ENS Physique C PC (U) 2025

ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2025

JEUDI 17 AVRIL 2025
08h00 - 14h00
FILIERE PC

-

Epreuve n° 7

PHYSIQUE C (U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Autour de l'énergie électromagnétique
? ? ?

Cette épreuve propose d'étudier l'énergie électromagnétique de distributions de charges et
de courants. On essaiera notamment de déterminer l'énergie de telles distributions à partir
des travaux nécessaires pour les mettre en place, et de relier les différentes formulations
possibles de ces énergies. On s'interrogera également sur la signification physique de l'énergie propre de telles distributions, en lien avec les différents modèles microscopiques utilisés
pour décrire ces distributions.
Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes l'une de l'autre, la première
traitant de l'énergie de distributions de charges en électrostatique et la deuxième traitant de
l'énergie de distributions de courants dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires
(ARQS). Ces deux parties ont cependant été pensées pour être effectuées dans l'ordre, et les
candidats sont encouragés à procéder ainsi.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même
s'il n'a pas été démontré. Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une
erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit
l'épreuve en conséquence.
La plus grande importance doit être accordée à la qualité de la rédaction et de la
présentation. Certaines questions, marquées par une étoile (*), requièrent une réflexion
plus poussée de la part des candidats, sans être nécessairement plus calculatoires. Elles
seront valorisées en conséquence, même si le raisonnement est inachevé. Les réponses
doivent être clairement argumentées, en s'appuyant si nécessaire sur des schémas, tout en
restant aussi concises que possible.

? ? ?
Ce sujet comporte 15 pages, numérotées de 1 à 15.
? ? ?

1

Formulaire
Analyse vectorielle et intégrales utiles
-- On désigne par :
~  le gradient d'un champ scalaire ,
? grad
~ la divergence d'un champ vecteur X,
~
? div X
~ le rotationnel d'un champ vecteur X.
~
~ X
? rot
~ des champs scalaire et vecteur quelconques :
-- Pour  et X

~  = ~0,
~ grad
? rot

~ = 0.
~ X
? div rot
-- Notant ~rAB = ~rB - ~rA , le gradient de 1/rAB vaut :

~rAB
1
1
1
~
~
= - 3 en faisant varier ~rB , donnant : d
= gradB
· d~rB , (1)
gradB
rAB
rAB
rAB
rAB

~rAB
1
1
1
~
~
~
=
en
faisant
varier
r
,
donnant
:
d
=
grad
· d~rA . (2)
grad
A
A
A
rAB
rAB 3
rAB
rAB
~ des champs scalaire et vecteurs quelconques :
~ et Y
-- Pour , X

~ ) · X.
~ =  div X
~ + (grad
~
div (X)

~ =Y
~ · rot
~ .
~  Y)
~ -X
~ · rot
~ Y
~ X
div (X
~ et Z
~ Y
~ possède les propriétés suivantes :
-- Le produit mixte de trois vecteurs X,

~=- X
~ ·Z
~
~ Z
~ ·Y
~ X
~ ·Y
~ Y
~= Z
X

(3)
(4)

(5)

-- Dans tout le sujet, on note d~r les éléments de volume dans les intégrales, où l'indice
~r repère des éléments de volume d sur lesquels l'intégration est effectuée. On repère
~~r et d~l~r les éléments de surface et de longueur, respectivement.
similairement dS
-- On rappelle les formulations des intégrales sur tout l'espace en coordonnées cartésiennes (x, y, z), cylindriques (r, , z), et sphériques (r, , ) :
$
$ x,y,z=+
F(~r)d~r =
F(x, y, z) dx dy dz
x,y,z=-

=
=

Z + Z 2 Z +
r=0
=0 z=-
Z + Z  Z 2
r=0

-- On a :

=0

$

=0

F(r, , z) r dr d dz

F(r, , ) r sin  dr d d.

~r · (~r + ~n)
d~r = 4,
(6)
r3 |~r + ~n|3
où l'intégrale est effectuée sur tout l'espace et ~n est un vecteur unitaire quelconque, et
Z 
4
sin3  d = .
(7)
3
0

2

~ et B
~
Symétries et propriétés à grande distance des champs E
~ r) et magnétique B(~
~ r) créés par
On rappelle quelques propriétés des champs électrique E(~
des distributions de charges (~r) et de courants ~j(~r). On note également V(~r) le potentiel
électrique.
-- Symétries des champs par rapport aux charges et courants :
~ et d'antisymétrie pour B,
~
? les plans de symétrie de  et ~j sont de symétrie pour E
~ et de symétrie pour B.
~
? les plans d'antisymétrie de  et ~j sont d'antisymétrie pour E
~ r) dans un repère cartésien (x, y, z), on a :
-- Soit z = 0 un plan de symétrie du champ X(~
~ N (x, y, z) = -X
~ N (x, y, -z),
X
~ T (x, y, z) = X
~ T (x, y, -z),
X
~ N et X
~ T sont les composantes normale et tangentielle de X
~ par rapport à ce plan.
où X
~ N = ~0, et X(x,
~ y, 0) est donc contenu dans le plan de symétrie.
Pour z = 0, on a X
~ r) dans un repère cartésien (x, y, z), on a :
-- Soit z = 0 un plan d'antisymétrie du champ X(~
~ N (x, y, z) = X
~ N (x, y, -z),
X
~ T (x, y, z) = -X
~ T (x, y, -z).
X
~ N et X
~ T sont les composantes normale et tangentielle de X
~ par rapport à ce plan.
où X
~ T = ~0, et X(x,
~ y, 0) est donc perpendiculaire au plan de symétrie.
Pour z = 0, on a X
-- On considère les champs à grande distance de distributions finies de charges et de courants, de charge totale Q. En électrostatique, magnétostatique, et dans l'Approximation
des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS), on a :
~ et V décroissent respectivement en r-2 et r-1 ,
? si Q , 0, E
~ et V décroissent respectivement au moins en r-3 et r-2 ,
? si Q = 0, E
~ décroît au moins en r-3 .
? quelle que soit Q, B
-- Discontinuité des champs électriques et magnétiques :
~ ne sont pas définis sur une distribution surfacique de charges,
? les champs E
~ ne sont pas définis sur une distribution linéique de courants.
? les champs B

Constantes fondamentales
-- Vitesse de la lumière c = 3,0 × 108 m · s-1
-- Constante de Planck h = 6,6 × 10-34 J · s
-- Permittivité diélectrique du vide 0 = 8,9 × 10-12 F · m-1
-- Perméabilité magnétique du vide µ0 = 1,3 × 10-6 T · m · A-1
-- Masse de l'électron me = 9,1 × 10-31 kg
-- Charge élémentaire e = 1,6 × 10-19 C
On rappelle que µ0 0 c2 = 1.

3

Première partie

Énergie électrostatique
On étudie dans cette partie l'énergie de systèmes électrostatiques à l'équilibre, ou en déplacements
quasi-statiques. On négligera donc tout effet lié aux champs magnétiques. Sauf mention contraire, on
n'étudiera que des systèmes d'extension spatiale finie. Par convention, on considérera que l'énergie
d'interaction électrostatique entre deux systèmes d'extension spatiale finie tend vers zéro quand la
distance entre ceux-ci tend vers l'infini.

1.1

Énergie d'un système de charges ponctuelles

On rappelle que la force de Coulomb d'une charge q1 sur une charge q2 s'écrit
--- q1 q2 -
r
12
F12 =
,
40 r12 3
où -
r est le vecteur repérant la position de q par rapport à celle de q .
12

2

(8)

1

1 - On considère un système de deux charges q1 et q2 . La charge q1 étant fixe, on déplace
q2 de façon quasi-statique à partir de l'infini jusqu'à une distance r12 . Calculer l'énergie
potentielle d'interaction électrostatique U12 associée au travail de q1 sur q2 , que l'on exprimera
en fonction de q1 , q2 , r12 et 0 .
---
2 - On considère à présent la charge q2 fixe, et on déplace q1 . Déterminer la force F21
dérivant de l'énergie potentielle obtenue précédemment. Cette énergie potentielle décrit-elle
complètement l'interaction électrostatique entre les deux charges ?
3 - En déduire le facteur a tel que l'énergie électrostatique Uq d'un système Sq = {qi }1iN
de N charges s'écrive
X
Uq = a
q j Vi j ,
(9)
i,j

où la somme est prise sur toutes les paires possibles d'indices i et j entre 1 et N telles que
i , j, et où l'on définira Vij . Quel signe peut avoir cette énergie ?
Par la suite, on parlera de l'énergie électrostatique propre U d'un système S, ou simplement de
son énergie électrostatique, pour décrire l'énergie électrostatique totale de ce système. On parlera
également de l'énergie d'interaction électrostatique U12 entre deux systèmes S1 et S2 pour décrire
les interactions électrostatiques entre les constituants de ces systèmes.
4 - On prend un système de quatre charges Sq = {q1 , q2 , q3 , q4 } que l'on décompose en

deux sous-systèmes Sq = {q1 , q2 } et Sq = {q3 , q4 }. Décomposer l'énergie électrostatique Uq du

système Sq en l'énergie propre Uq et Uq de chaque sous-système et l'énergie d'interaction

Uq entre les deux sous-systèmes. On exprimera ces énergies en fonction des charges qi et
des potentiels Vi j définis à la question précédente.

5 - On généralise à présent au cas de deux systèmes Sq et Sq contenant respectivement N
et N charges {qi }1iN et {q j }1jN . En vous appuyant sur la question précédente, montrer

que l'on peut écrire l'énergie d'interaction Uq entre Sq et Sq sous la forme
X

Uq = b
q j V j
(10)

jSq

4

avec b un facteur numérique à déterminer et Vj un potentiel que l'on définira. Obtenir un
résultat similaire écrit uniquement à partir d'un potentiel Vi , que l'on définira.

1.2

Formulations intégrales de l'énergie électrostatique

Pour un système S composé d'une distribution continue de charges (~r), on propose la formulation
intégrale suivante de l'énergie électrostatique propre :
$
1
U =
(~r)V (~r) d~r ,
(11)
2
où V (~r) est le potentiel créé en ~r par la distribution S . Cette intégrale s'étend sur le support de la
distribution de , mais peut être de façon équivalente considérée sur tout l'espace.

6 - Pour un système S composé de deux sous-systèmes S et S , de distributions de
charges  (~r) et  (~r), et créant respectivement des potentiels V (~r) et V (~r), décomposer

l'énergie électrostatique U du système S en l'énergie propre U et U de chaque sous

système et l'énergie d'interaction U

entre les deux sous-systèmes.

Dans la suite, on admettra que l'énergie d'interaction électrostatique entre deux systèmes S et S
peut aussi s'écrire :
$
$

U =
 (~r)V (~r) d~r =
 (~r)V (~r) d~r .
(12)
L'égalité entre ces termes est parfois appelé le théorème de réciprocité en électrostatique.

7 - Voyez-vous une différence entre les formulations Uq et Uq obtenues pour des sys
tèmes de charges ponctuelles, et celles U et U obtenues pour des distributions continues
de charges ?

8 - Déterminer et commenter les modifications de U et U si le potentiel électrostatique
est redéfini à une constante V près. On pourra introduire les charges totales Q, Q et Q

contenues dans les systèmes S , S et S .
9 - À partir de l'équation (11), que l'on écrira comme une intégrale sur tout l'espace,
montrer que l'on peut écrire l'énergie électrostatique de tout système S d'extension spatiale
finie sous la forme
$
1 ~2
0 E (~r) d~r ,
(13)
Ues =
2
~ r) est le champ électrostatique créé par ce système, et où l'intégrale est prise sur tout
où E(~
l'espace.
10 - Commenter le signe de cette énergie. Comment expliquer la différence avec le résultat obtenu pour des charges ponctuelles ? Le signe de cette énergie permet-il d'avoir une
interaction attractive entre systèmes électrostatiques ?
11 - Calculer l'énergie électrostatique Ues d'un système composé d'une unique charge
ponctuelle q. Commenter sur la possibilité d'utiliser les formulations des équations (11)
et (13) pour décrire un système de charges ponctuelles.

5

12 - On considère un système de deux charges ponctuelles q1 et q2 aux positions ~r1 et ~r2 par
rapport à une origine O. En utilisant l'équation (13), décomposer l'énergie électrostatique
totale Ues de ce système de charges en des termes d'énergie propre et d'énergie d'interaction.
Calculer la ou les intégrales non-divergentes, pour obtenir un résultat que l'on mettra sous
la forme la plus simple possible, et qui dépendra de q1 , q2 , 0 et r12 = |~r2 - ~r1 |. Commenter.

1.3

Énergie électrostatique et grandeurs nivelées

Pour éviter d'avoir des divergences, et pour permettre une modélisation continue, on décrit généralement les distributions
de charges avec des grandeurs
nivelées. Partant d'une distribution de N charges

ponctuelles qi 1iN situées aux positions ~ri 1iN , la distribution de charges nivelées est définie à
l'aide d'une fonction fenêtre f (~r) :
N
X
(~r) =
qi f (~r - ~ri ).
(14)
i=1

Par la suite, on suppose que f (~r) est positive et vérifie :
$
f (~r) d~r = 1,

(15)

où l'intégrale est prise sur tout l'espace. On supposera également que f (~r) est à symétrie sphérique,
et qu'elle ne prend des valeurs non-nulles que jusqu'à une distance R de son centre.
13 - Représenter graphiquement le passage d'une distribution de charges ponctuelles à
une distribution de charges nivelées. Quelle est la charge totale contenue dans  ?
14 - Écrire explicitement la fonction f (~r) pour une charge nivelée de manière homogène
sur une boule de rayon R.
Par la suite, on notera qi la distribution de charge nivelée associée à une charge qi , que l'on repérera
par la position ~ri de son centre.
15* - Montrer que le potentiel électrique créé par une distribution de charges d'extension
spatiale finie, et telle qu'il existe M vérifiant |(~r)| < M pour tout ~r, est de valeur finie en tout point. 16 - En déduire que l'énergie électrostatique d'une distribution contenant une quantité finie de charges nivelées ne diverge pas. L'utilisation de grandeurs nivelées permet donc d'éviter les divergences apparaissant avec des charges ponctuelles. Dans les questions suivantes, on étudie comment l'énergie électrostatique est modifiée en travaillant avec de telles grandeurs plutôt qu'avec des charges ponctuelles. 17 - Calculer l'énergie électrostatique propre UBR d'une charge ponctuelle q nivelée, pour une fenêtre f (~r) qui correspond à une boule homogène de rayon R. On exprimera cette énergie en fonction de q, 0 et R. 18 - En relativité, on associe une énergie à toute masse, par la formule E = mc2 . En modélisant l'électron comme une boule homogène, et en supposant que toute la masse d'un électron est due à son énergie électrostatique, quel serait son rayon re ? On tiendra compte pour cela du champ électrique à l'intérieur comme à l'extérieur de l'électron. On entend généralement que la description classique d'un électron n'est plus valide en dessous de ce rayon. À cette échelle, a-t-on déjà atteint d'autres limitations de la physique classique ? 6 19* - On considère à présent deux charges nivelées q1 et q2 , séparées par une distance r12 = |~r2 - ~r1 |. Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, expliquer pourquoi l'énergie d'interaction électrostatique U12 entre ces deux charges nivelées est la même que celle obtenue sans le nivellement, tant que les deux supports nivelés de q1 et q2 ne se recoupent pas. 20* - On étudie à présent la situation où les deux charges nivelées s'interpénètrent. On se place dans le cas où les deux charges q1 et q2 sont de signes opposés, et où la fonction fenêtre correspond à une boule homogène de rayon R. Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, montrer que l'énergie d'interaction U12 entre les charges est une fonction décroissante de la distance r12 entre leurs centres, et que la configuration d'énergie minimum est celle où ces m deux charges sont superposées. On note U12 la valeur absolue de l'énergie associée à cette configuration. 21 - On admet que le résultat de la question précédente est valable pour toute fenêtre vérifiant f (~r)  0. Tracer un graphique représentatif de l'énergie d'interaction U12 entre deux charges ponctuelles ou nivelées en fonction de la distance r12 entre leurs centres, en y faisant apparaitre les grandeurs pertinentes. On considérera les cas où q1 q2 < 0 et q1 q2 > 0.
22 - Expliquer pourquoi l'introduction de grandeurs nivelées revient à introduire une distance effective minimale rmin entre charges. Calculer cette distance minimale pour |q2 | = |q1 |,
lorsque f (~r) correspond à une boule homogène.

1.4

Étude d'un système de sphères concentriques

On considère deux conducteurs sphériques Sa et Sb concentriques, de rayons Ra et Rb vérifiant Ra < Rb , et de charges respectives Qa et Qb . Ces charges sont réparties de façon homogène sur les sphères. Pour toute cette section, on se place en coordonnées sphériques centrées sur le centre des sphères étudiées. On veut décomposer l'énergie électrostatique du système en la somme de l'énergie propre de chaque sphère et de l'énergie d'interaction électrostatique entre les deux sphères. Pour calculer ces énergies, on va étudier les travaux mis en jeu lorsque les deux sphères changent de rayon, avant de faire une comparaison avec les résultats obtenus en utilisant la formulation de l'énergie électrostatique introduite dans l'équation (13). Figure 1 ­ Vue de coupe de l'élément  sur la sphère S, avec en pointillés le reste  de la sphère. Les points P, P- et P+ ont également été représentés. On considère pour commencer une sphère seule S, de rayon R, de densité surfacique de charges , et de charge totale Q. On commence par calculer directement le travail fourni par la sphère sur elle-même lorsqu'elle change de rayon. Cela est cependant rendu difficile par le fait que le champ électrique créé par une distribution surfacique de charges diverge sur cette même surface. Pour résoudre ce problème, on considère un élément  de la sphère, de la forme d'un carré de centre P, de côté b négligeable par rapport à R, et que l'on peut donc considérer comme plan. On va calculer la force exercée par le reste de la sphère  sur cet élément, en faisant l'hypothèse que le champ 7 ~ S et ~  créé par  est homogène sur , et peut donc être évalué en P. On note également E électrique E ~  les champs créés par S et , respectivement. E On se place en coordonnées sphériques avec pour origine le centre de S, et on définit les trois points P, P- et P+ , alignés sur un même rayon, et situés respectivement aux distances r = R, r = R -  et r = R +  du centre de S. Ces trois points sont donc respectivement dans, en dessous et au dessus de (voir Figure 1). 23 - En procédant par étapes, calculer la valeur du champ électrique créé par  en P : ~ S créé par S en P- , puis en P+ . a) Calculer le champ E b) Sans effectuer un calcul explicite, montrer que l'on peut déterminer un facteur numérique ~  (P- ) = E ~  (P+ ). Quelle est la valeur du champ créé par  en P ? tel que E ~  créé par  en P, que l'on c) En considérant la limite   0, en déduire la valeur du champ E exprimera en fonction de R, Q et 0 . 24 - En ne considérant pour chaque élément  de S que la force exercée par  sur celui-ci, en déduire que la sphère exerce sur elle-même une force qui peut être décrite comme une ~ orienté vers l'extérieur, force de pression, qui vaut, sur un élément dS ~ ~ = Pes dS, dF (16) où l'on exprimera Pes en fonction de  et 0 . Commenter le sens de cette force en fonction du signe de la charge totale Q. 25 - À partir du travail W fourni par la sphère sur elle-même lors d'une transformation quasi-statique l'amenant d'un rayon R1 à un rayon R2 , calculer la variation d'énergie propre U associée. En déduire l'énergie électrostatique US (R) d'une sphère de rayon R, en supposant que cette énergie tend vers zéro lorsque R  . On écrira cette énergie en fonction de R, Q et 0 . 26 - On revient à présent à l'étude des deux sphères Sa et Sb . La sphère intérieure Sa étant de rayon Ra fixé, calculer le travail Wab qu'elle fournit à la sphère extérieure Sb lorsque cette dernière passe de façon quasi-statique d'un rayon Rb1 à un rayon Rb2 . On écrira ce travail en fonction de Qa , Qb , 0 et des rayons en question. 27 - La sphère extérieure Sb étant de rayon Rb fixé, calculer le travail Wba qu'elle fournit à la sphère intérieure Sa lorsque celle-ci passe de façon quasi-statique d'un rayon Ra1 à un rayon Ra2 . Ce résultat est-il en contradiction avec la troisième loi de Newton, ou principe des actions réciproques ? 28 - Des résultats précédents, déduire l'énergie Utot de l'ensemble des deux sphères conductrices pour une configuration donnée où Rb > Ra , que l'on exprimera en fonction de
Qa , Qb , 0 et des rayons en question. Que peut-on dire de son signe ?
29 - Comparer avec le résultat obtenu en utilisant l'équation (13), pour Qa = Q = -Qb .
30* - Quelle est la limite de cette énergie quand Ra et Rb tendent vers l'infini ? Ce résultat
est-il compatible avec le fait de prendre en compte l'énergie propre des charges individuelles
composant ces sphères ? On pourra revenir sur une ou plusieurs des hypothèses effectuées
dans cette partie. La réponse à cette question, qui pourra utiliser des résultats obtenus
précédemment, ne demande pas de développements calculatoires poussés.

8

Deuxième partie

Énergie magnétique
On étudie dans cette partie l'énergie de distributions de courants dans des circuits conducteurs nonmagnétiques. Sauf mention contraire, on n'étudiera que des systèmes d'extension spatiale finie. Par
convention, on considérera que l'énergie d'interaction magnétique entre deux systèmes d'extension
spatiale finie tend vers zéro quand la distance entre ceux-ci tend vers l'infini.
Dans toute cette partie, on se place également dans l'approximation des Régimes Quasi-Stationnaire
(ARQS) magnétique. Dans cette approximation, les équations de Maxwell prennent la forme suivante :
~=
div E
On a également

,
0

~=-
~ E
rot

~
B
,
t

~ = 0,
div B

~  µ0 ~j.
~ B
rot

div ~j = 0,

(17)

(18)

et l'on supposera que l'on peut décomposer toute distribution volumique de courants en une somme
continue de distributions filiformes à courant constant.

2.1

Travail des forces de Laplace et théorème de Maxwell

On cherche à estimer l'énergie associée à une distribution de courants dans un champ magnétique.
Pour ce faire, on commence par suivre le même raisonnement que dans le début de la partie précédente,
en étudiant le travail reçu par un élément de circuit parcouru par un courant lorsqu'il est déplacé
dans un champ magnétique.
31 - On considère un circuit filiforme orienté C, parcouru par un courant constant I et
~ On considère un élément d~l de ce circuit, soumis à
déplacé dans un champ magnétique B.
un déplacement d~
u. Montrer que le travail élémentaire de la force de Laplace sur cet élément
pour ce déplacement vaut
~ · (d~
wL = IB
u  d~l).
(19)
~ En déduire que
32 - À l'aide d'un schéma, identifier d~
u  d~l à un élément de surface dS.
le travail des forces de Laplace sur le circuit C lors d'une translation élémentaire d~
u vaut
WL = Idc ,

(20)

où dc est un flux infinitésimal de champ magnétique sur une surface dc que l'on repré~
sentera graphiquement. Préciser explicitement sur le schéma l'orientation des vecteurs dS.
33 - On suppose que le circuit C, parcouru par un courant constant I, subit un déplacement
entre une position initiale à tini et une position finale à tfin . Si l'on ne fixe aucune contrainte
~ r, t) :
sur le champ magnétique B(~
a) L'intégration sur cette trajectoire du travail élémentaire précédent peut-elle être exprimée uniquement à partir des positions initiale et finale du circuit ?
b) Peut-elle être exprimée sinon à partir de la donnée de la trajectoire géométrique du
circuit entre ces deux positions ?
c) Qu'en est-il si l'intensité I parcourant le circuit varie avec le temps ?
9

34 - On suppose à présent que le circuit C effectue un déplacement à courant I toujours
constant, mais dans un champ B(~r) stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace
pour un déplacement fini correspond à
WL =  I,

(21)

~ à travers le circuit C, entre ses configurations
où  = fin - ini est la variation de flux de B
initiale et finale, notées Cini et Cfin , et  est un facteur numérique à déterminer. On s'appuiera
en particulier sur un schéma où l'on fera apparaître clairement les différentes grandeurs
introduites. Ce résultat constitue le théorème de Maxwell.
35 - En déduire l'énergie potentielle d'interaction UI d'un circuit C parcouru par un courant I constant dans un champ B(~r) stationnaire. Que peut-on en déduire sur les déplacements
spontanés d'un circuit rigide à courant constant dans un champ magnétique stationnaire ?
Cette conclusion est-elle valide a priori pour des circuits non-rigides ?
On va vérifier la validité du théorème de Maxwell sur des cas simples. On considère pour cela un
solénoïde S de longueur L grande devant son rayon R, et bobiné avec n spires par unité de longueur,
parcourues par un courant I0 . On se place dans un repère cartésien (x, y, z) tel que l'axe (O, ~ez ) est l'axe
de symétrie de révolution du solénoïde. Le champ magnétique que celui-ci génère peut être approximé
dans la suite, sauf mention contraire explicite, par celui d'un solénoïde infiniment long. On rappelle
que le champ magnétique créé par un tel solénoïde est nul à l'extérieur de celui-ci, et vaut en son
intérieur :
B~0 = B0~ez = µ0 nI0~ez .
(22)
On commence par étudier le travail que reçoit une spire rigide carrée, de côté a, au cours de
ses déplacements à l'intérieur du solénoïde. On suppose que cette spire, parcourue par un courant
constant Is , est disposée initialement dans le plan (x, y), centrée sur l'axe de symétrie du solénoïde,
et de telle façon que le flux magnétique du champ du solénoïde à travers cette spire soit positif. On
considère deux trajectoires, en supposant que la spire reste à l'intérieur du solénoïde :
A1 : la spire subit une translation dans le plan (x, y).
A2 : la spire subit une rotation autour d'une droite passant par son centre et alignée avec l'axe y,
jusqu'à se trouver dans le plan (y, z).
36 - Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A1, et le comparer au
travail prédit par le théorème de Maxwell.
37 - Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au
travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en
justifiant sa validité, l'expression
~ B
~ 0,
~L = M
(23)
~ dans un champ uniforme B
~ 0 . On pourra égaledu couple subi par un dipôle magnétique M
ment accompagner les calculs d'un schéma.
On considère à présent une variation du rayon R du solénoïde S introduit précédemment, tout
en gardant fixes ses paramètres n et I0 . On souhaite calculer le travail qu'il reçoit sous sa propre
action lors de cette déformation. Cela est rendu difficile par le fait que lorsqu'on évalue le travail reçu
par chaque élément de circuit sous l'action du champ magnétique, il faut exclure l'effet du champ
magnétique généré par cet élément de circuit lui-même.
Pour étudier ce problème, on va procéder de façon similaire à ce qui a été fait dans la section 1.4 pour
l'étude du travail d'une sphère chargée sur elle-même. On considère donc un élément  du solénoïde,
10

de la forme d'un carré de centre P, de côté b négligeable devant R, et que l'on peut considérer comme
plan. On va alors calculer la force exercée par le reste du solénoïde  sur cet élément, en supposant
~S
~  créé par  est homogène sur , et peut donc être évalué en P. On note B
que le champ magnétique B
~  les champs créés par S et , respectivement. On décrira les courants dans l'élément  comme
et B
ceux d'un ensemble de fils parallèles d'épaisseur négligeable.
Par la suite, on pourra utiliser un jeu de coordonnées cylindriques (r, , z) où l'axe (O, ~ez ) reste
l'axe de symétrie de révolution du solénoïde.
38* - En vous appuyant notamment sur des schémas clairs, faisant apparaître explicite~ 
ment les différents éléments du raisonnement, calculer la valeur du champ magnétique B
créé par  au point P.
39 - En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite
~ orienté vers l'extérieur :
comme une force de pression, qui vaut sur un élément dS
~
~ = Pms dS,
dF

(24)

où l'on exprimera Pms en fonction des paramètres pertinents du système. Commenter le sens
de cette force en fonction du signe du courant I0 .
40 - En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu'il passe de
façon quasi-statique d'un rayon R à un rayon 2R. Comparer ce résultat à celui obtenu par le
théorème de Maxwell. Si ceux-ci ne sont pas en accord, proposer une justification.

2.2

Énergie d'une distribution volumique de courants

Pour estimer l'énergie magnétique associée à une distribution de courants dans un cadre général
d'ARQS, on va procéder différemment de la section précédente. Plutôt que de considérer le travail
exercé sur des circuits dans lesquels circule déjà un courant, on va étudier le travail reçu par les
charges mobiles de ces circuits lors de l'établissement d'une distribution de courants. Cela requiert
d'effectuer un bilan énergétique précis.
41 - Une distribution de courants d'extension spatiale finie peut-elle rayonner de l'énergie
dans l'ARQS magnétique ?
On considère un système D de charge totale nulle et d'extension spatiale finie, constitué d'un
ensemble de circuits conducteurs fixes, non-magnétiques, et pouvant être parcourus par un courant.
On note e la densité de porteurs de charges mobiles, que l'on supposera être uniquement des électrons
de charge -e. On note également ~j = e ~
ve le vecteur densité de courant associé au déplacement de ces
électrons, de vitesse moyenne ~
ve . On suppose qu'à t  0, aucun courant ne circule dans le système.
~ B),
~ on établit progressivement une
Le système D étant plongé dans un champ électromagnétique (E,
distribution de courants jusqu'à atteindre un état stationnaire pour t  T, où les courants sont
constants. On veut faire un bilan de l'énergie fournie à la distribution de charges entre les instants
t = 0 et t = T. À l'instant t = 0, où toutes les charges sont au repos, on prend comme convention une
énergie totale nulle pour ces charges.
42 - Montrer que la puissance totale fournie à chaque instant à la distribution de charges
par le champ électromagnétique s'écrit
$
~j(~r) · E(~
~ r) d~r .
P=
(25)
D

11

~ à cette puissance
Montrer que la contribution de la composante électrostatique du champ E
est nulle. Quelle autre composante du champ électrique peut avoir une contribution nonnulle ?
43 - On considère un volume sphérique VR fixe, de rayon R, délimité par la sphère R ,
de normales dirigées vers l'extérieur. Le volume VR est défini de telle façon qu'il contienne
le système D. Montrer que l'on a, à tout instant,
d
dt

$

~ 2 (~r)
B
d~r = -
VR 2µ0

R

~~r -
~ (~r) · dS

$

~j(~r) · E(~
~ r) d~r ,

(26)

D

~ est le vecteur de Poynting, dont on donnera la définition.
où 
44 - En déduire que l'énergie magnétique totale stockée dans le système de courants pour
t > T s'écrit :
$ ~2
B (~r)
Ums =
d~r ,
(27)
2µ0
où l'intégrale est prise sur tout l'espace.
45 - On considère à nouveau le solénoïde introduit dans la section précédente. Calculer la
variation d'énergie magnétique quand celui-ci passe d'un rayon R à un rayon 2R. Commenter.
46 - On considère à présent un système S j constitué d'un ensemble Saj de distributions
de courants. Identifier dans l'énergie magnétique Ums de S j les contributions Uaj d'énergies propres de chaque distribution, et les contributions Uab
d'énergies d'interaction entre
j
distributions. Commenter le signe de chaque énergie.

2.3

Énergie d'un ensemble de circuits filiformes

On considère à présent un ensemble de circuits filiformes fermés Ca , modélisés par des contours
orientés a parcourus par des courants Ia . On veut exprimer l'énergie magnétique de ce système à
partir des courants parcourant ces circuits, et de leurs flux magnétiques. Le flux magnétique a à
travers un circuit Ca est défini sur une surface a reposant sur le contour a , non-nécessairement
plane, et d'orientation compatible avec celle de a :
"
~~r ,
~ r) · dS
a =
(28)
B(~
a

~ r) est le champ magnétique total. On définit similairement le flux magnétique créé par un circuit
où B(~
au travers d'un autre :
"
~~r ,
ab =
B~a (~r) · dS
(29)
b

~ a désigne le champ magnétique créé par le circuit Ca . On souligne que aa ne correspond pas
où B
forcément à a .
47 - Montrer que le flux magnétique a à travers le circuit Ca ne dépend pas de la surface
a choisie, tant que celle-ci repose sur a et est d'orientation compatible avec celle de a .
~ on peut définir des tubes de champ, dont les surfaces latérales sont
Pour tout champ magnétique B,
en tout point tangentes aux lignes de champ magnétique. On définit un tube de champ élémentaire
~ dans toute
comme un tube de champ de section suffisamment petite pour que le champ magnétique B
12

coupe transverse puisse être considéré comme uniforme. Par la suite, on note t ces tubes de champ
élémentaires, que l'on décrit par leur élément de longueur d~l (~r) et de surface transverse d~s (~r) (voir
~ r), d~l (~r) et d~s (~r) sont colinéaires et
Figure 2). Dans ces tubes de champ élémentaires, les vecteurs B(~
de même sens, et le volume d'un élément de tube de champ de longueur d~l est d~r = d~l (~r) · d~s (~r).
~ r) ainsi que les éléments d~l (~r) et d~s (~r) peuvent varier le long des tubes de
On note que le champ B(~
champ élémentaires.

Figure 2 ­ Tube de champ magnétique élémentaire.

48 - Montrer que le flux magnétique transverse est conservé le long d'un tube de champ.
49 - Justifier que les tubes de champ sont soit refermés sur eux-mêmes, soit vont à l'infini.
Par la suite, on considérera que l'on peut négliger la contribution des tubes qui vont à l'infini.
50 - Montrer que les tubes de champ qui se referment sur eux-mêmes entourent forcément
des branches de circuits dans lesquelles circulent des courants.
51* - On considère un unique circuit filiforme fermé Ca . En décomposant tout l'espace où
~ a est non-nul en tubes de champ élémentaires, montrer à partir de la
le champ magnétique B
formulation donnée équation (27) que l'énergie magnétique propre de ce circuit s'écrit :
UCa = 1 Ia aa ,

(30)

avec 1 un facteur numérique à déterminer. On expliquera avec soin, en s'aidant si possible
de schémas, les différentes étapes du raisonnement effectué.
52* - Par un raisonnement similaire, obtenir la forme de l'énergie magnétique d'interaction

UCab entre les circuits Ca et Cb , que l'on exprimera en fonction de Ib et ab . On supposera

pour simplifier la démonstration que l'on travaille avec des circuits simples non-bobinés,
~ a et B
~ b ne passent au maximum qu'une seule fois à travers
et que les lignes de champ de B
~ a et B
~ b en tubes de champ
ces deux circuits. On effectuera également la décomposition de B
élémentaires qui ont tous le même flux transverse d. Sous quelle condition cette énergie
d'interaction est-elle maximale ?
53 - En déduire que l'énergie magnétique totale d'un système de circuits Ca parcourus
par des courants Ia s'écrit
X
UC = 2
Ia ba ,
(31)
a,b

avec 2 un facteur numérique à déterminer, et où la somme inclut les cas où a = b. Formuler
le théorème de réciprocité en magnétostatique.
13

54 - Préciser si les énergies magnétiques propre et d'interaction entre circuits changent
de signe si le courant d'un des circuits en jeu change de signe. Quels signes peuvent avoir
chacune de ces énergies ? Ces résultats étaient-ils attendus pour l'énergie d'interaction entre
circuits magnétiques ?
55 - On reprend l'exemple A2 décrit dans la section 2.1. Effectuer à nouveau le calcul de
l'énergie magnétique de la configuration finale, mais en utilisant cette fois le flux de la spire
sur le solénoïde.
On étudie à présent un dernier exemple, nommé A3, où l'on prend en compte la longueur finie du
solénoïde, et où l'on l'étudie la translation, à courants constants, de la spire précédente sur l'axe du
solénoïde. La spire reste orientée parallèlement au plan (x, y), mais se déplace du milieu du solénoïde
(z = L/2) à son extrémité (z = 0), tout en restant centrée sur l'axe de symétrie du solénoïde. On
suppose par ailleurs que le solénoïde est suffisamment long pour que :
a) le champ d'un solénoïde infini y règne à z = L/2,
b) le flux du champ créé par la spire à travers les extrémités du solénoïde est négligeable lorsque la
spire est située en z = L/2.
56* - Par un raisonnement physique ne demandant pas de développements calculatoires
poussés, mais pouvant reposer sur des schémas, calculer le travail quasi-statique nécessaire
pour effectuer le déplacement de l'exemple A3.

2.4

Énergie propre des circuits magnétiques

Dans cette section, on cherche à faire le lien entre l'énergie magnétique propre d'une distribution
de courant, et l'énergie cinétique des électrons qui composent ce courant. En effet, on a vu dans la
première partie que l'on pouvait associer l'énergie de masse me c2 d'un électron à son énergie propre
électrostatique. En considérant uniquement le champ électrique à l'extérieur d'un électron de rayon
re , on a :
e2 1
.
(32)
me =
80 re c2
Pour déterminer l'énergie magnétique propre d'un électron, on a besoin de calculer le champ magnétique créé par celui-ci quand il est en mouvement, ce que l'on souhaite faire à partir d'un changement
~ et B
~ les champs électrique et magnétique dans un référentiel
de référentiel. On note pour cela E
~ 0 et B
~ 0 ces champs dans le référentiel R0 se déplaçant en translation rectiligne uniforme
Galiléen R, et E
~ par rapport à R.
à vitesse V
57 - En mécanique Newtonienne, la force subie par un point matériel ne doit pas changer
lorsqu'on passe d'un référentiel Galiléen à un autre par une translation rectiligne uniforme.
Déduire dans ce cadre le champ magnétique créé par un électron, que l'on suppose ponctuel,
se déplaçant à la vitesse ~
ve . Commenter ce résultat.
On se place à présent dans le cadre d'une transformation relativiste des champs électromagnétiques.
~ 0 et B
~ 0 dans le référentiel R0 , se déplaçant en
En prenant les notations décrites plus haut, les champs E
~ par rapport à R, s'écrivent :
translation rectiligne uniforme à la vitesse V

~0 = E
~k,

E

k

~0 = B
~ k,

 B
k

(33)

0
~
~
~
~

E
=

E
+
V

B
,

 B
~ E
~ ,
~0 =  B
~  - 12 V

c
14

où l'on a distingué avec les notations k et  les composantes des champs respectivement parallèles et
~ et où :
perpendiculaires au vecteur V,
1
.
(34)
= 
1 - V 2 /c2
58 - En déduire l'expression des champs électrique et magnétique créés par un électron
se déplaçant à la vitesse ~
ve , que l'on écrira en fonction de 0 , µ0 , e, ~
ve et du vecteur ~r repérant
le point où le champ est considéré par rapport à la position de l'électron. On supposera que
l'électron se déplace à une vitesse ve  c et on ne gardera que les termes dominants en ve /c.
59 - On considère un électron de rayon re , se déplaçant à la vitesse ~
ve . Justifier qu'à un
e
facteur numérique  près, proche de l'unité, on peut interpréter l'énergie magnétique Um
associée au champ créé par l'électron comme l'énergie cinétique de celui-ci. On utilisera
l'équation (27) en ne considérant que la contribution liée au champ à l'extérieur de l'électron.
Dans le cadre de cette interprétation, à quoi correspond la masse de l'électron ? Dans la suite,
on omettra le facteur .
60 - On considère à présent un solénoïde de longueur L, composé de N spires circulaires
de rayon R parcourues par un courant I. On suppose que les fils de ce solénoïde sont de
section circulaire, de rayon a, et contiennent ne électrons de conduction par unité de volume.
Calculer l'énergie cinétique totale Etot
c des électrons de conduction dans ce solénoïde, que
l'on exprimera en fonction de e, me , ne et des paramètres du circuit.
61 - En effectuant une application numérique, comparer cette énergie cinétique à l'énergie
magnétique propre du solénoïde. On pourra utiliser le champ créé par un solénoïde infini, et
ne calculer que la contribution à l'énergie magnétique du champ à l'intérieur du solénoïde.
On prendra ne = 8,5 × 1028 m-3 (densité typique des électrons de conduction pour le cuivre),
I = 1,0 A, N = 5000, R = 2 cm, L = 20 cm, a = 1,0 mm.
62* - D'où vient la différence constatée à la question précédente ? En vous appuyant sur
max
un exemple simple, déterminer une borne supérieure absolue Ums
de l'énergie magnétique
du solénoïde en fonction de l'énergie cinétique des électrons de conduction. En donner
une estimation numérique. Quelle taille devrait avoir le solénoïde pour que son énergie
magnétique approche cette borne ?
***

Fin du sujet ***

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