Centrale Physique 2 PC 2025

PC
4 heures

Calculatrice autorisée

2025

Physique 2

Laser à électrons libres
Les lasers à électrons libres à rayons X (XFEL) produisent des rayons X 
cohérents en accélérant des
électrons à travers des ondulateurs, qui sont des systèmes permettant de 
moduler spatialement le champ
magnétique. Ces lasers génèrent des impulsions lumineuses ultra-brèves, de 
l'ordre de la femtoseconde
(10-15 s), permettant d'étudier des dynamiques atomiques et moléculaires à des 
échelles temporelle et
spatiale très fines, et très intenses. Il existe une dizaine de XFEL à travers 
le monde. Dans ce sujet, nous
nous intéressons plus particulièrement au XFEL européen, installé près de 
Hambourg en Allemagne, qui
a commencé à fonctionner en 2017.
Un laser à électrons libres est schématiquement constitué de trois éléments 
schématisés à figure 1 :
· un canon à électrons, qui sert à générer un faisceau d'électrons ;
· un accélérateur linéaire, qui accélère les électrons à une vitesse très 
proche de la vitesse de la
lumière ;
· un ondulateur, dans lequel un champ magnétique oscillant spatialement dévie 
les électrons.
trajectoire des électrons

canon
à électrons

faisceau de rayons X

accélérateur

ondulateur

laboratoire

Figure 1 ­ Schéma d'un laser à électrons libres
Dans un laser à électrons libres les électrons ont une vitesse très proche de 
la vitesse de la lumière, un
traitement rigoureux de leur mouvement nécessite alors de recourir aux concepts 
de relativité restreinte.
Il est cependant possible d'obtenir des résultats approchés en adaptant 
simplement les équations de la
mécanique classique. La version adaptée des théorèmes est présentée dans la 
partie « Données
et formulaire » située en fin de sujet. Au cours de cette épreuve, dans les 
questions portant
sur l'étude du mouvement de l'électron dans le laser à électrons libres, il est 
suggéré aux
candidats de n'utiliser que les théorèmes rappelés en fin de sujet, et de ne 
pas chercher à
en formuler d'autres.
Le problème comporte deux parties indépendantes. Le formulaire et les données 
sont regroupés en fin
d'énoncé. Un document réponse est à rendre avec la copie.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé
est repéré par leur numéro souligné. Il est alors demandé d'expliciter 
clairement la démarche, les choix,
et de les illustrer par un schéma le cas échéant. Le barème valorise la prise 
d'initiative et tient compte
du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Partie A ­ L'accélérateur linéaire
Dans un laser à électrons libres l'enjeu est d'accélérer des électrons à des 
vitesses très proches de la vitesse
de la lumière en utilisant des champs électriques. Ces derniers sont générés 
dans des dispositifs appelées
cellules TESLA dont une photographie est montrée à la figure 2. L'accélérateur 
du XFEL est constitué
d'un grand nombre de ces cellules accélératrices. Dans cette partie, nous 
étudions successivement : le
refroidissement d'une cellule TESLA, le champ électromagnétique dans une 
cellule ainsi que la dynamique
d'un électron en son sein.

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Figure 2 ­ Photographie montrant une cellule TESLA du XFEL européen. Source : 
wikipedia.

I ­ Puissance dissipée dans la cellule TESLA
La cellule TESLA est plongée dans un bain d'hélium liquide à la température de 
2,0 K pour que ses
parois soient maintenues dans un état supraconducteur. Pour des raisons qui 
seront explicitées plus loin,
tout se passe comme si une certaine puissance thermique était générée à 
l'intérieur de la cellule. Cette
puissance est transmise vers l'extérieur et vaporise l'hélium liquide qu'il est 
donc nécessaire de remplacer
en permanence.
Hélium vapeur à 2,0 K

Cellule TESLA

Hélium liquide à 2,0 K
Figure 3 ­ Schéma d'une cellule TESLA dans son bain d'hélium liquide. 
L'injection d'hélium liquide
et l'évacuation de l'hélium vapeur sont indiquées par des flèches épaisses.
L'hélium entre à l'état liquide, à une température de 2,0 K et il sort à l'état 
gazeux à la même température. La pression est constante dans tout le volume 
d'hélium, égale à 31 kPa.
Q1. Le débit massique d'hélium liquide nécessaire pour maintenir un volume 
constant d'hélium liquide
est de 2 × 10-4 kg · s-1 [1]. En déduire la puissance dissipée dans les parois 
de la cellule.

II ­ Température de la paroi interne de la cavité
La puissance thermique générée à l'intérieur de la cellule TESLA conduit à une 
élévation locale de
la température de la paroi. Le but de cette section est d'estimer la 
température de la face interne de
la cellule. En raison de la faible épaisseur de la paroi, on adopte une 
géométrie simple : cartésienne
unidimensionnelle selon l'axe (Ox). On considère que la paroi s'étend entre x = 
0 et x = e, avec
e = 2,8 mm. Du vide se trouve dans le demi-espace x < 0, tandis que de l'hélium liquide se trouve dans la partie de l'espace telle que x > e. On note Ts la température de la 
paroi en x = e. Il n'y a pas
de puissance volumique dissipée dans le matériau. On note  la conductivité 
thermique du matériau
supraconducteur.

x
hélium liquide

matériau
supraconducteur

vide

x=e

x=0

Q2. En raisonnant sur un élément de volume que l'on décrira précisément, 
établir l'équation de la
diffusion dans le matériau supraconducteur en régime stationnaire.
En conséquence de la puissance thermique générée dans la cellule TESLA, il 
existe flux thermique dans
le matériau orienté depuis le vide vers l'hélium liquide. On le modélise en 
considérant un vecteur densité
#"
-2
de flux thermique non nul, uniforme et stationnaire entre x = 0 et x = e : j = 
j0 e#"
.
x avec j0 = 30 Wm

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Q3. Établir l'expression de la température dans la paroi en fonction de x, , j0 
, e et Ts .
Il existe une résistance thermique à l'interface entre le matériau 
supraconducteur et l'hélium liquide, en
x = e, que l'on modélise par une relation linéaire entre le vecteur densité de 
courant et la différence de
température entre la surface du matériau supraconducteur Ts et la température 
de l'hélium liquide Tf :
j0 = h (Ts - Tf )
où h est une constante réelle positive, qui dépend en particulier de l'état de 
surface du matériau supraconducteur.
Q4. Établir l'expression de la température du matériau supraconducteur en x = 0 
en fonction de e, ,
h, j0 et Tf . Faire l'application numérique pour les deux cas suivants :
­ cas 1 : un matériau supraconducteur de mauvaise qualité (beaucoup d'impuretés 
chimiques
et de défauts cristallographiques), avec un mauvais état de la surface en 
contact avec l'hélium
(rugosité importante, nombreux défauts, impuretés chimiques) :  = 2,0 W · m-1 · 
K-1 et
h = 1,0 × 102 W · m-2 · K-1 ;
­ cas 2 : un matériau supraconducteur de bonne qualité (peu d'impuretés 
chimiques et bonne
qualité cristallographique), avec un bon état de la surface en contact avec 
l'hélium (lisse,
pas impuretés chimiques) :  = 28 W · m-1 · K-1 et h = 2,4 × 103 W · m-2 · K-1 .

III ­ La cavité électromagnétique résonante
Dans cette partie, on s'intéresse au le champ électromagnétique régnant à 
l'intérieur de la cellule TESLA.
Pour limiter la taille de l'accélérateur il n'est pas envisageable d'utiliser 
des champs électriques statiques.
Afin de générer des champs de grande amplitude on exploite plutôt les 
résonances de la cellule TESLA
qui se comporte comme une cavité. Dans cette section on étudie les modes 
propres du champ électromagnétique dans une cavité résonante.
On modélise une cavité électromagnétique
résonante par une coquille cylindrique d'axe
(Oz), de rayon intérieur R, d'épaisseur e,
de dimension infinie dans la direction (Oz).
La coquille cylindrique est constituée par un
matériau supraconducteur. Du vide se trouve
dans la cavité.

e#"
R

Soit M un point quelconque situé dans le
vide à l'intérieur de la cavité, que l'on repère
avec les coordonnées cylindriques. On admet
que le champ électrique au point M s'écrit
sous la forme :

M #"
ez

e#"r
e

vide

#"
E(M,t) = E(r,t)e#"z

matériau supraconducteur

et le champ magnétique s'écrit sous la forme :

Figure 4

#"
B(M,t) = B(r,t)e#" .
Q5. Montrer que E dans le vide vérifie l'équation suivante :
E -

1 2E
= 0.
c2 t2

On cherche le champ électrique sous la forme d'une onde stationnaire :
E(r,t) = E0 (t)(r),
où E0 est une constante homogène à un champ électrique et les fonctions  et  
sont sans dimension.
Q6. Montrer que la fonction  vérifie l'équation différentielle suivante :
d2 
- A = 0,
dt2

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et que la fonction  vérifie l'équation différentielle suivante :
d2  1 d
A
+
- 2  = 0,
dr2
r dr
c
où A est une constante réelle. Justifier que A est strictement négative.
Pour la suite, on introduit  la pulsation de l'onde électromagnétique telle que 
A = - 2 et on introduit
le vecteur d'onde k dont le module vérifie k = c dans le vide. On admet que  et 
 s'écrivent sous la
forme :
(t) = - sin (t)
et
(r) = J0 (kr) ;
où J0 est une fonction de Bessel d'ordre 1. La courbe représentative de J0 (x) 
en fonction de la variable
x est donnée dans la partie « Données et formulaire ». On admet enfin que le 
matériau supraconducteur
impose un noeud pour le champ électrique : le champ électrique s'annule donc en 
r = R.
Q7. Exprimer les trois plus petites pulsations 1 , 2 et 3 que peut prendre le 
champ électrique dans
cette cavité résonante en fonction de R, x01 , x02 , x03 et c ; où x01 , x02 et 
x03 sont les trois premières
valeurs de x pour lesquelles la fonction J0 s'annule.
Q8. Pour les cavités utilisées dans le laser à électrons libres européen 1 = 2 
× 1,3 109 rad.s-1 . En
déduire la valeur numérique de R.
Q9. Exprimer le champ magnétique dans la cavité pour la pulsation 1 , en 
fonction de la fonction J1 ,
E0 , c, r, 1 , t, où J1 est la dérivée de la fonction J0 . On suppose que le 
champ magnétique a une
valeur moyenne temporelle nulle.
Q10. On veut E0 = 50 MV · m-1 pour la pulsation 1 . En déduire l'amplitude du 
champ magnétique
en r = R. On pourra se servir de la courbe de la fonction J1 , disponible dans 
le formulaire, pour
estimer la valeur de J1 (x) pour une valeur de x donnée.
Ainsi, il existe un champ magnétique qui varie au cours du temps à la frontière 
entre le vide et la paroi de
la cavité. Ce champ magnétique variable induit des courants à la surface de la 
cavité supraconductrice.
Le matériau supraconducteur présente une très petite résistance surfacique qui 
dissipe une partie de ces
courants : c'est l'origine de la puissance thermique générée dans la cellule, 
dont les effets ont été étudiés
aux questions Q1 à Q4.

IV ­ Choix du matériau supraconducteur
Il est indispensable de maintenir le caractère supraconducteur de la paroi de 
la cavité. En effet, en cas
de perte de cette caractéristique la résistivité du matériau augmenterait 
brutalement tout comme les
pertes par effet Joule des courants induits dans les parois. Cela conduirait, 
dans le meilleur des cas, à une
diminution de l'amplitude du champ électrique accélérateur, et dans le pire des 
cas, à une destruction
de la cavité à cause d'un échauffement trop violent.
Il existe deux causes de pertes de la supraconductivité :
­ si la température du matériau dépasse une température critique Tc ;
­ si le matériau est soumis à un champ magnétique dépassant un champ magnétique 
critique Bc .
Les valeurs numériques de Tc et de Bc dépendent de chaque matériau. Le tableau 
1 donne les valeurs
numériques pour différents matériaux.
matériau (symbole)
Plomb (Pb)
Niobium (Nb)
YBaCuO (Y1.2 Ba0.8 CuO4 )

Tc (K)

Bc (mT)

7.1
9.2
93

80
200
10

Tableau 1
Q11. En utilisant les applications numériques des questions Q4 et Q10, indiquer 
le matériau qui vous
semble le plus adapté pour les parois de la cavité supraconductrice.

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V ­ Mouvement d'un électron dans la cavité résonante
Nous allons maintenant étudier la dynamique d'un électron dans la cavité 
résonante.
Q12. Dans les cavités résonantes de l'accélérateur du laser à électrons libres, 
les électrons évoluent dans
des champs électriques de l'ordre de 10 MV · m-1 . Vérifier que le poids est 
alors bien négligeable
devant la force électrique.
Dans toute la suite du sujet, on négligera alors le poids devant la force 
électrique.
Pour décrire le mouvement d'une particule dont la vitesse du même ordre que la 
vitesse c de lumière
dans le vide il faut recourir à la relativité restreinte en introduisant le 
facteur de Lorentz :
=q

1
2

1 - vc2

où v est la norme de la vitesse de la particule.
Q13. Montrer que, lorsque v est proche de c, on peut écrire :
1-

v
1
= 2.
c
2

Dans le cadre de la relativité restreinte, l'énergie cinétique d'une particule 
est Ec = ( - 1) mc2 , avec 
le facteur introduit à la question précédente.
Q14. Montrer que l'on retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique 
lorsque v est petit devant c.
On donne dans le tableau 2 les valeurs de  et 1 - vc pour des électrons à des 
valeurs d'énergie cinétique
Ec typiques de celles d'un XFEL.
Q15. Calculer numériquement les valeurs manquantes (il n'est pas nécessaire de 
recopier tout le tableau).

Ec (eV)

1 × 108

1 × 109

5 × 109

1 × 1010

2 × 102

2 × 103

1 × 104

2 × 104

1,3 × 10-5

1,3 × 10-7

5,3 × 10-9

1,3 × 10-9

1 - vc

2 × 1010

Tableau 2 ­ Valeurs numériques des grandeurs cinétiques pour un électron dans 
la cavité résonnante.
On constate ainsi que dans un laser à électrons libres, et en particulier dans 
l'accélérateur, les électrons
ont une vitesse très proche de celle de la vitesse de la lumière dans le vide.
De façon plus réaliste que précédemment la cavité est désormais supposée finie 
selon l'axe z : deux plaques de matériaux
H
supraconducteurs se trouvent en z = - H
2 et z = + 2 . Deux
petites ouvertures sur l'axe (Oz) permettent à des particules d'entrer et de 
sortir de la cavité. Le champ électromagnétique est nul à l'extérieur. Par 
ailleurs, on admet que le
champ électrique le long de l'axe (Oz) s'écrit :

z

O

#"
E(r = 0, t) = -E0 sin (1 t) e#"z

H

avec 1 = 2 × 1,3 109 rad.s-1 et E0 = 50 MV · m-1 , comme
vu précédemment.
Avant d'entrer dans la cavité les électrons sont accélérés
à une vitesse très proche de c tel que l'on considérera
Figure 5
v (t = 0) = c e#"z , conformément à la discussion menée dans
les questions précédentes. On considère un électron qui entre
dans la cavité à t = 0 en r = 0, z = - H
2 . Sous l'influence du champ électrique il est accéléré et son énergie
cinétique varie. Néanmoins cette augmentation est suffisamment faible pour que 
l'on puisse continuer à
considérer que sa vitesse reste constante et égale à c. Par contre, son énergie 
cinétique varie. Au terme
de sa traversée de la cavité l'électron sort par l'ouverture en z = H2 à t = 
T21 , où T1 est la période
temporelle du champ électrique.

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Q16. Déterminer la valeur numérique de H.
Q17. En utilisant le théorème de la puissance cinétique adapté à la relativité 
restreinte donné dans la
section « Données et formulaire », exprimer la variation d'énergie cinétique de 
l'électron lors de
son passage dans la cavité en fonction de E0 , 1 , c et e. Faire l'application 
numérique.
Pour l'accélérateur linéaire du XFEL, l'énergie cinétique des électrons passe 
de 1 GeV à 10 GeV.
Q18. Combien faut-il de cavités pour obtenir un tel changement d'énergie ? En 
déduire une estimation
de la longueur de l'accélérateur linéaire du XFEL.

VI ­ Couplage des cavités
Dans les faits et comme il peut être vu sur la figure 2, dans une cellule TESLA 
les cavités sont regroupées
par neuf pour augmenter l'énergie cinétique de l'électron jusqu'aux valeurs 
voulues. La partie supérieure
de la figure 7 en montre un schéma en coupe. Dans toute cette section on note 
(Oz) l'axe de symétrie
de la cellule TESLA comme indiqué sur la figure 7.
Un champ électrique stationnaire est mis en place dans l'ensemble de la cellule 
afin de relier les neuf
cavités. Pour caractériser ce champ, il est nécessaire d'établir la relation de 
dispersion des ondes électromagnétiques dans la cellule. Pour cela, on adopte 
une analogie électrocinétique. Chaque cavité est
modélisée par un circuit LC. L'ouverture qui permet le passage des électrons 
d'une cavité à l'autre
introduit un couplage : une variation du champ électrique dans une cavité 
entraîne une modification de
celui dans ses voisines. Ce couplage est modélisé par un condensateur de 
capacité Cc entre deux circuits
LC consécutifs.
cavité supra. n - 1
L

C

cavité supra. n
L

in-1

C

L

in

un-1
uC,n-1

cavité supra. n + 1
C
in+1

un

un+1

uC,n

Cc

Cc

Figure 6 ­ Représentation schématique de l'analogie électrocinétique, supra. 
est une abréviation pour
supraconductrice.
L'intensité ik est l'analogue du champ électrique dans la cavité numéro k. On 
note H la longueur d'une
cavité.
Q19. Établir la relation entre in-1 , in , in+1 , leurs dérivées et L, C ainsi 
que Cc .
Q20. Montrer que dans cette chaîne d'oscillateurs harmoniques les pulsations  
dépendent des vecteurs
d'onde k selon la relation de dispersion :
2 = 2a (1 -  cos (kH))
avec
2a =

1
L

et

=

2
Cc

et

1
1
2
=
+
.

C
Cc

Afin de vérifier que cette relation de dispersion établie à partir d'une 
équivalence avec un circuit électrique
est également valable pour la chaîne de cavités supraconductrices on utilise 
les données de simulations
présentées dans l'article [3]. Les simulations ont été réalisées avec un code 
dédié qui a permis de calculer
le champ électromagnétique en tout point de la cellule. Les auteurs de la 
publication ont montré que la
cellule des neuf cavités présente neuf modes propres pour le champ 
électromagnétique, dont les fréquences
sont données dans le tableau 3.
On rappelle que l'axe (Oz) est confondu avec l'axe de la cellule TESLA. La 
figure 7 montre l'évolution
#"
de Ez = E.e#"z en fonction de z pour trois de ces modes propres. On peut 
considérer qu'il y a un noeud
de champ électrique aux deux extrémités de la cellule.

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Figure 7 ­ Figure en haut : schéma en coupe d'une cellule TESLA (d'après [2]), 
constituée de neuf
cavités supraconductrices couplées ; l'axe z est indiqué sur ce schéma. Chaque 
cavité est numérotée de
1 à 9. Les trois courbes en dessous montrent l'évolution du champ électrique en 
fonction de z pour trois
modes propres de la cavité. Les courbes en traits pleins sont les courbes qui 
nous intéressent : elles
montrent la composante selon z du champ électrique. Les courbes en pointillées 
ne nous intéressent pas
ici. La position de chaque cavité est indiqué sur les courbes à l'aide de leur 
numéro. D'après [3].

mode
1
2
3
4
5

fréquence de résonance (GHz)
1,2756
1,2776
1,2807
1,2845
1,2885

mode
6
7
8
9

fréquence de résonance (GHz)
1,2924
1,2955
1,2976
1,2983

Tableau 3 ­ Fréquences de résonance des premiers modes des ondes stationnaires.

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Q21. Afin de mieux comprendre ces résultats, on étudie, uniquement dans cette 
question, une corde
vibrante de longueur L, fixée à ses deux extrémités. Sans justification, 
représenter l'allure de la
corde pour les quatre premiers modes propres d'oscillation de la corde. Notons 
fi la fréquence du
mode propre numéro i. La suite des valeurs fi est-elle croissante ou 
décroissante ?
Q22. Par analogie, à partir de la question précédente, indiquer à quelles 
fréquences de résonance correspondent les trois modes propres du champ 
électrique présentés à la figure 7. On pourra raisonner
par analogie avec la corde vibrante étudiée à la question précédente. Soient k 
le vecteur d'onde de
l'onde stationnaire et H la longueur d'une cavité supraconductrice dans la 
direction z, que vaut
le produit kH ?
Sur la figure 1 présentée sur le document réponse, on a tracé le carré de la 
fréquence de résonance en
fonction de la grandeur - cos (kH) pour quatre autres modes propres.
Q23. Ajouter sur ce graphique les trois points correspondant aux trois modes 
propres étudiés à la
question précédente. La relation de dispersion donnée par l'équation Q20 
est-elle validée ? Si oui,
que vaut le coefficient de couplage  pour la structure étudiée dans ces 
simulations ?
On choisit d'exciter une onde stationnaire sur le mode propre numéro 9, de 
fréquence f9 = 1,2983 GHz
dans le tableau 3. L'origine du temps est choisie de manière à ce que la partie 
temporelle du champ
électromagnétique s'écrive sous la forme sin (2f9 t). Sur la figure 2 du 
docuemnt réponse, quatre cavités
de la cellule TESLA sont représentées à différents instants, indiqués au-dessus 
de chaque schéma (T0
représente la période temporelle du champ électromagnétique). La position d'un 
électron est indiquée
par un point noir : cet électron avance dans la cellule au cours du temps, il 
traverse deux cavités lors
d'une période du champ électromagnétique.
Q24. Compléter cette figure en traçant l'évolution de la composante du champ 
électrique selon l'axe
(Oz) en fonction de z sur les graphiques en dessous des cellules TESLA. 
Indiquer ensuite à l'aide
d'un vecteur, la force électrique subie par l'électron, sur chaque schéma.

Partie B ­ L'ondulateur
Après avoir été accélérés, les électrons abordent l'ondulateur qui est 
l'élément central du laser à électrons libres. Dans cette structure les 
électrons sont déviés par des champs magnétiques et suivent une
trajectoire périodique dans l'espace : ils sont donc accélérés. Une particule 
chargée accélérée émet un
rayonnement, ici sous forme d'impulsions ultracourtes de rayons X. Sur le 
dessin d'illustration de la
figure 8, les électro-aimants de l'ondulateur sont schématisés par leur moment 
magnétique équivalent.
Ils génèrent un champ magnétique oscillant dans l'espace. La trajectoire des 
électrons dans ce champ
magnétique et le faisceau de rayons X émis sont également représentés sur la 
figure 8

Figure 8 ­ Représentation schématique du fonctionnement de l'ondulateur.

I ­ Trajectoire des électrons
En première approximation on considère que les champs magnétiques périodiques 
générés par les aimants
#"
peuvent s'écrire B = B0 cos(ku z)e#"y avec ku = 2u où u est la périodicité 
spatiale du champ. L'électron
pénètre dans l'ondulateur en O à l'instant t = 0 avec la vitesse #"
v 0 = v0 e#"z . Dans ce qui suit on étudie le
mouvement d'un électron dont la vitesse est très proche de la vitesse de la 
lumière :   1.

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Q25. Montrer que l'énergie cinétique de l'électron reste constante au cours du 
mouvement dans l'ondulateur. En déduire que la constante de Lorentz  et que la 
norme de la vitesse de l'électron restent
constantes.
Q26. Établir le système d'équations régissant mouvement de l'électron dans 
l'ondulateur. On négligera
le poids devant la force magnétique.
La vitesse selon z oscille autour d'une valeur vm : on a z = vm +vz avec vz une 
fonction périodique dans
le temps, petite devant vm . On commence par négliger vz devant vm , ce qui 
permet d'écrire z(t) = vm t
d
(vz ) = 0.
et z = vm . Attention : z = dt
Q27. Montrer que :
x(t) = K

1
(1 - cos (vm ku t))
ku

et donner l'expression de K en fonction des paramètres du problème.
2

K
Q28. En considérant que K
  1, utiliser un développement à l'ordre 1 en  2 puis montrer que :

z(t) = v0

K2
1- 2
4

+

K 2 v0
cos (2vm ku t) .
4 2

Q29. Exprimer alors vm en fonction de c, K et  uniquement, en utilisant la 
relation démontrée à la
question Q13.
Le coefficient K qui apparaît dans les calculs est un paramètre important pour 
caractériser les lasers à
électrons libres. Pour l'ondulateur SASE 1 du XFEL européen, on a K = 2 et u = 
4,0 cm.
Q30. En déduire la valeur numérique de la norme du champ magnétique. On pourra 
prendre vm = c
pour cette application numérique. Commenter.

II ­ Rayonnement émis
Comme indiqué plus tôt, l'électron accéléré dans l'ondulateur émet une onde 
électromagnétique. Les
ondes électromagnétiques qu'il émet au fur et à mesure de sa trajectoire dans 
l'ondulateur peuvent
interférer. Nous allons étudier le résultat de ces interférences dans cette 
section.
À l'instant t1 , l'électron se trouve en z = z1 lorsqu'il émet alors une onde 
électromagnétique. Sur le
schéma de la figure 9, l'électron est représenté par un point, sa trajectoire 
est indiquée en pointillées, et
l'onde qu'il est en train d'émettre est représentée très schématiquement en 
trait fin continu.
x
O

x
z1

z

O

z2

z

Figure 9 ­ Représentation schématique de l'émission du rayonnement par 
l'électron à t1 et t2 .
À l'instant t2 , l'électron a parcouru une période de sa trajectoire 
sinusoïdale (voir la figure 9 à droite) :
il se trouve en z2 = z1 + u et rayonne alors une nouvelle onde 
électromagnétique. Cette onde qui est
émise en t = t2 doit interférer constructivement avec l'onde qui a été émise 
par le même électron en
t = t1 . Sur le schéma à droite de la figure 9 l'onde émise à l'instant t1 , 
qui s'est propagée, est dessinée
en trait fin noir. L'onde qui est en train d'être émise à t = t2 est 
représentée en trait épais gris.
Pour modéliser le système, on considère un ensemble de N sources situées le 
long de l'axe (Oz) (avec
x = 0), comme représenté sur la figure 10.

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x
source 0

source k - 1

source 1

source N - 1

source k + 1

z

O
source 2

source N - 2

source k

Figure 10
La p-ème source, qui se trouve en zp = pu émet une onde électromagnétique vers 
les z croissants que
l'on écrit sous la forme :

u
- k × (z - pu )
sp (z,t) = S0 cos  × t - p
vm
où S0 ,  et k sont respectivement l'amplitude, la pulsation et le vecteur 
d'onde de l'onde électromagnétique, et vm est la vitesse moyenne de l'électron 
selon la direction z, trouvée à la question Q29.
Q31. Justifier l'expression de sp .
On place un détecteur en un point M situé sur l'axe (Oz) en un point de 
coordonnée z > N u . Ce
détecteur reçoit l'ensemble des ondes électromagnétiques émises par les 
sources. On introduit sN (t) le
signal total reçu par le détecteur :
N
-1
X
stot,N (t) =
sp (z,t).
p=0

Q32. Montrer que l'amplitude de stot,N s'écrit sous la forme :

sin N2 v1m - 1c u

 .
S0,N = S0
sin 12 v1m - 1c u
Q33. Montrer que l'amplitude de stot,N est maximale pour les fréquences Fq 
telles que :
Fq =

c 2 2
q
u 1 + K22

où q est un entier naturel non nul.
Pour l'ondulateur SASE1 du XFEL européen, on a K = 2 et u = 4,0 cm et les 
électrons ont une énergie
cinétique égale à 17,5 GeV, ce qui correspond à  = 3,4 × 104 .
Q34. En déduire la longueur d'onde correspondant à la plus petite fréquence 
d'interférences constructives F1 .
La figure 11 montre l'allure de S0,N en fonction de F . Le tracé a été fait 
pour N = 6.
S0,N
N S0

F
F1

2F1

3F1

4F1

Figure 11
On admet que la largeur à mi-hauteur des pics principaux (ceux centrées autour 
des fréquences multiples
de F1 ) est égale à :
F1
F =
.
N

10 / 14

Pour l'ondulateur SASE1 du XFEL européen, dans les mêmes conditions qu'à la 
question précédente
-3
.
(K = 2, u = 4,0 cm,  = 3,4 × 104 ), F
F1 = 1,5 × 10
Q35. En déduire la valeur de N . Commenter, en sachant que la longueur totale 
de l'ondulateur SASE1
du XFEL européen est de 175 m.
Dans cette partie, nous avons montré que F1 augmente avec  2 . On justifie donc 
a posteriori le fait de
chercher à accroître le facteur  autant que possible dans l'accélérateur 
linéaire.

III ­ Influence de l'onde émise sur le mouvement des électrons
Dans la partie précédente nous avons montré qu'un électron qui traverse 
l'ondulateur émet une série
d'impulsions à la fréquence :
c 2 2
.
(1)
F1 =
u 1 + K22
On aimerait exploiter ces impulsions de rayons X pour faire des mesures. Or, le 
flux d'électrons qui
traverse l'ondulateur est continu et chaque électron émet son propre train 
d'impulsions. Ces trains
d'impulsions ne sont pas en phase, ce qui fait qu'un observateur reçoit les 
rayons X en continu et non
par des impulsions.
Le but de cette dernière partie d'étudier l'influence de l'onde 
électromagnétique émise par les électrons
sur eux-mêmes. Pour étudier le mouvement des électrons dans l'ondulateur en 
prenant en compte l'onde
électromagnétique qu'ils émettent, on peut montrer qu'il faut résoudre les deux 
équations différentielles
couplées suivantes, portant sur les fonctions  et  :

d

= 2ku c

dt
(2)
C2
d

=-
sin 
dt
2ku c
où C est une constante dépendant des paramètres de l'ondulateur. La 
signification physique des fonctions
 et  n'est pas importante. On donne les conditions initiales suivantes : (t = 
0) = 0 et (t = 0) = 0 .
Un traitement rigoureux du problème nécessite de recourir à des simulations 
numériques.
La méthode d'Euler est la procédure numérique la plus simple pour résoudre des 
équations différentielles
du premier ordre avec une condition initiale. On veut résoudre le système 
d'équations 2 entre t = 0 et
t = tf avec un pas de calcul t, ce qui donne N = t/tf points de calcul. Le 
schéma d'Euler explicite
permet d'obtenir deux suites de valeurs (i ) et (i ) qui approximent 
respectivement les fonctions (t)
et (t).
Q36. Établir les relations de récurrence permettant d'obtenir les valeurs de i 
et i .
À l'aide de méthodes numériques, on simule ainsi le mouvement des électrons 
dans l'ondulateur en
prenant en compte leur interaction avec l'onde électromagnétique. Le schéma de 
la figure 12 montre la
trajectoire des électrons dans l'ondulateur.
x
trajectoire des électrons

Ondulateur

1

2

z

3

Figure 12
Le graphique numéroté 1 sur le schéma de la figure 13 montre la répartition 
spatiale des électrons à
l'entrée de l'ondulateur. Chaque point représente un électron et les électrons 
se déplacent dans la direction
des z croissants : on part d'un état où les électrons sont répartis 
uniformément au voisinage de l'axe de
propagation. Le graphique numéroté 2 montre la distribution des électrons au 
milieu de l'ondulateur, et
le graphique numéroté 3 leur distribution en sortie de l'ondulateur. Sur les 
trois graphiques, 1 est la

11 / 14

longueur d'onde de l'onde électromagnétique générée par les électrons : 1 = Fc1 
, où F1 est donné par la
relation (1).

0,2

0,2

0,2

x (mm)

1

2

3

0,1

0,1

0,1

0,0

0,0

0,0

-0,1

-0,1

-0,1

-0,2
-2

0
z/1

2

-0,2
-2

0
z/1

2

-0,2
-2

0
z/1

2

Figure 13
Q37. Décrire, en quelques phrases, la manière dont la distribution d'électrons 
évolue lors de la traversée
de l'ondulateur, sous l'influence de l'onde électromagnétique émise.
Q38. Expliquer pourquoi ce changement de répartition spatiale des électrons 
permet de résoudre le
problème qui a été introduit en début de cette partie.

Données et formulaire
Données numériques
enthalpie de vaporisation de l'hélium à 2,0 K
accélération de la pesanteur
charge élémentaire
vitesse de la lumière dans le vide
masse de l'électron

vap h = 23,4 kJ · kg-1
g = 9,81 m · s-2
e = 1,60 × 10-19 C
c = 3,00 × 108 m · s-1
me = 9,11 × 10-31 kg

Formulaire
­ 1 eV = 1,60 × 10-19 J
­ cos(2u) = 1 - 2 sin2 (u)

 # "
#" #" #"
# " # " #"
­ rot rot A = grad div A -  A
­ opérateur rotationnel en coordonnées cylindriques :

1 Az
A #"
Ar
Az #" 1 rA
Ar # "
# " #"
rot A =
-
ur +
-
u +
-
uz
r 
z
z
r
r
r

­ opérateur laplacien en coordonnées cylindriques :
f =

2f
1 f
1 2f
2f
+
+
+
r2
r r
r2 2
z 2

12 / 14

­ Courbes représentatives des fonctions de Bessel J0 et J1 .

Les trois plus petites racines positives de la fonction J0 sont x01 = 2,405, 
x02 = 5,520 et
x03 = 8,654. La fonction J1 est la dérivée de la fonction J0 :
J1 (x) =

dJ0
.
dx

Quelques résultats de relativité adaptés au problème étudié
Soit une particule chargée, de masse m, de charge q, se déplaçant dans une 
région où règne un champ
#"
électrique E. On étudie le mouvement de la particule dans un référentiel donné, 
supposé galiléen, avec
#"
O un point fixe de ce référentiel. Notons #"
v son vecteur vitesse, v sa norme dans ce référentiel et Fe la
force électrique (dont l'expression est la même que celle utilisée en mécanique 
classique).
­ On introduit le facteur relativiste de Lorentz  de l'électron dans ce 
référentiel :  = p 1 v2 .
1- c2

­ L'énergie cinétique Ec de l'électron dans le référentiel d'étude s'écrit, 
dans le cadre de la relativité
restreinte : Ec = ( - 1) mc2
#"
v
­ Dans ce référentiel, la deuxième loi de Newton appliquée à la particule 
s'écrit : dm
dt = Fe .
# " #"
c
­ Le théorème de la puissance cinétique s'écrit : dE
dt = Fe . v .
­ Le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre deux points A et B de la 
trajectoire de la
Z B
#" # "
particule s'écrit : Ec =
Fe .dOM .
A

Considérons maintenant une particule chargée notée M , de masse m, de charge q, 
se déplaçant dans
#"
une région où règne un champ électrique B. On étudie le mouvement de la 
particule dans un référentiel
donné, supposé galiléen, avec O un point fixe de ce référentiel. Notons #"
v sa vitesse, Ec son énergie
# "
cinétique,  son facteur de Lorentz dans ce référentiel, et Fm la force 
magnétique (dont l'expression est
la même que celle utilisée en mécanique classique).
# "
v
­ la deuxième loi de Newton appliquée à la particule s'écrit dm
dt = Fm ;
# " #"
c
­ le théorème de la puissance cinétique s'écrit dE
dt = Fm . v .

13 / 14

Références

[2]

Massimo Altarelli, Reinhard Brinkmann et Majed Chergui. « The European X-ray 
freeelectron laser. Technical design report ». In : (2007).

[3] R Wanzenberg. « Monopole, Dipole and quadrupole Passbands of the TESLA-cell 
Cavity ». In :
(2001).

Fin

14 / 14

P077 - 30 avril 2025 - 14:23:09 c b e a

[1] H Lierl, B Petersen et A Zolotov. « Conceptual layout of the european x-fel 
linear accelerator
cryogenic supply ». In : Proceedings of LINAC. 2004, p. 225-227.

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dans la partie barrée

P077-DR - 28 mars 2025 - 11 :40

Question Q23

1,69
1,68

f 2 (GHz2 )

1,67
1,66
1,65
1,64
1,63

pente : 3.01 × 10-2 GHz2
ordonnee a l'origine : 1.66 GHz2

-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00
0,25
- cos(kH)

0,50

0,75

1,00

Figure 1 ­ Étude de la relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans 
une cellule TESLA.

Question Q24
t = T4

t=0

z

Ez

z

Ez
z

z

Le champ électrique est nul ici.

t = T2

t = 3T
4

z

Ez

z

Ez
z

Le champ électrique est nul ici.
Figure 2 ­ Cavités TESLA à différents instants.

z