E3A Physique PC 2008

Thème de l'épreuve Échangeur thermique à fluide caloporteur
Principaux outils utilisés diffusion thermique, mécanique des fluides, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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KA84 &? 3 &) CONCOURS ENSAM -- ESTP -- ARCHIMEDE Epreuve de Physique PC Durée 4 h Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre. L'usage de calculatrices est autorisé. Echangeur thermique à fluide caloporteur Le problème comprend trois parties qui s'intéressent à divers aspects des échangeurs thermiques à fluide calopofieur. La première partie concerne les transferts thermiques entre le milieu extérieur et un fluide s'écoulant dans une conduite. La seconde partie est consacrée à l'étude simplifiée d'un système de régulation thermique par contrôle de débit. La troisième partie, presque totalement indépendante des deux autres, décrit une technique électromagnétique de contrôle non destructif des tubes métalliques, couramment utilisée pour contrôler les échangeurs thermiques. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que . les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; . tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à la compréhension du problème ; . tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s ; . les applications numériques seront toutes données avec deux chiffres significatifs. A défaut, elles ne seront pas comptabilisées. Tournez la page S.V.P. PREMIERE PARTIE ECHANGES THERMIQUES A TRAVERS UN TUBE CYLINDRIQUE 1 I CONDUCTANCE THERMIQUE A TRAVERS UN TUBE CYLINDRIQUE Considérons un tube cylindrique d'axe Oz, de rayon intérieur R, de rayon extérieur R2 et de trés grande longueur (figure 1). Le tube est réalisé dans un matériau de conductivité thermique notée À. 1*a. Dans le cas général, rappeler la loi de Fourier qui relie le vecteur densité de courant thermique , noté jo , au gradient de la température. 1*b. Justifier en quelques mots que la conductivité thermique, telle qu'elle apparaît dans la loi de Fourier, est toujours un nombre positif. Le système est en régime permanent: la température T(r) en un point M du tube ne dépend donc que de r, la distance de M à l'axe {coordonnées cylindriques). Les températures de surface sont notées T, : T(R,) et T2 == T(R2). 1*c. Préciser la direction du vecteur jQ dans le tube. 1*d. Exprimer la puissance thermique ?... sortant d'un cylindre de rayon r (r1 < r < r_.,_) et de longueur EUR, en fonction de jQ(r) et r. 1*e. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à un système correctement choisi, montrer que la puissance thermique @... est indépendante de r. 1*f. En déduire l'expression de la température T(r) en fonction de OE..., r, R,, ?... T1 et EUR. Ë£L Etablir que la puissance thermique ?... peut s'écrire : OEh=gf(Ti'--T2)u ... en exprimant g en fonction de À, R, et R2. 1*h. Calculer g pour un tube possédant les caractéristiques suivantes : conductivité thermique À = 0,40 kW.m".K", rayons R, = 8,0 mm et R2 = 8,5 mm. Le tube précédent est utilisé comme « échangeur thermique » permettant les transferts thermiques entre un fluide (appelé fluide calopon'eur --- ici il s'agit d'eau) transporté dans le tube et le milieu extérieur. Le fluide caloporteur est supposé incompressible, de masse volumique p constante et de capacité thermique massique à pression constante Cp (phase condensée idéale) ; il s'écoule dans le tube avec un débit massique D.... Dans cette partie, tout phénomène de viscosité est négligé. L'écoulement est supposé uniforme et stationnaire, la vitesse d'écoulement s'écrivant en tout point : v : vez, (v est une constante positive). Dans une section d'abscisse z constante, la température du fluide est uniforme et notée Tfl (Z). 3 2 I PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE APPLIQUE A UNE PORTION DE FLUIDE Afin d'effectuer un bilan thermique permettant de déterminer Tf, (z), envisageons le système fermé (2 ) constitué parle fluide qui, à l'instant t, se trouve entre deux cotes 2e et zS dans le tube (figure 2). ooooooooooooooooo . ........... ooooooooooooo ooooooooooo ooooooooooo ooooooooooo oooooooooooooo 00000000000 ooooooooooo ................... ooooooooooo oooooooooooo ooooooooooooooooooo 000000000000 ccccccccccc ooooooooooo ooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooo ooooooooooo ooooooooooo oooooooooooooooooooo ooooooooooo ooooooooooo nnnnnnnnnnnnnnnnnnn ooooooooooo ooooooooooooooooooo oooooooooooo ooooooooooooooooooo oooooooooooo oooooooooooooooooooo ooooooooooo 00000000000 ........... La pression, uniforme sur une section droite du tube, est notée P.;. en ze et PS en 25. La section 8 = 7er du tube est supposée constante. Entre les instants t et t + dt, le système (23) se translate de v dt (voir figure 2) selon Oz. _ Figure 2 2*a. Exprimer le débit massique D... à travers la section 8 du tube en fonction de p, 8 et v. 2*b. Déterminer la puissance ?... des forces de pression agissant sur (E) en fonction de D..., Pe, PS et p. 2*c. Montrer que la variation d'énergie interne de (2) entre t et t + dt s'écrit : dU : Dm (u$ ---- ue ) dt, où us (resp. ue) désigne l'énergie interne par unité de masse du fluide en 25 (resp. en ze). 2*d. La puissance thermique totale entrant dans (E) est notée OE.... En appliquant le premier principe de la thermodynamique, établir la relation suivante : Dm Cp [Tfl(zs) "' Tfl(Ze)] : ÿth (2) 3 ! THERMALISATION DU FLUIDE Le tube, parcouru parle fluide caloporteur est mis en contact, sur une longueur L {comprise entre les sections 2 == 0 et 2 == L) avec un milieu extérieur de température T... , qui demeure constante et uniforme dans tout l'espace, comme l'illustre la figure 3. Les contacts thermiques sur les faces internes et externes du tube sont supposés parfaits : la température T2 de la surface externe du tube est égale à Tm et, localement, la température T1 de la surface interne est égale à T,«, (2). Le fluide pénètre dans le tube a la température d'admission : Ted... : Tf, (O). _g__Fi ure 3 Sauf indication contraire, toute conduction thermique au sein du fluide est négligée. Tournez la page S.V.P. 4 3*a. En appliquant les relations (1) et (2) à une portion élémentaire située entre 2 et 2 + dz, D C exprimer % en fonction de T... --- Tfl(z) et de la longueur EUR, : mg " . 3*b. Déterminer Tfl (z) en fonction de z, Tadm, Tm et 61 . Représenter graphiquement Tfl (z ) . 3*c. Exprimer la puissance thermique totale ?fith,ech fournie par le fluide calopodeur au milieu en fonction de D..., Cp, T..., Tad..., L et 61. La longueur L est suffisamment grande pour que la puissance thermique .Û/3th,æh puisse s'écrire : %h,æh : Dm Cp (Tadm --- Tm ) (3). Les questions 3*d et 3*e qui suivent prennent en compte la conductivité thermique du fluide de façon à déterminer le domaine de validité de l'analyse précédente. 3*d. Le fluide possédant une conductivité thermique ?... non nulle, reprendre l'analyse du 3*a et écrire l'équation différentielle vérifiée par Tfl (2) sous la forme : de| _ 2 d2Tfl Æ1*d--£' [T...--Tf|(Z)]+Æ2 d22 , où Æ2 est une longueur qui sera exprimée en fonction de ?..., S et g. 3*e. Par un raisonnement en ordre de grandeur, établir une condition sur 62 et 61 pour que la contribution des transferts thermiques diffusifs au sein du fluide puisse être négligée. Montrer que cette condition est vérifiée si le débit massique est beaucoup plus grand qu'une valeur critique D..., à exprimer en fonction de 8, g, ?... et Cp. Calculer Dmc avec les données numériques suivantes : >... = 0,58 W.m".K'*, c,, = 4,2 kJ.K".kg", g = 40 kW.m".K'1 et s = 2,0.10'4 m2. Nous supposerons dans toute la suite que l'équation (3) décrit correctement les échanges thermiques entre le fluide et le milieu. 4 I CHAUFFAGE D'UNE PIECE Le tube modélise un radiateur dans une installation domestique de chauffage central. Le milieu extérieur est l'air d'une pièce, considérée comme une enceinte fermée où règne une température uniforme mais pouvant dépendre du temps, notée T...(t) et une pression constante. La capacité thermique de la pièce à pression constante est notée I'". La pièce n'est pas parfaitement iso/ée thermiquement par rapport à l'extérieur, où règne la température constante Tex, ; la puissance thermique perdue parla pièce vers l'extérieur s'exprime alors sous la forme : fÿth,fuite : Gfuite [Tm (t ) '" Text ] 4*a. Montrer que la température de la pièce évolue avec le temps selon une équation différentielle de la forme : dTm __1_ __ ""'ä'" "'" T[Tst Tm(t)] (4) Exprimer Tst et T en fOflCfi0fl de Tadm, Text, r, Dm, Gfuite et Cp. 4*b. Que représentent concrètement la température Tst ainsi que le temps 17 '? 4*c. Commenter les valeurs limites de Tst dans les cas respectifs suivants : G...ioe >> Dme et Gfuioe << Dme. 5 4*d. Calculer numériquement le débit massique D...... nécessaire pour obtenir Tst= 292 K, à l'aide des données suivantes: température extérieure Text--_: To-- _ 283 K; température d'admission du fluide Tad...-- _ 333 K, ainsi que les caractéristiques pour la pièce considérée : r = 56 kJ.K" et G..., = 40 WK". 4*e. Comparer les débits D... et Dmc, puis commenter ces résultats. Calculer la grandeur t pour le débit D.... Les valeurs de température et de débit étudiées dans la suite sont proches des valeurs numériques de la question 4*d, si bien qu'en première approche l'équation (4) pourra être remplacée par l'équation simplifiée suivante (justification non demandée) : [_ Gfuite (5). dT..._ {D_1_... ...C,, T -- + T ---- Tm t avec == dt Gfuite ( adm ext) ext ( )} 2'O DEUXIEME PARTIE CONTROLE DU DEBIT DE FLUIDE Dans une pièce d'habitation ou un bâtiment de stockage, il est souvent souhaitable de maintenir la température constante, indépendamment des variations de la température extérieure T.... Parmi les différents systèmes de régulation envisageables, le plus simple consiste à agir sur le débit du fluide calopon'ew dans la conduite. Cette partie est consacrée à l'analyse simplifiée d'un tel système de régulation. La viscosité 77 du fluide s'écoulant dans le tube est désormais prise en compte. La pesanteur est négligée. Il est rappelé qu'alors, le champ de vitesse v(M,t)et le champ de pression P( M, t) dans un fluide incompressible sont reliés par l'équation de Navier--Stokes : p(%--î+ (|? grad)v ]=--gradP+nAv Pour simplifier les calculs, considérons une géométrie plane (figure 4) : X |7=V(x)ël ""'" Figure 4 Tournez la page S.V.P. 6 1 I ECOULEMENT D'UN FLUIDE ENTRE DEUX PLANS FIXES L'espace étant rapporté au triédre can'ésien Oxyz de base orthonormée directe ---------.--------.-----ÿ (ex,ey,ez ) considérons un fluide en écoulement stationnaire et unidirectionnel entre les deux plans x : --al2 et x = a/2 (figure 4). Le champ de vitesses est de la forme : v : v(x)éÇ . __ 2 1*a. Exprimer gradP en fonction de n et Ë--É. dx 1*b. En déduire que la pression P ne dépend que de z et montrer que la quantité K : ----%--È est une constante. 1*c. Rappeler les conditions aux limites vérifiées par v(x) en x = .--.t al2 . 1*d. Déterminer v(x) en fonction de x, K, a et n. Représenter graphiquement le profil de vitesse entre les deux plans. Justifier physiquement pourquoi la grandeur K doit être strictement positive pour que l'écoulement soit dirigé selon eZ . 1*e. Montrer que le débit massique total transporté suivant ez, à travers une section de largeur H selon Oy, s'écrit : Dm : oc K a3 , en explicitant ou en fonction de n, p et H. 2 I CONDUCTANCE HYDRAULIQUE Considérons le système précédent, compris entre les abscisses z =-- 0 et z =-- L. 2*a. Exprimer la quantité K en fonction de P(O), P(L) et L. 2*b. Montrer que le débit à travers une section de largeur H selon Oy peut s'écrire : D... : Gh [P(O) --- P(L)], où le terme G.1 sera exprimé en fonction de a, a et L. 2*c. Justifier le nom de « conductance hydraulique » pour Gh en faisant une analogie électrique. Préciser en particulier l'équivalent électrique de D... et celui de la chute de pression P(O) --- P(L). 3 I CONTROLE DU DEBIT PAR CHANGEMENT DE SECTION Le système, toujours invariant selon Oy, présente maintenant un rétrécissement ajustable (figure 5) de longueur L,. Ce rétrécissement est obtenu à l'aide d'une pièce plane (C) (dite « pièce d'obstruction ») coulissant (de façon étanche!) selon Ox dans une ouverture pratiquée dans le plan inférieur. La position de cette pièce est repérée parle débordement x représenté en figure 5 ; au--dessus de (C), la largeur dela conduite devient a ----- x . Il est admis que chaque portion (rétrécie ou non) se comporte comme le système infini étudié aux sous--parties 1 et 2 précédentes. 3*a. En considérant le système comme une association de conductances hydrauliques, exprimer le débit massique à travers une section droite de largeur H selon Oy en fonction de HD)--P(L), oc, L, L... a et x. " L \ Figure 5 Position ajustable La différence de pression P(O) --- P(L) étant fixée, le débit est ajusté en modifiant la valeur de x autour d'une valeur moyenne x0. Les déplacements de (C) sont de faible amplitude, si bien qu'il est possible de poser x =-- x0 + a, avec EUR << x0. 3*b. Montrer qu'au premier ordre en EUR , le débit massique peut s'écrire : D... =Dmo(1--be), (6) p .. en posant D... = W et où b est une constante positive à exprimer en "' r + r 33 (a "' Xo )3 fonction de L, L,, a et xo. 4 I CONTROLE DU DEBIT PAR LA TEMPERATURE DE LA PIECE VANNE THERMO$TATIQUE Le dispositif étudié reproduit le principe des vannes thermostatiques les plus courantes : pour asservir le débit de fluide dans la conduite a la température qui règne à l'extérieur ( T...), la pièce d'obstruction (C) est reliée par une tige rigide sans masse à un piston coulissant dont la position est sensible àla température (figure 6). Le piston, de masse négligeable, ferme un réservoir cylindrique de section s, contenant un gaz parfait (dit « gaz de contrôle ») qui est à chaque instant à la température T.... L'espace entre le piston et le tube est vide. Le poids est négligé ainsi que tout frottement. Le référentiel d'étude est considéré comme galiléen. La pièce (C) a un simple mouvement de translation selon Ox. Le système est à l'équilibre lorsque la pièce est à la température (dite de consigne) T.... Dans cette situation, le volume du gaz de contrôle est V0 et le débordement de (C) est tel que x = X,). La pression qui règne dans le fluide est indépendante dela position de (C). Tournez la page S.V.P. ............................................... ................................................................................. ........................................................................................... ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo .................................................................................... ..... {:5:5EÏüläägïfififîäÿâlfiüäflî'Q]ËîtîîiïïïîîîîîîEîîîîîîîîî5îEîEïîîEïîîîîïî$îïîïîîîîïEîîîîîïîïîîîîîîîîïïîïî£ïîîïîïîïîEîîîîîîîîîï . . . u . n 0 0 O o . I ooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooo uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu ..................... uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu ooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ....................................... ........................................ oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo ---------------------------------------- uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu oooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ........................ ooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ....................... ooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooo ....................... oooooooooooooooooooooo nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn oooooooooooooooooooooo nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ...................... uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu oooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo ......................... oooooooooooooooooooooooo ......................... oooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo ......................... oooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooooooo uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooo oooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu ooooooooooooooooooooooo uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu oooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo Figure 6 "99 Vide PiSton_> .:::1:::::I:Z:.:I;Z:Z;Z:Z:I;î;:::;I;Z;I:I;Z:I:Z:.;îjlçîjî Aire S Gaz de contrôle Tm * ,, . ' . . , , , . d2x . . . , 4 a. Levolutron est tres lente, SI bien que lacoeleratron de (C), dtî peut etre neglrgee. Montrer que le gaz de contrôle évolue à pression constante. 4*b. La température T... est voisine de la température de consigne : T... = ... + ôTm. Exprimer la variation de volume ôV du gaz de contrôle en fonction de V0, ôT... et T.... 4*c. En utilisant l'équation (6) du 3*b, écrire l'expression du débit Drn dans la conduite sous la forme : Dm =Dm0(1"BôTm)l (7) en exprimant B en fonction de b, Vo, s et T.... 4*d. Expliquer qualitativement pourquoi ce système peut être utilisé comme dispositif de régulation de la température de la pièce (considérer une situation de chauffage où Tadm >Tm >Text ) 5 I STABILISATION EN TEMPERATURE Les résultats établis ci--dessus sont généralisables au cas d'un tube cylindrique {moyennant une modification du paramètre b). La température Text de l'air hors de la pièce subit de petites fluctuations autour d'une valeur moyenne To : TWt : T0 + 5Text (t). La température d'admission Ted... reste inchangée. La température de consigne T... est la température stationnaire obtenue quand l'extérieur est à la température T0 et quand le débit de fluide vaut D.... Les relations (5) et (7) ci--dessus conduisent, aprés linéarisation, à l'équation : W : 5T9X'(1-- Dm0 CP ) _5T... avec -l--- = --1---(1 + D"... C,, 5 (Tadm "' To)] (8) dt TO Gfuite TSÎ TS! 1'0 Gfuite A l'instant t = 0, alors que la température dans la pièce est T... la température extérieure passe brusquement de T0 a T0 + 5T0, où 5T0 est constante. 9 Considérons pour commencer un systéme de chauffage pour lequel Tadm > To . 5*a. Montrer que ôTm tend, lorsque le temps devient infini, vers une valeur limite notée ôTm,oe. Ecrire ôTm,oe en fonction de ôTO, IS,, 130, D..., Cp et Gf...te. 5*b. Sans régulation (c'est à dire pour B = 0), la température de la pièce tendrait vers une ôT limite ôTm,oe,nr au bout d'un temps infini. Exprimer le rapport &, : ""°° en fonction de Tm,oo,nr "Est et 150 . 5*c. Quelle propriété le rapport & doit-il vérifier pour que le dispositif de régulation puisse limiter les variations de température dans la pièce ? Est--ce le cas ici ? 5*d. Exprimer le rapport ?, en fonction des paramètres D..., Cp, B, (Team -- T0) et G.... Pour chacun de ces paramètres, indiquer si une augmentation favorise ou défavorise le bon fonctionnement du système ; commenter ces résultats. 5*e. Quel sens concret peut--on donner a ts, ? Enfin, envisageons le cas d'un dispositif de climatisation par eau froide, où Tadm < TO. 5*f. Montrer que le dispositif de régulation conduit à une température stationnaire seulement si TO ----- Tac...n est inférieur à une valeur critique Tc à exprimer en fonction de B , D..., CD et et Gtuite- 5*g. Expliquer que, même dans le cas d'une évolution stable, ce système est inadapté à la régulation de la température de la pièce. TROISIEME PARTIE CONTROLE NON DESTRUCTIF DES TUBES METALLIQUES PAR COURANTS DE FOUCAULT Nota: en dehors des paramètres géométriques du tube, les notations de cette partie sont indépendantes de celles des parties précédentes. Cette partie s'intéresse à une méthode de contrôle des caractéristiques des tubes métalliques, non destructive et qui ne nécessite pas le démontage de l'installation où ces tubes sont utilisés. Le tube étudié a les mêmes caractéristiques qu'en première partie (axe Oz, rayon intérieur R1, rayon extérieur R2 ---- voir figure 1). Il est constitué d'un métal de conductivité électrique 0. Son épaisseur est notée e = R2 ----- R,. Une bobine (dite « excitatrice ») d'axe Oz comportant n spires circulaires par unité de longueur, de rayon b et de longueur totale EUR (figure 7) entoure localement le tube. Elle est parcourue par un courant sinusoi'dal d'intensité l(t) : lo cos(wt), dont les variations sont suffisamment lentes pour que l'approximation des régimes quasi--stationnaires soit valable. L'ensemble est plongé dans l'air dont les propriétés électromagnétiques sont celles du vide. ------p---.------ç Utilisons le système des coordonnées cylindriques (r,9, z) de base locale (e,,ee, eZ ). Tournez la page S.V.P. 10 Vue en perspective Figure 7 Vue en coupe 1 I COURANTS INDUITS DANS LE TUBE La bobine, située entre 2 = 0 et z = EUR est assimilée à un soiénoïde infini : en dehors du volume cylindrique intérieur (de rayon b et de longueur EUR ) qu'elle délimite, le champ magnétique créé par I (t) est nul. Dans ce volume, il est uniforme et s'écrit È : BO (t)éÇ . Dans cette sous--partie 1, ce champ magnétique est le seul a prendre en compte. En particulier, l'éventuel champ magnétique créé par les courants susceptibles d'exister dans le tube est négligé. 1*a. Justifier la direction de Ë par un argument de symétrie. Rappeler sans démonstration l'expression de Bo(t) en fonction de n, l(t) et po (perméabilité du vide). Soit une portion du tube comprise entre 2 et 2 + dz. L'épaisseur du tube étant très faible, cette portion peut être assimilée à une spire circulaire quasi--filiforme de rayon moyen R... = R' ;R2 , comme le montre la figure 8. Figure 8 Portion de tube assimilée à une spire filiforme 11 1*b. Exprimer la conductance électrique dg d'une telle spire en fonction de e, dz, R... et o. 1*c. Déterminer la force électromotrice d'induction e...d qui apparaît dans la spire du fait des . . . B . . . variations de Bo(t) en fonction de Êdtg et R... (l'orientation est celle de la figure 8 : sens direct par rapport a &; ). 1*d. En déduire l'expression de l'intensité induite dl...d (orientée comme sur la figure 8) qui circule dans cette portion de tube, en fonction de d, e, dz, R..., u0, n et --Ë%. 2 I CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR LES COURANTS INDUITS Avec la description précédente, il est possible de considérer la portion de tube située . . . 1 . . , entre 2 == 0 et z = EUR comme une bobine Circulaire comportant n' = d? spires par unité de longueur, parcourues par un courant d'intensité dl...d. 2*a. Avec les mêmes approximations qu'à la sous--partie 1, donner l'expression en tout point . . . -- . | du champ magnétique induit Bind en fonction de 0, e, R..., u0, n et â--. 2*b. Les calculs précédents sont valables si "ËÇQ << "É". Montrer que cette condition est valable (en ordre de grandeur) si e << ec, où eC sera exprimée en fonction de la grandeur 8 == ,/ 2 et de R.... (D].l00 Calculer le rapport eleC à l'aide des données suivantes, puis commenter la valeur obtenue. Données: 0 : 6,0.107 s.m'1 , R... = 8,3 mm , e = 0,50 mm , ..., =...-- 4n.10°7 H.m'1 fréquence de travail : f= 100 Hz. 2*c. Que représente la grandeur 6 ? Quel est le phénomène de l'électromagnétisme des conducteurs qui est négligé s'il est admis que "Bind << "BH ? Cette approximation " ËÆ << "È " sera supposée vérifiée dans toute la suite de l'étude. 3 I IMPEDANCE APPARENTE DE LA BOBINE EXCITATRICE 3*a. Exprimer le flux (I)... de Ëind à travers la bobine excitatrice en fonction de n, 6, B... et R.... 3*b. Montrer que la force électromotrice totale d'induction à travers la bobine excitatrice peut s'écrire sous la forme : dl d2l etotal ="Laî+raîî où L est l'inductance propre de la bobine et en posant F = k u02 n2 et eRm3, k étant une constante numérique à expliciter. Tournez la page S.V.P. 12 3*e. La bobine excitatrice a une résistance interne R. Quelle est l'impédance complexe __Z_(oe) de cette bobine « à vide » (c'est--à--dire en l'absence du tube), exprimée en fonction de L, 00 et R ? 3*d. Expliquer comment le tube entraîne une modification de la résistance apparente de la bobine, qui devient alors R' = R + ôR. Exprimer ôR en fonction de F et (D. 3*e. Calculer ôR pour le tube précédent, à une fréquence de travail f = 100 Hz, avec les caractéristiques suivantes pour la bobine : n : 3,0.104 spires.m'1 et EUR = 0,10 m. Commenter le résultat obtenu. La mesure de (SR permet de mettre en évidence les modifications locales des caractéristiques du tube et donc d'en analyser les défauts éventuels. 3*f. Discuter qualitativement les types de défauts du tube qui sont susceptibles d'être mis en évidence par la mesure de ôR. 3*g. Quelle est selon vous la fréquence optimale f... a utiliser pour accéder aux caractéristiques « en volume » du tube ? ' Réaliser l'application numérique avec les valeurs précédentes. Que se passerait--il si, comme c'est souvent le cas en pratique, une fréquence nettement plus élevée était utilisée ? Quels types de défauts pourraient alors être mis en évidence? FIN DE L'EPREUVE

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 E3A Physique PC 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Sandrine Ngo (ENS Cachan) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Cette épreuve, composée de trois parties qui sont assez largement indépendantes, étudie un échangeur thermique à fluide caloporteur. Les deux premières parties visent à établir quelques caractéristiques d'un système de chauffage régulé tandis que la troisième esquisse un modèle de contrôle de la qualité d'un réseau de tubes à partir d'une méthode non invasive. · Dans la première partie, on s'intéresse à la conduction thermique dans une géométrie cylindrique. Après quelques rappels sur la conduction, on applique les résultats à un écoulement fluide parfait. La partie se termine sur des bilans énergétiques globaux à l'échelle d'une pièce. Le principal thème abordé est la thermodynamique des phénomènes diffusifs. Une large part est consacrée aux systèmes ouverts. · La deuxième partie se focalise sur le contrôle du débit du fluide dans le but de réguler la puissance de chauffage. Le fluide est alors supposé newtonien. C'est l'occasion de redémontrer les résultats classiques de l'écoulement de Poiseuille plan et de formuler (et utiliser !) une analogie électrique pour faciliter l'analyse en présence de plusieurs dispositifs analogues. Le début de cette partie est essentiellement constitué de questions de mécanique des fluides newtoniens tandis que la fin fait davantage appel à la thermodynamique. · La troisième partie est indépendante des deux précédentes. On cherche à montrer comment « sonder » des tubes pour en détecter certains défauts. Le dispositif s'appuie sur une bobine placée autour de la portion de tube à analyser, pour laquelle on établit les variations d'une propriété (la résistance apparente) par induction. L'avantage d'un tel dispositif est qu'il permet de sonder facilement et sans démontage de grandes longueurs de tube. Cette partie n'est pas difficile si l'on a bien compris la notion de flux du champ magnétique, notamment les notions de flux propre et flux induit. L'ensemble forme un problème de longueur et de difficulté raisonnables. Il permet de faire le point sur les connaissances de base en conduction thermique, mécanique des fluides visqueux et induction. Notons qu'il est principalement centré sur les connaissances de deuxième année. En cours d'année, il peut être utilisé pour l'apprentissage de ces parties du programme. Indications Partie I I.1.d Par définition, la puissance thermique sortant du cylindre est égale au flux du vecteur - Q sur la surface du cylindre. I.1.e Faire un bilan énergétique sur un volume compris entre deux cylindres de rayons r et r + dr. I.2.b Les forces de pression s'exercent en amont et en aval : utiliser la définition de la puissance d'une force. I.2.d Faire apparaître l'enthalpie massique h = u + P/ en rassemblant l'énergie interne et le travail des forces de pression. I.3.a L'énoncé utilise, pour les relations (1) et (2) deux fois P th alors que les termes sont en fait opposés. Ne pas oublier d'introduire le signe moins ! I.3.d Pour prendre en compte la conduction thermique au sein du fluide, ajouter un terme au bilan énergétique (1) : il s'agit de la différence entre ce qui est « reçu » en z et ce qui est « cédé » en z + dz par la tranche de fluide. I.4.b Écrire la solution générale de l'équation (4) pour pouvoir interpréter et Tst . Partie II II.1.c Le fluide étant visqueux, il y a adhérence de ce dernier aux parois. II.3.a Vérifier que les trois portions ainsi agencées sont montées en série. En déduire la loi d'association écrite en terme de conductances. II.4.a Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la pièce d'obstruction (C). II.4.c La variation de volume V du gaz de contrôle s'exprime simplement en fonction de la variation de position de (C) x = . II.4.d La situation à considérer est Tadm > Tm0 > Text . II.5.f Dans une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants df f + =B dt une solution stationnaire n'existe que si > 0 (sinon, f est exponentiellement croissante). II.5.g Étudier la valeur de dans ces conditions. Partie III III.1.c Utiliser la loi de Faraday qui lie les variations du flux du champ magnétique et la force électromotrice induite. III.2.a Écrire à nouveau le champ magnétique créé par un solénoïde infini en tenant compte des hypothèses. III.3.a Le champ induit est uniforme à l'intérieur de la bobine et nul à l'extérieur. La bobine est constituée de n spires identiques de rayon Rm . III.3.a Le flux total à travers la bobine est égal à la somme du flux propre et du flux du champ induit. III.3.e Pour commenter, calculer R/R en supposant par exemple que la bobine est filiforme, qu'elle est fabriquée dans le même conducteur que le tube et a même dimension que ce dernier. III.3.g Pour sonder tout le tube, il faut que les courants induits pénètrent au moins sur une épaisseur e. Échangeur thermique à fluide caloporteur Le rapport du jury de cette épreuve mentionne qu'elle n'a pas été bien réussie par les candidats. Les applications numériques, pourtant peu nombreuses, n'ont pas été bien traitées et la consigne, pourtant très explicite en début de problème, de donner exactement deux chiffres significatifs n'a été respectée que dans un tiers des copies. Signalons également que le barème prévoyait explicitement une bonification (qui atteignait au total environ 10 % du nombre total de points) pour les candidats qui traiteraient correctement une série de questions consécutives. Il était quasiment impossible d'avoir la moyenne sans avoir une partie de ces points. L'objectif, assumé, est de pénaliser les « grappilleurs de points ». Le rapport regrette que les calculs, pourtant peu exigeants dans cette épreuve, aient été fort mal conduits dans l'ensemble. La simple résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à coefficients constants semble insurmontable pour beaucoup de candidats. Le rapport est également l'occasion de rappeler des conseils généraux : · « Apprendre le cours de façon plus exigeante. La connaissance des formules ne suffit pas en elle-même. Il faut en comprendre le sens concret et en connaître le domaine d'application. » · « Soigner les questions qualitatives et s'y entraîner pendant l'année. » · « S'entraîner au calcul en résolvant soi-même les exercices (plutôt qu'en lisant des corrigés) et en menant les calculs jusqu'au bout ! » I. Échanges thermiques à travers un tube cylindrique I.1 Conductance thermique à travers un tube cylindrique I.1.a La loi de Fourier est une loi phénoménologique qui relie le vecteur densité de courant thermique - Q au gradient de température selon -- - Q = - grad T I.1.b Un transfert thermique spontané se fait toujours des zones de plus haute -- température vers celles de plus basse température. Ainsi, - Q et - grad T sont-ils colinéaires et de même sens. On en déduit que La conductivité thermique est une grandeur positive. I.1.c La température ne dépendant ni de , ni de z, son gradient s'écrit simplement -- dT - grad T = er dr Ainsi, Le vecteur - est radial. Q Ce sont des arguments d'invariance qui permettent d'expliquer pourquoi la température ne dépend pas de ou de z. En effet, on a une invariance par rotation autour de l'axe (Oz), ce qui justifie l'indépendance par rapport à la variable . En outre, le tube est de « très grande longueur », ce qui revient à dire que l'on peut négliger les effets de bords et considérer qu'il y a invariance par translation selon la direction - ez du système, ce qui assure l'indépendance par rapport à la variable z. Rappelons l'expression du gradient en coordonnées cylindriques : -- f - 1 f - f - grad f = er + e + ez r r z I.1.d Par définition, la puissance thermique sortante est égale au flux du vecteur densité de courant thermique à travers la surface du cylindre. Ceci s'écrit ZZ - - P th = Q · dS cyl. - où d S est orienté selon la normale sortant du cylindre. On peut décomposer cette intégrale sur une surface fermée en trois intégrales sur des surfaces ouvertes : une pour chaque disque délimitant le cylindre (« supérieur » et « inférieur ») et une pour la surface latérale. Puisque - Q est radial, les faces supérieure et inférieure ont une contribution nulle à la puissance sortante. Il reste Z Z 2 - - - P th = avec d S = r ddz - er Q · dS z=0 =0 Puisque jQ ne dépend ni de , ni de z, cette intégrale se réduit à P th = 2 r jQ (r) I.1.e Considérons le volume élémentaire de matériau délimité par deux cylindres de hauteur et de rayons respectifs r et r + dr (avec R1 < r < R2 ). Notons H l'enthalpie de ce système et faisons un bilan d'énergie entre deux instants t et t + dt : dH = H(t + dt) - H(t) = 0 puisque l'on est en régime permanent. Appliquons le premier principe de la thermodynamique à ce système fermé ; en l'absence de travail reçu et de tout autre forme de transfert thermique que la conduction, on a dH = P th (r) dt - P th (r + dr) dt On en déduit et donc dP th =0 dr La puissance thermique P th est indépendante de r. L'enthalpie est la fonction d'état adaptée puisque l'on travaille sous la pression (constante) atmosphérique. En pratique, puisque l'on a un système indéformable, les fonctions énergie interne et enthalpie sont identiques.