Mines Physique 1 PC 2002

Thème de l'épreuve Méthodes de séparation des isotopes de l'uranium
Principaux outils utilisés électrodynamique, électrocinétique
Mots clefs cyclotron, spectrographe

Corrigé

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J. 2072 ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC fl)urée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE--EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I ---- Filière PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 7 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. . Les vecteurs sont notés en gras. SÉPARATION ISOTOPIQUE Les problèmes A et B de cette épreuve peuvent se traiter indépendamment l'un de l'autre. A. Séparation par résonance cyclotron ionique Partie I : Mouvement d'un ion dans un champ magnétique uniforme Les vitesses des diverses particules considérées ici seront très inférieures à celle de la lumière. Les données suivantes (notations standard) serviront dans plusieurs questions (u.m.a = unité de masse atomique). _ électron : 9,11><10"31 kg 1 eV : 1,60 >< 10"19 J 1u.m.a. = 1,66 >< 10"27 kg "7235 U+ : 235 u.m.a. "7238.U+ : 238 u.m.a. #0 : "%7%3 X10_7 H.m-l 172 Page 1/7 Tournez la page S.V.P. Physique 1 -- Filière PC - 2002 On étudie le mouvement d'une particule chargée de masse m, de charge q et de vitesse v dans un champ magnétique uniforme et stationnaire BO : BO uz (Bo > 0) orienté selon l'axe Oz d'un référentiel galiléen muni d'une base orthonormée (ux,uy,uz). Les composantes de la vitesse dans ce référentiel sont notées % vy et VI. Cl 1 -- Écrire l'équation fondamentale de la dynamique dans ce référentiel. On obtient un système différentiel couplé, reliant % v y, v: et leurs dérivées premières. Cl 2 -- En déduire l'équation différentielle du deuxième ordre portant sur vx. On introduira la . "1 |Bo q pulsation cyclotron a),, = et 8 = . (" El Cl 3 -- Donner la solution du système de la question ], sachant que les composantes de la vitesse à l'instant t= 0 sont vx (O) : vl > 0, vy(0)= 0 et v,(0) : v,, > 0. Cl 4 -- Donner alors les équations du mouvement en prenant l'origine des coordonnées comme position initiale et en introduisant le rayon de Larmor pL : vl /oec . EI 5 --' Nommer la trajectoire, indiquer son allure sur un schéma et le sens de parcours d'un ion positif sur cette dernière. E] 6 -- Application numérique : Bo = 2,5 T et 2 mv_2L = 10 eV . Calculer les valeurs pLe et a)", de pL et de wc pour un électron, le et wc1 pour un ion 238 235 + . U et pL2et wc2 pour un ion U+. A quel domaine des ondes électromagnétiques appartiennent les fréquences cyclotron ioniques des ions d'uranium ? Partie II : La résonance cyclotron ionique Au champ magnétique uniforme et stationnaire précédent En se superpose mainte-- nant un champ électrique uniforme Eo(t) = --Eoux sin(oet) -- Eouvcos (ou t). On se place dans l'approximation des régimes quasi stationnaires et l'on s'intéresse uniquement à un ion positif (EUR = + 1). On introduira la vitesse transverse complexe Lv : vx + jvy ( j 2 = --l) . Cl 7 -- On considère d'abord le cas non résonant (w # wc). À l'instant initial, vx (O) : vl , vy(0) : 0 et v: (0) = v,, ; établir alors l'expression suivante de la vitesse à l'instant t : qu w= vl exp(--jwfl + m(oec --w ) [exp(--joej) -- exp (--jwt)]. Cl 8 -- Établir l'expression du vecteur position de la particule en fonction du temps, l'origine O des coordonnées étant la position initiale. On pourra introduire rl = x + jy. Page 2/7 Physique 1 -- Filière PC - 2002 Cl 9-- Établir, dans le cas résonant (a): ou) et avec les mêmes conditions initiales, l'expression de la vitesse transverse complexe, sous la forme 14_f(t) = F (t) exp(-- jam). Que dire de la projection de la trajectoire dans le plan Oxy '? Cl 10 -- Commenter l'allure des courbes données ci--dessous. On a utilisé les unités réduites x 2 X = --, Y = À, Z = --- et u = ÛJJ- Pour la lisibilité des figures, les échelles des axes pi & pi pour les trajectoires dans l'espace et leurs projections dans le plan XY ne sont pas les mêmes. Les calculs ont été effectués avec les valeurs numériques suivantes : E, =50 V.m" vl =2,84><103 m.s_l B, =2,5 T £=1,05 v,,=2,00><103 m.s"' OSwg.<.507r 60 C Cas non résonant (C:) # CD,.) lllllllllillllllll...HH --: " " ° " " ï ummuu nu......» 4, , Trajectoire dans le plan XY Trajectoire dans l'espace Page 3/7 Tournez la page S.V.P. Physique 1 -- Filière PC - 2002 Cas résonant (w = wc.) ;g.,l,lîg,i,«,l,ll,l,«,r,l,l,ll g lllllllllllll 100 75 Trajectoire dans le plan XY Trajectoire dans l'espace Cl 11 -- Justifier le terme de résonance cyclotron ionique. Pourquoi faut-il que dans les dispo- sitifs réels le champ magnétostatique BO soit homogène à mieux que 0,5 % près ? El 12 -- Justifier la structure (direction, sens à chaque instant) du champ électrique nécessaire pour observer la résonance cyclotron ionique. Cl 13 -- Application numérique : calculer le rayon de giration (courbure maximale de la pro-- jection horizontale de la trajectoire) atteint par un ion résonant 235U+ de vitesse v,, = 2 >< 103 m.s_l, excité par un champ d'amplitude EO : 50 V.m", dans le champ Bo pré- cédent de 2,5 T, qui s'étend sur une longueur de 2 m comptée sur l'axe Oz. Page 4/7 Physique l -- Filière PC - 2002 Partie III : Principe de la séparation isotopique par résonance La méthode de séparation isotopique par résonance cyclotron ionique repose sur des résultats des parties 1 et II. On veut créer un champ Bo dans un cylindre circulaire (rayon 25 cm, longueur 2 m) à l'aide d'un enroulement de type solénoïdal parcouru par un courant I() constant. Le bobinage est constitué de 23 km de fil en alliage supraconducteur Niobium-Titane, de diamètre (iso- lant compris) égal à 2 mm. En dessous d'une certaine température, la résistivité d'un maté-- riau supraconducteur est rigoureusement nulle. L'enroulement est porté à une température suffisamment basse pour qu'il en soit ainsi. Le champ produit doit être aussi uniforme que possible, et d'intensité B = 2, 5 T. [:| 14 -- Quelle est l'intensité du courant 10 qui doit parcourir le fil ? On explicitera les diver-- ses approximations faites. Cl 15 -- Quelle serait la puissance Joule dégagée par le même conducteur en cuivre (conduc- tivité du cuivre 0'= 5,7><107 Q_l.m_') '? Pourquoi choisir un alliage supraconducteur ? Quelle conclusion en tirer sur le domaine de température probable de fonctionnement de ce bobinage ? Citez un des buts des recherches menées actuellement sur les supraconducteurs. D 16 ---- Le champ électrique E(t) est produit par R L deux condensateurs plans ; après avoir rappelé _ '" . ' '" les propriétés du champ créé par un condensateur _ plan soumis à une tension U(t), illustrer sur un R schéma la manière de situer les condensateurs l'un par rapport à l'autre et par rapport à la direc- J!, a) y tion 02 du champ Bo. On souhaite alimenter ces ° x deux condensateurs à partir d'une unique source idéale de tension. Ces deux condensateurs ont la même capacité C et sont sans influence l'un sur l'autre. Le montage ci--contre peut-il convenir '? Étayez votre réponse en déterminant la valeur de l'inductance L et de la résistance R en fonction 'Wf5 de la capacité C et de la pulsation a) et en vous appuyant sur des ordres de grandeur acceptables. EI17 -- L'ensemble des ions résonants crée un champ électrique antagoniste au champ E(t) ; quelle caractéristique du mouvement des ions en est-elle la cause ? Cela conduit à une dimi-- nution du champ électrique introduit et l'on doit mettre en oeuvre une antenne de couplage accordable dans la gamme des fréquences cyclotron ionique (notablement différente des deux condensateurs envisagés précédemment) pour créer le champ E dans le volume désiré. El 18 -- Connaissez--vous un autre exemple de milieu matériel dans lequel il est difficile de faire pénétrer un champ électrique variable ? A quoi cela est-il dû '? D'un côté de la région où règnent les champs E(t) et B() se trouve une source de plasma capable de volatiliser puis d'ioniser un métal (par exemple de l'uranium naturel, mélange des deux isotopes 235 et 238). Un champ électrostatique d'amplitude modeste donne à ces ions (supposés tous ionisés une seule fois) une vitesse v,, > 0 au moment où ils Page 5/7 Tournez la page S.V.P. Physique 1 -- Filière PC - 2002 entrent dans le domaine où règnent E(t) et B0. La collecte des ions se situe dans l'autre partie du dispositif schématisé ci-dessous. SOURC E EXCITATION COLLECTE Bobine supraconductrice Antenne à la frequence Antenne a la frequence Plaques ] cyclotron électronique cyclotron ionique Plaque 2 _ ' ' Vré ulsif V --- Bo uniforme -> p Bobine supraconductrice Légende : a : atome produit par pulvérisation e : électron du plasma 11 = ion non résonant r : ion résonant 19 -- On règle la fréquence d'alimentation de l'antenne de couplage sur la valeur 0): wc], telle ue définie à la uestion 6. Schématiser ar un dessin les tra'ectoires des ions 235 U+ et q q P J 238 U+ issus de la source. Que récolte-t--on sur l'ensemble des plaques disposées parallèle-- ment (plaques @) '? et sur la plaque @ ? Cl 20 -- Où retire--t--on l' << Uranium enrichi » ? A quoi sert l'Uranium enrichi ? Pourquoi faut-- il l'enrichir '? Connaissez--vous d'autres procédés d'enrichissement de l'Uranium '? Fin du problème A B. Méthode spectrographique Une source S d'ions positifs émet un pinceau étroit de particules de masse m] et de charge q. Ces ions, dont la vitesse initiale peut être supposée nulle, sont accélérés par une différence de potentiel U. Le faisceau traverse une fente fine centrée sur le point P et arrive en A dans la région grisée, où règne un champ magnétostatique B constant, perpendiculaire au plan de la figure. Page 6/7 Physique 1 -- Filière PC -- 2002 Cl 21 ---- La vitesse v des ions à l'entrée dans la zone de champ B est supposée être dans le plan de la figure, et perpendiculaire à Oy. Déterminer la nature de la trajectoire dans cette zone, exprimer son rayon de courbure R en fonction de ml, q, U et B : "B". E] 22 ---- Applications numériques : q =1,60><10--l9 C, m' =3,90><10--25 kg et U = 50 kV. Déterminer la vitesse des ions à l'entrée dans la zone de champ B. Déterminer le champ nécessaire pour que R = 50 cm. Cl 23 -- Les ions ne sont soumis au champ B que dans une région limitée par deux plans perpendiculaires dont les traces sont Ox et Oy et dont la bissectrice extérieure est OF. On centre en F], symétrique de F par rapport à 0, une fente perpendiculaire au faisceau. Montrer que les ions traversant la première fente avec une vitesse v de même module qu'à la question 21 (pinceau homocinétique) et de direction faisant un angle 8 petit avec FA dans le plan de la figure viennent converger, après traversée de la région grisée, en un point (131 que l'on pré-- cisera. Un argument simple de symétrie suffira. Cl 24---- Que se passe-t-il pour un pinceau homocinétique issu de F, dont le vecteur vitesse fait un petit angle 8', cette fois-ci avec le plan de la figure '? Quelle longueur 6, per- pendiculairement au plan de la figure, doit-on donner à la fente centrée en F. pour récolter tous les ions émis de part et d'autre du plan de la figure '? Application numérique: eg... =10" rad. Cl 25 -- Le faisceau émis par la source est maintenant un mélange d'isotopes de masses respectives ml et m2 : m1 + Am, avec 0 < Am << ml. On ne change pas les réglages du spectrographe et les ions de masse mz convergent au point (Dz. Déterminer la distance (p : (I),sz entre les pinceaux d'ions de masses ml et m2 lorsqu'ils traversent le plan de la fente centrée en F1. Le résultat sera finalement exprimé en fonction de R, Am et m]. Cl 26 -- Quelle largeur maximale 3 (3 << R) peut-on donner à la fente centrée en F pour obtenir une séparation effective des deux isotopes au niveau de la fente, de largeur (p, . . . Am 3 centrée en F1 ? Appl1catron numérique : calculer s pour R = 50 cm et -- = ---- ml 235. CI 27 -- L'intensité du faisceau est [ = 5 mA. La source est alimentée en Uranium 235 238 . , ,. naturel contenant 0,7 % de U+et 99,3 % U'. Quelle quantite de l isotope 235 U+ pour- rait-on isoler ici en une année de fonctionnement continu '? Quels avantages et quels incon-- vénients voyez-vous à ce dispositif de séparation des isotopes de l'uranium ? El28 -- Dans la question 25. de quels réglages s'agit-il '? Fin de la partie B FIN DE L'ÉPREUVE Page 7/7

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 Mines Physique 1 PC 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Fabien Guérin (École Polytechnique) et Jean-David Picon (École Polytechnique) ; il a été relu par Jessica Dubois (Centrale Paris), JeanYves Tinevez (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Le sujet porte sur la séparation isotopique. Comme des isotopes possèdent toujours les mêmes propriétés chimiques, on ne peut pas utiliser de réaction chimique pour les séparer. On étudie ici deux procédés physiques permettant cette séparation, l'un utilisant un cyclotron et l'autre un spectrographe de masse. L'épreuve se constitue de deux problèmes indépendants, chacun s'attachant à l'un de ces procédés. · Dans le premier problème, on étudie le mouvement d'une charge dans un champ magnétique uniforme, puis la résonance cyclotron ionique et enfin le principe de la séparation isotopique par résonance. Les deux premières parties relèvent de l'électrodynamique et nécessitent donc principalement l'utilisation de la relation fondamentale de la dynamique. La troisième nécessite des connaissances de base en électrocinétique et en électrostatique. · Le second problème permet d'établir quelques principes de la spectrographie de masse. Il utilise essentiellement la RFD. Indications Problème A 2 Éliminer vy entre les deux premières équations obtenues à la question 1. 5 Projeter la trajectoire de la particule sur le plan xOy et montrer que c'est un cercle de centre O (0, - L ) et de rayon L . 7 Appliquer la relation fondamentale de la dynamique pour obtenir vx et vy . En déduire une équation pour w = vx + j vy . 9 Montrer que le rayon de courbure de la trajectoire croît avec le temps. 10 À partir des expressions de x et y obtenues à la question 8, retrouver les battements en mettant ces expressions sous une forme factorisée approchée. Vérifier les valeurs numériques. 11 La résonance apparaît dans les systèmes où interviennent deux phénomènes périodiques qui peuvent se coupler. 12 Montrer qu'il y a résonance cyclotron ionique dès que = c . 13 Appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le repère de Frenet. 15 La résistance d'un conducteur filiforme de longueur L, de section S et de conductivité est donnée par R= L S 16 Déterminer à l'aide du diviseur de tension les tensions aux bornes de chaque condensateur. Ces deux tensions doivent être en quadrature pour que le montage proposé soit valable. 19 Utiliser les courbes de trajectoire données entre la question 10 et la question 11 du sujet. Problème B 23 Le centre de la trajectoire des ions passant la fente avec un angle nul est O. L'angle étant petit, la trajectoire des ions traversant la fente avec cet angle ont pour centre le point O de la droite OA1 tel que OO = R. est constante. 24 Utiliser le fait que la vitesse des ions selon - u z 25 Utiliser le développement limité : x 1 1+x1+ x 2 27 La charge électrique déplacée par le faisceau pendant la durée T est donnée par : Q = IT A. I. Séparation par résonance cyclotron ionique Mouvement d'un ion dans un champ magnétique uniforme 1 La particule est soumise à la force de Lorentz magnétique - - f Lorentz = q - v B0 Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule donne par conséquent - d- v = q- v B0 m dt c'est-à-dire m vx = q B0 vy m vy = -q B0 vx m vz = 0 2 Pour obtenir l'équation recherchée, il faut découpler le système précédent, autrement dit éliminer vy entre les deux premières équations. Pour ce faire, on dérive la première et on remplace vy par l'expression donnée par la deuxième. Finalement en posant vx + ( c )2 vx = 0 c = |q| B0 m et = |q| q 3 L'équation précédente a pour solution générale vx (t) = A cos c t + B sin c t avec A et B deux constantes. On les détermine grâce aux conditions initiales. On sait vy (t) = d'où 1 vx (t) c vy (t) = -A sin c t + B cos c t Les conditions initiales donnent alors vx (0) = v = A vy (0) = 0 = B v (0) = v z // Finalement v (t) = +v cos c t x vy (t) = -v sin c t v (t) = v z // 4 On détermine les équations du mouvement en intégrant entre 0 et t le système différentiel de la question précédente. v sin c t x(t) - x(0) = c v (cos c t - 1) y(t) - y(0) = c z(t) - z(0) = v// t En introduisant L = v , les conditions initiales conduisent finalement à c x(t) = L sin c t y(t) = L (cos c t - 1) z(t) = v t // 5 Afin de mieux appréhender la nature de la trajectoire, on s'intéresse tout d'abord à sa projection sur le plan xOy. On abandonne donc pour le moment z(t). En réécrivant l'équation paramétrée précédente sous la forme ( x(t) = L sin c t y(t) = L cos c t - L on reconnaît l'équation paramétrée d'un cercle centré en O (0, - L ) de rayon L . Pour obtenir l'équation de la trajectoire quand on ne la recconnaît pas, il faut éliminer le paramètre t entre les deux équations. Ici, on devine facilement que x2 (t) + (y(t) + L )2 = L 2 qui est l'équation du cercle précédent. La projection d'un ion parcourt le cercle en partant de l'origine, à pulsation c constante, dans le sens trigonométrique si c'est un anion ( = -1) et antitrigonométrique si c'est un cation ( = 1). De plus, le mouvement de la particule projeté sur Oz est un mouvement uniforme. On en déduit que la trajectoire de la particule est une 2v// hélice d'axe Oz de rayon L et de pas . c Cette hélice est gauche si la particule est un cation et droite si c'est un anion. Pour un ion 235 U+ , on obtient l'allure cicontre. z y x Le pas est la distance que la particule parcourt suivant Oz pendant que sa projection sur le plan xOy fait un tour de cercle.