Mines Physique 1 PC 2000

Thème de l'épreuve Étude de transformations irréversibles en thermodynamique
Principaux outils utilisés thermodynamique

Corrigé

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A 00 PHYS. I , ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÊES, ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMÜNICATÏONS, DES MINES DE PARIS DES MINES DE SAINT-ETIENNE DES MINES DE NANCY DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2 000 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'emploi de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition du concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE ] -PC L'én0ncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages. 0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d' énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. 0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. . Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numén'ques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. L'épreuve comprend deux problèmes indépendants entre eux, et qui pourront être traités dans l'ordre que l'on voudra. Le premier étudie l'irréversibiiité d'une évolution, le second s'intéresse à une manière de tendre vers la réversibilité. Les diverses parties de ces problèmes sont liées par le sens et certains de leurs résultats sont analogues. PROBLÈME I : IRRÉVERSIBILITÉ ET FONCTION G* Toute évolution spontanée d'un système quelconque génère une création d'entropie Quand le système est en interaction avec une source unique, 1 irréversibilité de la transfor- mation est calculable à partir d' une fonction nommée G. Le problème présente cette fonc- tion successivement pour un fluide parfait homogène, pour un fluide diphasé et pour une particule en mécanique. 1. Cas du Fluide Parfait 1.1. Déséquilibre mécanique Un corps de pompe horizontal contient une mole de gaz parfait dans les conditions de température et de pression T0 et p. La capacité calorifique molaire Cp du gaz à pression constante est constante. Le piston et le corps de pompe sont de bons conducteurs thermiques (parois diathermanes). L'atmosphère extérieure est une source d'énergie thermique et de travail. Sa tempéra-- ture est notée T 0 et sa pression po. Elle peut ainsi, d'une part échanger une quantité finie d'énergie thermique (" chaleur ") sans voir varier sa température, d'autre part changer de volume sans que sa pression varie. Le piston (fig. 1) est débloqué à l'instant t= 0_ ; on attend l'équilibre final. Les frottements du piston sont négligés. D 0 -- Établir l'expression de la variation d'entropie d'une mole de gaz parfait, subissant une transformation réversible entre deux états 1 et 2 (on note R la constante des gaz parfaits, ou constante molaire) : Fig.]:piston,àt=O_ Sz_SI=CPln--TÀ--Rlnfä 1 P1 D 1 -- Quelle est la variation AS 1 de l'entropie S du gaz ? Quelle est son signe selon que p > po ou p < po ? L'évolution du gaz n'est--elle pourtant pas irréversible dans les deux cas ? D 2 -- Calculer la variation de l'entropie de l'Univers (AS 1 )U et exprimer cette dernière en fonction de x = -p--°. À l'aide d'une étude graphique, déterminer le signe de (AS1)U dans P les deux cas p > po etp < po. On pourra poser, ici et ailleurs, s(x) = (x -- l) ---- ln(x) 1.2. Déséquilibre thermique La géométrie du système est la même que la pré- cédente, mais le piston et le corps de pompe sont main-- tenant recouverts d'un isolant thermique. Le gaz est dans les conditions de température T et de pression po. Le piston est libéré à l'instant t = 0 et l'isolant est sup- primé (figure 2). Fig. 2 : t = O-- ; éléments isolés E] 3 -- Exprimer la variation ASZ de l'entropie du gaz en fonction de T et de TO. D 4 -- Toujours en procédant graphiquement (poser y : 1), calculer la variation 76 d'entropie de l'Univers (ASZ)U ; déterminer son signe dans les deux cas T> T 0 ou T < T 0. 1.3. Déséquilibre thermodynamique Dans les conditions initiales les plus générales, on note T la température du gaz et p sa pression ; le gaz est isolé thermiquement, le piston est bloqué. A l'instant t= O, le piston est libéré et l'isolant supprimé. Cl 5 -- Exprimer et commenter l'expression de (AS)U en fonction de (AS 1 )U et (AS2)U. 1.4. La fonction G * On considère (fig. 3) la transformation la plus générale où le gaz est en déséquilibre thermodynamique aux deux instants initial et final. Pratiquement, on bloque le piston avant que l'équilibre mécanique soit atteint et on remet en place l'isolant thermique. Le gaz est alors dans l'état (T', p'). On définit la fonction G' par G'= U + p0v --TOS où U et v désignent respectivement l'énergie interne et le volume du gaz. D 6 -- On note Avs et ASs les variations de volume et d'entropie de la source. Exprimer la variation d'énergie interne de la source AUs au cours de la transformation en fonction de Avs, ASS, po et T0. E] 7 -- Exprimer la variation d'entropie de l'Univers (AS)U en fonction de AG'. En déduire que AG' mesure l'inéversibilité de la transformation. Quel est l'intérêt de la fonction G' par rapport à SU pour ce type d'interaction ? Justifier le nom de potentiel ' thermodynamique donné à G'. Fig. 3a : état initial Fig. 3!) : état intermédiaire Fig. 3c : étatfinal E] 8 -- La situation de déséquilibre mécanique (section 1.1) est définie par x = 2, celle du déséquilibre thermique (section 1.2) par y = 2. Quelle est, selon la mesure introduite à la question 7, la transformation la plus irréversible ? 2. Cas d'un système diphase' La figure 4a décrit la situation : à l'instant t = 0_, le corps de pompe, isolé thermique- ment, contient 1 mole d'eau à la température T = 100 °C. Le piston est bloqué et le volume intérieur est vi= 10" m3. La température de l'atmosphère extérieure est T 0 =100 °C, sa pres- sion est po = 105 Pa (pression atmosphérique). On suppose que le volume de l'eau liquide est négligeable et que l'eau vapeur se comporte comme un gaz parfait. À 100°C la pression de vapeur saturante de l'eau est p...(73) :] atm et la chaleur latente de vaporisation vautL(73) : 41 kJ.mol" ; la constante molaire est R = 8,3 J .K". A l'instant t= 0+, le piston est libéré. On bloque ce dernier lorsque le volume intérieur atteint la valeur vf= 10"2 m3 (fig. 4h). Fig. 4a : état initial Fig. 4b : état final E] 9 -- Déterminer les titres molaires initial xi et final xf en vapeur d'eau. Il sera com- mode de formuler une hypothèse, que l'on vérifiera, sur l'état initial de l'eau dans le corps de pompe. D 10 -- Exprimer littéralement puis numériquement les variations d'énergie interne Au et d'entropie As d'une mole d'eau se vaporisant à la température de 100° C. En déduire la variation A G' entre les états initial et final. Commenter. D 11 -- Le piston est à nouveau débloqué. Que se passe-t--il ? On déplace alors très len- tement le piston jusqu'à ce que le volume occupé par l'eau soit v} = 3 >< 10_3 m'. Quelle est la nouvelle variation AG* de la fonction G' ? Comparer cette variation à la variation d'enthalpie libre AG de l'eau au cours de la même transformation. 3. Thermodynamique du mouvement unidimensionnel d'une particule En mécanique classique comme en mécanique relativiste, la loi fondamentale de la dynamique dans un référentiel galiléen appliqué à une particule en mouvement sur un axe sous l'action d'une force F s'exprime sous la forme% = F. On considère un gaz de parti- cules identiques et équivalentes et on s'intéresse à l'une d'entre elles, représentative de l'ensemble. L'équation d'état de cette particule, c'est-à-dire la relation liant la quantité de mouvement p àla vitesse v est supposée, à ce stade, inconnue. La particule représentative est en interaction avec une source de chaleur de température T0 et une source de vitesse vo (cette source peut échanger une quantité de mouvement finie sans changer de vitesse). La tempé- rature de la particule est notée T. CI 12 -- Montrer que les différentielles des énergies internes de la particule, U, et de la source (dont les grandeurs sont affectées de l'indice " s "), s'écrivent respectivement dU=vdp+TdS et dUs=vodps+TOdS & D 13 -- Par analogie avec les exemples précédents, on définit la fonction G' de la parti- cule par : G'= U -- v0p -- TQS. Montrer que la variation de G' au cours de l'interaction parti- . , ' . , . * , cule-source est rehee a l'entropie cree par la relation AG = -- T OASU. D 14 -- On suppose à partir de maintenant que le mouvement est unidimensionnel ; les grandeurs p et v sont des scalaires. L'expression à l'ordre le plus bas de la variation élémen- taire dG' de G pour des variations élémentaires dp et dT est dG* =(dG*)l =(ÊÎ) dT+(âÿp*ldp ar ap 3--5 et Û_S ; en déduire les grandeurs T et v d'équilibre de la particule. ar p ap , Cl 15 -- Quelle est alors, à l'ordre le plus bas, la forme de l'expression de dG' autour de 2 * 2 * 2 * 2 * l'équilibre ? Exprimer(a G ] , (à G ] et (à G ] : (3 G ) à l'équilibre en 17 T p,T T.p ' ' * * Exprimer dans le cas général (3G ) et (8G ) en fonction de (T -- 78), (v ----vo), p T ar2 ap2 arap apar fonction de dérivées premières de S et de v. Cl 16 --En déduire le sens de variation de l'entropie avec la température ainsi que le sens de variation de la quantité de mouvement avec la vitesse. Cl 17 ----En mécanique classique, l'équation d'état p = mv est évidemment compatible avec le sens de variation de la fonction p(v) établi à la question 16 ; qu'en est--il en mécani- m que relativiste où p = Fin de ce problème PROBLÈME 11 : UNE APPROCHE DE LA RÉVERSIBILITÉ La mole de gaz parfait considérée dans cette partie est caractérisée par son coeffi- C cient? = E'--'--, rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constant, supposé indé- V pendant de la température. La constante des gaz parfaits est notée R. Pour chacune des évo- lutions du gaz, l'état initial sera l'état d'équilibre, caractérisé par les grandeurs (R,, VO, 75) : (pression, volume, température) ; on cherchera chaque fois à limiter la production d'entropie associée à l'évolution. ]. Étude d'une transformation monatherme CI 18 -- Le gaz parfait est placé dans un récipient à parois fixes. Une des parois est mise en contact avec un TT thermostat dont la température est notée T T. Les autres parois sont calorifugées (fig. 5). Déterminer l'état final (Pf, V f , Tf) du gaz quand, à l'issue de la transformation, Fig- 5 --' éV01ufi0n mon01herme l'équilibre est atteint. Effectuer un bilan d'entropie. La transformation est--elle thermiquement réversible ? Cl 19 -- On réalise la transformation précédente en mettant la paroi non calorifugée du récipient contenant le gaz avec une succession de N sources dont les températures respecti- T --T NT--T esT lSkSN sont T= --T----° k+--°--T--=T+ k--19 ce uidéfinit9.0n v k( ) k (N--l) N--l 0( ) ( q ) ade la sorte T] : T0 et TN=TT. Définir l'état final du gazàl'issue de cetensemble de trans- formations. Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire fi_l --> 7}. En déduire, pour la transformation totale, l'expression de la quantité d'entropie liée à une éventuelle irréversibilité thermique de la transformation. Cl 20 -- Cette quantité d'entropie peut-elle s'annuler lorsque N est assez grand (en toute 2 rigueur, N ----> °°) ? on rappelle que ln(l -- 8) = --8 -- %-- + 0(82). 2. Étude d'une transformation monobare Cl 21 -- Le gaz parfait est initialement en contact avec une source àla température T 0, dans un récipient To Pr, To dont les autres parois sont calorifugées (fig. 6). Une de ces parois, initialement bloquée, peut se déplacer sans frottement. On libère la paroi mobile, la pression extérieure, constante, est notée PT. Déterminer l'état Fig. 6 " éV01ufi0n monobare final (Pf, Vf, Tf) du gaz quand, à l'issue de la trans- formation, l'équilibre est atteint. Effectuer un bilan d'entropie. La transformation est--elle thermiquement réversible ? D 22 -- On réalise la transformation précédente en déplaçant la paroi mobile par étapes successives. À l'étape k, la pression du gaz esth = F0 + (k --1)ÎI, de sorte que P] =P0 et PN =PT. Avec 1 S k 5 N , cela définit l'incrément de pression H. Définir l'état final du gaz à l'issue de la transformation complète. Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire P,,_] ----> B,. En déduire, pour la transformation totale, la quantité d'entropie liée à une éventuelle irréversibilité mécanique de la transformation. D 23 -- Cette quantité d'entropie peut-elle s'annuler ? 3. Étude d'une transformation plus générale La figure 7 illustre la situation initiale du système. La paroi A est diathermane. Les parois latérales et la paroi B sont calorifugées. Cette dernière, initialement bloquée, peut se déplacer sans frottement. La pression extérieure, notée PT, est constante. La transformation consiste à mettre le gaz 1 en contact avec la source à la tempé- F i g. 7: Évolutions de gaz parfaits rature TT et à libérer la paroi B. 3 24 -- Déterminer l'état final de chacun des deux gaz. Faire un bilan d'entropie. Cl 25 -- Analyser la nature d'éventuelles irréversibilités. :| 26 -- Est--il possible, tout en arrivant aux mêmes états finaux, de diminuer l'entropie créée ? 4. Au-delà du gaz parfait... Un ressort élastique de raideur k est chargé en N étapes par une masse M ; à chacune M des étapes, une masse m = Î est ajoutée au système, et la longueur du ressort augmente de h. Au total, la longueur du ressort a augmenté de H : Nh. On rappelle la formule somma- _ N(N+1) t01re:l+2+3+...+N=----. " D 27 -- Calculer la variation d'énergie potentielle asso- ciée au chargement progressif du ressort, calculer la variation d'énergie élastique et en déduire l'expression de l'énergie > k dissipée sous forme thermique. E] 28 -- La température du milieu est constante, calculer la variation d'entropie associée au processus. D 29 -- Un condensateur de capacité C est chargé sous une différence de potentiel U en N étapes identiques. À cha-- cune des étapes, la différence de potentiel entre les armatures Fig. 8 : Ressort élastique U est augmentée de Î' par le branchement d' une source d' alimentation supplémentaire. La température est constante. Calculer l'énergie totale perdue par les sources, l'énergie électro- statique accumulée dans le condensateur et montrer que l'augmentation d'entropie liée à ce 1 CU2 processus est AS = -- 2NT' M Une mole de gaz parfait en contact avec un ther-- m---- -- -- mostat à la température T est comprimée de la pression Pi à la pression Pf, son volume varie de Vi à Vf. Lorsque la / \4l transformation est soudaine, comme c'est le cas par exemple si l'on pose sur le piston un objet de masse appropriée le système se stabilise après quelques oscilla-- tions amortiès. L' énergie thermique dissipée dans le milieu extérieur est AQ-- --- Pf(Vi-- Vf). WW/// /5 -- Fig. 9 : Compression d 'un gaz parfait D 30 -- Exprimer la variation d'entropie du ther- mostat, (ASL, et celle du gaz, (AS ) tion totale d'entropie en fonction de R et des pressions initiale et finale. G. Exprimer la varia-- D 31 --Exprimer la variation totale d'entropie lorsque le processus est réalisé enN éta- pes. ' Pi_Pf Cl 32 -- Dans le cas où << ], simplifier l'expression de la variation d'entropie i établie à la question 31. Cl 33 -- Montrer que, q désignant la charge du condensateur sous une tension U et V le . . . 1 CU2 volume du piston sous une pressron P, la relation AS = -- 2NT le piston peuvent être mises respectivement sous les formes et la relation analogue pour (AS) =L(Uf "Ui)2ä condensateur 12 N T aV âU (R1 et R2) 2 (AS)... = "2N--T(Pf " Pi) 370 En comparant R1 et R2, proposer une analogie entre les deux systèmes et leurs varia- bles caractéristiques ; étayer cette analogie par un argument énergétique et justifier qualitati- vement la différence des signes qui figurent dans ces deux relations. Fin de ce problème FIN DE L'ÉPREUVE

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 Mines Physique 1 PC 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nathanaël Schaeffer (ENS Lyon) ; il a été relu par Patrick Charmont (ENS Lyon) et Fabien Guérin (École polytechnique). Cette épreuve, qui comporte quelques difficultés, est entièrement consacrée à l'étude (quelque peu répétitive) de transformations irréversibles en thermodynamique. Les deux parties, bien qu'indépendantes se recoupent. Dans le premier problème, on introduit la fonction G , pour étudier l'irréversibilité de différentes transformations. On s'intéresse d'abord à un fluide parfait, puis à un système diphasé, et enfin à une particule matérielle. Dans le second problème, on essaie de voir dans quelle mesure on peut réduire l'irréversibilité de certaines transformations sur des systèmes aussi divers qu'un gaz parfait, un ressort et un condensateur. Indications Premier problème 0 Utiliser l'enthalpie H. 1 L'entropie étant une fonction d'état, on peut appliquer le résultat de la question 0. 5 Il peut être intéressant de noter que U = Cv T et que Cv = Cp - R. 6 Intégrer l'inégalite thermodynamique. 9 La transformation est isotherme. - - - d p 12 La puissance d'une force est P = F .- v , avec F = . dt 15 Développer G autour de l'équilibre d'une part, et différencier G deux fois d'autre part. Identifier. 16 Examiner la stabilité de l'équilibre. Deuxième problème 18 Il peut être intéressant d'établir la relation S = Cv ln dans toute la suite. Tf Vf + R ln . Elle servira T0 V0 20 On peut chercher un équivalent de SU lorsque N devient très grand, en effectuant un développement limité de (SU )k , puis en sommant. 23 Inutile de refaire les calculs, c'est la même chose qu'à la question 20... 24 Effectuer les bilans sur les sous-systèmes, et sommer. 27 Établir tout d'abord l'expression de la variation d'énergie potentielle pour une étape. 28 On suppose que l'entropie du ressort ne dépend pas de l'allongement. dq . En déduire l'énergie 29 La puissance fournie par un generateur est UI, et I = dt fournie. 32 Même calcul qu'à la question 23. Attention au nombre d'étapes. Premier problème : 1. Irréversibilité et fonction G Cas du fluide parfait 0 L'expression qu'on veut établir fait intervenir P et T. On utilise donc l'enthalpie H qui est reliée à S par l'identité thermodynamique : dH V - dP T T L'équation des gaz parfaits PV = RT, ainsi que la relation dH = Cp dT nous permettent d'écrire dT dP dS = Cp -R T P Cette dernière équation différentielle, à variables séparées, ne fait intervenir que deux variables, P et T. qui sont donc indépendantes. On peux donc intégrer indépendamment par rapport à T et P. Z 2 Z 2 Z 2 dT dP dS = Cp -R T P 1 1 1 dS = Les valeurs de P et T finales et initiales étant connues, on obtient finalement l'expression recherchée : S2 - S1 = Cp ln T2 P2 - R ln T1 P1 Une équation différentielle à variables séparées, contenant P, T, et V, ne peut pas être résolue en intégrant indépendamment sur ces trois variables. En effet, elles sont liées par l'équation d'état PV = RT, et ne peuvent donc pas varier indépendamment. 1 Le piston est libre, et la paroi diatherme. À l'équilibre on a donc égalité des températures et des pressions à l'interieur et à l'exterieur du piston. Comme l'entropie est une fonction d'état, l'expression établie à la question 0 est valable pour une transformation quelconque d'un gaz parfait. On applique donc cette relation à la transformation proposée, sachant que l'état d'équilibre est (P0 , T0 ). S1 = -R ln P0 P ­ Si P > P0 , on a S1 > 0 ; ­ si P < P0 , on a S1 < 0. L'évolution du gaz est irréversible dans les deux cas, bien que le signe de S1 ne soit pas le même. En effet, le gaz dans le piston n'est pas un système isolé, puisqu'il peut échanger chaleur et travail avec l'extérieur. Comme le second principe S > 0 ne s'applique qu'à des systèmes isolés, le signe de la variation d'entropie du gaz ne donne pas d'information particulière sur l'éventuelle irréversibilité de la transformation. 2 L'entropie est additive. On connait déjà la variation d'entropie du gaz, il reste donc à calculer la variation d'entropie du thermostat, qui est toujours Sthermostat = Qthermostat Tthermostat Il nous faut donc trouver la quantité de chaleur que le thermostat a échangé avec la source. Pour cela, on se rappelle que l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Comme elle est la même pour les états initial et final, on a : U = 0 = W + Q Or W = -Pext V, donc Q = P0 V. En utilisant l'équation des gaz parfaits, on 1 1 peut calculer V = RT0 - . Comme Qgaz = -Qthermostat , on a finalement : P0 P 1 1 - Sthermostat = -RP0 P0 P D'où : (S1 )U = R Ce qu'on peut écrire en fonction de x = P0 P0 - 1 - ln P P P0 , avec s(x) = (x - 1) - ln x : P (S1 )U = R (x - 1 - ln x) = Rs(x) 4 2 0 -2 0 1 2 3 4 5 On voit que la courbe d'équation y = x - 1 est toujours au-dessus de la courbe y = ln x. Donc (S1 )U > 0. Le second principe est bien vérifié. 3 Comme pour la question 1, on applique la formule obtenue à la question 0. L'état final, à l'issue de cette transformation isobare, est (P0 , T0 ) : S2 = Cp ln T0 T 4 On procède exactement comme à la question 2 : on cherche à exprimer le transfert thermique reçu par le thermostat. Ici, on a affaire à une transformation à pression constante. Le transfert thermique reçu par le gaz est donc Qgaz = -Qth = Cp T. D'où (S2 )th = - Cp T T0