A 2006 PHYS. 1 PC
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage de la calculette est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : EN STIM, INT, TPE-EIVP, Cycle
international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page
de la copie :
PHYSIQUE I -PC
L'én0ncé de cette épreuve comporte 1 1 pages.
0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il est amené
à prendre.
0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions
ultérieures, même s'il n'a
pas été démontré. '
o Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la
copie.
Notations : vecteur ---> A (gras) ; norme du vecteur V _) V (italique) ;
vecteur unitaire --> à.
PROPAGATION D'ONDES DANS LES FLUIDES
Ce problème est dédié à la propagation d'ondes acoustiques dans les fluides. La
première
partie porte sur la propagation d'ondes dans des tuyaux à section circulaires
dits élastiques,
c'est--à--dire tels que le rayon varie avec la pression. Le modèle qui peut
alors s'en déduire
est bien adapté à l'étude du système artériel car il permet de mettre en
évidence un lien entre
certains dysfonctionnements des artères et certaines pathologies cardiaques. La
seconde
partie porte sur la propagation d'ondes à la surface de l'eau (cas dans lequel
entre, par
exemple, la propagation d'un raz de marée ou « tsunami >>).
Bien que certains résultats demandés présentent une grande similarité, les deux
parties de
l'épreuve peuvent se traiter séparément.
PARTIE I -- Ondes acoustiques dans un tuyau élastique
On considère un tuyau de section circulaire et d'axe Ox rempli d'un fluide
(figure 1). Au
repos, le fluide a une masse volumique po et une pression intérieure Po
identique à la
pression extérieure (cette dernière sera supposée constante tout au long de
cette partie). A
l'équilibre, on suppose que le champ des vitesses est nul et que la section du
tuyau est
uniforme et notée A0.
On s'intéresse à la propagation de perturbations acoustiques de petites
amplitudes suivant
l'axe Ox, ce qui permet de se limiter à une théorie linéaire. Les champs de
vitesse, de
pression, et de masse volumique s'expriment alors sous la forme :
u(x,t) =u(x,t) ûX
P(x,t) : PO + p(x,t)
p(x,t) : Po + p1(x,t)
où il, est le vecteur unitaire selon la
direction Ox. u(x,t) est appelé la vitesse
acoustique, et p(x,t) est la surpression
. _ , par rapport à Pa. Le fluide étant
Figure 1 . tuyau de rayon ao et de sect10n A0 . supposé parfait, on considère
que ces
grandeurs sont uniformes sur une
section du tuyau et que la
compressibilité isentropique du
_1 ôp
XS _ P(ÔPJS
Dans ce problème, XS sera nommée compressibilité, et sera supposée constante.
fluide XS est donnée par la relation :
I.1 : Ondes acoustiques dans un tuyau rigide
On se place tout d'abord dans le cas où la section du tuyau ne dépend pas de la
surpression.
D 1 -- Ecrire l'équation d'Euler linéarisée et en déduire une première équation
différentielle
entre la vitesse acoustique u(x,tÿ et la surpression p(x,zÿ.
Cl 2 -- Ecrire l'équation générale de conservation de la masse et montrer
qu'elle se réduit ici,
en se limitant toujours au 1er ordre, à l'équation différentielle:
ôpl(x,t) + ôu(x,t) __
ôt ôx
D 3 --- Montrer enfin que la surpression p(x, t) et la vitesse u(x,t) obéissent
à une équation de
type d'Alembert. En déduire l'expression de la célérité c de l'onde sonore, que
l'on
exprimera en fonction de XS et de po.
Po 0
Calculer la valeur de c pour l'eau de mer : po = 1050 kg.m'3 et XS = 5,2.10'10
Pa"1
D 4 -- Soit un tuyau dans lequel se propage une onde acoustique progressive
monochromatique de longueur d'onde ?» dans le sens des x croissants. La
célérité de l'onde
. . o , ' x ,
acoustique est c. La surpress1on assocoee est notee pe (x, t) = f (t -- --). On
suppose qu au
0
point x=O, une certaine partie de l'onde est réémise en direction des x
négatifs : la
' ' r \ I r ' ' x '
surpressmn assoc1ee a cette onde reflech1e est notee p, (x, t) : g(t + --) . On
suppose auss1
c
qu'au point x=0 on a p, = r pe avec re [--1 ;+1]. Exprimer alors la pression
totale pour les
valeurs de x négatives et montrer qu'il apparaît des ventres de pression pour
des valeurs de x
que l'on caractérisera. Expliciter ces valeurs dans les cas particuliers r = +1
et r = --1.
1.2 : onde {acoustique dans un tuyau élastique
Sous l'effet d'une augmentation de la pression interne, le rayon du tuyau, et
donc son aire A,
peuvent varier d'une manière qui ne dépend que de la pression et que l'on
supposera
isentropique. On peut alors décrire ce phénomène par un paramètre DS, appelé
distensibilité
(isentropique) du tuyau qui s'exprime comme :
Ds=-Ær--AJ
A ap S
Dans ce problème, pour un tuyau donné, la distensibilité sera supposée
constante.
On suppose aussi que cette variation de l'aire du tuyau est suffisamment faible
pour
conserver les hypothèses de linéarité de la partie précédente. De plus, on
suppose qu'en tout
point la dérivée temporelle du rayon est beaucoup plus petite que la vitesse
acoustique
u(x,t) calculée dans le cas d'un tuyau rigide. L'aire du tuyau à l'équilibre
sera noté A0.
D 5 -- Montrer que l'équation de conservation de la masse permet d'écrire la
relation :
a » Ô '
5x--(P(x,t)u(x,t)A(xaî))+a(PÛC:ÛA(LÜ)" 0
qui, sous nos hypothèses, peut s'écrire :
au(x,t> + ô(p(xJ) A(x,v) : O
A
Po 0 Ôx Ôt
En déduire la relation:
@ (x,t) ôu(x,t
(Xs +Ds)'ÿ"à"t--+--a--)=O
D 6 --Montrer que la surpression p(x,t) et la vitesse acoustique u(x,t)
obéissent à une
équation d'onde de type d'Alembert avec une célérité c que l'on exprimera en
fonction de
XS» DS et po. En comparant avec le résultat de la question 3, discuter des
effets de la
distensibilité d'un tuyau sur la propagation acoustique. En particulier, ce
modèle permet-il
d'aborder la propagation dans les fluides incompressibles '?
Cl 7 -- On cherche à exprimer la distensibilité du tuyau en fonction de ses
caractéristiques
mécaniques et géométriques. On suppose que le tuyau est un cylindre creux dont
la paroi a
une épaisseur h petite devant le rayon intérieur ao (figure 2).
On admettra que la distensibilité DS d'un tel tuyau est liée au module d'Young
E du
matériau composant le tuyau par la relation :
a
D=----°--
S Eh
Montrer que, pour des fluides incompressibles,
on retrouve la formule, dite de Moens--
Korteweg: '
2 Eh
C:
aoPo
Cl 8 -- Pour un tube en acier, le module d'Young
vaut E = 1011 Pa, alors que pour un tuyau en
_ _ _ _ caoutchouc, E vaut typiquement 106 Pa.
F1gure 2 : tuyau de sectlon 01rcula1re de . Calculer les distensibilités pour
un tube en acier
9 ' '
rayon ao et d epalsseur h- et un autre en caoutchouc, tous deux de rayon
1 cm et d'épaisseur 2 mm. '
En déduire la célérité des ondes dans les deux
cas quand le tube est rempli d'eau de mer et comparer avec la célérité obtenue
à la
question 3. Quel est, dans chaque cas, le facteur prédominant (compressibilité
ou
distensibilité) '? Dans quel cas la formule de Moens--Korteweg est--elle valide
?
Cl 9 Montrer que, pour une onde progressive dans le sens des x croissants, on
peut définir
une grandeur Y telle que le débit volumique J(x,t) soit relié à la surpression
p(x,t) par la
relation :
J(t--£) : Y p(t----x--) .
c 0
Donner une première expression de Y en fonction de po, XS» 6 et A0. Montrer que
l'on en
déduit l'expression suivante :
Y= 40.
Poc
Dans ce problème, Y sera appelée admittance acoustique (Noter qu'on définit ici
une
admittance acoustique comme une expression reliant le débit ----et non la
vitesse-- à la
surpression).
Calculer cette admittance acoustique pour les deux exemples de la question 8.
I.3 : Analyse quantitative d'un changement de tuyau
On étudie maintenant l'influence d'une modification, en x=O, des propriétés du
tuyau.
Celle--ci peut être un changement de la section ou de l'épaisseur du tuyau ou
un changement
dans ses propriétés mécaniques (module d'Young). Ces modifications peuvent
conduire à
un changement dans les valeurs de l'admittance acoustique Y et de la célérité c.
On supposera que les modifications de propriétés étudiées dans ce problème
permettront
d'admettre qu'à la traversée d'un raccordement il y a continuité de la
surpression et du débit
volumique:
lim p(x) : lim p(x)
x---)O' x-->O+
lim J (x) : lim J (x)
x-->O' x--> +
Cl 10 --- Comment expliquer qu'il n'y ait pas continuité de la force [)./1 à la
traversée de la
discontinuité ?
Pour simplifier les notations, on considérera que le tuyau est constitué de
deux tubes : le
tube 1 pour les x négatifs, de célérité cl et d'admittance acoustique Y 1, et
le tube 2 pour les x
positifs, de célérité c2 et d'admittance acoustique Y 2 .
Cl 11 -- Une onde progressive harmonique se propage dans le sens des x
croissants dans le
. . , , x A
tube 1. La surpress1on assoc1ee est notee pe (x, t) = f (t -- --). En x=O vont
appara1tre une
01
onde réfléchie p, (x, t) = g(t +_3_c_) et une onde transmise pt (x, t) = h(t
----£].
61 Cz
Exprimer, en fonction de f et des admittances Y , et Y 2, les fonction g et h.
Donner
l'expression du coefficient de réflexion r = _g_
f
A quelle condition sur Y 1 et Y 2 n'y a--t--il pas d'onde réfléchie '?
x=0
D 12 ---- Rappeler l'expression du vecteur densité surfacique de puissance
acoustique en
fonction de la surpression p et de la vitesse u. En déduire l'expression de la
puissance? à
travers un tuyau en fonction de la surpression et de l'admittance.
On note 95,-- et% les puissances mesurées au voisinage de l'origine et
associées aux ondes
incidente et réfléchie respectivement.
. . , . . 95 .
Exprimer le coefficoent de reflex1on en pu15sance R : ; en foncüon de Y 1 et Y
2.
i
En prenant les valeurs des admittances acoustiques trouvées à la question 9,
calculer R. Au
vu de ce résultat, expliquez ce qui se passe en pratique lorsque l'on raccorde
un tuyau
d'arrosage (en caoutchouc) à un tuyau rigide (tuyau en cuivre, ou raccords «
rapides » en
plastique rigide).
D 13 -- On considère le cas d'un branchement
multiple (figure 3). Dans le cas le plus général,
le tube 1, de célérité 01 et d'admittance
acoustique Y ,, est relié au tube 2, de célérité 02
et d'admittance acoustique Y 2, et au tube 3 de
célérité 03 et d'admittance acoustique Y 3. On
recherche alors l'expression de la surpression
réfléchie :
pr (x, t) = g(t' + Â]
C1
et celles des surpressions transmises :
Figure 3: bifurcation
On se place dans un cas simple où les tubes 2 et 3 sont identiques (même
section, même
célérité): de plus, on admettra qu'ils ont même débit volumique. Déterminer
alors "la
surpression réfléchie et les surpressions transmises dans chaque tuyau en
fonction de l'onde
incidente, des célérités (cl et cz) et des admittances (Y , et Y 2).
pt,k(xat) : hk{t "j'--) k EUR {2,3}.
ck
Que doivent vérifier ces grandeurs pour qu'il n'y ait aucune onde réfléchie ?
I.4 : Application à la circulation sanguine
Dans un modèle très simplifié, on peut considérer que les vaisseaux sanguins
entrent dans le
modèle étudié dans la section précédente (1.3), et plus particulièrement les
artères. On
considérera dans ce problème une artère particulière : l'aorte. Elle est reliée
d'un coté au
coeur, que l'on considérera comme une source de pression, et de l'autre coté au
réseau
artériel périphérique.
L'aorte est correctement modélisée par un tuyau élastique de section circulaire
analogue à
celui étudié dans la partie 12 (rayon aa=lcm, épaisseur h=2 mm) et on
considérera que son
module d'Young E vaut typiquement 106 Pa. Le sang sera simplement modélisé
comme un
fluide parfait ayant les même propriétés que l'eau de mer.
Le modèle proposé ici est un cas extrêmement simplifié du système sanguin : en
effet, il ne
traite pas de la circulation sanguine. Dans le présent problème, le coeur n'est
vu que comme
source de pression. En réalité, sa fonction première est d'éjecter à peu près
toutes les
secondes un volume de sang de l'ordre du décilitre avec une vitesse de l'ordre
de 1 m.s".
Cependant, même en ignorant cet aspect essentiel du système circulatoire
sanguin, l'analyse
des ondes acoustiques dans les artères montre qu'il peut exister des réflexions
parasites
liées à certaines pathologies. Ces réflexions parasites vont alors créer des
surpressions au
niveau du coeur: le muscle cardiaque aura alors un effort supplémentaire à
fournir pour
s'affranchir de ces surpressions, ce qui est à l'origine de certaines maladies
telles que
l'hypertrophie cardiaque.
D 14 -- En supposant que la surpression acoustique engendrée par le coeur est
de 5.103 Pa,
calculez l'accroissement relatif du rayon de l'artère.
D 15 ---- Une application importante en médecine est celle de la bifurcation
iliaque où l'aorte
se sépare en deux artères iliaques plus petites. Pour simplifier, on considère
que les deux
artères iliaques sont identiques, de même section Ailiaque, de même célérité
c,-1...que : dans ces
deux artères iliaques, le débit sera supposé identique. De même, on note
A...... et came les
mêmes grandeurs pour l'aorte. La bifurcation est située à l'origine (x=O).
En utilisant les résultats de la question 13, montrer que le coefficient de
réflexion
. 1_ M
r = _g_ s'écr1t : r = ------T1 avec 11 = ----
f x=0 1+ Tl Aaorte ciliaque
iliaque caorte
Commenter le résultat et montrer comment il se peut que les paramètres des
artères iliaques
et de l'aorte (rayon, épaisseur) permettent d'avoir une valeur du paramètre n
la plus proche
de l'unité possible (la nature est bien faite).
L'artériosclérose est une pathologie du système vasculaire très répandue. A la
suite d'une
dégénérescence du tissu artériel apparaît une calcification de la paroi
artérielle, que l'on
appellera plaque: à cette étape du processus, le rayon de l'artère est
inchangé. Cette
modification peut dans un second temps évoluer vers la sténose : la plaque
s'épaissit à
l'intérieur duconduit, réduisant alors son rayon.
Cl 16 -- On considère dans cette question une artère idéale (et donc infinie)
constituée de
deux portions : artère saine pour les x négatifs, et artère avec plaques pour
les x positifs.
Dans cette question, on supposera que la géométrie de la partie de l'artère
atteinte
d'artériosclérose est inchangée, seul son module d'Young s'accroît pour
atteindre 108 Pa.
Le rayon de l'artère (tant pour les x positifs que pour les x négatifs) est de
lcm.
Calculer la célérité de l'onde acoustique pour les deux portions de l'artère.
Calculer, pour
une surpression de 5.103 Pa, la variation de rayon de l'artère avec plaques :
commenter le
résultat. En utilisant les résultats de la question 11, calculer la portion
d'onde qui sera
réfléchie vers les x négatifs. En utilisant les résultats de la question 4,
tracer l'allure de la
pression et l'allure du rayon de l'artère pour les x négatifs pour une onde
harmonique de
fréquence FS Hz.
Cl 17 -- On considère maintenant, pour les x positifs, une sténose due à une
plaque épaisse :
la partie de l'artère correspondant aux x positifs a un rayon réduit de moitié
et on considère
que l'artère sténosée a toujours un module d'Young égal à 108 Pa. Calculer la
célérité de
l'onde acoustique pour les deux portions de l'artère. En utilisant les
résultats de la question
11, calculer la portion d'onde qui sera réfléchie vers les x négatifs. En
utilisant les résultats
de la question 4, tracer l'allure de la pression et l'allure du rayon de
l'artère pour les x
négatifs pour une fréquence FS Hz.
D 18 -- Les pics de pression provoqués par une plaque sont à l'origine d'une
autre
pathologie : l'anévrisme. Sous les effets de ces pics, le tissu artériel perd
presque totalement
son élasticité. L'artère a alors un rayon beaucoup plus grand et voit aussi son
module
d'Young s'accroître sévèrement. Etudier le cas où, pour les x positifs, le
rayon de l'artère a
doublé et a un module d'Young égal à 109 Pa.
FIN DE LA PREMIERE PARTIE
PARTIE II-- Ondes de grande longueur d'onde à la surface de l'eau
De manière surprenante, le formalisme précédent s'applique aussi aux ondes de
surface de
grande longueur d'onde à la surface libre de l'eau d'un canal sous l'effet du
champ de
pesanteur.
SOit un canal placé dans un repère galiléen tel que l'axe Oz définisse la
verticale. Le champ
de pesanteur g est défini selon Oz et on prendra dans cette partie g=10 m.s'2 .
Le canal est supposé tout d'abord
idéal (dimension infinie selon
l'axe Ox). Soit Aa sa section
droite à l'équilibre et b sa largeur
(selon Oy). La profondeur à
l'équilibre est h et on a bien
évidemment AO = bh.
On s'intéresse à une perturbation
de la surface ë(x,t) (mesurée
suivant l'axe 02) que l'on
supposera indépendante de y. La
vitesse du fluide est supposée
telle que sa composante selon Oz
est négligeable vis à vis de sa
composante selon Ox. On posera
Figure 4 : Canal « idéal » rempli d'un fluide incompressible donc :
où se propage une onde acoustique en surface.
u = u(x,t).û,.
Dans toute cette partie, le fluide sera supposé parfait, incompressible, de
masse volumique
po invariable et l'on ne fera donc plus la distinction entre p et po.
Cl 19 --A partir de l'équation d'Euler, justifier que la pression au sein du
fluide varie suivant
l'axe Oz de la même manière qu'en hydrostatique.
En déduire que si la surface est perturbée de ë(x,t), la surpression (par
rapport à la
distribution d'équilibre) est uniforme àla cote x et vaut p g ë(x,t) .
Comme dans la partie 1.2, on définit la distensibilité (isentropique) DS par la
relation
D. = _1_ (524)
A 61° 5
DS=--I_' ,
pgh
Montrer que l'on a ici la relation
Commentez les cas limites h --> 0 et h --> oc.
Cl 20 -- Montrer que l'équation de conservation de la masse permet, moyennant
certaines
approximations, d'écrire au premier ordre l'expression
DS ôp(xJ) au(xJ) =0
+
Ôt Ôx
Montrer que la célérité des ondes c s'exprime comme :
c=J;;5
De même, comme à la question 9, on définit l'admittance caractéristique qui
relie la
surpression et le débit pour une onde progressive par : '
J(f--%l=wt----ël
Montrer qu'elle peut s'exprimer en fonction de b, h, p et g. Retrouver alors la
relation:
.. A0
p c
Y
D 21 --- On pourrait s'inquiéter de la cohérence de nos hypothèses. L'existence
d'une
distensibilité suppose bien évidemment l'existence d'une composante de la
vitesse selon Oz,
composante que nous avons négligée jusqu'ici. On va donc dans cette question
poser les
hypothèses permettant de considérer que ce déplacement vertical a un caractère
négligeable.
Pour cela, montrer que pour une onde progressive se propageant suivant Ox, la
relation
entre l'amplitude EUR et la vitesse acoustique u(x,t) établie précédemment
s'écrit:
&(x,t) : Ëu(x,t)
C
Pour une onde sinusoïdale de fréquence f, et de longueur d'onde À, montrer que
la vitesse
correspondante ôF,/ôt est négligeable devant u(x,t) si k << 7\.. Ce modèle grossier va être appliqué à l'étude de phénomène géophysique comme l'évolution d'un régime de vague en profondeur variable ou au passage d'un détroit, ou bien l'évolution d'un raz de marée (tsunami) sur l'Océan. Cl 22 --On autorise maintenant la section du canal à varier en largeur et en profondeur suffisamment lentement pour que l'on puisse ignorer l'existence d'ondes réfléchies. On admettra la conservation du flux d'énergie. Montrer que l'amplitude Z de l'onde varie en fonction de la profondeur h et de la largeur b suivant la relation de proportionnalité (que l'on appellera ici loi de Green) : 1 Il bîh4 Zoc Cl 23 ---- Le tremblement de Terre de Sumatra du 26 décembre 2004 avait son épicentre situé sur l'Océan Indien : le tsunami qui en a résulté fut l'un des plus violents connus. Sur la côte, à Banda Aceh, l'amplitude a dépassé les 30 m. A l'aide de la loi de Green établie à la question 22, calculer l'amplitude pour un fond de 10 m en supposant que l'amplitude au milieu de l'Océan Indien était de 3 m en un point où la profondeur est de 4000m. Le résultat est--il réaliste ? Est--il effectivement modélisable par l'approche proposée ? En reprenant les résultats de la question 20, on va montrer que le modèle proposé est compatible avec les mesures de vitesse reprises dans le tableau 1. Profondeur de l'Océan en m Longueur d'onde en km 4000 713 213 2000 504 151 5° ... Tableau I : vitesse d'un tsunami et longueur d'onde correspondante en fonction de la bathymétrîe Tracer la longueur d'onde du tsunami en fonction de sa vitesse : montrer que la loi vérifiée par la longueur d'onde est linéaire, excepté pour certaines valeurs de la profondeur. Pouvez-- vous donner des raisons pour laquelle le modèle étudié ne s'applique plus ? Les mesures ont montré qu'il a fallu environ 100 minutes pour que le tsunami, parti de Sumatra, atteigne le Sri Lanka situé à 2000 km. Commentez cette observation à partir des informations du tableau I. ' CI 24 -- Le modèle étudié ici n'est donc valide que pour des profondeurs suffisamment grandes. On admettra qu'un autre modèle permettant une description plus correcte des vagues est décrit par un potentiel des vitesses
