Mines Physique 1 PC 2004

Thème de l'épreuve Oscillations mécaniques de moments magnétiques
Principaux outils utilisés moments magnétiques, mécanique du solide, lois de Coulomb du frottement solide
Mots clefs méthode perturbative, équilibre

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
Physique I ---- Filière PC

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, 
comporte 6 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale 
sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à 
prendre.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent. Le barème tiendra
compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

Notations : Les vecteurs sont notés en gras : A. Norme de A :A.

OSCILLATIONS MÉCANIQUES
DE MOMENTS MAGNÉTIQUES

L'épreuve est composée de plusieurs parties largement indépendantes. La partie 
I est proche

du cours. La longueur de l'énoncé ne devrait pas effrayer les candidats.
Les objets dans l'espace seront repérés dans la base cartésienne de vecteurs 
unitaires

(e e c,), ou dans la base sphérique locale, de vecteurs unitaires (e,, ee , e ).

x' )"
Dans tout le problème, on conviendra de nommer « champ magnétique >> le champ 
noté généralement
B et qui est, en toute rigueur, le champ dit d'induction magnétique.

1 Sur la notion de moment magnétique

Le circuit orienté fermé et filiforme représenté ci-

contre est tout entier situé dans le plan XOY. La
normale orientée au circuit est portée par eZ, vecteur

unitaire de l'axe OZ. On se place dans l'approximation
des régimes quasi--stationnaires, de sorte qu'il est
possible de définir l'intensité algébrique, notée i, du
courant circulant dans le fil dans le sens convenu. Soit
P le point courant du fil ; on note OP= p et dP= dp,

dP étant un déplacement élémentaire sur le fil. Le
pAdp
2 .

moment magnétique du circuit est M = i ?
(C)

D 1 -- Rappeler l'unité du moment magnétique M du circuit. Comment se transforme
l'expression de M lorsque la distribution de courant est décrite par une 
densité volumique de

courant j(P) à l'intérieur d'un volume T ?

D 2 -- Tout point Q de l'espace est repéré par ses
coordonnées sphériques (r, 9, (p) de pôle O. Soit un

moment magnétique M placé en O, colinéaire à OZ et
de même sens que el. Ce moment peut être associé à un

circuit circulaire situé dans le plan XOY. Vérifier, par
analyse des symétries, que le champ magnétique B créé

en Q par le moment M est situé dans le plan (e,, ee )

D 3 -- Une expression du potentiel vecteur A produit au

point Q par le moment M est A=--'£°--iÿ£. On
- 4717 PQ

(C)
convient que le potentiel scalaire V est nul. Le couple (A,V) ainsi déterminé 
est dit vérifier

la condition de jauge de Lorentz. Rappeler le contenu et l'utilité de cette 
condition. En
modélisant le moment magnétique comme celui qui est produit par une spire 
circulaire de

rayon et parcourue par un courant bien choisi et en utilisant un développement 
limité de 1/PQ
__ & M A e

471: r2

Ü4 -- Comment le champ B(Q) se déduit--il, en principe, du vecteur A(Q) ? On 
admettra

3 M.r r-- 2M
dans la suite le résultat du calcul :B(Q)=-Ë%--£---)--S--î--. Rappeler 
l'expression de
r-
l'énergie potentielle d'un circuit filiforme indéformable parcouru par un 
courant constant ] et

traversé par le flux magnétique @ dû à un_champ magnétique permanent. On place 
le

dipôle magnétique M en un point 0, où le champ magnétique permanent dû à des 
sources

extérieures au dipôle est B(O). Montrer'que l'énergie potentielle associée aux 
forces de
Laplace peut s'écrire E ,, : --M.B(O).

!"

au premier ordre en a/r montrer que A(Q) . On rappelle que eZ A e, : eq,.

D 5 -- Le dipôle magnétique est considéré comme un solide en rotation autour de 
O, caracté-
risée par le vecteur rotation instantanée Q(t) ; la variation dM de M pendant 
dt est donc

dM : thA M. Exprimer la variation de E ,, et en déduire l'expression du moment 
en 0

des actions magnétiques subies par le dipôle : F = M A B. On rappelle la 
relation vectorielle
a.(bA c)= (CA a).b.

Il Mouvement sur support Circulaire d'un disque magnétisé

Dans toute la suite du problème on supposera valide l'expression F= MA B, même 
si B(O) est
lentement variable. Pour obtenir un moment magnétique indépendant des 
conditions qui lui sont
imposées on peut utiliser une petite aiguille aimantée (boussole). C'est ce 
type de moment magnétique
que l'on considère dans les applications qui suivent.

On se propose d'étudier le dispositif représenté ci-après. Ce dernier est 
disposé dans une
zone de l'espace où règne un champ de pesanteur uniforme g : gex et un champ B 
: Bev

uniforme et situé dans le plan de la figure. Le référentiel du laboratoire est 
supposé galiléen.

" y Le grand cercle, constitué de matériau isolant, est fixe ; son rayon

est noté R. Le petit disque, homogène, de centre (géométrique et de masse à la 
fois) G et de
. . . 1
rayon r, possede une.masse m et un moment d'1nert1e J =-2--mr2
perpendiculaire au plan du schéma et passant par G. Le disque porte un moment 
magnétique
M. Le frottement entre le cercle et le disque obéit aux lois de Coulomb ; le 
coefficient de
frottement entre le disque et le cercle est noté f Le schéma ci-contre décrit 
la configuration
initiale du dispositif, l'énergie cinétique du disque est nulle. Le champ 
magnétique est établi

instantanément à l'instant initial t=0 et l'on étudie le mouvement du disque, 
en posant
9: (ex, OG) et w=--(e,,M).

par rapport à un axe

II-1- Mouvement en l'absence de frottement

dF

On suppose dans cette partie que f= 0. On note pour les fonctions dérivables F- 
-- d t'

Cl 6 -- Rappeler la définition du référentiel barycentrique R* du disque ; 
énoncer le théorème
du moment cinétique dans R* (on notera 6 * le moment cinétique barycentrique).

Cl 7 ---- Établir, en utilisant le théorème rappelé à la question 6, l'équation 
différentielle non
linéaire du second ordre vérifiée par ça. Retrouver cette équation en utilisant 
le théorème de

la puissance cinétique.

Cl 8 --Admettant, éventuellement, que la solution (p(t) est périodique, 
exprimer la période

. . . MB , . . .
d'osc1llat1on en fonction de (0% = ---- ; le resultat fa1t 1nterven1r ----£---- 
: 5,24.

] 0 sin(rp)
D 9 -- Représenter graphiquement l'allure} de la trajectoire de phase : (p en 
fonction de ça.

Cl 10 -- L'abscisse de G varie-t-elle au cours du mouVement ? Supposant que le 
contact entre
le disque et le cylindre est assuré en permanence, conclure sur la position du 
point G pendant

le mouvement.

» II--2 Mouvement en présence de frottement

On suppose, dans la suite de cette partie du problème, que f n'est pas nul.

D 11-- Le disque roule sans glisser sur le cercle. Écrire la condition 
cinématique de roule--
ment sans glissement, liantR, r, (p et 6. '

Cl 12 --- Exprimer, en fonction des données m, g, R, r, B et de la variable 9, 
l'énergie poten-
tielle E,, du disque, en adoptant pour sa valeur à l'instant initial E;,"" 
=--mg(R-- r). La

réponse sera mise sous la forme E ,, =--MBO[COS(Û)+ asin(a9)] et l'on donnera 
les expres--
sions respectives de BO (en fonction de m, g, R, r et M), a (en fonction de B 
et de BO) et a
(en fonction de R et r).

Cas où a=l (R=2r)

D 13 --- Représenter sommairement et sur la même figure les courbes d'énergie 
potentielle
E (9)
[?

MBO

réduite pour 9EUR [--7t,7r] et, successivement, a =1 et a > 1. Déterminer, en 
fonction

de a, les positions d'équilibre du disque et leurs stabilités respectives. 
Considérer le cas
limite B ---> oo.

E] 14 -- Exprimer, à l'équilibre stable, les composantes normale et 
tangentielle de la réaction
exercée par le cercle sur le disque en fonction de m, g et a. Quelle est la 
valeur minimale def
nécessaire pour que l'équilibre soit possible ?

D 15 ---- Montrer, en utilisant le théorème de Kônig et la condition de 
roulement sans glisse-
ment, que l'énergie cinétique du disque dans la position courante peut 
s'exprimer par

d9

E. =----J(--
dz

..., 2 y: donner J] en fonction de m et de r (ou, si l'on préfère, en fonction 
seu-

lement de J : --l--er).

2

CI 16 -- Justifier la conservation de l'énergie du disque. Décrire comment l'on 
peut détermi-
ner graphiquement l'intervalle de 9 accessible au disque.

2
D 17-- Établir l'expression de %--Î-- en fonction de g, r 9 eta. Exprimer, en 
fonction de r, g,
1'2

a et de la variable 9, les composantes normale (RN) et tangentielle ( RT) de la 
réaction du

cercle sur le disque.

. R 9

D 18-- La figure ci-- --contre représente a "(9 ): flRN ------(--6)Iet 
a,(9)=..., pour a=l et
mg mg

f= 0,6 ; on vérifie au passage que 05 (0): 0,8 et a,(0)= %. Quelle est la 
signification du

premier point d'intersection de ces deux courbes ? À quoi correspond le point 
d' intersection
' de a ,,(9) avec l'axe des abscisses ?

Quelle est la valeur de l'abscisse
correspondante? Commenter ces
deux courbes.

0 [1.5 1 EUR 2 2.5_ 3 111 LA BOUSSOLE DE
CROQUETTE

Deux aiguilles aimantées, [A1] et [A2] de moments
magnétiques respectifs M1 et M2 sont placées à la

distance invariable d l'une de l'autre. Elles sont
horizontales et mobiles sans frottement dans un
même plan horizontal autour d'axes verticaux

passant par leurs centres de masse respectifs. Les
moments d'inertie des aiguilles par rapport à leur axe de rotation sont notés 
J] et 12.

L'ensemble baigne dans un champ magnétique uniforme et constant BO. Les 
positions des
deux aiguilles sont repérées par les angles 91 et 92 avec leur position 
d'équilibre stable dans

BO. L'ensemble des deux aiguilles constitue un système de deux oscillateurs 
couplés régi par
le système différentiel, que l'on ne demande pas d'établir :

2
]] Î1Ël : --M,BO sin(t9l )-- % Mât/12 [cos(9l )sin(92)+ 23in(91 )cos(92 )]
d2 a, . u, M,M2 . . "'
12 (1 t2-- : --M2BO sm(92)-- Z; d' [cos(62)31n(91)+ 231n(62)c0s(91 )]

III --1 Cas des petites oscillations, en présence de frottement

[] 19 -- Indiquer les éléments de départ pour l'établissement du système [ l]. 
Relever les
symétries de ce système. Linéariser [l] pour les petites oscillations. Les 
pulsations propres
du système linéarisé sont celles pour lesquelles une variation sinusoïdale à la 
même pulsa--
tion co de 61 et 62 est possible. Exprimer les pulsations propres lorsque M] : 
M2, J] = 12 et

le champ magnétique créé par M2 au point O, a le même module que B0 quand 92 = 
0 (on

pourra, si besoin était, se reporter à la formule donnée à la question 4). On 
notera les deux
pulsations propres &)+ et w_ (@+ > co_).

D 20 -- Dans le référentiel, galiléen, du laboratoire, l'aiguille [A2] est 
maintenant animée
d'un mouvement de rotation uniforme imposé par un moteur. On pose 92 : Qt. 
L'aiguille

[A1] est ainsi placée dans un champ magnétique uniforme et permanent et dans un 
champ
magnétique tournant. Hélas pour notre propos, le module de ce dernier n'est pas 
indépendant
du temps. lmaginer un dispositif permettant d'obtenir un champ tournant, 
sinuso'1'dal de pul-
sation [2 et de module donné constant B,. On utilisera sans doute des paires de 
Helmholtz'.

III--2 Portrait de phase, en l'absence de frottement

Dans cette section, on néglige tout frottement. On souhaite comprendre la 
structure du por--
trait de phase de l'oscillateur constitué par l'aiguille aimantée [Al] placée 
dans les champs B,
permanent et B] tournant. Pour cela on procède par étapes.

Cl 21 -- Les champs B, et B(, sont tous les deux nuls. Quelle est dans ce cas 
la nature de la
trajectoire de phase [9= f(6)] ?

D 22 -- Seul le champ B, est nul (BO # O). Le système est équi--

valent à un pendule simple. Son portrait de phase a l'allure ci--
contre (les valeurs numériques en abscisse et en ordonnée n'ont
pas grande importance). À l'intérieur de la séparatrice se trouve
un îlot de trajectoires oscillantes que l'on appelle une résonance.
Calculer la largeur de la résonance (extension de 9) en fonction
de M B() et J. Exprimer cette largeur en fonction de la pulsation
propre des petites oscillations d'un oscillateur unique soumis au

champ statique BO.

D 23 -- Seul le champ BO est nul (B, #0). Quelle est dans ce cas l'allure du 
portrait de
phase '? Un raisonnement simple permet de la déduire de la figure donnée à la 
question 22.

1, Une paire de Helmholtz est constituée de deux bobines plates identiques 
circulaires et coaxiales,
parcourues dans le même sens par des courants égaux et séparées d'une distance 
égale à leur rayon.
Dans une région voisine du centre du dispositif, le champ B est quasi uniforme, 
dirigé suivant l'axe
commun aux deux bobines et de sens donné par les règles usuelles.

C] 24 ---- Le portrait de phase comprend donc deux résonances décalées de .(2 
le long de l'axe

_ - , ,M _
des ordonnées et de largeurs respectives 4w0 : 4 MJB" et 460' = 4 --Jfi' On 
admet que sr

les deux résonances ne se chevauchent pas elles n'ont pas d'influence l'une sur 
l'autre;
autrement, le système est susceptible d'adopter un comportement chaotique. On 
note S le
rapport de la somme des demi-largeurs des deux résonances à la distance 
séparant leurs cen--
tres. Exprimer S en fonction de J, .M, B... B! et Q. Pour quelles valeurs de S 
a--t--on recouvre-

ment partiel des résonances '? De quelle manière peut--on agir sur le 
dispositif pour faire
croître S ?

Cl 25 -- Revenons à présent sur la trajectoire de phase de la question 21, B() 
: B! = 0. Nous

nous intéressons ici aux modifications de cette trajectoire de phase lorsque 
les champs BO et

B, « faibles » sont appliqués. On exprime cette faiblesse par les nouvelles 
notations
BO --> EBO et B, ---> £B,. La méthode de perturbations consiste à écrire 
l'équation différen--

tielle du mouvement sous la forme [2] :

Ô=--s MJB" sin9--£MJ-B-'-sin(B--Qt) [2]

et à en chercher une solution 6(t) sous forme d'une série entière en 8 :
a... : 90(t)+£91(t)+8292(t) + .....

On note 60(t)= wr+rp la solution de [2] à l'ordre zéro. Établir et résoudre 
l'équation diffé-
rentielle vérifiée par 61(t) en tenant compte de l'expression de 90(t) et en ne 
retenant que les
termes du premier ordre en 8 dans l'équation [2]. On conviendra que 9, (O) = O. 
Le spectre de
pulsations de 9(t) s'est enrichi d'une nouvelle pulsation (O', à déterminer.

D 26 ---- L'équation différentielle vérifiée par 62(t) en tenant compte des 
expressions de
90(t) et de 81 (t) et en ne retenant que les termes du second ordre en 8 dans 
l'équation [2] fait

apparaître les nouvelles pulsations a) + a) , oe'+ co' et la) i m' . Tant 
qu'aucune pulsation non

nulle n'apparaît dans le développement, l'intégration se poursuit 
paisiblement... et le spectre
de 9(t)se complique. Si au contraire une pulsation nulle apparaît, un terme 
constant apparaît

d2 @
dt2
reste pas petit. La méthode est alors inadaptée. Pour quelle valeur de w, 
exprimée en fonc-

dans l'expression de . Par intégration, 6(t) possède alors un terme variant en 
t2, qui ne

tion de Q, ce phénomène se présente-t--il dès l'ordre deux du développement en 
8 ?

- a) I r r ' ° ' \ -
E] 27 -- On nomme nombre de rotation le rapport0' : ----/ (a) a ete determine a 
la question
a)

25). Quelle propriété mathématique doit présenter O' pour que le phénomène 
d'accrochage en
fréquence ne puisse pas se produire, à quelque ordre que ce soit ?

FIN DE L'ÉPREUVE