Mines Physique 1 PC 2004

Thème de l'épreuve Oscillations mécaniques de moments magnétiques
Principaux outils utilisés moments magnétiques, mécanique du solide, lois de Coulomb du frottement solide
Mots clefs méthode perturbative, équilibre

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I ---- Filière PC L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 6 pages. Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : Les vecteurs sont notés en gras : A. Norme de A :A. OSCILLATIONS MÉCANIQUES DE MOMENTS MAGNÉTIQUES L'épreuve est composée de plusieurs parties largement indépendantes. La partie I est proche du cours. La longueur de l'énoncé ne devrait pas effrayer les candidats. Les objets dans l'espace seront repérés dans la base cartésienne de vecteurs unitaires (e e c,), ou dans la base sphérique locale, de vecteurs unitaires (e,, ee , e ). x' )" Dans tout le problème, on conviendra de nommer « champ magnétique >> le champ noté généralement B et qui est, en toute rigueur, le champ dit d'induction magnétique. 1 Sur la notion de moment magnétique Le circuit orienté fermé et filiforme représenté ci- contre est tout entier situé dans le plan XOY. La normale orientée au circuit est portée par eZ, vecteur unitaire de l'axe OZ. On se place dans l'approximation des régimes quasi--stationnaires, de sorte qu'il est possible de définir l'intensité algébrique, notée i, du courant circulant dans le fil dans le sens convenu. Soit P le point courant du fil ; on note OP= p et dP= dp, dP étant un déplacement élémentaire sur le fil. Le pAdp 2 . moment magnétique du circuit est M = i ? (C) D 1 -- Rappeler l'unité du moment magnétique M du circuit. Comment se transforme l'expression de M lorsque la distribution de courant est décrite par une densité volumique de courant j(P) à l'intérieur d'un volume T ? D 2 -- Tout point Q de l'espace est repéré par ses coordonnées sphériques (r, 9, (p) de pôle O. Soit un moment magnétique M placé en O, colinéaire à OZ et de même sens que el. Ce moment peut être associé à un circuit circulaire situé dans le plan XOY. Vérifier, par analyse des symétries, que le champ magnétique B créé en Q par le moment M est situé dans le plan (e,, ee ) D 3 -- Une expression du potentiel vecteur A produit au point Q par le moment M est A=--'£°--iÿ£. On - 4717 PQ (C) convient que le potentiel scalaire V est nul. Le couple (A,V) ainsi déterminé est dit vérifier la condition de jauge de Lorentz. Rappeler le contenu et l'utilité de cette condition. En modélisant le moment magnétique comme celui qui est produit par une spire circulaire de rayon et parcourue par un courant bien choisi et en utilisant un développement limité de 1/PQ __ & M A e 471: r2 Ü4 -- Comment le champ B(Q) se déduit--il, en principe, du vecteur A(Q) ? On admettra 3 M.r r-- 2M dans la suite le résultat du calcul :B(Q)=-Ë%--£---)--S--î--. Rappeler l'expression de r- l'énergie potentielle d'un circuit filiforme indéformable parcouru par un courant constant ] et traversé par le flux magnétique @ dû à un_champ magnétique permanent. On place le dipôle magnétique M en un point 0, où le champ magnétique permanent dû à des sources extérieures au dipôle est B(O). Montrer'que l'énergie potentielle associée aux forces de Laplace peut s'écrire E ,, : --M.B(O). !" au premier ordre en a/r montrer que A(Q) . On rappelle que eZ A e, : eq,. D 5 -- Le dipôle magnétique est considéré comme un solide en rotation autour de O, caracté- risée par le vecteur rotation instantanée Q(t) ; la variation dM de M pendant dt est donc dM : thA M. Exprimer la variation de E ,, et en déduire l'expression du moment en 0 des actions magnétiques subies par le dipôle : F = M A B. On rappelle la relation vectorielle a.(bA c)= (CA a).b. Il Mouvement sur support Circulaire d'un disque magnétisé Dans toute la suite du problème on supposera valide l'expression F= MA B, même si B(O) est lentement variable. Pour obtenir un moment magnétique indépendant des conditions qui lui sont imposées on peut utiliser une petite aiguille aimantée (boussole). C'est ce type de moment magnétique que l'on considère dans les applications qui suivent. On se propose d'étudier le dispositif représenté ci-après. Ce dernier est disposé dans une zone de l'espace où règne un champ de pesanteur uniforme g : gex et un champ B : Bev uniforme et situé dans le plan de la figure. Le référentiel du laboratoire est supposé galiléen. " y Le grand cercle, constitué de matériau isolant, est fixe ; son rayon est noté R. Le petit disque, homogène, de centre (géométrique et de masse à la fois) G et de . . . 1 rayon r, possede une.masse m et un moment d'1nert1e J =-2--mr2 perpendiculaire au plan du schéma et passant par G. Le disque porte un moment magnétique M. Le frottement entre le cercle et le disque obéit aux lois de Coulomb ; le coefficient de frottement entre le disque et le cercle est noté f Le schéma ci-contre décrit la configuration initiale du dispositif, l'énergie cinétique du disque est nulle. Le champ magnétique est établi instantanément à l'instant initial t=0 et l'on étudie le mouvement du disque, en posant 9: (ex, OG) et w=--(e,,M). par rapport à un axe II-1- Mouvement en l'absence de frottement dF On suppose dans cette partie que f= 0. On note pour les fonctions dérivables F- -- d t' Cl 6 -- Rappeler la définition du référentiel barycentrique R* du disque ; énoncer le théorème du moment cinétique dans R* (on notera 6 * le moment cinétique barycentrique). Cl 7 ---- Établir, en utilisant le théorème rappelé à la question 6, l'équation différentielle non linéaire du second ordre vérifiée par ça. Retrouver cette équation en utilisant le théorème de la puissance cinétique. Cl 8 --Admettant, éventuellement, que la solution (p(t) est périodique, exprimer la période . . . MB , . . . d'osc1llat1on en fonction de (0% = ---- ; le resultat fa1t 1nterven1r ----£---- : 5,24. ] 0 sin(rp) D 9 -- Représenter graphiquement l'allure} de la trajectoire de phase : (p en fonction de ça. Cl 10 -- L'abscisse de G varie-t-elle au cours du mouVement ? Supposant que le contact entre le disque et le cylindre est assuré en permanence, conclure sur la position du point G pendant le mouvement. » II--2 Mouvement en présence de frottement On suppose, dans la suite de cette partie du problème, que f n'est pas nul. D 11-- Le disque roule sans glisser sur le cercle. Écrire la condition cinématique de roule-- ment sans glissement, liantR, r, (p et 6. ' Cl 12 --- Exprimer, en fonction des données m, g, R, r, B et de la variable 9, l'énergie poten- tielle E,, du disque, en adoptant pour sa valeur à l'instant initial E;,"" =--mg(R-- r). La réponse sera mise sous la forme E ,, =--MBO[COS(Û)+ asin(a9)] et l'on donnera les expres-- sions respectives de BO (en fonction de m, g, R, r et M), a (en fonction de B et de BO) et a (en fonction de R et r). Cas où a=l (R=2r) D 13 --- Représenter sommairement et sur la même figure les courbes d'énergie potentielle E (9) [? MBO réduite pour 9EUR [--7t,7r] et, successivement, a =1 et a > 1. Déterminer, en fonction de a, les positions d'équilibre du disque et leurs stabilités respectives. Considérer le cas limite B ---> oo. E] 14 -- Exprimer, à l'équilibre stable, les composantes normale et tangentielle de la réaction exercée par le cercle sur le disque en fonction de m, g et a. Quelle est la valeur minimale def nécessaire pour que l'équilibre soit possible ? D 15 ---- Montrer, en utilisant le théorème de Kônig et la condition de roulement sans glisse- ment, que l'énergie cinétique du disque dans la position courante peut s'exprimer par d9 E. =----J(-- dz ..., 2 y: donner J] en fonction de m et de r (ou, si l'on préfère, en fonction seu- lement de J : --l--er). 2 CI 16 -- Justifier la conservation de l'énergie du disque. Décrire comment l'on peut détermi- ner graphiquement l'intervalle de 9 accessible au disque. 2 D 17-- Établir l'expression de %--Î-- en fonction de g, r 9 eta. Exprimer, en fonction de r, g, 1'2 a et de la variable 9, les composantes normale (RN) et tangentielle ( RT) de la réaction du cercle sur le disque. . R 9 D 18-- La figure ci-- --contre représente a "(9 ): flRN ------(--6)Iet a,(9)=..., pour a=l et mg mg f= 0,6 ; on vérifie au passage que 05 (0): 0,8 et a,(0)= %. Quelle est la signification du premier point d'intersection de ces deux courbes ? À quoi correspond le point d' intersection ' de a ,,(9) avec l'axe des abscisses ? Quelle est la valeur de l'abscisse correspondante? Commenter ces deux courbes. 0 [1.5 1 EUR 2 2.5_ 3 111 LA BOUSSOLE DE CROQUETTE Deux aiguilles aimantées, [A1] et [A2] de moments magnétiques respectifs M1 et M2 sont placées à la distance invariable d l'une de l'autre. Elles sont horizontales et mobiles sans frottement dans un même plan horizontal autour d'axes verticaux passant par leurs centres de masse respectifs. Les moments d'inertie des aiguilles par rapport à leur axe de rotation sont notés J] et 12. L'ensemble baigne dans un champ magnétique uniforme et constant BO. Les positions des deux aiguilles sont repérées par les angles 91 et 92 avec leur position d'équilibre stable dans BO. L'ensemble des deux aiguilles constitue un système de deux oscillateurs couplés régi par le système différentiel, que l'on ne demande pas d'établir : 2 ]] Î1Ël : --M,BO sin(t9l )-- % Mât/12 [cos(9l )sin(92)+ 23in(91 )cos(92 )] d2 a, . u, M,M2 . . "' 12 (1 t2-- : --M2BO sm(92)-- Z; d' [cos(62)31n(91)+ 231n(62)c0s(91 )] III --1 Cas des petites oscillations, en présence de frottement [] 19 -- Indiquer les éléments de départ pour l'établissement du système [ l]. Relever les symétries de ce système. Linéariser [l] pour les petites oscillations. Les pulsations propres du système linéarisé sont celles pour lesquelles une variation sinusoïdale à la même pulsa-- tion co de 61 et 62 est possible. Exprimer les pulsations propres lorsque M] : M2, J] = 12 et le champ magnétique créé par M2 au point O, a le même module que B0 quand 92 = 0 (on pourra, si besoin était, se reporter à la formule donnée à la question 4). On notera les deux pulsations propres &)+ et w_ (@+ > co_). D 20 -- Dans le référentiel, galiléen, du laboratoire, l'aiguille [A2] est maintenant animée d'un mouvement de rotation uniforme imposé par un moteur. On pose 92 : Qt. L'aiguille [A1] est ainsi placée dans un champ magnétique uniforme et permanent et dans un champ magnétique tournant. Hélas pour notre propos, le module de ce dernier n'est pas indépendant du temps. lmaginer un dispositif permettant d'obtenir un champ tournant, sinuso'1'dal de pul- sation [2 et de module donné constant B,. On utilisera sans doute des paires de Helmholtz'. III--2 Portrait de phase, en l'absence de frottement Dans cette section, on néglige tout frottement. On souhaite comprendre la structure du por-- trait de phase de l'oscillateur constitué par l'aiguille aimantée [Al] placée dans les champs B, permanent et B] tournant. Pour cela on procède par étapes. Cl 21 -- Les champs B, et B(, sont tous les deux nuls. Quelle est dans ce cas la nature de la trajectoire de phase [9= f(6)] ? D 22 -- Seul le champ B, est nul (BO # O). Le système est équi-- valent à un pendule simple. Son portrait de phase a l'allure ci-- contre (les valeurs numériques en abscisse et en ordonnée n'ont pas grande importance). À l'intérieur de la séparatrice se trouve un îlot de trajectoires oscillantes que l'on appelle une résonance. Calculer la largeur de la résonance (extension de 9) en fonction de M B() et J. Exprimer cette largeur en fonction de la pulsation propre des petites oscillations d'un oscillateur unique soumis au champ statique BO. D 23 -- Seul le champ BO est nul (B, #0). Quelle est dans ce cas l'allure du portrait de phase '? Un raisonnement simple permet de la déduire de la figure donnée à la question 22. 1, Une paire de Helmholtz est constituée de deux bobines plates identiques circulaires et coaxiales, parcourues dans le même sens par des courants égaux et séparées d'une distance égale à leur rayon. Dans une région voisine du centre du dispositif, le champ B est quasi uniforme, dirigé suivant l'axe commun aux deux bobines et de sens donné par les règles usuelles. C] 24 ---- Le portrait de phase comprend donc deux résonances décalées de .(2 le long de l'axe _ - , ,M _ des ordonnées et de largeurs respectives 4w0 : 4 MJB" et 460' = 4 --Jfi' On admet que sr les deux résonances ne se chevauchent pas elles n'ont pas d'influence l'une sur l'autre; autrement, le système est susceptible d'adopter un comportement chaotique. On note S le rapport de la somme des demi-largeurs des deux résonances à la distance séparant leurs cen-- tres. Exprimer S en fonction de J, .M, B... B! et Q. Pour quelles valeurs de S a--t--on recouvre- ment partiel des résonances '? De quelle manière peut--on agir sur le dispositif pour faire croître S ? Cl 25 -- Revenons à présent sur la trajectoire de phase de la question 21, B() : B! = 0. Nous nous intéressons ici aux modifications de cette trajectoire de phase lorsque les champs BO et B, « faibles » sont appliqués. On exprime cette faiblesse par les nouvelles notations BO --> EBO et B, ---> £B,. La méthode de perturbations consiste à écrire l'équation différen-- tielle du mouvement sous la forme [2] : Ô=--s MJB" sin9--£MJ-B-'-sin(B--Qt) [2] et à en chercher une solution 6(t) sous forme d'une série entière en 8 : a... : 90(t)+£91(t)+8292(t) + ..... On note 60(t)= wr+rp la solution de [2] à l'ordre zéro. Établir et résoudre l'équation diffé- rentielle vérifiée par 61(t) en tenant compte de l'expression de 90(t) et en ne retenant que les termes du premier ordre en 8 dans l'équation [2]. On conviendra que 9, (O) = O. Le spectre de pulsations de 9(t) s'est enrichi d'une nouvelle pulsation (O', à déterminer. D 26 ---- L'équation différentielle vérifiée par 62(t) en tenant compte des expressions de 90(t) et de 81 (t) et en ne retenant que les termes du second ordre en 8 dans l'équation [2] fait apparaître les nouvelles pulsations a) + a) , oe'+ co' et la) i m' . Tant qu'aucune pulsation non nulle n'apparaît dans le développement, l'intégration se poursuit paisiblement... et le spectre de 9(t)se complique. Si au contraire une pulsation nulle apparaît, un terme constant apparaît d2 @ dt2 reste pas petit. La méthode est alors inadaptée. Pour quelle valeur de w, exprimée en fonc- dans l'expression de . Par intégration, 6(t) possède alors un terme variant en t2, qui ne tion de Q, ce phénomène se présente-t--il dès l'ordre deux du développement en 8 ? - a) I r r ' ° ' \ - E] 27 -- On nomme nombre de rotation le rapport0' : ----/ (a) a ete determine a la question a) 25). Quelle propriété mathématique doit présenter O' pour que le phénomène d'accrochage en fréquence ne puisse pas se produire, à quelque ordre que ce soit ? FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 1 PC 2004 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Tailleur (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte trois parties que l'on peut traiter de manière tout à fait indépendante. Il fait intervenir des notions de magnétostatique ­ principalement sur les moments magnétiques ­ et de mécanique (mécanique du solide et frottement solide). La première partie est très proche du cours. Elle passe en revue les connaissances sur les moments magnétiques que tout candidat doit avoir en se présentant aux concours. Exception faite de la question 3, qui est un peu calculatoire, cette partie ne présente pas de difficulté majeure. La deuxième partie, divisée en deux sous-parties, étudie le mouvement d'un disque possédant un moment magnétique dans un champ magnétique extérieur constant. On néglige dans un premier temps les frottements, et il s'agit d'appliquer les théorèmes de base de la mécanique, ainsi que de se familiariser avec les notations du sujet. Cette partie devrait permettre de bien se représenter les choses, pour pouvoir aborder la partie avec frottements en comprenant ce qui se passe physiquement. Dans un deuxième temps, le disque roule à l'intérieur d'un cercle plus grand, et le problème devient plus calculatoire. La présence de frottements permet de vérifier que le candidat connaît les lois de Coulomb du frottement solide. Dans la troisième partie, on étudie l'interaction entre deux aiguilles aimantées, que l'on modélise par une aiguille dans un champ tournant. Si cette partie continue de faire appel à des connaissances de mécanique classique, elle nécessite également de comprendre un diagramme de phase, de savoir linéariser un système d'équations différentielles et utiliser la théorie des perturbations. Elle est donc un peu plus « riche » que les précédentes. Ce sujet est assez long, les notations choisies par l'énoncé ne sont pas forcément très claires et plusieurs erreurs semblent s'être glissées dans le sujet, ce qui le rend parfois difficile à comprendre. Les infortunés candidats de 2004 ont dû passer deux fois la première épreuve de physique des Mines (en filière PC) : suite à un vol (ou une perte) de 150 copies, le secrétariat du Concours Commun Mines-Ponts a pris ses responsabilités et organisé un nouvel écrit. Pour la petite histoire, il était initialement prévu que tous les candidats repassent l'épreuve à Paris ­ seule une mobilisation instantanée et organisée des enseignants a permis d'assurer que la deuxième session se déroule dans chaque académie. Les copies issues du premier écrit n'ayant pas été corrigées, c'est l'énoncé de la deuxième session que nous vous présentons. Le lecteur curieux de connaître le premier énoncé pourra néanmoins se reporter au tome PSI Physique et Chimie 2004, car la première moitié de ce sujet était identique dans les filières PC et PSI ­ comme c'est souvent le cas au concours Mines-Ponts. L'énoncé complet est en outre disponible sur le site www.H-K.fr . Indications I. Sur la notion de moment magnétique 1 Lorsque l'on passe d'une distribution linéique de courant à une distribution volu- mique, on remplace i d par - d . - 3 Question un peu calculatoire. En suivant l'énoncé, calculer A dans le cas d'une spire circulaire de rayon a (où l'intégrale est alors directement calculable) et de courant i = M/( a2 ). Notons une première erreur dans l'énoncé : - e - e =- e sin z r 4 Penser à modéliser le moment magnétique par une spire pour retrouver le flux qui la traverse. II. Mouvement sur support circulaire d'un disque magnétisé 7 Attention, est orienté en sens indirect. Deuxième erreur de l'énoncé : le point O n'est pas défini, il faut le prendre au centre du grand cercle. 8 Pour montrer que le potentiel est périodique, on peut faire l'analogie avec un point matériel dans un potentiel sinusoïdal. Pour calculer la période, utiliser d/dt pour obtenir une expression de dt. 11 Attention, le disque se déplace donc la condition de roulement sans glissement n'est pas R = r ! 12 Utiliser la condition de roulement sans glissement pour passer de à . 13 « B tend vers l'infini » est une limite mathématique, il faut penser à son sens physique : le terme qui ne dépend pas de B, ie le poids, est négligeable. 17 Il y a une erreur dans l'énoncé : on a bien sûr besoin de la masse m pour les expressions des réactions. 18 Encore une erreur : il faut prendre f = 0, 8 et non f = 0, 6. De plus, lorsque t > n , il n'y a plus roulement sans glissement. III. La boussole de Croquette 19 Si est sinusoïdal, de pulsation , alors = - 2 . L'énoncé donne une indication sur le module du champ crée par M2 au point O1 , et le système [1] donne le couple que ce champ exerce sur le moment M1 . On peut relier ces deux indications en calculant le module du couple (qui fait intervenir le module du champ). 22 Quand on cherche l'extension d'un mouvement, on raisonne le plus souvent énergétiquement : on cherche à maximiser l'extension à énergie fixée. 23 La méthode « simple » attendue consiste à se placer dans le référentiel tournant. Cependant, le retour au référentiel initial ne donne pas le portrait de phase de (, ) mais de (, - t) et le résultat repris à la question 24 par l'énoncé semble douteux. 25 Développer les sinus en séparant les termes en fonction de leur puissance en . I. Sur la notion de moment magnétique 1 Comme on peut le lire dans la définition de l'énoncé, un moment magnétique est le produit d'un courant par une surface. Son unité est donc A . m2 Pour tenir compte d'une distribution volumique de courant, on remplace i d- - par d . Le moment magnétique s'écrit alors Z 1 - - M= - d 2 2 Considérons un moment magnétique M placé en O. Le champ qu'il crée ne dépend que de son module et de son orientation, mais pas de son origine physique. C'est pourquoi on peut considérer que M est le moment magnétique associé à une spire contenue dans le plan (xOy), de centre O, parcourue par un courant i et de surface S de telle manière que M = i S. On voit alors que tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan d'antisymétrie du courant i ; c'est entre autres le cas du plan (- er , - e ) - qui contient donc B (Q). On rappelle que : - · Le champ E est contenu dans tout plan de symétrie et orthogonal à tout plan d'antisymétrie de la distribution de charges qui le génère. - · Le champ B est contenu dans tout plan d'antisymétrie et orthogonal à tout plan de symétrie de la distribution de courants qui le génère. - - -- - - - 3 La relation B = rot A reste valable pour A = A + grad , quelle que soit la fonction . Pour fixer l'unicité du choix de potentiel vecteur, on doit donc imposer une condition supplémentaire appelée choix de jauge. Cela peut se faire via la jauge de · Coulomb : · Lorenz : - div A = 0 - 1 V div A + 2 =0 c t Attention, il ne faut pas confondre, comme le fait l'énoncé, le physicien hollandais H. A. Lorentz, qui vécut de 1853 à 1928 et le physicien danois L. Lorenz, qui vécut de 1829 à 1891 et dont la Jauge de Lorenz (sans « t » !) porte le nom. Développons 1/PQ. Calculons tout d'abord d'où enfin -2 - - PQ = (OQ - OP)2 = (- r -- )2 2- - 2 = r 1 - er · + o r r 1 - PQ = r 1 - - er · +o r r 1 1 1- - = 1 + er · + o PQ r r r - Déterminons A grâce à la formule de l'énoncé. On a - I - µ0 dP A = i 4 (C) PQ I µ0 d- 1 - = i 1+ - er · 4 r (C) r d- =0 (C) r I - µ0 donc A = i d- (- er · - ) 4 r2 (C) - Assimilons le moment M à celui créé par une spire de rayon a parcourue par un courant i. Dans le cas d'une spire, M = i S et on doit donc avoir M i= a2 Le problème étant invariant par rotation, on peut considérer que le point Q est dans le plan (xOz). Posons (- ex , - ) = . On a alors - e ·- = sin - e ·- = a sin cos I Or, r x - d = a (- sin - ex + cos - ey ) d De plus, On peut donc écrire Z 2 - µ0 M a d (- sin - ex + cos - ey ) a sin cos A = 4 r2 a2 =0 Lorsqu'on développe le produit dans l'intégrande, le terme en sin cos = sin 2/2 ne contribue pas, car son intégrale entre 0 et 2 est nulle. En outre, le terme en cos2 = (cos 2 + 1)/2 donne un terme en cos 2 qui sera nul une fois intégré et il ne reste donc que le terme 1/2, qui donne sin a2 - ey une fois intégré. Ainsi, - µ0 M - A = sin ey 4 2 r2 - - - Or, ez er = e sin . De plus, puisque l'on a supposé que Q est dans le plan (xOz), - - e = ey . Par conséquent, - µ0 - A = M ez - er 4 r2 Finalement, - - µ0 M - er A = 2 4 r