E3A Physique PC 2007

Thème de l'épreuve Ondes élastiques dans les milieux solides. Application à la détection d'ondes sismiques.
Principaux outils utilisés mécanique, ondes, induction, électronique, optique géométrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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 CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Physique PC durée 4 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice est autorisé GX72 CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE Épreuve de Physique PC durée 4 heures Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre. L'usage de la calculatrice est autorisé Ce problème étudie les ondes élastiques dans les milieux solides et leurs applications dans les phénomènes sismiques. Il est constitué de trois parties totalement indépendantes. La première partie est consacrée aux propriétés microscopiques et macroscopiques des ondes élastiques et établit le lien entre les paramètres microscopiques régissant les interactions entre les atomes du solide et le module d'Young qui décrit le comportement élastique du solide au niveau macroscopique. La deuxième partie s'intéresse à la propagation d'ondes élastiques longitudinales (ondes P) qui peuvent se propager à l'intérieur de la Terre après une explosion ou un séisme. L'étude de cette propagation permet d'accéder à des informations importantes concernant la structure géologique interne du globe terrestre. Enfin, la troisième partie est focalisée sur la détection de ces ondes au moyen d'un sismographe électromagnétique. Bien que ce type d'appareil soit actuellement partiellement remplacé par des sismographes piézoélectriques, son importance historique est considérable et il fut longtemps le seul dispositif à être utilisé. Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que : . les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques, . tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à la compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions, .-- tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s. Dans tout le problème, le référentiel terrestre (RT), supposé galiléen sera utilisé. Tournez la page S.V.P. PREMIÈRE PARTIE ONDE ELASTIQUE DANS UN BARREAU SOLIDE A -- Modèle microscopique et approximation des milieux continus À l'échelle microscopique, un matériau solide homogène peut être modélisé par une chaîne infinie d'atomes assimilés à des points matériels de même masse m et reliés entre eux par des ressorts identiques, de longueur à vide a et de raideur K. Ces ressorts modélisent, dans l'approximation linéaire, les interactions électromagnétiques entre les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre. Considérons un modèle unidimens/onnei dans lequel tous les atomes se déplacent sans frottement sur un axe Ox. La figure 1 représente cette disposition où chaque atome est numéroté par un entier n. Lorsqu'il est en équilibre mécanique, l'atome référencé (n) est situé à I'abscisse x,,(éq) = n a ; en dehors de l'équilibre, sa position devient x,,(t) = x,,(éq) + u,,(t). Un - 1(t) un") Un +1(t) : K K | 0 :..--_); | : l : X "..---:.:- ' " ::o ° ° ° " .:. """" : "' " (" ?: """" ) (n--1)a na (n+1)a Figure 1 : Chaîne infinie d'atomes A1*a. Établir l'expression de la résultante des forces exercées par les atomes (n -- 1) et (n + 1) sur l'atome (n). A1*b. En déduire l'équation différentielle du mouvement de l'atome (n) et montrer qu'elle peut d2un dt2 =oeâ(" s'écrire : + u,,_1 ---- Zu") , en explicitant 000 en fonction de K et m. n+1 L'équation précédente admet des solutions sinusoïdales de pulsation a). Afin de les étudier, introduisons la représentation comp/exe g,,(t) et cherchons ces solutions sous la forme g,,(t) = _L_l,, exp(jwt) où _U_,, désigne l'amplitude complexe du déplacement de l'atome (n). A2*a. Établir la relation entre oe, (bg, _U_...-1, Un et g.... A2*b. Quelle est la valeur particulière de w associée ,à une solution telle que _U_...-1 = _l_J_... pour toute valeur de n '? Quelle interprétation physique peut-on en donner ? A2*c. Déterminer de même la pulsation correspondant à _U_... = -- _L_l_...-1 pour toute valeur de n. Dans toute la suite de cette partie, nous étudierons une solution particulière de la forme y_,,(t) = _A_ exp[j(æt --- k na) ] où A est un nombre complexe indépendant de n et k un nombre réel. A3*a. Quelle signification physique peut--on attacher à ce type de déplacement? Quelle hypothèse fait--on en'supposant que A est indépendant de n ? A3*b. Vérifier que l'expression proposée est bien solution de l'équation établie en A1*b, à condition que k, w, (00 et a soient reliés par une équation a expliciter. Réaliser un schéma représentant l'évolution de ce en fonction de k. Quel est le domaine de pulsations admissibles ? A3*c. Pourquoi est-il possible de restreindre les valeurs de k à l'intervalle [ - n/a, ala [ ? 3 A3*d. Montrer que le déplacement _u_...(t) reproduit exactement le déplacement u...(t), mais avec un retard temporel 1 dont on donnera l'expression en fonction de (bo, k et a. En déduire qu'il est possible de définir une vitesse de phase V(" : oe/ k. La propagation est--elle ou non dispersive ? Considérons désormais le cas particulier où k est positif. A4*a. Déterminer la vitesse de phase V(" et la vitesse de groupe V9 en fonction de (00, k et a. A4*b. Quelles sont les valeurs limites de ces deux vitesses lorsque k ----> O. Commenter. A4*c. Étudier de même les limites lorsque k ----> ala. Quelle signification physique peut-on attribuer aux résultats obtenus ? L'approximation des milieux continus permet u(x, " de faire passer une fonction u(x, t) par tous les points u...(t) représentatifs des atomes de la chaîne à chaque instant (figure 2). Cela est possible lorsque u,, est peu différent de u,, + 1. Définissons la fonction continue et dérivable u(x, t) des variables d'espace x et de temps t telle que u(x, t) = u,,(t) lorsque x = na. Supposons que u(x,t) varie peu dans l'espace, à l'échelle de a. En considérant que l'atome (n) occupe l'abscisse x, remarquons que : na (n+1)a u(x + a,t) = u(na + a,t) = u,... 1(t) et Ejgy_æ_2 : Représentation de u(x, t) à t fixé u(x - a, t) = u(na - a, t) = un- ,(t). A5. En utilisant un développement limité à l'ordre 2, montrer que la fonction u(x,t) vérifie une _ 2 2 équation de d'Alembefl de la forme Ê--Ë- --- --ÏîÊ--Ë-- : 0 et exprimer la célérité C en fonction ôx C ôt de K, m et a. Comparer C à une expression obtenue en _A_AL et interpréter ce résultat. B --- Modèle macrosc0pique et module d'Young Un barreau solide est initialement immobile dans un référentiel galiléen d'axe Ox. Lorsqu'il est au repos, ce barreau est un cylindre homogène d'axe Ox, taillé dans un matériau de masse volumique p, dont l'aire de chaque section sera notée 8. Une onde de déformation élastique longitudinale (onde de compression--dilatation) se propage à l'intérieur du barreau dans la direction de Ox ; cette onde est caractérisée par le champ scalaire des déplacements u(x, t) tel qu'une section située à l'abscisse x en l'absence d'onde se déplace à l'abscisse x + u(x, t) lors du passage de celle--ci (figure 3). Figure 3 : Onde élastique longitudinale dans un barreau Tournez la page S.V.P. 4 Dans la limite des petites déformations, la matière située à gauche de la section déplacée en x + u(x, t) exerce sur celle-ci une force de rappel F 9 dont l'expression générale est : È, : -- E â--î-(x, t) S à.... où E désigne le module d'élasticité d'Young. De même, la matière située à droite dela section exerce sur celle-ci une force Fa . __B_1_._ Etablir la dimension de E et justifier que |Ed : -- È, . En l'absence d'onde, une tranche élémentaire de barreau située entre les abscisses x et x + dx possède un volume dV = S dx. Lors du passage de l'onde, son volume devient dV'. La dilatation volumique 5 de cette tranche est définie comme le quotient 6 : W . ê_2_= Expliciter la relation entre 5 et ôu£(;,t) . 52_3_._ En appliquant le principe fondamental de la dynamique à cette tranche, montrer que dans la limite des petits déplacements u(x,t) satisfait à une équation de d'Alembefl de la forme: -----------------------=O. Exprimer la célérité C en fonction de E et p. C -- Liaison interatomique et module d'Young Au sein d'un réseau cristallin métallique, l'énergie potentielle d'interaction de deux atomes A et B distants de r peut s'écrire : E,,(r) : -----%-- + -;%--, où a et p sont deux constantes positives. r La force exercée par A sur B est de la forme lËA/s = F(r) u, où Ü désigne le vecteur unitaire directeur dela droite (AB), dirigé de A vers B. C1*a. Déterminer l'expression de F(r) en fonction de >», p et r. La distance d'équilibre entre deux atomes étant ro, en déduire une relation entre ?... U et ro. C1*b. Calculer les valeurs numériques de u (exprimé en eV.nm'°) et de Ep(ro) (exprimé en eV) dans le cas précis du tungstène, métal pour lequel ro = 0,274 nm , k = 0,37 eV.nm'°: (rappelons qu'un électron-volt est égal à 1,610"19 J) Quel sens concret peut on donner à Ep(ro) '? C1*c. Tracer l'allure de la courbe Ep(r) en indiquant ses points remarquables. Dans quels domaines de r la force entre les deux atomes est elle attractive ou répulsive? _C_2_. En effectuant un développement limité de F(r), montrer que pour de petits déplacements autour de la position d'équilibre ro, la force d'interaction F(r) est équivalente à celle d'un ressort dont on explicitera la raideur K en fonction de X et ro. Calculer K (exprimé en Nm") pour le tungstène. Le tungstène cristallise dans un systéme cubique centré. La maille est un cube d'arête a dont les atomes occupent tous les sommets ainsi que le centre. Dans cette structure, chaque atome A possède huit plus proches voisins, tous situés à une même distance ro de A, ro étant la distance d'équilibre introduite en C1 *a. C3*a. Etablir la relation entre ro et a puis calculer a (exprimé en nm). C3*b. Quel est le nombre d'atomes par maille cubique ? Donner l'expression de la masse volumique p de ce métal en fonction m (masse d'un atome) et de a. 5 Une étude approfondie de la propagation des ondes élastiques longitudinales dans ce milieu tridimensionnel montre que, dans l'hypothèse des interactions limitées aux atomes les plus proches voisins et dans la limite des grandes longueurs d'onde (k --» O), l'expression de la célérité obtenue en A_Q doit être remplacée par : C = ,/ 5% a , où K est la raideur du ressort, calculée en _ç_2_. En comparant cette expression aux résultats obtenus dans la partie 8, il est possible de relier le module d'élasticité d'Young E aux paramètres microscopiques du métal. C4*a. Exprimer le module E, d'abord en fonction de K, a et m, puis en fonction de ?» et ro. C4*b. Calculer le module E du tungstène, à l'aide des données numériques précédemment fournies. DEUXIEME PARTIE ETUDE DES ONDES SISMIQUES TERRESTRES Les ondes sismiques sont des ondes de déformation élastique qui se propagent à l'intérieur du globe terrestre (ondes de volume) ou en surface (ondes de Love et de Rayleigh). Ces ondes peuvent être longitudinales (la déformation se fait dans le sens de la propagation de l'onde) ou transversales {déformation perpendiculaire à la direction de propagation). Dans ce dernier cas, il s'agit d'ondes de cisaillement. Nous allons étudier dans cette partie un type particulier d'ondes de volume longitudinales : les ondes P (primaires). La propagation de ces ondes dans la Terre, peut être décrite au C1 moyen d'une analogie avec l'optique géométrique : l'onde se propage le long de « rayons sismiques » avec une célérité C. Dans un milieu homogène, les rayons sismiques sont des Cz segments de droite. A l'interface entre deux milieux, il y a réflexion et réfraction du rayon incident, selon les lois de Snell--Descartes (figure 4), notamment : - l'angle entre le rayon réfléchi et la normale au dioptre Figure 4 _._ Lois de Snell _ Descartes est égal à l'angle d'incidence, . les angles d'incidence i et de réfraction r vérifient : smi=smr C, C2 A -- Étude locale La courbure de la Terre est négligée. Le sol est divisé en deux couches homogènes : la croûte terrestre d'épaisseur h dans laquelle la célérité des ondes est C1 et le manteau a l'intérieur duquel leur célérité vaut Cz > C1. Une explosion a lieu en un point 8 proche de la surface et les ondes produites sont détectées par un capteur lui aussi en surface, placé en M, a une distance x de S. Le capteur reçoit trois ondes qui sont représentées sur la figure 5. Tournez la page S.V.P. A3*a. A3*b. 8 x M (Capteur) --> Croûte -_- ------ "'--_--- ' ......... ï'ïî$ICÏ'{ .................. :-:- Manteau ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ Figure 5 : Les trois types d'onde arrivant sur le capteur L'onde qui se propage parallèlement à la surface est l'onde directe. Déterminer son temps de propagation 'n en fonction de C1 et x. Le capteur reçoit une deuxième oncle qui s'est réfléchie en P1 sur la surface de séparation entre la croûte terrestre et le manteau. Exprimer son temps de propagation 1:2 en fonction de C1, x et h. Une troisième onde peut se propager jusqu'au capteur après s'être réfractée en P dans le manteau, puis être ressortie en P'. Quel doit être l'angle d'émission ou pour que l'onde réfractée se propage le long de l'interface plane (trajet PP') ? Montrer que cette onde ne peut être détectée que si x est supérieur à une distance minimale x... que l'on exprimera en fonction de h, C1 et C2. Etablir le temps de propagation 13 de cette troisième onde en fonction de C1, C2, x et h pour x > x.... Tracer sur un même graphe les allures des temps de propagation r1, 1:2 et 173 en fonction de la distance x. Les courbes ainsi obtenues sont appelées hodochrones. Les géophysiciens les utilisent pour obtenir des informations sur l'épaisseur de la croûte terrestre et les célérités des ondes sismiques dans la croûte et le manteau. En disposant plusieurs capteurs à différentes distances x du lieu de l'explosion et en mesurant le temps de propagation de l'onde qui arrive la première, on obtient la courbe représentée sur la figure 6. 't (s) A 30 20 ----- 15 "' 10 5 0 > x (km) 0 50 100 150 200 Figure 6 : Résultats expérimentaux 7 A5*a. Déduire de la figure les vitesses de propagation C1 et C2 puis, en considérant l'intersection des deux courbes, évaluer l'épaisseur h de la croûte terrestre. A5*b. Déterminer une nouvelle valeur numérique de h en exploitant la prolongation de la deuxième courbe jusqu'en x = 0. Que pensez-vous de la précision des mesures ? B --- Étude à grande échelle À grande échelle, la courbure de la Terre ne peut plus être négligée : celle-ci est donc assimilée à une boule de centre O et de rayon RT (figure 7). Nous supposerons que la Terre est constituée d'un noyau liquide de rayon RN inférieur à RT où la célérité des ondes sismiques P vaut C3 = 9 kms", entouré du manteau solide d'épaisseur RT -- RN, à l'intérieur duquel la célérité vaut C2 = 11 kms". Dans cette partie, l'épaisseur dela croûte terrestre sera totalement négligée. Figure 7 : Noyau et manteau terrestres Un tremblement de Terre localisé au point 8 (à la surface de la Terre) émet des ondes sismiques P dans toutes les directions. Des détecteurs sont placés en différents points M de la surface terrestre, situés dans le même plan méridien et repérés par l'angle 9 = (ÔÎË,ÔÜ ). B1*a. Considérons les ondes issues de S qui arrivent en M en empruntant le trajet direct SM. Ces ondes ne se propagent que dans le manteau. Exprimer leur temps de propagation 't en fonction de RT, 9 et C2. B1*b. Montrer que ces ondes ne peuvent pas atteindre le point M lorsque 9 est supérieur à une valeur 9....... Déterminer l'expression de G...... en fonction de RT et RN. B1*c. Des mesures ont montré que e...... = 106°. En déduire la valeur numérique de RN sachant que RT = 6,4.103 km. Considérons maintenant les ondes issues de S qui subissent une réfraction en N et pénètrent à l'intérieur du noyau. Ces rayons subissent une deuxième réfraction en N' et atteignent un point M sur la surface terrestre, repéré par l'angle 9 (figure 8). Posons ça = (08, ON) et appelons Q le projeté orthogonal de S sur ON. L'angle d'incidence du rayon sismique en N est noté on (ou > 0). Son angle de réfraction est appelé r. Tournez la page S.V.P. Figure 8 : Trajet du rayon réfracté \\\À'I M BZ*a. Peut-il y avoir une réflexion totale en N ? BZ*b. Montrer que ce type de rayon ne peut exister que si (p est inférieur à un angle maximum  

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 E3A Physique PC 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Geoffroy Aubry (ENS Cachan) ; il a été relu par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Le sujet porte sur l'étude des ondes élastiques dans les solides et leurs applications dans les phénomènes sismiques. · Dans une première partie, on relie les propriétés microscopiques (au niveau atomique) aux propriétés macroscopiques des matériaux. On résout d'abord le problème de la chaîne linéaire d'oscillateurs en faisant l'approximation des milieux continus, puis on fait une modélisation acoustique du matériau. Enfin, on confronte ces deux approches. · On étudie ensuite la propagation d'ondes mécaniques à l'intérieur de la Terre en faisant une analogie optique des rayons d'ondes mécaniques se propageant dans la planète. · Enfin, dans une dernière partie, on étudie le principe d'un sismographe électromagnétique. Ce dispositif est un transducteur électromagnétique, c'est-à-dire un dispositif qui couple des effets mécaniques et électromagnétiques. On s'intéresse d'abord au système d'équations couplées, avant d'étudier le dispositif électronique de détection des vibrations. Ce problème aborde plusieurs domaines des programmes de première et seconde année. La première partie est une application directe du cours faisant intervenir les ondes mécaniques dans l'approximation des milieux continus, et les ondes élastiques. La deuxième utilise des notions d'optique géométrique mais fait surtout appel à la géométrie, tandis que la troisième met en jeu des connaissances et savoir-faire d'induction électromagnétique, d'électronique et de filtrage. Cette dernière partie est un peu plus calculatoire que les précédentes. Les trois parties sont inégales dans leur difficulté et leur intérêt. La première est un grand classique permettant de tester ses connaissances en ondes mécaniques et élastiques ; tout candidat doit maîtriser les notions abordées. La deuxième partie, bien qu'assez originale dans sa présentation, n'est pas d'un intérêt majeur. La troisième, quant à elle, est un bon exercice classique de transduction, de filtrage... et de calcul ! Indications Première partie I.A.1.a L'atome n est soumis aux forces exercées par ses voisins. I.A.2.a Injecter les expressions de un dans l'équation trouvée à la question I.A.1.b. I.A.2.b Faire Un = Un+1 = Un-1 dans l'équation trouvée à la question I.A.1.b. I.A.3.d Exprimer un en fonction de un-1 . I.A.5 Remplacer un-1 , un et un+1 par leurs expressions en fonction de u, et les injecter dans l'équation trouvée à la question A.1.b. I.B.2 Exprimer dV et dV en fonction des paramètres à l'aide d'un schéma. -- - - I.C.1.a La force F dérive de l'énergie potentielle EP telle que F = - grad EP . Si une particule est à l'équilibre, alors la résultante des forces s'exerçant sur elle est nulle. I.C.4.a Égaler l'expression de C donnée ici à celle trouvée dans la partie I.B. Deuxième partie II.A.3.a Utiliser la deuxième loi de Descartes. Pour [0, /2], p cos = 1 - sin2 II.A.5.a Deux des trois courbes tracées précédemment se retrouvent sur la figure 6. II.B.1.b Il ne faut pas que l'onde traverse le noyau. II.B.2.b Il faut que l'onde traverse le noyau. II.B.2.c Après avoir remarqué que sin = SQ/SN calculer SQ et SN. S'aider du projeté orthogonal de N sur OS. Troisième partie III.A.3 Exprimer la hauteur de la « cage » de deux manières différentes. III.A.4 Penser aux forces d'inertie. III.B.1 Exprimer la force de Laplace sur un petit élément de fil, puis faire la somme pour avoir la force globale exercée par le champ sur le conducteur. III.B.2.a La force électromotrice est égale à la circulation du champ électromoteur de Lorentz. I - - - - - e = Em · d avec Em = v B - III.B.2.b Écrire la relation constitutive de la bobine placée dans le champ B (sans oublier la force électromotrice). III.B.3.c Partir de la relation trouvée à la question III.B.1 et remplacer Z à l'aide de la relation trouvée à la question III.B.3.a, puis exprimer I en fonction de UL , enfin remplacer UL par la relation trouvée en III.B.3.b. III.B.5.a Le gain doit être constant sur la gamme d'utilisation. Le rapport du jury pointe le manque d'aisance en mathématiques d'un certain nombre de candidats. De la rigueur est requise pour mener à bien les calculs, surtout lorsque ceux-ci sont un peu fastidieux, comme dans la partie III. De plus, les questions demandant une interprétation physique ne sont pas accessoires : « Il est dommage de réduire un problème de physique à une succession de calculs convenus, sans jamais chercher à comprendre de manière plus fine la nature et les liens qui unissent les phénomènes étudiés ». I. Onde élastique dans un barreau solide I.A Modèle microscopique et approximation des milieux continus A.1.a Les seules forces appliquées selon - ex sur l'atome (n) sont les forces exercées par ses voisins via les ressorts. La force exercée par un ressort est proportionnelle à son allongement par rapport à sa longueur à vide a. a un-1 a un un+1 x Notons cet allongement. On a donc pour un ressort - - F = -K e - avec e le vecteur unitaire allant du ressort vers l'atome sur lequel la force s'exerce. · Force exercée par l'atome n - 1 sur l'atome n : - e est dirigé selon - e . De plus, x = - a = a + un - un-1 - a = un - un-1 donc - F n-1/n = -K (un - un-1 ) - ex · Force exercée par l'atome n + 1 sur l'atome n : - e est dirigé selon -- ex . De plus, = - a = a + un+1 - un - a = un+1 - un donc - F n+1/n = -K (un - un+1 ) - ex L'atome (n) est aussi soumis à son poids, vertical, et à la réaction du support, normale car il n'y a pas de frottements. Les deux forces se compensent donc selon z - et n'interviennent pas dans la dynamique du problème. La résultante R des forces exercées sur l'atome n s'écrit donc - R = -K (2 un - un-1 - un+1 ) - ex A.1.b D'après le principe fondamental de la dynamique, la résultante des forces extérieures est égale au produit de la masse par l'accélération. Or, pour un mouvement unidimensionnel, d2 un - - a = ex dt2 d'où d2 un = 0 2 (un+1 + un-1 - 2 un ) dt2 avec 0 2 = K m A.2.a En représentation complexe, la dérivation par rapport au temps revient à une multiplication par j. En effet, d Un e jt = j Un e jt dt d2 d'où Un e jt = (j)2 Un e jt 2 dt En utilisant le résultat de la question précédente, on a alors -Un 2 e jt = 0 2 Un+1 e jt + Un-1 e jt - 2 Un e jt Soit en simplifiant par e jt qui ne s'annule jamais - 2 Un = 0 2 Un+1 + Un-1 - 2 Un A.2.b Si quel que soit n entier naturel, Un-1 = Un , alors Un+1 = Un . Il en résulte Un-1 = Un = Un+1 . La relation trouvée dans la question A.2.a s'écrit - 2 Un = 0 Deux cas sont possibles : 1. soit Un = 0 : l'amplitude des oscillations est nulle, il n'y a pas d'oscillations ; 2. soit = 0 : la fréquence des oscillations est nulle. Dans ce dernier cas, tous les atomes sont à la même distance algébrique de leur position d'équilibre, il y a toujours la même distance a entre des atomes voisins donc les ressorts exercent une force nulle sur les atomes. Par conséquent, il n'y a pas de mouvement relatif entre deux atomes. En règle générale, lorsqu'on considère que la fréquence d'une oscillation est nulle, c'est que les variations locales de la grandeur oscillante sont tellement lentes que le système subit une évolution quasi statique : chaque état traversé durant l'évolution est un état d'équilibre. A.2.c De même, si quel que soit n entier naturel, Un = -Un-1 , alors Un+1 = -Un . La relation trouvée à la question A.2.a s'écrit alors - 2 Un = 0 2 Un+1 + Un-1 - 2 Un = 0 2 (-Un - Un - 2 Un ) - 2 Un = -4 02 Un Par conséquent, 2 = 4 0 2 ou Un = 0 Si Un = 0, il n'y a pas de phénomène propagatif. La solution Un 6= 0 correspond au cas où tous les ressorts sont en opposition.