ? FIN DE LA PARTIE II III. -- Oscillations electriques Figure 4 : Oscillateur electrique 19 -- On considere le montage electrique de la Figure 4. Trouver les equations differentielles verifiees par les charges q1 (t) et q2 (t) des deux condensateurs. 20 -- Quel est le lien entre ce montage et l'oscillateur mecanique de la partie II. Relier les constantes A, A , B, D et D de la partie II aux caracteristiques des composants du montage de la Figure 4. FIN DE LA PARTIE III FIN DE L'EPREUVE Page 4/4

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 Mines Physique 1 PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Jimmy Mullaert (École Polytechnique) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet, intitulé « Quelques oscillations », aborde comme on peut s'y attendre la physique des oscillations. C'est essentiellement un sujet de mécanique du solide qui s'achève sur une analogie électrocinétique. L'énoncé est court puisqu'il ne comporte que vingt questions, mais le traiter en totalité prend du temps car il exige de nombreux calculs. Notons cependant que l'énoncé incite les candidats à commenter physiquement les résultats obtenus. Il y a en effet de nombreux points à discuter et ces discussions, prises en compte dans le barème, rendent le sujet intéressant. Ces analyses supplémentaires, bien que non obligatoires, sont un atout indéniable dans une copie. Le sujet est composé de trois parties. · La partie I est classique et simple puisqu'il s'agit de retrouver la période des petites oscillations d'une sphère roulant sans glisser sur un rail de forme circulaire et fixe. Les deux dernières questions permettent d'exercer son sens physique. · La partie II, de loin la plus calculatoire, traite de la même problématique, mais cette fois le rail peut tourner librement. La partie II.A permet de vérifier la connaissance des théorèmes généraux de la mécanique du solide (théorèmes du moment cinétique et de la puissance cinétique). La partie II.B n'est en soi pas très difficile et aborde les modes propres d'oscillation. Ceux-ci ne sont pas explicitement au programme de physique, de sorte qu'il faut réussir à faire le lien avec le cours de mathématiques sur les systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants. Cette partie se termine par la seule application numérique du problème. · La partie III, très courte, étudie en deux questions une analogie avec un circuit électrocinétique. Elle est facile et peut être abordée même sans avoir traité ce qui précède. Il faut être capable de s'en rendre compte le jour du concours, ce qui demande de parcourir le sujet jusqu'au bout dès le début de l'épreuve. Malgré sa relative facilité, cette épreuve a pu dérouter certains candidats car l'énoncé ne fournit aucun résultat intermédiaire. Un tel sujet demande une bonne maîtrise des calculs. C'est un très bon problème de révision, de difficulté progressive, de la mécanique au programme de deuxième année. Indications Partie I 2 Prouver que l'énergie mécanique totale est une constante du mouvement. 4 Pour la seconde sphère, commencer par montrer que le glissement sans roulement impose l'absence de frottements. En déduire que dans les deux cas le système est conservatif. En quoi est alors convertie l'énergie potentielle de pesanteur initiale ? 5 Écrire la conservation de l'énergie mécanique entre le point de départ et le point d'arrivée A, puis séparer les variables. Montrer que pour la sphère qui roule, tout se passe comme si elle était soumise à une accélération de la pesanteur effective plus petite que g d'un facteur 5/7. Partie II 7 À partir de cette question, remplacer par son expression en fonction de et . 10 Faire un bilan des actions mécaniques extérieures. 13 Soustraire l'équation (1) à l'équation obtenue à la question 10, afin d'éliminer le terme -Mg sin . 14 Pour retrouver l'équation (1), appliquer le théorème de la puissance cinétique au rail. Écrire ensuite la conservation de l'énergie mécanique du système rail-sphère, dériver l'équation obtenue, montrer que le terme en est nul d'après (1), puis conclure. 16 Un système linéaire sans second membre n'admet de solution non nulle que si le déterminant associé est nul. Montrer que l'équation bicarrée ainsi obtenue admet bien deux solutions réelles positives. La positivité de AA - B2 ne sert pas à montrer que le discriminant est positif. 17 Montrer que, pour chaque mode propre, les coefficients 0 et 0 ne sont pas indépendants. La solution la plus générale étant la superposition des deux modes propres, utiliser pour finir les conditions initiales, en utilisant la notation réelle. 18 Écrire (t) sous forme d'un produit de deux sinus. Partie III 19 Faire attention aux conventions choisies pour les courants et les positions des charges et aux signes qui en découlent. Quelques oscillations I. Rail fixe 1 La sphère S roule sans glisser sur le rail R si la vitesse de glissement est nulle - - vg = - v IS - - v IR = 0 où I S est le point de la sphère (notée S) coïncidant avec I, I R celui du rail - (noté R) coïncidant avec I. Le rail étant fixe, - v IR = 0 . En outre, la formule de Varignon (ou relation fondamentale de la cinématique du solide) appliquée aux points C et I de la sphère, dont le vecteur rotation a pour expression - = b k, donne h i - - - b v IS = - v b + ( b k) (r rb) = (R - r) + r C + CI = (R - r) On en déduit la condition de roulement sans glissement (R - r) + r = 0 La formule ci-dessus montre que et sont de signes opposés, ce qui est logique car lorsque augmente, la sphère tourne dans le sens conventionnel associé à -b k, autrement dit diminue. Lorsque r = R, on obtient = 0. Or, la condition r = R signifie que le rail épouse la forme de la sphère (d'où une infinité de points de contact). La sphère peut alors uniquement tourner autour de l'axe fixe (C, b k) : on a une liaison pivot. Dans ce cas, une rotation se fait obligatoirement avec glissement. La sphère se doit donc de rester immobile, soit = 0. Faisons une remarque physique de plus. Si R , le rail devient asymptotiquement une droite et on trouve que = 0, ce qui est logique puisque le point O est situé à l'infini. Dans cette question et dans la suite, on se place uniquement dans le référentiel du laboratoire Rg , supposé galiléen. On ne le précise donc pas systématiquement. Notons de plus une imprécision de l'énoncé qui confond la notion de référentiel et celle de repère. 2 L'énergie mécanique totale du système, notée Et , est la somme des énergies cinétique et potentielle de pesanteur. On peut ne considérer que la sphère, puisque le rail est immobile et a une énergie cinétique nulle et une énergie potentielle de pesanteur constante. L'énergie cinétique se calcule à l'aide du théorème de König (on note avec une étoile les grandeurs dans le référentiel barycentrique) Ec = Avec J = 1 - 1 1 2 2 2 2 mv C + Ec = m(R - r) + J 2 2 2 2 2 mr et r = -(R - r) (d'après 5 1 2 2 Ec = m(R - r) 1 + 2 la question précédente), on trouve aussi 2 7 = m(R - r)2 2 5 10 L'énergie potentielle de pesanteur vaut, à une constante additive sans importance près, Ep = -mgxC où xC est la coordonnée selon bi du centre de la sphère. Le signe moins provient de l'orientation vers le bas de l'axe des x. Ainsi, toujours à une constante près, Ep = -mg(R - r) cos Finalement, l'énergie mécanique totale a pour expression Et = Ec + Ep = 7 m(R - r)2 2 - mg(R - r) cos 10 Les actions de contact ne travaillent pas car le roulement s'effectue sans glissement, si bien que l'énergie mécanique totale est constante, soit dEt 7 2 = 0 = m(R - r) + mg(R - r) sin dt 5 Or, n'est pas identiquement nul, donc le terme entre crochets est forcément nul. Après simplification de l'équation ainsi obtenue, on obtient + 5 g sin = 0 7R-r 3 Si l'angle reste « petit », un développement limité à l'ordre un du sinus donne r 5 g 2 + po = 0 avec po = 7R-r Cette équation d'oscillateur harmonique a pour période r 2 7R-r Tpo = = 2 po 5 g Remarquons que cette période est celle d'un pendule simple, de longueur R - r, mais soumis à une accélérationpde la pesanteur effective geff = 5g/7 plus petite que g puisque dans ce cas Tpo = 2 (R - r)/geff . 4 Pour les deux situations considérées dans l'énoncé, le mouvement est conservatif et on ne peut par conséquent pas invoquer la dissipation pour expliquer qu'un des mouvements est freiné. En effet, pour la première sphère, le roulement se fait avec frottements solides, mais sans glissement et l'énergie mécanique totale est conservée (comme à la question 2). Pour la seconde sphère, il n'y a aucun frottement, car une force de frottement parallèle à b aurait un moment en C non nul (contrairement au poids et à la réaction normale du rail). Le théorème du moment cinétique barycentrique impliquerait que le moment cinétique change au cours du mouvement, d'où une vitesse angulaire non constamment nulle. Ceci serait en contradiction avec l'hypothèse que la seconde sphère glisse sans rouler. L'absence de rotation de la seconde sphère montre qu'on peut étudier son mouvement grâce aux outils de la mécanique du point. La conservation de l'énergie mécanique Et = Ec + Ep , dans les deux cas, montre que l'énergie potentielle est convertie en énergie cinétique, entre le point de départ et le point d'arrivée A. Or, l'énergie cinétique est composée de deux termes d'après