Mines Physique 1 PC 2001

Thème de l'épreuve Relation de Bernoulli. Mission pour Mars.
Principaux outils utilisés hydrodynamique, thermodynamique, problème à deux corps

Corrigé

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A 2001 PHYS. PC I , ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2001 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE--EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ] -- Filière PC Cette épreuve comprend 4 pages de texte. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé. o Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lors-- que l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en italique (" A " = A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée a est noté 'la- L'épreuve comprend trois problèmes indépendants les uns des autres, et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son d10ix. Les deux derniers sont inspirés du film de Brian de PALMA Mission to Mars, diffusé en France en mai 2000. 1. La relation de BERNOULLI On considère un référentiel galiléen Rg(0,ux,uy,u__) Où u: est vertical dirigé vers le haut. L'espace est rempli d'un fluide parfait, homogène, incompressible et de masse volumique p. Fluide en translation uniforme Û'l -- Le fluide est en équilibre dans Rg sous l'action des forces de pression et du champ de pesanteur g : ---guz. Montrer qu'au point courant M(x, y, z) la pression p(x, y, 2) ne dépend que de 2 de telle sorte que : p(x,y,z)+pgz=Coe=K. [1] E] 2 -- Le fluide se déplace maintenant en bloc dans Rg avec la vitesse v : v0ux, Où vo est une constante. L'égalité [l] est--elle encore valable '? Tournez la page S.V.P. Fluide accéléré D 3 -- Le fluide se déplace en bloc dans Rg avec une accélération constante a = a() ux, où ao est une constante. En exprimant l'équilibre de l'élément de fluide de volume dxdydz situé au point courant M dans le référentiel R,,g en mouvement de translation rectiligne, d'accélération a par rapport à Rg, montrer que : p(x,y,z) + pgz + ;)an == Cte : K'. [2] E] 4 -- En passant du point M,(xl, y,z) au point M2(x2, y,z), une particule de fluide voit sa vitesse passer de v, à v2 dans le référentiel galiléen Rg. Exprimer ao en fonction de V,, v2, x, et x2 et déduire de ce résultat la relation de Bernoulli. - D 5 --- On considère l'écoulement permanent du fluide incompressible à l'intérieur d'une canalisation cylindrique horizontale d'axe ()c. Dans la zone x < 0, le rayon de la canalisation est noté R1 et la vitesse du fluide est notée v.. Dans la zone " ï @ | | | | '! ,--EUR? ' V | | | ...-.--.-..-.--- 2 x>L, le rayon est R2 et la vitesse v2. x . , . , , . . ------------- l--------> L'1negalite (R,--R2)<< 10" lN.m2.kg'2). D 11 -- Déduire de [3] que l'orbite devient elliptique et montrer que la distance r,, de 2 l'apogée A de la nouvelle trajectoire au centre de la planète est r,, : R(l + 2--l--]. [4] R2 D 12 -- Lorsque le vaisseau arrive en A, l'équipage débloque la barre, le vaisseau passe à l'état ]. Au regard des ordres de grandeur mis en jeu, on peut admettre que ce passage à l'état 1 se fait à énergie mécanique constante'. En admettant cette dissymétrie du travail des forces intérieures dans les passages 2 --> 1 et l ----> 2, que représente la variation d'énergie-- mécanique [3] calculée à la question 10 '? En déduire que le vaisseau repasse par P. E] 13 -- Au point P, l'équipage effectue une nouvelle manoeuvre et porte le vaisseau dans l'état 2 ; il débloque la barre au nouvel apogée et ainsi de suite à chaque tour. Au bout de combien de tours, n, le vaisseau sera-t-il libéré de l'attraction planétaire ? Calculer n dans le cas où l = 0,7 km, selon que la planète est la Terre (R7. = 6378 km, M7. = 6 ><1024 kg), ou Mars (RM : 3397 km, MT =6,6><1023 kg). Donner un ordre de grandeur du temps néces- saire à la libération. E] 14 ---- Selon ce mode de calcul, pour quelle longueur 1 la libération serait--elle obtenue dès le premier tour '? Cl 15 -- Montrer que l'énergie dépensée par l'équipage ne dépend que de la masse volumique p de la planète et de la géométrie du vaisseau. La manoeuvre dure 1 = 1 minute, la masse du vaisseau est m =...4 kg, 1 = 0,7 km ; calculer la puissance moyenne développée par l'équipage pendant le dépliement au voisinage de Mars. Quel est approximativement le nombre d'hommes nécessaire à la manoeuvre ? D 16 -- Le cosmonaute en péril dans le film se couche dans le plan de son orbite, l'axe de son corps tangent à l'orbite. Il possède deux états : l'état 1 où ses bras sont repliés le long de son corps et l'état 2 où ses bras sont perpendiculaires au plan de l'orbite. Comment doit-il s'y prendre pour rejoindre le vaisseau ? D 17-- La masse du cosmonaute est mc = 100 kg. Ses bras sont supposés être équiva-- lents à un haltère (m = 30 kg, 1 = 0,70 111). Avant sa nage dans l'espace, l'orbite du cosmo-- naute est circulaire. Quelle est la variation du grand axe de l'orbite lorsqu'il effectue un mouvement de brasse spatiale '? FIN DE CE PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE ' Au regard, aussi, du but poursuivi, qui est de s'éloigner de la planète attractrice. Une modélisation plus fine affecterait les trajectoires, mais pas l'effet global. Page 4 sur 4

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 Mines Physique 1 PC 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (ENS Lyon) ; il a été relu par Olivier Choffrut (Mines de Paris) et Arnaud Spinelli-Audouin (École Supérieure de Physique et Chimie Industrielles de Paris). Ce problème se compose de trois parties totalement indépendantes. Les thèmes abordés sont centrés autour de la mécanique des fluides, de la thermodynamique et de la mécanique du point. Ce sujet n'est pas très calculatoire et d'une longueur raisonnable ; cependant, la troisième partie est assez délicate. · La première partie aborde une démonstration originale de la relation de Bernoulli. Il faut se laisser porter par le texte sans essayer de « réciter » son cours. On y trouvera aussi une application directe. · La deuxième partie aborde quelques points précis de thermodynamique et de théorie cinétique des gaz. Très courte et peu dirigée, elle demande quelques initiatives. · Enfin, la troisième partie est un problème de mécanique du point assez long et centré autour du problème à deux corps : on s'intéresse à une version simplifiée d'un modèle de déplacement dans l'espace. Indications Première partie 4 L'accélération est purement convective. Commencer par arriver à a0 = dvx 2 /dx . 5 Cette question est assez calculatoire. Il faut utiliser la conservation du débit volumique pour obtenir la loi v(r) et utiliser l'expression de a0 donnée dans l'indication précédente. En combinant ces deux résultats, on a une équation différentielle qui relie a0 et r. Il reste à l'intégrer et à utiliser une deuxième fois la conservation du débit volumique pour exprimer a0 en utilisant le résultat obtenu à la question 4. 6 Ici, contrairement au reste de cette partie, on revient à une question de cours classique. L'énoncé reste relativement évasif mais il ne faut pas oublier que la relation de Bernoulli, dans le cas où l'accélération est quelconque, reste vraie, mais sur une ligne de courant seulement. Deuxième partie 7 L'expansion du gaz se fait dans le vide, donc sans travail extérieur. 8 Montrer que la vitesse caractéristique des molécules reste la même au cours de la manoeuvre. Justifier le fait que l'on peut choisir la vitesse quadratique moyenne pour vitesse caractéristique. 9 Commencer par montrer que le nombre de molécules N est proportionnel à la pression et établir l'équation de variation de N en adoptant des hypothèses simplificatrices (par exemple en supposant qu'un sixième des molécules se dirige dans la bonne direction pour passer par le trou...). Troisième partie 10 La transformation étant supposée instantanée, la variation d'énergie cinétique est nulle. Il suffit de calculer la variation d'énergie potentielle (due à la seule gravitation universelle) en n'oubliant pas de faire un développement limité pour tenir compte du fait que R . 11 Utiliser la courbe qui donne l'énergie potentielle effective en fonction de r pour justifier que l'orbite devient elliptique. Justifier ensuite que P est le périgée de la nouvelle orbite et en calculer le grand axe en utilisant la relation qui le lie à l'énergie totale. rA se déduit alors par simple différence. 13 Utiliser la troisème loi de Képler pour établir une estimation du temps de libération. Vu les ordres de grandeur que l'on obtient (la libération est impossible par cette méthode), ne pas hésiter à utiliser des hypothèses très simplistes. I. Relation de Bernoulli 1 On s'intéresse à un fluide parfait dans un référentiel galiléen soumis au seul champ de pesanteur. L'équation d'Euler s'écrit -- d- v = - grad p + - g dt - Or ici, le fluide est au repos, donc - v = 0 . On projette alors l'équation obtenue sur les trois axes et on obtient p · sur - ux =0; x p · sur - u =0; y y p · sur - u = - g . z z En intégrant la première équation, on déduit que p ne dépend pas de x, ce que l'on peut écrire p (x, y, z) = f1 (y, z) . En reportant cette expression dans la deuxième équation, on déduit que p ne dépend que de z : p (x, y, z) = f2 (z) . L'intégration de la dernière équation fournit alors le résultat demandé p (x, y, z) + g z = K (1) Cette question demandait d'établir un résultat très classique d'hydrostatique. Comme en outre, c'est la première impression du correcteur, il faut particulièrement soigner sa rédaction tout en restant concis. En particulier ici, on remarquera que la projection sur les trois axes est nécessaire : une simple ne suffit pas à établir le résultat. projection sur - u z 2 Ce que nous avons écrit à la question précédente reste valable si le vecteur vitesse est non nul et constant puisque la vitesse n'intervient que par sa dérivée particulaire, donc l'égalité (1) reste valable dans ce cas. On peut proposer une autre justification pour cette question : on peut se ramener à la situation de la question 1 par changement de repère galiléen. L'égalité (1), qui traduit un équilibre de force, doit être maintenue par cette opération (invariance galiléenne des forces). 3 Soit une particule fluide de volume d = dx dy dz et de masse volumique . On se place dans le référentiel non galiléen Rng uniformément accéléré avec l'accélération - a par rapport au référentiel galiléen Rg . Dans ce référentiel, la particule est au repos. Cette particule fluide est un système fermé auquel on peut appliquer la relation fondamentale de la dynamique. Elle est soumise à : - · son poids g d ; · la résultante des forces de pression · la force d'inertie d'entraînement -- - grad p d ; - - a d . La relation fondamentale de la dynamique donne -- - 0 = - g d - grad p d - - a d p + a0 0= x p 0= En projetant, il vient y 0 = p + g z De la deuxième équation, on déduit que p ne dépend pas de y. En intégrant la première équation, il vient p (x, y, z) = - a0 x + h(z) En reportant cette expression dans la troisième équation, on tire l'expression de h(z) : h(z) = - g z + Cte Si on appelle K la constante, on obtient finalement p (x, y, z) + g z + a0 x = K (2) 4 On est en régime permanent, donc l'accélération est purement convective : -- - a = (- v . grad )- v . Ici, l'accélération est supposée constante et portée par - ux , donc les composantes de vitesse selon y et z sont constantes. On peut, après avoir éventuellement procédé à un changement de référentiel galiléen, les supposer nulles. On obtient alors simplement vx 1 d vx 2 a0 = vx = x 2 dx Une intégration immédiate entre M1 et M2 conduit alors à a0 = 1 v2 2 - v1 2 2 x2 - x1 On a donc la relation générale suivante 1 v2 2 - v1 2 x = K 2 x2 - x1 On applique cette relation en deux points M1 et M2 où on note la pression p1 et p2 respectivement : x1 · en M1 (x1 , y, z1 ) : p1 + g z 1 + v2 2 - v1 2 = K ; 2 x2 - x1 x2 v2 2 - v1 2 = K . · en M1 (x2 , y, z2 ) : p2 + g z 2 + 2 x2 - x1 (x, y, z) p (x, y, z) + g z + Attention, les points M1 et M2 sont différents de ceux utilisés précédemment car ici, ils n'ont pas la même altitude a priori. En égalant les deux expressions, on déduit la relation de Bernoulli p1 + g z 1 + v1 2 v2 2 = p2 + g z 2 + 2 2