Centrale Physique 2 PC 2021

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Physique 2
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2021

Détection de molécules individuelles
à température ambiante

Une molécule fluorescente peut être utilisée comme une sonde locale, à 
l'échelle nanométrique, de son environ-
nement. Des techniques comme la microscopie confocale, la microscopie 
biphotonique permettent la détection,
avec un bon rapport signal sur bruit, de la fluorescence émise par une molécule 
individuelle appelée fluorophore.
Il est ainsi possible d'accéder à une information non moyennée spatialement. 
L'évolution temporelle du signal
permet alors de suivre la dynamique de la molécule étudiée, aussi bien la 
dynamique interne que les interactions
de la molécule avec son environnement.

L'objet de ce sujet est de comprendre comment détecter de façon satisfaisante 
le signal de fluorescence émis par
une seule molécule (partie I), comment exalter le signal (« Raman ») diffusé 
par une molécule en interaction
avec une nanoparticule métallique (partie IT). La partie IT aborde l'analyse du 
signal de fluorescence émis par
une molécule.

Les fluorophores sont des molécules qui absorbent la lumière dans un certain 
domaine spectral et réémettent de la
lumière par désexcitation radiative dans un autre domaine. Les fluorophores 
étudiés sont insérés dans un substrat,
qui peut être par exemple un polymère ou une matrice dite sol-gel, ou sont 
simplement des solutés dans un
solvant. Le fluorophore est choisi pour être un bon chromophore, c'est-à dire 
pour absorber fortement la lumière,
et sera caractérisé par un fort coefficient d'extinction molaire à la longueur 
d'onde du maximum d'absorption
Emax © 1 X 10° mol !-L.cm ! (par comparaison EUR & 2 x 10% mol !-L:em ! pour 
les ions permanganate en
solution aqueuse).

max

Le signal de fluorescence S, émis par une seule molécule dépend de son taux de 
fluorescence R;, de l'ordre
de 1 x 10$ photons:s ! dans des conditions favorables. Le microscope est, lui, 
caractérisé par son efficacité de
détection globale des photons (système optique plus détecteur) 7,, dont un 
ordre de grandeur satisfaisant est
de 2%. Pour obtenir un bon rapport signal sur bruit, il faut exciter 
convenablement les chromophores, collecter
avec une bonne efficacité de détection le signal émis S; et éliminer de façon 
importante le signal parasite S;
issu du très grand nombre de molécules du substrat qui seront illuminées en 
même temps que le chromophore.

Des données et relations utiles sont disponibles en fin d'énoncé.

I Détection du signal de fluorescence de molécules individuelles à
température ambiante

Les éléments essentiels du microscope sont : la source de lumière constituée 
par un faisceau laser adapté, l'objectif
de microscope permettant à la fois d'exciter les fluorophores et de collecter 
la lumière émise, la lame séparatrice
ou miroir dichroïque (voir plus loin le sens de ce terme) permettant la 
séparation entre lumière de fluorescence
et lumière diffuse, et un photodétecteur utilisé en mode « comptage de photons 
» produisant un signal exprimé
en nombre de coups.

T.A -- Objectif de microscope et microscopie classique

L'objectif de microscope est un dispositif optique complexe constitué de 
plusieurs lentilles optiques. Dans cette
sous-partie, on considère un objectif x40 utilisé dans un microscope classique, 
donnant d'un objet microscopique
une image réelle agrandie renversée ; le grandissement transversal + vaut donc 
y = --40,0. On modélise l'objectif
par une lentille mince convergente, d'axe optique (O0, 2) et de centre O..

La figure 1 montre une photographie de cet objectif avec les indications « 40 » 
pour le grandissement, « 0.65 »
pour l'ouverture numérique (ON), « 160 » (mm) pour la longueur de tube À, 
définie ci-après, et « 0.17 » (mm)
pour la lamelle couvre-objet. Le plan de front P en avant de la monture de 
l'objectif est tel que la distance O, P
est égale à 3,5 mm.

En notant a le demi-angle d'ouverture, c'est-à-dire l'angle entre l'axe optique 
et le rayon le plus écarté de
l'axe optique qui entre dans l'objectif, l'ouverture numérique est définie par 
ON = nsin «, où n est l'indice de
réfraction du milieu dans lequel plonge l'objectif (n = 1,00 pour l'air).

On utilise cet objectif et un oculaire de distance focale f, -- 20 mm dans un 
microscope classique. L'objectif et
l'oculaire sont maintenus solidaires par le tube du microscope qui impose la 
distance F/F, entre le foyer image
de l'objectif et le foyer objet de l'oculaire. Cette distance À est appelée 
intervalle optique du microscope ou
longueur de tube. Le microscope est utilisé de telle façon que l'oeil n'ait pas 
besoin d'accommoder.

P044/2021-03-05 07:14:13 Page 1/7 (cc) AUREZ

LL

Plan de front

Plan de l'échantillon

ZN ZN

Plan de front et distance frontale w = PA Dans l'air ON = sin a
Figure 1 Objectif de microscope x40

Par souci de simplicité, pour les calculs, on se placera dans les conditions de 
Gauss, même si elles sont mal
vérifiées en pratique. Un schéma optique du microscope est représenté sur la 
figure À du document réponse.

Q 1. Où doit se former l'image intermédiaire donnée par l'objectif, pour une 
observation sans accommoda-
tion à travers l'oculaire, de l'image finale ?

Q 2. Sur le schéma de la figure À du document réponse, réaliser la construction 
géométrique de l'image de
l'objet AB par l'ensemble du microscope.

Q 3. Déterminer puis calculer la distance focale équivalente f! de la lentille 
modélisant l'objectif.

Q 4. Déterminer puis calculer la distance frontale w (distance de travail), 
c'est-à-dire la distance PA sépa-

rant la lame porte-échantillon et le plan de front de l'objectif x40. Expliquer 
pourquoi certains objectifs de fort
grandissement sont équipés d'un système à ressort qui évite la détérioration de 
la lentille frontale.

On considère que l'oeil est capable d'accommoder pour avoir une vision nette 
d'un objet situé à une distance
minimale d,, = 25 cm. L'oeil est positionné dans le plan focal image de 
l'oculaire.

Q 5. Calculez la latitude de mise au point du microscope pour cet objectif, 
c'est-à-dire la distance dont on
peut déplacer l'objectif par rapport à l'objet en conservant une vision nette. 
De quel système doit être équipé
le tube du microscope ?

I.B --- Microscope de fluorescence utilisé en configuration confocale pour la 
réjection du bruit
de fond

Le microscope classique est modifié de la façon suivante : on supprime 
l'oculaire et on positionne un capteur
dans le plan de l'image intermédiaire donnée par l'objectif, en le centrant sur 
l'axe optique. Pour réaliser un
« microscope confocal », on introduit également un diaphragme de petite taille 
(par exemple 10 pm), lui aussi
centré sur l'axe optique, dans le plan du capteur. De cette façon l'ensemble 
(capteur + diaphragme) permet de
réaliser un détecteur quasi-ponctuel.

Q 6. Sur le schéma de la figure B du document réponse, tracer le faisceau de 
lumière émis par le point B
situé dans le plan de l'échantillon mais hors de l'axe optique.

Q 7. Sur le schéma de la figure C, tracer le faisceau de lumière émis par le 
point C situé sur l'axe optique
mais hors du plan de l'échantillon.

Q 8. À quoi sert l'introduction d'un trou de petite taille dans le plan du 
photodétecteur ?

Q 9. Justifier la nécessité d'un système de balayage (translation de 
l'échantillon dans son plan) pour réaliser

une image de fluorescence.

La figure 2 présente le schéma de principe du microscope confocal de 
fluorescence utilisé pour la détection de
molécules individuelles.

Miroir dichroïque Diaphragme

NX

Y

Photodétecteur

Y N Y
À Lentille
Plan de achromatique

l'échantillon Laser

Figure 2 Schéma de principe du microscope confocal

P044/2021-03-05 07:14:13 Page 2/7 (cc) BY-NC-SA
La figure 3 montre des images de fluorescence obtenues avec ce dispositif. Il 
convient de remarquer que ces images
sont le résultat d'un balayage, chaque pixel est associé à une position de 
l'échantillon et l'énergie lumineuse
détectée à cette position, pendant le temps d'exposition choisi, est codée en 
niveau de gris.

a (25 pm x 25 pm) b (10 pm X 10 pm)

256 F4
- f A
S
o 128- \
D ) \
PO
O0 ENT; a à et 3
O0 04 08 12 16 2 um
c (2 yum x 2 yum)
Figure 3 Images de fluorescence de molécules individuelles (256 x 256 pixels), 
zooms
successifs sur une même zone de l'échantillon (images a, b et c) et profil du 
nombre
de coups détectés sur une ligne de l'image c passant par le centre de la tache 
image
I.C --- Séparation de la lumière de fluorescence de la lumière diffuse

Les fluorophores sont des molécules qui absorbent la lumière dans un certain 
domaine spectral (excitation)
et réémettent de la lumière (désexcitation radiative). La figure 4 donne un 
premier schéma très simplifié des
niveaux d'énergie dans une molécule organique fluorescente.

À

niveau excité

| Excitation

| y . . . .
| Désexcitation non radiative
Y

Energie
532 nm

À

|Désexcitation radiative

niveau fondamental

Figure 4 Schéma simplifié des niveaux d'énergie dans une molécule fluorescente

Q 10. D'après le schéma de la figure 4 comparer la longueur d'onde du signal de 
fluorescence résultant de la
désexcitation radiative à celle du laser excitateur (À = 532 nm).

CETTE

P044/2021-03-05 07:14:13 Page 3/7
77 + +

plan pour la lumière laser. On parle de miroir dichroïque.

Q 11. Expliquer le rôle de la lame semi-réfléchissante et donner l'allure que 
doit avoir la courbe du coefficient
de transmission du miroir en fonction de la longueur d'onde T'(À).

I.D --- Emission de la lumière de fluorescence par un fluorophore

Afin d'estimer de façon simple le rendement de fluorescence, on adopte une 
modélisation simplifiée qui néglige
le décalage de longueur d'onde entre le laser excitateur et le signal de 
fluorescence. On considère alors que la
molécule peut accéder à trois niveaux d'énergie schématiquement représentés sur 
la figure 5.

On note k, le taux d'excitation du niveau 1 (niveau fondamental) au niveau 2 
(niveau excité), k, et k,.. les
taux de désexcitation radiative et non radiative du niveau 2 vers le niveau 1 
et k- le taux de désexcitation du
niveau 3 (appelé niveau triplet) vers le niveau 1. Il existe, à partir du 
niveau 2, une possibilité pour la molécule

de passer dans le niveau 3 avec un taux k,... (« inter-system crossing »).

niveau 2 *
\
| \
\
|
| \ Rise
| \
\ . 3
| --{-------- niveau
k, k, | kr 2
| /
| ,"
/ kr
| ,
| /
| /
: y »
niveau Îl

Figure 5 Description des niveaux d'énergie du fluorophore par un système à 3 
niveaux

On note P,, P, et P,, les probabilités d'occupation de chaque niveau. Les 
probabilités P, et PF; obéissent aux
équations différentielles

dP

PT = --kP, +(k,+k,,)P:; + krPs,
dP,

© --=k,..P, -- krP:.

dt 18C* 2 T° 3

Q 12. Déterminer l'équation vérifiée par de en fonction des taux définis 
précédemment et des probabilités
d'occupation des niveaux d'énergie. Les équations du système sont-elles 
linéairement indépendantes ?

On suppose que le système est fermé, c'est-à-dire que les seuls niveaux 
accessibles sont les niveaux 1, 2, et 3.
Cela permet d'écrire une relation supplémentaire entre les probabilités P,, P, 
et P2.

Q 13. Écrire cette relation entre les probabilités P,, P, et P..

En réalité la molécule n'est pas toujours photostable. La fluorescence peut 
s'arrêter brutalement et définitivement
après que la molécule ait été excitée un trop grand nombre de fois. Le système 
réel n'est donc pas fermé.

Q 14. Comment peut-on observer ce phénomène sur l'image b de la figure 3 ?

Q 15. Déterminer la solution stationnaire F,, pour la probabilité d'occupation 
du niveau 2 en fonction de
L.
k.,k,.,k.. k. et K = 1+--% dans le cas d'un système fermé.
T
Le taux de fluorescence en régime stationnaire s'écrit À; = k,P3..

nr?

Q 16. En déduire qu'il existe un taux limite de fluorescence, noté RÀ% quand le 
taux d'excitation k, devient
très grand devant les taux de désexcitation k,., k,,. et k,... Justifier 
qualitativement l'existence d'un taux limite.
Q 17. Expliquer pourquoi alors il n'est pas souhaitable d'exciter trop 
fortement l'échantillon.

Q 18. Calculer la valeur numérique de Re dans le cas d'un « bon » chromophore 
où K = 10 avec une durée
de vie radiative 7, = 1/k,. = 5ns.

On définit le taux d'excitation à saturation k° par À FK) -- 5RT et /, 
l'intensité à saturation du faisceau laser,
correspondant à ce taux d'excitation.

1 k
Q 19. Montrer que le taux d'excitation à saturation k° s'écrit k° -- SK 
Expliciter ©; appelé rendement
J

quantique de fluorescence en fonction k,., k,., et k;... Réexprimer alors Ry en 
fonction ©; et k?.

1, EUR
+ où
hr N 1

est la fréquence de l'onde laser, À la constante de Planck, NV, la constante 
d'Avogadro et £,,, le coefficient
d'extinction molaire.

L'intensité laser à saturation /, et le taux d''excitation à saturation k° sont 
reliées par k° --

P044/2021-03-05 07:14:13 Page 4/7 (cc) BY-NC-SA
Q 20. Quelle est la dimension de o = EUR,,,,/N 1 ? Quel sens concret peut-on 
donner à la grandeur o ? Pour
les molécules considérées, on a EUR,,,, & 1 X 10° mol !-L:cm !. Commenter 
l'ordre de grandeur de 0.

Q 21. Déterminer numériquement, en kW:cm * l'intensité à saturation 1, pour À = 
532nm la longueur d'onde
du laser utilisé, 0; & 1, K = 10,7, -- 1/k, = 5nset EUR, & 1 x 10° mol l:L:em 
!. Commenter sachant qu'un
laser de type He-Ne tel que ceux utilisés en travaux pratiques émet, en ordre 
de grandeur, une puissance de
1 mW.

IE -- Excitation laser

Phénoménologiquement, pour des objectifs de grande ouverture numérique, dont le 
diaphragme d'entrée est
légèrement sur-illuminé, une bonne description du faisceau laser d'axe Oz 
(origine O au point de focalisation)
est donnée par une fonction gaussienne-gaussienne en fonction des coordonnées 
cylindriques r et 2

22 r2
Î(r,2) = 1,exp (25) EXP (25)

Z r

À À
Où W,. = 0,5-- et w, -- DE sont des grandeurs dépendant de la longueur d'onde 
et de l'ouverture
sin -- COS
numérique ON -- sin 6.

Q 22. En considérant la molécule fluorescente comme un émetteur ponctuel, 
évaluer l'ouverture numérique
de l'objectif utilisé pour réaliser les images de la figure 3 avec la longueur 
d'onde laser À = 532 nm. Pourquoi
est-il important d'utiliser un objectif d'ouverture numérique élevée ?

Q 23. Déterminer un ordre de grandeur de la puissance du faisceau laser 
incident pour obtenir un taux
d'excitation à saturation.

Q 24. Déterminer un ordre de grandeur du volume excité en fonction de w,. et 
w,. Calculer numériquement
cet ordre de grandeur.

Pour réaliser un échantillon permettant la détection individuelle de molécules 
fluorescentes, on réalise un dépôt
d'une solution de molécules fluorescentes solvatées, sur une lame 
porte-échantillon. Le dépôt est réalisé sur un
plateau tournant à haute vitesse pour produire des films de 100 nm d'épaisseur.

Q 25. Quel doit être l'ordre de grandeur de la concentration de la solution de 
molécules fluorescentes pour
pouvoir produire des images telles que celles représentées en figure 3 ?

IF --- Rapport signal sur bruit
Le signal étudié est le nombre de photons détectés (ou nombre de « coups »).

Q 26.  Exprimer le signal de fluorescence détecté S ; provenant d'un seul 
fluorophore en fonction de l'efficacité
de détection, du taux de fluorescence À; et de la durée d'acquisition 7,,.

Q 27. Les images de fluorescence ont été obtenues avec un taux d'excitation k, 
-- 0,1k° afin de préserver la
photo-stabilité de la molécule. Quelle durée 7, est nécessaire pour obtenir 
l'image b de la figure 3 ? Le temps de
déplacement de l'échantillon sera négligé.

Le signal diffusé par l'ensemble des molécules contenues dans le volume sondé V 
en fonction de la densité
volumique de molécules de la matrice n s'écrit en fonction de l'efficacité de 
détection, de l'intensité laser L,, de

LT.
la durée d'acquisition 7,, Sa = npoanV mn où ©, est une constante appelée 
section efficace de diffusion. Le
V
bruit généré B est égal à la racine carrée du nombre total de coups détectés S 
= S; + 54.
Q 28.  Exprimer le rapport signal sur bruit $; /B en fonction des grandeurs du 
problème.

Q 29. Expliquer pourquoi le diaphragme permet d'améliorer le rapport signal sur 
bruit de l'image.

IT Analyse de la lumière de fluorescence

On s'intéresse à la détection de chromophores fluorescents (4 pérylène orange 
») dans un film sol-gel d'épaisseur
50 à 100 nm. La matrice sol-gel dont est constitué le film a une structure 
poreuse, comprenant une matrice en
silice avec des cavités (pores), le plus souvent remplies de solvant et des 
interconnexions étroites entre pores.

La figure 6 montre le suivi du déplacement d'une molécule de chromophore dans 
lequel les positions successives
de la molécule, représentées par des croix, ont été pointées à intervalles de 
temps réguliers. On cherche à rendre
compte du déplacement par un processus diffusif modélisé par une marche au 
hasard. Par simplicité, on raisonne
sur un problème à une dimension, suivant un axe (Ox). La molécule À, 
initialement en ©, fait des sauts entre
des sites fixes d'abscisses x,, = na (positions À,) distants de a. La durée de 
chaque saut est notée 7. Les deux
sens de déplacement à chaque saut sont équiprobables.

Q 30. Relier la probabilité p(x,,,t,,) pour la particule d'être à l'abscisse 
x,, à la date t,, = nT aux probabilités
P(tn_1 tn_1) et P(tn+1 tn-1)-
Q 31. En passant à une probabilité continue p(x,t) définie en tout point et à 
tout instant, montrer qu'on

0
peut écrire : p(x,,,t,) & p(x,,t, 1) + DT

P044/2021-03-05 07:14:13 Page 5/7 (cc) BY-NC-SA

; MSD
(px?) 50

À
Ü

5 10
At (/305)

d

X(px)

Figure 6 Suivi temporel du déplacement d'une molécule fluorescente dans une 
matrice sol-gel

Q 32. Relier par un développement limité au second ordre p(x,,_1,tn_1) et 
P(tuii:tn 1) à P(Tpitn 1)
Q 33. Montrer alors que p{x,t) vérifie une équation de diffusion.
Q 34. Déterminer le coefficient de diffusion D.

Q 35.  Exprimer (OA). la moyenne statistique sur un grand nombre de 
configurations de la quantité vecto-
rielle OA après N sauts. Commenter.

Q 36. Montrer que le déplacement quadratique moyen A° (noté MSD sur la figure 
6), A = (|OA% nl? ). est
proportionnel à la durée At correspondant à N sauts.

À deux dimensions on admet que le coefficient de proportionnalité est multiplié 
par deux. Sur le schéma de la
figure 6, est tracé la modélisation de A? en fonction de la durée At.

Q 37. Sur la molécule suivie en figure 6, une modélisation linéaire de A° en 
fonction de At donne pour le
coefficient directeur 8 = 4 x 107! STI. En déduire la valeur du coefficient de 
diffusion avec son unité.

III Exaltation du signal par un substrat métallique présentant une
rugosité

Dans cette partie, le signal détecté n'est pas un signal de fluorescence mais 
un autre signal appelé « diffusion
Raman », qu'on détecte avec un dispositif optique proche de celui de la partie 
[. Ceci n'a pas de conséquence
sur ce qui est étudié dans cette partie. Dans la diffusion Raman, le champ 
électrique associé à l'onde lumineuse
incidente induit une polarisation des molécules, qui deviennent alors sources 
d'une onde électromagnétique dite
onde diffusée.

Le substrat présente des agrégats de nanoparticules métalliques sur lesquels 
des molécules se sont fixées (phé-
nomène d'adsorption). Les concentrations utilisées sont telles que 
statistiquement il y a au plus une molécule
adsorbée par agrégat. On constate expérimentalement que certains de ces 
agrégats permettent d'amplifier le
signal Raman diffusé par la molécule de plusieurs ordres de grandeurs et sont 
pour cette raison appelés « points
chauds » du substrat.

Deux contributions possibles à cette amplification sont étudiées dans cette 
partie :
-- l'effet d'antenne lié à l'adsorption d'une molécule par une nanoparticule de 
dimensions nanométriques ;

-- un effet lié à l'excitation collective des électrons de surface (phénomène 
de « plasmon de surface localisé »).

Point chaud

Figure 7 Substrat métallique présentant une rugosité sur lequel sont adsorbées 
des molécules

TITI. À -- Dipôle induit dans une nanoparticule métallique sphérique de taille 
10 nm

L'adsorption de la molécule entraine une polarisabilité de la nanoparticule sur 
laquelle ell est adsorbée. Aïnsi,
sous l'action du champ électrique de l'onde laser, la nanoparticule acquiert un 
dipôle induit D, -- @1EUR0E et la
molécule p -- QE0E. Le champ électrique Æ est considéré comme uniforme à 
l'échelle étudiée. On admet que
l'amplitude du champ de l'onde diffusée est une fonction croissante de 
l'amplitude du dipôle induit dans l'entité
microscopique.

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Q 38. Comment appelle-t-on la grandeur a ? Préciser, en la justifiant, la 
dimension de a puis donner un
ordre de grandeur littéral.

Q 39. Évaluer numériquement l'ordre de grandeur du rapport a,/a.,. Conclure sur 
l'effet d'antenne que
représente la nanoparticule pour la molécule.

ITTI.B --- Modèle de Drude pour les électrons métalliques de la nanoparticule

Pour rendre compte des propriétés de la nanoparticule, on cherche à exprimer sa 
conductivité électrique en
régime sinusoïdal établi. On utilise la représentation complexe en notant les 
grandeurs complexes associées aux
grandeurs dépendant sinusoïdalement du temps par des lettres soulignées.

On considère la vitesse d'un électron libre du métal v induite par un champ 
électrique oscillant d'amplitude
complexe Es ei"! et on néglige la force magnétique exercée sur un électron. 
Pour modéliser les phénomènes
dissipatifs, on introduit une force visqueuse --(m/T)ù où 7 est un temps 
caractéristique du métal.

Q 40.  Exprimer le vecteur densité volumique de courant 7, en fonction de la 
densité volumique n d'électrons
libres du métal, de la charge de l'électron --e et de sa vitesse td.

Q 41.  Exprimer la conductivité électrique complexe © en fonction de n, e, EUR, 
et w et de la pulsation

| ..2
ne ,
W, = {]---- appelée pulsation plasma.
ME)

Q 42. Montrer que si la constante 7 est « suffisamment » grande, alors la 
conductivité © est imaginaire pur.
Quelle est alors la valeur moyenne de la puissance cédée par le champ 
électrique dans le métal ?

io

. n définit la constante diélectrique du métal par EUR = 1 -- ----. Exprimer 
EUR en fonction de w et de la

Q 43 On définit tante diélectri du métal 1 Expri fonction d t del
WE

pulsation w,, dans le cas où les pertes sont négligeables.

On donne alors l'expression de la polarisabilité de la particule métallique 
sphérique de rayon a en fonction de
la constante diélectrique du métal
E -- Î
a = ÀTa® | |
E +2

Q 44. En déduire la condition sur la pulsation du champ pour que la 
polarisabilité de la particule métallique
sphérique devienne très grande.

La pulsation résonante pour une particule d'argent sphérique correspond à une 
longueur d'onde de 355 nm.
Mais lorsque la forme s'allonge et que la particule devient ellipsoïdale, la 
résonance se dédouble et une des deux
résonances (celle correspondant au mouvement d'oscillation électronique suivant 
le grand axe de l'ellipsoïde)
est déplacée vers le rouge. Aïnsi à 532 nm pour l'argent, la résonance plasmon 
correspond à une nanoparticule
présentant une excentricité de 4.

Données et formulaire

Relations de conjugaison de Descartes et de Newton pour une lentille mince de 
distance focale f", de centre
optique ©, de foyer objet F, de foyer image F" et expression du grandissement 
algébrique 7, À et À" étant deux
points conjugués appartenant à l'axe optique.

1 1 1
_-- ----==--- F'A  FA=---f'°
OA OA  J Co
/ D/ / A'B FA FO
= + A = = = --
AB OA AB F'O FA
Constantes physiques
Vitesse de la lumière dans le vide c = 3,00 x 10$ mes !
Constante de Planck h = 6,62 x 10 *% Je
Constante d'Avogadro N 1 = 6,02 x 10** mol |

ee erFINee.e

P044/2021-03-05 07:14:13 Page 7/7 (cc) BY-NC-SA
Zm2biBQM k

a2Mb /2 T`QT;iBQM /2 H

6B;m`2  a+?ûK Q

/Mb H T`iB2 #``û2

Sy99@._fkykR@yR@kj Ry,RR,j8

L2 `B2M û+`B`2

HmK2ii2t kXy3y3 kykRyRy8 GJhs

Zm2biBQM e

6B;m`2 "

Zm2biBQM d

6B;m`2 *

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


© Éditions H&K

Centrale Physique 2 PC 2021 -- Corrigé

Ce corrigé est proposé par Étienne Martel (doctorant en physique) ; il a été 
relu
par Charlie Leprince (ancien élève de l'ENS Paris-Saclay) et Jacques Ding (École
Polytechnique).

Cette épreuve propose l'étude d'un procédé de détection de molécules 
individuelles. La description de cette technique gagne en précision tout au 
long du sujet,
débutant avec un microscope classique en début d'énoncé avant de s'intéresser à 
la
détection par fluorescence en microscopie confocale et de conclure en étudiant 
des
procédés d'amplification du signal dans le cadre de la diffusion Raman. La 
difficulté
du sujet varie grandement d'une partie à une autre ; la première est 
particulièrement
ardue car elle est longue et fournit peu de résultats intermédiaires.
· La première partie s'ouvre sur des résultats proches du cours d'optique 
géométrique, plus spécifiquement le modèle du microscope optique assimilé à deux
lentilles minces, une pour l'objectif et une pour l'oculaire. Ce thème couvre 
les
deux premières sous-parties. Viennent ensuite trois autres sous-parties 
focalisées sur un système quantique à trois états et quelques questions sur la 
modélisation d'un laser notamment. La description du système quantique utilise 
des
méthodes proches du cours sur les coefficients d'Einstein. On peut signaler la
présence d'une question ouverte nécessitant l'exploitation de résultats de 
mesure présentés sous la forme de trois images et d'un graphique. Le milieu et 
la
fin de cette partie sont les passages les plus durs du sujet.
· Le sujet se poursuit avec une deuxième partie faisant intervenir des calculs
de probabilités dans le cadre de la modélisation d'une marche aléatoire 
symétrique avec un passage à la limite continue pour obtenir une équation de
diffusion. L'enchaînement des questions permet d'établir un lien entre le 
déplacement quadratique moyen, la durée associée et le coefficient de diffusion.
Ce résultat se base sur des observations utilisant les méthodes décrites dans la
partie précédente.
· L'ultime partie de l'épreuve propose l'étude de deux phénomènes permettant
d'amplifier le signal reçu dans le cadre de la diffusion Raman. La première
sous-partie concerne une description qualitative de la notion de dipôle induit
tandis que la dernière développe le modèle de Drude pour un électron en régime
sinusoïdal établi.
Le problème demande globalement peu de calculs et compte de nombreuses 
questions d'interprétation. Il permet de travailler l'optique géométrique et le 
cours sur le
laser avec le système quantique à trois niveaux (partie I), la physique 
statistique et
l'équation de diffusion (partie II) ainsi que l'électromagnétisme (partie III), 
notamment la notion de dipôle induit et le modèle de Drude pour un électron 
dans le but
d'établir la loi d'Ohm locale.

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Indications
3 Les relations de conjugaison de Newton permettent d'établir simplement le 
résultat demandé, en utilisant celle portant sur le grandissement  et le foyer 
image F01 .
4 À nouveau, les relations de conjugaison de Newton sont les plus utiles pour 
répondre, en utilisant celle reliant le grandissement  au foyer objet F1 .
5 Encore une fois, les relations de conjugaison de Newton permettent de trouver
rapidement la réponse. Il faut privilégier les formules liant les foyers image 
et
objet aux distances focales pour les deux lentilles. Par ailleurs, l'oeil est 
placé
en F02 et situé à une distance dm de l'image finale. Pour évaluer la latitude de
mise au point, il faut calculer la variation de AO1 entre le cas d'une 
observation
sans accommodation et celui où l'oeil accommode au maximum.
12 Faire un bilan sur la probabilité P2 en évaluant les processus permettant de
l'augmenter (excitation depuis le niveau 1) et de la diminuer (désexcitations 
vers
les niveaux 1 et 3).
17 C'est le niveau 3 avec la désexcitation vers le niveau 1 qui doit être pris 
en
compte. En effet, le coefficient kT n'est pas nécessairement très petit devant 
k e si
bien qu'un phénomène d'accumulation au niveau 3 peut être mis en évidence.
22 Il faut interpréter la formule de l'énoncé donnant l'expression de  r en 
termes de
limite de résolution et estimer cette dernière grâce à la figure 3 en 
considérant les
molécules comme ponctuelles.
27 Utiliser la question 26 permet d'exprimer  i en fonction du nombre de coups
détectés Sf et de quantités connues. Pour estimer Sf , on peut s'aider du 
profil de
détection donné en figure 3 qu'il faut modéliser à deux dimensions puis intégrer
sur la surface de l'image. Une fonction gaussienne est une modélisation simple 
et
efficace pour répondre.
30 Pour atteindre xn en un seul saut, il n'y a que deux possibilités : être en 
xn-1 ou
en xn+1 à l'instant précédent et faire un saut adéquat qui a une probabilité 1/2
d'avoir lieu dans chaque cas.
33 Il faut utiliser l'expression de p (xn , tn ) demandée en question 30 et 
exploiter les
développements limités de la question 32 pour faire disparaître les dépendances
en xn-1 et en xn+1 . Enfin, il faut combiner le résultat ainsi obtenu avec 
celui de
la question 31.
---
----
35 Il est utile de décomposer OAN en une somme de vecteurs Ai Ai+1 de moyenne
associée nulle.
36 La même décomposition qu'à la question précédente permet de répondre. On
---- -----
peut montrer en particulier que Ai Ai+1 · Aj Aj+1 = a2 ij avec ij le symbole
de Kronecker.
41 Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron libre permet 
de
trouver la réponse, en y introduisant la force de type frottement visqueux 
donnée

-
par l'énoncé ainsi que la force électrostatique due au champ E .
42 Le calcul de la puissance peut être réalisé 
en appliquant la formule propre au
-

- 
1
régime sinusoïdal établi P = Re j e · E .
2

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I. Détection du signal de fluorescence de molécules
individuelles à température ambiante
1 Pour qu'un oeil emmétrope observe l'image finale sans accommoder, celle-ci 
doit
se former à l'infini. Par conséquent et d'après le principe de retour inverse 
de la
lumière, l'image intermédiaire (A1 B1 ) doit se trouver au niveau du foyer
objet de l'oculaire (L2 ), car un objet qui se situe au point focal objet F2 de 
la
lentille (L2 ) est alors envoyé à l'infini.
2 Deux rayons suffisent à construire l'image d'un point par une lentille. Un 
rayon
incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image de la 
lentille, tandis qu'un rayon incident passant par le centre optique n'est pas 
dévié. Ces
propriétés permettent de placer B1 . Pour déterminer l'image de (A1 B1 ) par L2 
, on
utilise le fait que tout faisceau incident issu d'un point du plan focal objet 
émerge
sous la forme d'un faisceau parallèle.
L2

L1
B

F1

F2  A1
O2

A F1 O1
B1

3 L'objectif est modélisé par une unique lentille mince convergente de centre 
optique O1 , de foyer image F01 et de focale f10 . En reliant les données de 
l'énoncé au
schéma de la question 2, il vient

O1 F01 = f10 = -F01 O1
 F0 F =  = F0 A
1 2
1 1

d'après la question 1

En exploitant la seconde équation des relations de conjugaison de Newton données
dans le formulaire, on obtient
=

f10 = -

si bien que

F01 A1

=
0
-f10
F 1 O1

160
=-
= 4,00 mm

-40,0

4 D'après la relation de Chasles,
AO1 = AP + PO1 = w + O1 P
d'où

=

F 1 O1
f10
f10
=
= 0
f 1 - w - O1 P
F1 A
F1 O1 - AO1

Publié dans les Annales des Concours

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On en déduit alors

1
1
0
w = f1 1 -
- O1 P = 4,00 × 1 +
- 3,5 = 0,60 mm

40,0
L'équation précédente donne, dans le cas d'un fort grandissement ( 
- +) et
à f10 constant,
w = f10 - O1 P = 0,5 mm
On comprend ainsi que de forts grandissements poussent à approcher la lentille 
frontale très près de l'échantillon, à une distance comparable à l'épaisseur de 
la lamelle
couvre-objet de 0,17 mm. En conséquence, un système de ressorts permet d'éviter
tout contact entre l'échantillon et la lentille frontale et de détériorer cette 
dernière.
5 La latitude de mise au point est définie selon
lat = O1 F1pire - O1 F1idéal = AF1pire - AF1idéal
L

L

1
2
Dans le pire cas, A -
A1 -
A2 avec A2 F02 = dm = 250 mm. Les relations de
conjugaison de Newton donnent

 F01 A1 × F1 A = -f102

F0 A × F A = -f 02
2 1
2
2 2
Remarquons que
si bien que

F01 A1 =  - A1 F2

2
f10 =  - A1 F2 AF1

f202
= +
AF1
dm

f102
f 02
+ 2
dm
La latitude de mise au point est donnée par
AF1 =

donc

lat =

f102
f102
-

f 02
+ 2
dm

f102 
1 -

soit

lat =

car

AF1idéal = AO1 - f10 =

1

02 
f2
1+
 dm

-(f10 + )
f 02
- f10 = 1

L'image finale doit se former à l'infini si on place un oeil en sortie. Avec un
capteur, l'image doit être focalisée sur ce dernier, il est donc utile de 
pouvoir
manier la mise au point pour avoir accès à ces deux usages avec un microscope
classique comme celui décrit dans le sujet.
6 La propriété d'aplanétisme permet d'affirmer que les images de A et B se 
trouvent
dans un même plan, perpendiculaire à l'axe optique. Il suffit donc de 
construire le