Mines Physique 1 PC 2003

Thème de l'épreuve Étude optique et thermodynamique de la surface de la Lune
Principaux outils utilisés optique géométrique et ondulatoire, polarisation de la lumière, conduction thermique
Mots clefs atmosphère de la Lune, température

Corrigé

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUÈ ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-ElVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique 1 -- Filière PC L 'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 6 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 011 ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors-- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction dela copie. La surface de la Lune On se propose d'étudier quelques caractéristiques de la surface lunaire : la température de surface, la diffusion de la lumière par le sol lunaire, le sol lunaire proprement dit et l'absence d'atmosphère gazeuse. Les diverses parties sont indépendantes entre elles. 0 Important : on trouvera en page 6 un ensemble de donnée relatives à ce problème ; ces données complètent (ou, à l'occasion, répètent) celles qui sont données dans l'énoncé. Quelques-unes de ces données pourront servir plusieurs fois ; d'autres n'ont de valeur qu'informative. Quand l'énoncé ne les indique pas, il appartient aux candidats de repé- rer et d'utiliser les données utiles pour la résolution de certaines questions. 0 Les questions numérotées avec un astérisque (par exemple E] 1*) sont de type essentiellement qualitatif ; elles demandent peu de calculs, voire pas du tout. 1 Détermination expérimentale de la température lunaire Mesures On effectue cette détermination à l'aide d'un télescope à miroir sphérique de rayon R, de diamètre d'ouverture a, situé dans un site astronomique privilégié ou en orbite, terrestre ou lunaire (Fig. 1). Ce télescope concentre l'image d'une partie de la surface lunaire sur un détecteur, supposé ponctuel, qui produit une tension proportionnelle à la puissance lumineuse à laquelle il est exposé. Deux mesures sont effectuées, la première avec un filtre qui absorbe l'infra--rouge, et la Seconde sans filtre. La différence entre les deux mesures permet d'estimer la température superficielle de la région lunaire étu- diée. E] 1* ---- Expliquer en quoi le .site astronomique où est installé le télescope doit être « privilégié », ou pourquoi ce dernier est placé dans un satellite. II .E- ." IIS-..- ---==-- !...--g 100 150 200 F ig. 2 : Maximum d 'émission Cl 2* ---- Où doit--on placer le détecteur '? Cl 3*--- Admettons ceci : la puissance lumineuse émise à la température T par un objet en équili-- bre thermodynamique est maximale pour la lon-- gueur d'onde Â... (T), qui dépend de la température comme représenté en Fig. 2. Justifier la nécessité de refroidir les télescopes terrestres (par exemple à la température de l'azote liquide , soit environ 77 K) ? 50 40 30 20 10 Cl 4* ---- Le diamètre d'ouverture, a, des télescopes observant la surface lunaire est de l'ordre du mètre. Estimer la résolution de la mesure effectuée depuis un télescope terrestre ou en orbite terrestre. La résolution angulaire d'un télescope correspond au rayon angulaire de la tâche ). d'Airy, soit 1,22-- . a Interprétation des résultats Les températures maximales du sol lunaire sont d'environ 120°C et les températures minimales, lors de la nuit lunaire, d'environ -- ZOO°C. On attribue cette grande variation à la durée de la nuit lunaire et à l'absence d'atmosphère lunaire. D 5 * ---- Déterminer la durée d'une nuit lunaire. Cl 6---- Décrivez sur un schéma les zones de pénombre et d'ombre relativement au Soleil et à la Terre, lorsque la Terre éclipse le Soleil. Évaluer les durées respectives de pénombre et d' ombre. Température ' D 7 * -- L'allure de résultats de mesures effectuées lors d'une éclipse totale est représentée dans la fig. 3. On en rend compte par un modèle à deux couches pour la croûte lunaire : une couche supérieure, pulvérulente, très fine (épaisseur de l'ordre du millimètre), de densité faible et de conductivité thermique très faible, et une couche inférieure plus compacte de propriétés physiques proches Fig-- 3 : CyCÏe de température lunaire de celles de la roche ordinaire (silicates). Justifier l'accord qualitatif entre la courbe et le modèle. 50°C 0°C --50°C --lOO°C Pénombre Il Polarisation de la lumière diffusée par la Lune A Les premières études indirectes du sol y lunaire ont été effectuées en analysant Lumière diffusée }: la polarisation de la lumière solaire _ _ _ 'OEËÊ®Æ% _ _ _ _ O' _ _ _ _____ D' _ _ x_) dlffusee par le sol luna1re (fig. 4). La lumière recueillie traverse un polari- par le sol lunaire @ Fig. 4 : analyse de la lumière solaire diffusée par la Lune 272 seur linéaire qui tourne à la vrtesse angulaire a) = ---- . T Le récepteur permet de suivre l'évolution, s(t), de l'éclairement lors de la rotation du polariseur (fig. 5). Cl 8 -- Interpréter la forme et la période du signal s(t). Déduire de la forme du signal temporel de la fig. 5 l'état de polarisation de la lumière solaire diffusée par le sol lunaire. Que représente la valeur moyenne ? 3.5 3 2.5 2 1.5 D 9 ---- Dans un dispositif plus complet (fig. 6), après sélection d'une longueur d'onde « unique » 2. par un filtre, la lumière traverse une lame demi-onde (iL/2) qui tourne à la vitesse angulaire Fig. 5 : Évolution de ! 'éclairement (:). La lumière traverse ensuite un biprisme biréfringent. L'indice du premier prisme a la valeur nl si la direction de polarisation est suivant l'axe y et la valeur n2 si la direction de polarisation est suivant l'axe 2. Le second prisme, accolé au premier, possède un indice n; quelle que soit la direction de polarisation. Les récepteurs permettent de suivre l'évolution, s1(t) et s2(t), des éclairements, lors de la rotation de la lame demi--onde (figure 7). 1 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Lumière diffusée par le sol lunaire (onde plane) Récepteur 1 polarisation z :. ,...Ç...WM .:1',».4_ ...-- E,... -".-----Ë;är--Eäæe Récepteur 2D x polarisation y Filtre Lame demi-onde Fig. 6 : un dispositif plus élaboré de la mesure de lumière solaire dfiusée par la Lune On nomme taux de polarisation le rapport b ---- a b + a polarisation pour une lumière polarisée rectilignement et pour une lumière naturelle non polarisée ? Quelle serait la T2 =T/4 forme du signal obtenu pour chacun de ces deux cas ? Les résultats de la Fig. 7 sont-- ils en accord avec les données de la Fig. T = . Quelle est la valeur du taux de Fig. 7 : signaux reçus par les récepteurs ] et 2 5 ? D 10* --- L'étude de la polarisation de la lumière diffusée par la Lune a permis, avant les missions Apollo, de conclure sur la nature poussièreuse de la surface lunaire. Expliquer pourquoi cette nature poussièreuse de la surface justifie que la Lune ne réfléchisse qu'une faible partie du rayonnement solaire incident (cette fraction est nommée albéd0). - III Le sol lunaire Modélisati0ns Le sol lunaire est bombardé et réduit en poussière par les météo-- rites et le vent solaire, constitué essentiellement de protons et d'électrons. La composition du sol lunaire est proche de celle des silicates, dont quelques caractéris- tiques physiques sont indiquées page 6. La couche supérieure, très Fig. 8 : Le plan inférieur de l'empüement compact est constitué de sphères dont les centres sont notés A. Une fine, est representee par un couche identique de sphères lui est superposée, dont les empflement compact de sphères de centres sont à l'à--pic des points de type B. Les centres des silicates, de rayon RS,--1 et de tem- sphères de la troisième couche sont en sites A, et ainsi de suite (empilement hexagonal compact de type ABAB .). perature umforme (Fig. 8)' Le contact entre les sphères est supposé ponctuel. On note c la distance verticale minimale entre deux sphères en positions semblables : c =2J; RS,--, z1,633 RS". Dans une telle structure compacte, le volume occupé par les sphères est de l'ordre de 74 % du volume de l'empilement. Cl 11* -- Justifier qu'avec un tel modèle les échanges thermiques entre les sphères doivent se faire par un autre processus que la conduction ou la convexion. Cl 12* -- L'empilement précédent est maintenant modélisé par un ensemble de plans parallèles opaques, placés dans le vide, séparés par la distance c/2. Que pensez--vous de ce modèle ? Cl 13 -- On peut caractériser un tel milieu par un coefficient de conductivité thermique dépendant de la température de la forme À(T)= orT3 , avec a = 1,55 x10'6 SI. Comparer l'ordre de grandeur de Â(T) obtenu avec ce modèle avec la valeur expérimentale de la conductivité des silicates à la température ambiante : K S,--, z1,11 W.K'l .m'1 _ Cl 14 ---- Comparer la densité d et la capacité calorifique massique c de la couche supérieure avec ds,-1 et cSil . E] 15* -- 11 est généralement admis que ce sont les couches les plus profondes qui ont les caractéristiques physiques les plus voisines de celles des modèles ci--dessus. Pourquoi ? Influence de l'impact des météorites On admet que les météorites heurtant la surface lunaire ont même composition que le sol lunaire. On rappelle que le référentiel de Copernic, ou référentiel héliocentrique, est lié au centre de masse du système solaire et que ses axes pointent vers des étoiles réputées fixes. Le référentiel de Copernic est supposé galiléen. CI 16 -- Vérifier que la vitesse d'impact d'une météorite frappant la surface lunaire et de vitesse négligeable dans le référentiel de Copernic est de l'ordre de 3 x 104 m.s-1 . E] 17 -- Montrer que l'impact d'une météorite de masse ml peut dégager une énergie suf-- fisante pour porter à l'état liquide une masse m; de la surface de la Lune. Déterminer puis calculer le rapport m;/m;. Cl 18* -- La solidification du matériau en fusion n'est pas sans effet sur la nature des transferts thermiques ultérieurs. Vers quelle valeur se rapproche alors la conductivité thermique calculée précédemment ? Stabilité du sol lunaire On fait ici l'hypothèse d'une Lune homogène et de caractéristiques physiques identiques à celles des silicates. La température de tout point de la Lune est indépendante du temps. La température de surface est T ,, L =290 K . La puissance volumique moyenne libérée par les . r I \ "'8 --3 roches luna1res est evaluee a pL z 10 W.m . E] 19 ---- Effectuer un bilan thermique pour une boule sphérique de rayon r < RL centrée au centre de la Lune (ou pour un élément de volume d'épaisseur d r à la distance r du centre de la Lune). En déduire que la température T (r) à la distance r du centre de la Lune est : T(r)= T,,L + (RL2 -- r2)g%-- . sa Cl 20 -- Calculer la température au centre de la Lune. Que peut--on prévoir pour l'état de la roche dans cette région ? Cl 21 --- À la pression atmosphérique terrestre, la température de fusion des silicates est proche de 1500 K. Compte tenu de cette donnée, évaluer l'épaisseur du manteau solide de la Lune. Cette épaisseur, ainsi calculée, est inférieure à l'épaisseur véritable. Quelle est la principale faiblesse de ce modèle rudimentaire ? D 22 -- La radioactivité de la Lune est essentiellement liée au potassium 40 de période radioactive proche de 1,5 milliards d'années. La période radioactive est le temps au bout duquel la puissance radioactive a diminué de moitié. Donner un ordre de grandeur de l'épaisseur du manteau solide lors de la formation de la Lune, il y a 4,5 milliards d'années. D 23* -- Il est généralement convenu que le champ magnétique des astres est dû à la rotation d'un noyau liquide conducteur; indiquer dans ces conditions la nature de l'évolution du champ magnétique de cet « astre mort ». IV Atmosphère lunaire. Un gaz parfait, possédant par unité de volume 72 molécules de masse m, exerce sur une surface une pression P. Les molécules de ce gaz sont homocinétiques, c'est--à--dire de vecteur vitesse v de norme :) constante, mais d'orientation aléatoire. Les molécules de gaz subissent des chocs . . . 1 élastrques sur la surface. Il s'en déduit l'expressmn P = -3-- nmv2 . D 24 -- L'atmosphère lunaire est majoritairement composée d'atomes d'argon, libéré lors des réactions nucléaires au sein des roches lunaires. Sachant que la masse molaire M de ce gaz vaut 40 g, et en utilisant l'équation des gaz parfaits, calculer :) pOur T = 300 K . Cl 25 ---- On note 01 la vitesse de libération lunaire; c'est la vitesse minimale d'un objet pouvant échapper à l'attraction gravitationnelle lunaire. Exprimer puis calculer la vitesse de libération lunaire En déduire qu'une atmosphère lunaire ne saurait subsister. Fin du problème Données numériques Soleil . RayonRs z 7 x105 km 0 Température de surface T 3 z 5800 K . Rayon terrestre RT z 6, 38 x 103 km . Distance Terre--Soleil DST % 1,5 X...8 km 0 Masse terrestre MT z 6 >< 1024 kg 0 Période du mouvement circulaire autour du Soleil PST % 365,25 jours . Rayon lunaire RL = 1740 km 0 Masse lunaire ML = 7,4 x 1022 kg . Distance Terre--Lune DLT % 3,84 x105 km 0 Période du mouvement circulaire autour de la Terre PTL % 27,25 jours (en restant dans le plan de l'orbite terrestre) . Période de rotation propre de la Lune PL = Pn % 27,25 jours . La Lune présente ainsi toujours la même face à la Terre. Silicates . Densité ds,--, % 2,51 . Conductivité thermique KS" z1,11 W.K"l .m--1 o Chaleur spécifique CS,-, z 860 J.kg"lK_l . Ordre de grandeur du rayon RS,-, % 100 pm 0 Température de fusion du silicate T f x 1500 K . Chaleur latente de fiJsion L f % 130 kJ.kg*l Constantes physiques . Célérité de la lumière dans le vide 0 z 3 ...)8 m.s" . Constante de la gravitation G z 6,67 x10"Il m3 .kg'l.s'2 h . Constante de Planck h z 6,63 ><10"34 ] .s (h= ? 'z10'34 J .s) 7r . Constante de Boltzmann kB z 1,38 x 10"23 J.K"' . Nombre d'Avogadro N A z 6,02 x1023 . Permittivité du vide 80 % 8,85 x10'12 F .m"1 . Constante des gaz parfaits R = N AkB % 8,31 J .mol "' .K'1 Formules mathématiques div [grad (f)]: [V 1 d En symétrie sphérique et pour un champ radial div(V)= 7? r 2V,). r r

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 Mines Physique 1 PC 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Karol Kozlowski (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce problème aborde différents aspects de la physique lunaire. Il est court et demande assez peu de développements calculatoires. De très nombreuses questions qualitatives font appel au sens physique attendu des candidats de la filière PC. · La première partie est essentiellement qualitative. Elle repose sur des considérations d'optique géométrique et ondulatoire élémentaires. · La deuxième nécessite une bonne compréhension du phénomène de polarisation. Elle fait appel aux connaissances acquises lors du TP-Cours sur la polarisation de lumière. · Dans la troisième, on envisage le comportement thermodynamique de la Lune. C'est la partie la plus classique du problème. Là encore, des questions qualitatives nécessitent une bonne compréhension physique des phénomènes mis en jeu. · Enfin, la quatrième partie permet d'expliquer l'absence d'atmosphère lunaire en s'appuyant sur le calcul de la vitesse de libération lunaire. La formulation des questions qui, sans être difficile, est parfois laconique, demande une bonne maîtrise du cours et un certain recul de la part du candidat. Cela en fait un bon problème de révision. Indications Première partie 2 Considérer que la lumière lunaire provient de l'infini. 5 Envisager le milieu de la nuit lunaire sur la face cachée quand le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés. Faire un schéma représentant deux alignements consécutifs en prenant en compte la rotation de la Terre autour du Soleil et évaluer la période qui les sépare pour en déduire la durée du « jour » lunaire. 6 Tracer sur un schéma les quatre rayons qui sont tangents à la fois à la Terre et au Soleil afin d'y repérer les zones de pleine lumière, de pénombre et d'ombre. Deuxième partie 8 Commencer par envisager le cas d'une lumière polarisée rectilignement, puis celui d'une lumière naturelle non polarisée. L'éclairement est proportionnel au carré du module du champ électrique. 9 Une lame demi-onde réalise la symétrie par rapport à son axe rapide de l'état de polarisation incident. Pour une lumière polarisée rectilignement, représenter dans un plan (Myz) l'axe rapide de la lame et la direction de polarisation de la lumière puis paramétrer les différents angles. 10 Envisager l'existence de nombreuses petites cavités sur la surface poussiéreuse de Lune. Troisième partie 12 Justifier que le modèle surévalue les transferts thermiques par rayonnement. 16 Décomposer le mouvement de la surface lunaire dans le référentiel de Copernic en trois sous-mouvements et évaluer les vitesses associées. 17 Appliquer Ec + U = Wext + Q au système {Lune + météorite}, supposé isolé pendant l'impact, avec U = H dans le vide. Supposer que la Lune est beaucoup plus massive que la météorite et que la température initiale du sol lunaire est Ts,L = 290 K comme à la question 19. 19 Partir de (r) + pL dV = (r + dr) pour un volume dV d'épaisseur dr. 20 Considérer que T(r) > Tf dans le noyau liquide. 22 Évaluer la diminution de pL au cours de 3 périodes radioactives. 23 Envisager la conséquence de l'effet Joule associé aux courants induits. Quatrième partie 25 Pour calculer v1 , considérer que l'objet s'échappe dès que Em > 0. Comparer v1 à v sans oublier la signification statistique de v. I. Détermination expérimentale de la température lunaire 1 D'une part, l'absorption et les turbulences atmosphériques dégradent la qualité de l'image obtenue par un télescope terrestre. D'autre part, l'astronomie terrestre est tributaire de l'absence de couverture nuageuse et de lumières parasites. Un site astronomique « privilégié » répond à ces contraintes. Il est typiquement isolé, en altitude et sous un climat sec. Dans un satellite, on s'affranchit de ces limitations. 2 La distance entre l'objet et le télescope est ici très grande devant la distance focale du miroir, on peut donc considérer que la lumière lunaire provient de l'infini. Si elle arrive parallèlement à l'axe optique, on doit placer le détecteur au foyer image F du miroir sphérique, c'est-à-dire au milieu du segment [OC]. 3 Pour un télescope qui fonctionne dans le domaine visible et dans le proche infrarouge aux longueurs d'onde inférieures à 10 µm, le refroidissement permet de dissocier la lumière observée et le rayonnement thermique parasite, émis par le télescope à une longueur d'onde de 40 µm pour T aux environs de 77 K. 4 Si la résolution angulaire est , alors, avec une distance DLT entre le télescope et la surface lunaire et 0, 6 µm dans le visible, la résolution x est x = DLT soit x = 1, 22 DLT 300 m a En pratique, à cause de la diffraction ou de la turbulence atmosphérique, l'image d'une source ponctuelle n'est jamais ponctuelle. La résolution est la distance minimale (ou le plus petit angle) devant séparer deux sources ponctuelles pour que leurs images soient résolues, c'est-à-dire séparées. 5 La Lune présente toujours la même face à la Terre. Le milieu de la nuit lunaire au centre de la face cachée correspond à l'alignement de la Lune avec la Terre et le Soleil comme sur la position du schéma. Pour atteindre l'alignement suivant, la Lune doit effectuer une rotation complète autour de la Terre à laquelle s'ajoute l'angle dû à la rotation de la Terre autour du Soleil pendant le même temps. Si P est la période qui sépare ces deux alignements, alors P = (2 + ) PTL 2 où = P 2 PST S T T L La durée Pn de la nuit lunaire est la moitié de P, soit Pn = PST PTL = 14, 7 jours 2 (PST - PTL ) L 6 Considérons les quatre rayons lumi neux tangents sur le schéma ci-contre. Ils L délimitent trois zones. La zone est accessible à tous les rayons solaires, c'est la S T zone de pleine lumière. La zone n'est atteinte par aucun rayon solaire, c'est le cône d'ombre. Enfin, seule une partie des rayons solaires parvient dans la zone , d DST c'est la zone de pénombre. Comme DST est très supérieure à RS et à RT , l'ouverture angulaire de la zone de pénombre peut être évaluée par 2RS = = 9, 3.10-3 rad DST et la durée Pp de la pénombre, par PTL Pp = 1, 9 heure Pp = 2 soit 2 La zone de pénombre est traversée en deux étapes, est donc doublé. L'ouverture du cône d'ombre vérifie RT RS tan = = 2 d d + DST 2 RT DST d'où d= = 1, 4.106 km et = 9, 2.10-3 rad RS - RT Ceci permet d'évaluer la longueur de l'orbite lunaire dans le cône d'ombre à = (d - DLT ), et la durée P0 de l'ombre, par 2DLT = soit P0 = 2, 5 heures P0 PTL On peut faire ici trois remarques : · Puisque DLT < d, la Lune peut bien traverser le cône d'ombre. · La schématisation du problème est ici volontairement simpliste car les mouvements de la Lune et de la Terre ne sont pas coplanaires. La Lune peut ne traverser que partiellement le cône d'ombre (éclipse partielle) ou rester dans la zone de pénombre (éclipse de pénombre). Mais le plus souvent, elle reste dans la zone de pleine lumière et on observe une simple pleine lune sans éclipse. · Au cours d'une éclipse totale, la Lune n'est pas vraiment sombre mais apparaît rougeâtre. Il s'agit d'un éclairage indirect dû à la diffusion de la lumière solaire par l'atmosphère terrestre. 7 En règle générale, il faut d'autant moins d'énergie pour augmenter la température d'un solide que celui-ci est moins dense. Ainsi, la faible densité de la couche supérieure explique que sa température évolue rapidement dès que l'apport d'énergie par rayonnement est modifié. La faible conductivité thermique de cette même couche lui permet, quant à elle, d'isoler la couche inférieure vis à vis de ces variations de l'apport d'énergie et explique la lenteur de la diminution de la température pendant la période d'ombre.